【文档说明】【精准解析】四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题.doc，共(24)页，2.703 MB，由管理员店铺上传

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泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试数学（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.集合{|20}NAxxB=−=，，则AB=（）A.1B.1,2C.0,1D.0,1,2【答案】D【

解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】|2Axx=，故0,1,2AB=，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2.i为虚数单位,则32i1i−的虚部为（）A.i−B.iC.1−D.1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可

.【详解】()()()()32122111111iiiiiiiiiii−+−===−+=−−−−+，故虚部为1−.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),abiabR+的虚部为b，不是bi，本题为基础题，也是易错题.3.已知直线2

:0lxmy+=与直线:0nxym++=则“//ln”是“1m=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的

关系.【详解】若//ln，则2111m=，故1m=或1m=−，当1m=时，直线:0lxy+=，直线:10nxy++=，此时两条直线平行；当1m=−时，直线:+0lxy=，直线:10nxy+−=，此时两条直

线平行.所以当//ln时，推不出1m=，故“//ln”是“1m=”的不充分条件，当1m=时，可以推出//ln，故“//ln”是“1m=”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要

不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22列联表，由计算得27.218K,参照下表:20()PKk0.010.050.0250.01

00.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D.

在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.2186.635K

，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5.若1tan2=，则cos2=()A.45−B.35-C.45D.35【答案】D【解析】【分析】直接利

用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵1tan2=，∴22222211cossin1tan34cos21cossin1tan514−−−====+++，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算

能力和转化能力，属于基础题型．6.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12πB.32C.2D.3【答案】B【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体

如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213，故原几何体的体积为32.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来

求其体积，本题属于基础题.7.函数()32fxxxx=−+的图象在点()()1,1f处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】求出函数在1x=处的导数后

可得曲线在()()1,1f处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】()2321fxxx=−+，故()12f=，所以曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程为：()()21121yxfx=−+=−.令0x=，则1y=−，故切线的纵截距为1−.故选：A.【点睛】本题

考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种

不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A.20B.24C.25D.26【答案】D【解析】【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数

为23455555CCCC+++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126CCCC+++=++=（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.9.把函数

()sin2(0)6fxAxA=−的图象向右平移4个单位长度，得到函数()gx的图象，若函数()()0gxmm−是偶函数，则实数m的最小值是（）A.512B.56C.6D.12【答案】A【解析】【分析】先求出

()gx的解析式，再求出()()0gxmm−的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m满足的等式，从而可求其最小值.【详解】()sin2(0)6fxAxA=−的图象向右平移4个单位长度

，所得图象对应的函数解析式为()2sin2sin2263gxAxAx=−−=−，故()2sin223gxmAxm−=−−.令22232xmk−−=+，kZ，解得7122kxm=++，kZ.因为()ygxm=−为偶函数，故直线0x=为

其图象的对称轴，令07122++=km，kZ，故7122km=−−，kZ，因为0m，故2k−，当2k=−时，min512m=.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意

平移变换是对自变量x做加减，比如把()2yfx=的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122yfxfx=−=−，另外，如果xm=为正弦型函数()()sinfxAx=+图象的对称轴，则有()=fmA，本题属于中档题

．10.已知椭圆2222:1xyCab+=的短轴长为2，焦距为1223FF，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1211PFPF+的取值范围为（）A.1,2B.2,3C.2,4D.1

,4【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PFPF+=，利用二次函数的性质可求1214PFPF，从而可得1211PFPF+的取值范围.【详解】由题设有1,3bc==，故2a=，故椭圆22:14xCy+=，因为点P为C上的任意一点，故124PF

PF+=.又()12121212111144=4PFPFPFPFPFPFPFPFPFPF++==−，因为12323PF−+，故()11144PFPF−，所以121114PFPF+.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10xyCa

bab+=的左、右焦点分别是12FF、，点P为C上的任意一点，则有122PFPFa+=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11.正ABC的边长为2，将它沿BC边上的高AD

翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD−的外接球表面积为（）A.103B.4C.133D.7【答案】D【解析】【分析】如图所示，设AD的中点为2O，BCD的外接圆的圆心为1O，四面体ABCD−的外接球的球心为O，连接12,,O

OOOOD，利用正弦定理可得11DO=，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OODO为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD的中点为2O，BCD外接圆的圆心为1O，四面体ABCD−的外接球的球心为

