【文档说明】河北省邢台市部分学校2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题 含解析.docx,共(17)页,1.101 MB,由小赞的店铺上传
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2022~2023学年高一(下)第三次月考数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册第六章至第十章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.1.从全市5万名高中生中随机抽取500名学生,以此来了解这5万名高中生的身高,在这一情境中,这5万名高中生的身高的全体是指()A.个体B.总体C.样本D.样本量【答案】B【解析】【分析】根据总体的定义可得答案.【详解】这5
万名高中生的身高的全体是指总体.故选:B.2.已知集合{Axx=∣是四棱柱},{Bxx=∣是长方体},{Cxx=∣是直四棱柱},{Dxx=∣是正四棱柱},集合,,,ABCD之间的关系为()A.DBCAB
.DCBAC.BDCAD.BCDA【答案】A【解析】【分析】依四棱柱、直四棱柱、正四棱柱和长方体的定义可得答案.【详解】依四棱柱、直四棱柱、正四棱柱和长方体的定义,可得DBCA.故选:A.3.若纯虚数z满足()1iiza+=+,
则实数a的值为()A.1B.-1C.0D.±1【答案】B【解析】【分析】设出纯虚数,利用乘法运算及复数相等列方程,求解即可.【详解】设i,,0zbbb=R,由()1iiza+=+,可得iibba−+=+,所以1abb=−=,解得1a=−.故选:B4.已
知数据12,,,nxxx是某市()*3,Nnnn个普通职工的年收入(单位:元),若去掉一个最高年收入和一个最低年收入,则新数据与原数据相比,一定不变的数字特征是()A.平均数B.中位数C.方差D.极差
【答案】B【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解即可.【详解】由中位数的定义知,去掉最高与最低后,新数据与原数据相比,中位数一定不变.故选:B.5.已知O为坐标原点,()()1,1,2,5AB−−,若点C是AB上靠近点B的三
等分点,则OAOC=()A.4−B.2−C.2D.4【答案】A【解析】【分析】设(),Cxy,进而结合13CBAB=求得1,3xy==−,再计算数量积即可.【详解】设(),Cxy,则()()3,6,2,5ABCBxy=−=−−−,因为点C是AB上靠近点B的三
等分点,所以13CBAB=,所以,1225xy=−−=−−,即1,3.xy==−所以,()()1,11,3134OAOC=−−=−−=−.故选:A6.已知一组数据12,,,nxxx的平均数为x,标准差为s,则数据1231,31,,31nxxx−−−的平均数和方差分别
为()A.31,31xs−−B.3,3xsC.231,9xs−D.231,91xs−−【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得到新的平均数和方差.【详解】平均数()()()()1212313131333
1nnxxxxxxnnxnxnnn−+−++−+++−−===−,方差为()()()()()()22212313131313131nxxxxxxn−−−+−−−++−−−()()()2221229
9nxxxxxxsn−+−++−==,故选:C.7.七巧板,又称七巧图、智慧板,是中国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,到了明代基本定型,于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板,如
图所示,木板形状包括5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形.若该同学从7块木板中任意取出2块,则这2块木板全等的概率是()A.421B.17C.221D.114【答案】C【解析】【分析】依题意首先
求出所有的取法数,再求出取出2块木板全等的取法,最后根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】依题意从7块木板中任意取出2块的取法有76212=种,这2块木板全等的取法有2种,故所求的概率是221.故选:C8.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次和第二次出现的点数分别记为,ab,设事件A表示随机事件
“a和b都是奇数”,事件B表示随机事件“a和b中至少有一个是奇数”,事件C表示随机事件“a和b都是偶数”,现有下列4个结论:①()()PABPA+=;②()()PABPB+=;③()()PABPC=;④()()PABPC.其中所有正确结论的编号是()
A.②③B.②④C.①③D.①④【答案】A【解析】【分析】由和事件、积事件的含义及其概率公式即可求解.【详解】由题可知AB,即,ABBABA+==,所以()()()()(),PABPBPABPAPC+===.故选
:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对某地区2023年的学生人数进行了统计,并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中,九年级学生人数最多,八年级学生人数