O，连接12,,OOOOOD，则1OO⊥平面BCD，2OOAD⊥.因为1,3CDBDBC===，故231cos2112BDC−==−，因为()0,BDC，故23BDC=.由正弦定理可得13222sin3DO==，故11DO=，又因为3AD=，故232DO=.因为,,ADDBA

DCDDBCDD⊥⊥=，故AD⊥平面BCD，所以1//OOAD，因为AD⊥平面BCD，1DO平面BCD，故1ADDO⊥，故21//OODO，所以四边形21OODO为平行四边形，所以1232OODO==，所以37142OD=+=，故外接球的

半径为72，外接球的表面积为74=74.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的

球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.12.过双曲线()2222:10,0xyCabab−=左焦点F的直线l交C的左支于,AB两点，直线AO（O是坐标原点）交C的右支于点D，若DFAB⊥，且BFDF=，则C的离心率是（）A.52B.2C

.5D.102【答案】D【解析】【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F，连接2DF并延长交右支于C，连接FC，设2DFx=，利用双曲线的几何性质可以得到2DFxa=+，4FCxa=+，结合RtFDC、2RtFDF可求离心率.【详解】如图，

设双曲线的右焦点为2F，连接FC，连接2DF并延长交右支于C.因为2,==FOOFAOOD，故四边形2FAFD为平行四边形，故2FDDF⊥.又双曲线为中心对称图形，故2FCBF=.设2DFx=，则2DFxa=+，故22FCxa=+，故4FCxa=

+.因为FDC为直角三角形，故()()()2224222xaxaxa+=+++，解得xa=.在2RtFDF中，有22249caa=+，所以51022cea===.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来

构造关于,,abc的方程，本题属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.()621x−的展开式中2x的系数为__________（用具体数据作答）.【答案】60

【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求2x的系数.【详解】()621x−的展开式的通项公式为()()61621rrrrTCx−+=−，令62r−=，故4r=，故2x的系数为()44261260C−=.故答案为：60.【点睛】本题考

查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.14.已知变量x，y满足约束条件02346xyxyxy−+−−，则2zxy=−的最小值为__________．【答案】-5【解析】【分析】画出x

，y满足的可行域，当目标函数2zxy=−经过点A时，z最小，求解即可．【详解】画出x，y满足的可行域，由2346xyxy+=−=−解得()1,2A−，当目标函数2zxy=−经过点()1,2A−时，z取得最小值为-5.【点睛】本题

考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在

可行域的端点或边界上取得．15.ABC的角,,ABC所对的边分别为,,abc，且222cabab=+−，sinsin26sinsinABAB+=，若3c=，则+ab的值为__________.【答案】32【解析】【分析】先利用余弦定理求出C，再用正弦定理求出2R并把sinsin26sins

inABAB+=转化为与边有关的等式，结合222cabab=+−可求+ab的值.【详解】因为222cabab=+−，故222cos122abcCab+−==，因为()0,C，所以3C=.由正弦定理可得

三角形外接圆的半径R满足322332R==，所以23sin23sin223sin23sinABAB+=即2abab+=.因为()()()22223293+2abababababab=+−=+−=+−，解得32a

b+=或322ab+=−（舍）.故答案为：32.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.16.已知变量()12,0,xxm(m>0)，且12xx，若2112xxxx恒成立，则m的最大

值________．【答案】e【解析】【分析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝lnxx，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【详解】不等式两边同时取对数得2112lnlnxxxx，即x2l

nx1＜x1lnx2，又()12,0,xxm即1212lnlnxxxx成立，设f（x）＝lnxx，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数221xlnx1lnxx()xxfx

−−==，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关

键三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列na的前n项和nS和通项na满足()*21NnnSan+=.（1）求数列na的通项公

式；（2）已知数列nb中，113ba=，11nnbb+=+()*Nn，求数列nnab+的前n项和nT.【答案】（1）()*1N3nnan=；（2）()()2*1111N223nnTnnn=++−

【解析】【分析】（1）当2n时，利用1nnnaSS−=−可得()1123nnana−=，故可利用等比数列的通项公式求出na的通项.（2）利用分组求和法可求数列nnab+的前n项和nT.【详解】（1）当1n=时，1121Sa+=

，所以113a=，当2n时，21nnSa+=，①1121nnSa−−+=，②所以()1120nnnnSSaa−−−+−=，即13nnaa−=，又因为1103=a，故0na，所以()1123nnana−=，所以na是首项113a=，公比为13的等比数列，故()1*111N333

nnnan−==.（2）由11nnbb+=+得：数列nb为等差数列，公差1d=，11313b==，()111nbnn=+−=，()()()1122nnnTababab=++++++()()1212nnaaabbb

=+++++++()12nSn=++++()111322nnn−+=+()()2*1111N223nnnn=++−.【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构

形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.三棱柱111ABCABC−中，平面11

AABB⊥平面ABC，114223ABAAABBCAC=====，，，点F为棱AB的中点，点E为线段11AC上的动点.（1）求证：EFBC⊥；（2）若直线1BE与平面11AFC所成角为60，求二面角11EBBA−−的正切值

.【答案】（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）可证BC⊥面1AEF，从而可得EFBC⊥.（2）可证点E为线段11AC的三等分点，再过E作11EGAB⊥于G，过G作1GHBB⊥，垂足为H，则EHG为二面角11EBBA−−的平面角，利用解直角三角形的方法可求ta

nEHG.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求tanEHG.【详解】证明：（1）因为11,ABAAABF==为AB中点，所以1AFAB⊥.因为平面11AABB⊥平面ABC，平面1

1AABBÇ平面ABCAB=，1AF平面11AABB，所以1AF⊥平面ABC，而BC平面ABC，故1AFBC⊥，又因为222BCACAB+=，所以BCAC⊥，则111,⊥⊥BCACBCAE，又1111=ACAEA，故BC⊥面1AEF，又EF面1AEF，所以BCEF⊥.（2）由（1）

可得：11BC⊥面111,AFCBE在面11AFC内的射影为11AC，则11BEC为直线1BE与平面11AFC所成的角，即1160BEC=.因为BCAC⊥，所以1111112BCACBC⊥=，，所以1233EC=，所以1433AE=，即点E为线段11AC的三等分点.解法一：过E作11

EGAB⊥于G，则EG⊥平面1AB，所以1EGBB⊥，过G作1GHBB⊥，垂足为H，则EHG为二面角11EBBA−−的平面角,因为233EG=，12AG=，3232GH==，则在RtEHG中，有2323tan33EGEHGGH===，所以二面角11EBBA−−的

平面角的正切值为23.解法二：以点F为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()110,2,0,(0,0,23),0,2,0,(0,4,23),(3,1,0)−AABBC，设点()000,,Exyz，由1112233==AEA

CAC得：()0002(,,23)3,3,03xyz−=，即0233x=，02y=，023z=，点23,2,233E，平面11AABB的一个法向量()1,0,0m=，又23,0,233=BE，11(0,2,23)==BBAA

，设平面1EBB的一个法向量为(,,)nxyz=，则2323032230xyyz+=+=，令3x=，则平面1EBB的一个法向量为(3,3,1)=−n.设二面角11EBBA−−的平面角为，则3cos13m

nmn==，即2tan3=，所以二面角11EBBA−−的正切值为23.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空

间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.在直角坐标系xOy中，已知点()1,0P，若以线段PQ为直径的圆与y轴相切.（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）若C上存在两动点AB，（A，B在x轴异侧）

满足32=OAOB，且PAB△的周长为22AB+，求AB的值.【答案】（1）24yx=；（2）48AB=【解析】【分析】（1）设(),Qxy，则由题设条件可得()221122+−+=xxy，化简后可得轨迹C的方程.（2）设直线:ABxmyn=+，联立

直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32=OAOB并求得8n=，结合焦半径公式及弦长公式可求m的值及AB的长.【详解】（1）设(),Qxy，则圆心的坐标为1,22xy+，因为以线段PQ为直径的圆与y轴相切，所以()221122+−+=xxy

，化简得C的方程为24yx=.(2)由题意0ABk，设直线:ABxmyn=+，联立24yx=得2440ymyn−−=，设()()1122,,ABxyxy，（其中120yy）所以124yym+=，124yyn=−，且0n，因为32=OAOB，所以22121212123216

=+=+=yyOAOBxxyyyy，2432nn−=，所以()()840nn−+=，故8n=或4n=−（舍），直线:8ABxmy=+，因为PAB的周长为22AB+所以22PAPBABAB++=+.即2PAPBAB+=+，因为()21212218418PA

PBxxmyym+=++=++=+.又2121ABmyy=+−()2214128mm=++()()22418mm=++，所以()()2224184182mmm+=+++，解得22m=，所以()()()()224184188848ABmm

=++=++=.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最

后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.20.为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随

机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布(),210N，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用

正态分布的知识求(3679.5)PZ；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）1020概率2

313市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①21014.5；②若()2~,XN；则()0.6827PX−+=，()22