最少,七年级学生人数约为1.2万,则()A.该地区2023年的学生人数约为15万B.该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多C.该地区2023年小学生的人数比初中生、高中生和大学生的人数之和还多D.该地区20
23年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为34.7%【答案】AB【解析】【分析】根据扇形统计图表中的数据,结合选项,逐项判定,即可求解.【详解】根据扇形统计图表,可得该地区2023年的学生人数约为1.2150.08=万,所以A正确;该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多,所
以B正确;该地区2023年小学生的人数少于初中生、高中生和大学生的人数之和,所以C不正确;该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为39.1%,所以D不正确.故选:AB.10.下列说法正确的是()A.事件“若x
R,则sinπx=”是不可能事件B.已知某兴趣小组有11人,事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”是必然事件C.现有分别写有数字1,2,3,4,5的五张白色卡片、五张黄色卡片,从中抽取两张卡片,事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件D.现有分别写有
数字1,2,3,4,5的五张白色卡片、五张黄色卡片,从中抽取两张卡片,事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件【答案】ACD【解析】【分析】对于A,利用正弦函数的值域即可判断;对于B,利用必然事件的定义即可判断;对于C
,利用互斥事件的定义即可判断,对于D,利用互斥事件和对立事件的定义即可判断.【详解】对于A,因为sin1,1x−,所以事件“若xR,则sinπx=”是不可能事件,故A正确;对于B,某兴趣小组有11人,根据必然事件的定义可知,事件“该兴趣小组中
至少有两人生肖相同”不是必然事件,故B错误;对于C,分别写有数字1,2,3,4,5的五张白色卡片、五张黄色卡片,根据互斥事件的定义可知,从中抽取两张卡片,事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件,故C正确;对于D,分别写有数字1,2,3,4,5的五张白色
卡片、五张黄色卡片,根据互斥事件和对立事件的定义可知,从中抽取两张卡片,事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件,故D正确.故选:ACD.11.已知a,b为两条不同的直线,,为两个不同的平
面,点P为空间中一点,则下列命题正确的是()A.若//a,//b,则//abB.若a⊥,a⊥则//C.若a=,P,P,则过点P只能作一条同时与,都平行的直线D.若直线a与平面所成的角为
30,则过点P恰好能作两条与直线a和平面所成角都是45的直线【答案】BCD【解析】【分析】选项A,B,C通过空间中平行与垂直的关系可一一判断正误,选项D中通过过点P与直线a和平面所成角都是45的射线的轨迹形
成两个相交的圆锥,即可判断这样的直线有两条.【详解】对于选项A,若//a,//b,则a与b平行、相交或异面,选项A错误;对于选项B,若a⊥,a⊥,由线面垂直的性质可知,//,选项B正确;对于选项C,若过点P所作的直线同时与,都平行,则这条直线必与a平行,故只有一条,
选项C正确;对于选项D,过点P分别作与直线a和平面所成角是45的射线,所有射线形成两个圆锥,因为直线a与平面所成的角为30,所以两圆锥侧面相交,交线有两条,选项D正确.故选:BCD.12.袋中装有3个红球和2个蓝球,这5个球除颜色外完全相同.从袋中不放回地依次
摸取3个,每次摸1个,则()A.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等B.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件C.“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等
的D.“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件【答案】AC【解析】【分析】求出“第一次取到的是红球”和“第二次取到的是红球”的概率可判断A;结合独立事件的定义可判断B;求出“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的
球”的概率可判断C;求出“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率,结合独立事件的定义可判断D.【详解】“第一次取到的是红球”的概率135P=,“第二次取到的是红球”的概率22332354545P=
+=,“第一次和第二次取到的都是红球”的概率33235410P==,所以12312,PPPPP=,故A正确,B错误.“第二次取到的是蓝球”的概率为3221254545+=,“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率43221254545P=+=,故C正确.