0.9545PX−+=，()330.9973PX−+=.【答案】（1）0.8186；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解析】【分析】（1）根据正态分布的性质可求()3679.5PZ的值

.（2）设某家长参加活动可获赠话费为X元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05=++

++++0.8756.751116.2516.8758.54.7565=++++++=又36652210−，79.565210+，所以()3679.5PZ110.95450.682722=+0.81

86=；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为12，得10元的情况为低于平均值，概率121233P==，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一

次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率1112272323318P=+=，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为1212122339PC==，得40元的其

情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为111123318P==.所以变量X的分布列为：X10203040P1371829118某家长获赠话费的期望为()17211020304020318918EX=+++=.所以估计此次活动可能赠送出100

000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.21.已知函数()()()sin12lnxfxgxmxxx==−−，.（

1）求证：当(0,x时，()1fx；（2）若对任意(00,x存在(10,x和(2120,()xxx使()()()120gxgxfx==成立，求实数m的最小值.【答案】（1）见解析；（2）2ln11+−【解析】【分析

】（1）不等式()1fx等价于(sin,0,xxx，设()(sin,0,pxxxx=−，利用导数可证()0px恒成立，从而原不等式成立.（2）由题设条件可得()()0gxfx=在(0,上有两个不同零点，且

)()(0,1,0,yygxx=，利用导数讨论()gx的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得m的取值范围.【详解】（1）设()sinpxxx=−，则()cos1pxx=−，当(0,x时，由()0px，所以()px在

(0,上是减函数，所以()()00pxp=，故sinxx.因为(0,x，所以sin1xx，所以当(0,x时，()1fx.（2）由（1）当(0,x时，()01fx；任意(00,x，存在(10,x和(2120,()xxx

使()()()120gxgxfx==成立，所以()()0gxfx=在(0,上有两个不同零点，且)()(0,1,0,yygxx=，（1）当0m=时，()2lngxx=−在(0,上为减函数，不合题意；（2）当0m时，()2mxgxx=−，由题意知()g

x在(0,上不单调，所以20m，即2m，当20,xm时，()0gx，2,xm时，()0gx，所以()gx在20,m上递减，在2,m上递增，所以()()12ln1gm=−−，解得2ln11m

+−，因为1(0,]，所以()210ggm=成立，下面证明存在20,tm，使得()1gt，取mte−=，先证明2mem−，即证20mem−，令()2mhmem=−，则()210mhme−=在(0,)+时恒成立，所以2200mem−−

成立，因为()2ln121111mmgememm−−++=+−−，所以2ln11m+−时命题成立.因为2ln12ln22111+−−−，所以2ln11m+−.故实数m的最小值为2ln11+−.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、

等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.22.在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxy

==+为参数)M是曲线1C上的动点，点P满足2OPOM=.（1）求点P的轨迹方程2C；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3=与曲线12,CC交于不同于原点的点,AB求AB.【答案】（1）4cos44sinx

y==+()为参数；（2）23.【解析】【分析】(1)先设出点P的坐标,然后根据点P满足的条件代入曲线1C的方程即可求出曲线2C的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C的极坐标方程,分别求出射线3=与1C的交点A的极径为1,以

及射线3=与2C的交点B的极径为2,最后根据21||AB=−求出所求.【详解】（1）设(),Pxy,则由条件知,22xyM.由于M点在1C上,所以2cos2()22sin2xy=

=+为参数即4cos44sinxy==+()为参数从而2C的参数方程为4cos44sinxy==+()为参数.(2)曲线1C的极坐标方程为4sin=,曲线2C的极坐标方程为8sin=.射线3=与1C的交点A的极径为14

sin3=,射线3=与2C的交点B的极径为28sin3=.所以21||23AB=−=.【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可

以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．23.已知()13fxxx=+++.（1）解不等式()6fx；（2）若,,abc均为正数，且()()10fafbc++=，求222

abc++的最小值.【答案】（1）()5,1−；（2）49【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求222abc++的最小值.【详解】（1）()24,12,3124,3xx

fxxxx+−=−−−−−，由()6fx得1246xx−+或3126x−−或3246xx−−−，解得()5,1x−.（2）()()()()242410fafbcabc++=++++=，所以222abc++=，由柯西不等式

()()()2222222123123112233aaabbbababab++++++得：()()()222222222122abcabc++++++所以()()22229224abcabc++++=，即22249abc++（当且仅当429ab

c===时取“=”）.所以222abc++的最小值为49.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求

解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.