“三次取到的都是红球”的概率5321154310P==,“三次取到的都是红球且第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率654110PPP=,故D错误.故选:AC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.为了
解某校老年、中年和青年教师的身体状况,已知老年、中年、青年人数之比为3:4:4,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,其中老年教师有12人,则样本容量n=__________.【答案】44【解析】【分析】根据给定的信息,利用分层抽样各层的比,列式计算作答.【详解】依题意,1
23344n=++,解得44n=,所以样本容量为44.故答案为:4414.某电路由,,ABC三种部件组成(如图),若在某段时间内,,ABC正常工作的概率分别为323,,535,则该电路正常运行的概率为__________.【答案】825##0.32【解析】【分析】要使电路正常,则需要A正
常,两个B至少有一个正常,C正常,利用独立事件的概率公式求概率即可.【详解】要使电路正常运行,则需要A正常,两个B至少有一个正常,C正常,所以电路正常运行的概率为311381533525−=.故答案为:825.15.互不相等的5个正整数从小到大排序为12345,,,,a
aaaa,若它们的和为25,且其60%分位数是30%分位数的1.5倍,则5a的值可以为__________.(写出一个满足条件的即可)【答案】8(或11或12,写对一个即可)【解析】【分析】这组数据的60%分位数为342aa+,这组数据的30%分位数为2a,据题意3423aaa+=,再根据1234
525aaaaa++++=可得224a,对2a分情况讨论可得答案.【详解】这组数据的60%分位数为342aa+,这组数据的30%分位数为2a,据题意有3421.52aaa+=,即3423aaa+=,因为1234525aaaaa++++=,即125425aaa++=,所以224a.若22a=
,则1341,6aaa=+=,无法找到满足题意的3a和4a;若23a=,则349aa+=,可得344,5aa==,所以1513aa+=,则15112aa==或15211aa==;若24a=,则3412aa+=
,可得345,7aa==,所以159aa+=,则1518aa==.故5a的值为8或11或12.故答案为:8(或11或12写对一个即可).16.在直四棱柱1111ABCDABCD−中,底面ABCD是边长为2的正方形,122,,AAM
N=分别为1AA和11CD的中点,则三棱锥BMNC−外接球的表面积为__________.【答案】13π【解析】【分析】作出辅助线,找到球心的位置,结合题目条件求出半径,得到答案.【详解】如图,取E为1
1AB的中点,连接,,EMEBEN,则四边形EBCN为矩形,故,,,EBCN四点共圆.因为底面ABCD是边长为2的正方形,122,,AAMN=分别为1AA和11CD的中点,所以2211213MEAMAE=+=
+=,22246MBAMAB=+=+=,2211813BEBBBE=+=+=,所以222MEMBBE+=,即EMB△为直角三角形,又BC⊥平面EMB,所以三棱锥BMNC−外接球的球心即四边形EBCN的外心,设三棱锥BMNC−的外接球半径为R,则222244913RBNENBE==+=
+=,故所求外接球的表面积为24π13πR=.故答案为:13π【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆
的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数121i,3izz=+=−(1)求12zz;(2)若
3z=,且复数z的虚部等于复数21zz−的虚部,复数z在复平面内对应的点位于第三象限,求复数z.【答案】(1)22(2)52iz=−−【解析】【分析】(1)根据题意,求得()123131izz=++−,进而求得12zz的值;(2)根据题
意,设()2iRzaa=−,结合3z=,列出方程求得a,进而求得复数z.【小问1详解】解:由复数121i,3izz=+=−,可得()()()121i3i3131izz=+−=++−,所以2212(31)(31)822zz=++
−==.【小问2详解】解:由题意,可得()21312izz−=−−,因为复数z的虚部等于复数21zz−的虚部,可设()2iRzaa=−,又3z=,可得249a+=,解得5a=或5a=−,又因为复数z在复平面内对应的点位于第三
象限,所以5a=−,故52iz=−−.18.在某次演讲比赛中,由两个评委小组(分别为专业人士(记为小组A)和观众代表(记为小组B))给参赛选手打分,根据两个评委小组给同一名选手打出的分数,绘制出如图所示的折线图.(1)分别计算小组A和小组B打分的平均数和方差;(
2)计算该选手所有分数的平均数和方差.【答案】(1)平均数9;8;方差15;23(2)平均数425,方差3625【解析】【分析】(1)运用平均数、方差公式计算即可.(2)运用分层抽样的平均数、方差公式计算即可.小问1详解】小组A打分的平均数19891094x+++=
=,小组B打分的平均数2109878686x+++++==,小组A打分的方差22222111(99)(89)(99)(109)42s=−+−+−+−=,小组B打分的方差222222221(108)(98)(88)(78)(88)(68)6s=−+
−+−+−+−+−53=.小问2详解】该选手所有分数的平均数324289555x=+=,该选手所有分数的方差22235422142368953552525s=+−++−=
.19.为了解某小区居民的体育锻炼时间,随机在该小区选取了100名住户,将他们上周体育锻炼的时间(单位:时)按照)0,2、)2,4、)4,6、)6,8、8,10分成5组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)
求图中a的值并估计样本数据的第75百分位数;(2)按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在)2,4、)4,6的住户中选取5人,再从这5人中任意选取2人,求这2人上周体育锻炼时间都不低于4小时的概率.【答案】(1)0.125a=,第75百分位数为7.2【【(2)310【解析】【分析】
(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a的值,再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第75百分位数;(2)分析可知,按分层随机抽样的方法选取5人,上周体育锻炼时间在)2,4的住户被抽取
2人,记为a、b,体育锻炼时间在)4,6的住户被抽取3人,记为A、B、C,列举出所有的基本事件,并确定所求事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【小问1详解】解:()0.050.0750.10.
1521a++++=,解得0.125a=.设样本数据的第75百分位数为x,因为样本数据在)0,6的频率为()20.050.10.150.60.75++=,样本数据在)0,8的频率为()20.050.10.150.1250.850.
75+++=,则()6,8x,所以()0.60.12560.75x+−=,解得7.2x=,故估计样本数据的第75百分位数为7.2.【小问2详解】解:上周体育锻炼时间在)2,4的频数为0.1210020=,上周体育锻炼时间在)4,6的
频数为0.15210030=,按分层随机抽样的方法选取5人,则上周体育锻炼时间在)2,4的住户被抽取205250=人,记为a、b,体育锻炼时间在)4,6的住户被抽取305350=人,记为A、B、C,所以从这5人中随机抽取2人的情况有ab、aA、aB、a
C、bA、bB、bC、AB、AC、BC,共10种,其中,事件“所抽取的2人上周体育锻炼时间都不低于4小时”包含的情况有AB、AC、BC,共3种,则所求的概率310P=.20.在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,,3sin
cosabccBbbC=−.(1)求C的大小;(2)若sin2sinBA=,点D满足22,3ADDBCD==,求ABC的面积.【答案】(1)2π3(2)32【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角,结合三角函数同角关系式求解;(2)由正弦定理得2ba=,由2ADDB=,可得1233CDCACB=
+,两边平方后结合数量积运算求得,ab,利用三角形面积公式求得结果.【小问1详解】因为3sincoscBbbC=−,所以3sinsin(1cos)sinCBCB=−,又sin0B,所以3sin1cosCC
=−,结合22sincos1CC+=,解得31sin,cos22CC==−,因为(0,π)C,所以2π3C=.【小问2详解】因sin2sinBA=,所以2ba=.由2ADDB=,可得2212()3333CDCAADCAABCACBCACACB=+=+=+−=+,则222144999CDCACBC
ACB=++,即2241429999baab=+−,解得1,2ab==.所以ABC的面积为12π312sin232=.21.如图,在直四棱柱1111ABCDABCD−中,12AA=,底面ABCD是直角梯形,A
BAD⊥,ABCD∥,4AB=,3AD=,1DC=,点M为AB上一点,且1AM=.为(1)证明:平面1MCC⊥平面11DCCD.(2)点N是11BC上一点,且//MN平面11ACCA,求四面体1MNBB的体积.【答案】(1)证明见解
析(2)334【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理可证明CM⊥平面11DCCD,再结合直四棱柱的性质根据面面垂直的判定定理即可证明平面1MCC⊥平面11DCCD;(2)根据面面平行的判定定理可确定1332BN=,再由锥体体积公式即可求得四面体1MNBB的体积
为334.【小问1详解】证明:因为1AM=,所以AMCD=,AMCD∥,又ABAD⊥,所以四边形ADCM为矩形,即DCCM⊥.由题可知1CC⊥平面ABCD,CM平面ABCD,所以1CCCM⊥,又1CCDCC=,所以CM⊥平面11DCCD,因为CM平面1MCC,所以平
面1MCC⊥平面11DCCD.【小问2详解】作MPAC∥,交BC于点P,连接NP,如下图所示:易知2,23ACBC==,则34BMBPMPBABCAC===,即可得333,22BPMP==;因为MP平面11,ACCAAC平面11ACCA,所以//MP平面11ACCA,因为//
MN平面11ACCA,又MNMPM=,所以平面//MNP平面11ACCA.平面11BCCB平面MNPNP=,平面11BCCB平面111ACCACC=,所以1//NPCC.因为332BP=,所以1332BN=.又易知AC⊥平面11BCCB,则MP⊥平面11BCCB,所以M
P即为四面体1MNBB的高;所以四面体1MNBB的体积为1133333232224=.22.在平面直角坐标系中,位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向只能是向上、向下、向左、向右,并且向上、向下移动的概率
都是13,向左移动的概率为m,向右移动的概率为13m−.(1)若16m=,点P移动两次后,求点P位于()1,1的概率;(2)点P移动三次后,点P位于()0,1的概率为()fm,求()fm的最大值.【答案】(1)19(2
)16【解析】【分析】(1)P点向上向右各平移一次,或者向右向上各平移一次,计算概率得到答案.(2)P可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次,确定()211266fmm=−−+,计算最值得到答案.【小问1详解】P点向上向右各平移一次,或者向右向上各平移一次,概率111113
6639p=+=【小问2详解】P可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次,故()223123311112111AA2233333966fmmmmmm=−+=−++=−−+,()max1166
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