【文档说明】广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷 含解析.docx，共(25)页，1.617 MB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前试卷类型：B2023年广州市部分普通高中毕业班综合测试（二）数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔

作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.1.若a为实数，且7i2i3ia+=−+，则=a（）A.2B.1C.1−D.2−答案：C解析：由题意得，()()2i3i7i1iia−+−−===−，故选：C．2.已知集合32,Ax

xnn==−N，6,7,10,11B=，则集合AB的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：因为32,Axxnn==−N，6,7,10,11B=，则7,10AB=，故集合AB的元素个数为2.故

选：B.3.已知两个非零向量a，b满足3ab=，()abb+⊥，则cos,ab=（）A.12B.12−C.13D.13−答案：D解析：因为()abb+⊥，所以()0abb+=，所以20abb+=，所以2abb=−，22

1cos,33bbababababbb−−====−，故选:D.4.已知233a=，342b=，134c=，则（）A.c<a<bB.b<c<aC.bacD.cba答案：D解析：由213339a==，314428b==，134c=，则

111334889ba=，ca，又14223loglog84b==，13222loglog43c==，则22loglogcb，即cb，所以cba．故选：D．5.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四

棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A.223B.23C.255D.25答案：A解析：如图：正四棱台，由题意可知：

O是底面正方形的中心也是球O的球心，且50,40ROBOO===,所以502,BC=2222504030OBROO=−=−=,进而可得302,BC=取BC的中点为N，过BC的中点P作PMON⊥，连接PN,

所以11522OMOPBA===,12522ONBA==,故102MNONOM=−=,在直角三角形PMN中，40tan22,102PMPNMMN===故22sin3PNM=，由于,PNBCONBC⊥⊥,所以PNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为223，故

选：A6.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab），过点(),0a−且方向向量为()1,1n=−的光线，经直线yb=−反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）A.35B.23C.34D.45答案：A解析：设过点(),0Aa−且方向向量为()1,1n=−的光线，经直线yb=

−的点为B，右焦点为C.因为方向向量()1,1n=−的直线斜率为1−，则45CAB=，1ABk=−，又由反射光的性质可得1BCk=，故ABBC⊥，所以ABC为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又ACca=+，故2acb+=，()22222244acacbac++==−，则(

)()350acac−+=，故35ac=，离心率35cea==.故选：A7.已知函数()()sin2fxx=+，若()π3fxf≤恒成立，且()ππ4ff，则()fx的单调递增区间为（）A.

π2ππ,π63kk++（kZ）B.πππ,π63kk轾犏-+犏臌（kZ）C.πππ,π36kk−+（kZ）D.2πππ,π36kk−−（kZ）答案：D解析：因为()π3fxf≤恒成立，所以(

)maxπ13ffx==，即2πsin13+=，所以2ππ2π32k+=+或2π3π2π,Z32kk+=+，所以π2π6k=−+或5π2π,Z6kk=+，当π2π,Z6kk=−+时，()π1ππππ3πsin2π2π,sin2πsin

6242632fkfk=+−=−=+−==，则()ππ4ff，与题意矛盾，当5π2π,Z6kk=+时，()5π1ππ5π5π3πsin2π2π,sin2πco

s6242662fkfk=++==++==−，符合题意，所以5π2π,Z6kk=+，所以()5π5πsin22πsin266fxxkx=++=+

，令π5π2π2π2π622xkk+−++，得2ππππ,Z36kxkk−−++，所以()fx的单调递增区间为2πππ,π36kk−−（kZ）.故选：D8.已知偶函数()fx与其导函数()fx的定义域均为R，且()exfxx−++也是偶函数，

若()()211fafa−+，则实数a的取值范围是（）A.(),2−B.()0,2C.()2,+D.()(),02,−+答案：B解析：因为()fx为偶函数，则()()=fxfx−，等式两边求导可得()()fxfx=−−，①因为函数()exfxx−

++为偶函数，则()()eexxfxxfxx−++=−+−，②联立①②可得()ee2xxfxx−−=−，令()()gxfx=，则()ee1ee102xxxxgx−−+=−−=，且()gx

不恒为零，所以，函数()gx在R上为增函数，即函数()fx在R上为增函数，故当0x时，()()00fxf=，所以，函数()fx在)0,+上为增函数，由()()211fafa−+可得()()211fafa−+，所以，211aa−+，整理可得220aa−，解

得02a.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为

2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该

零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为13答案：BC解析：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第

i台车床加工的零件，则1(|)8%PAB=，2(|)3%PAB=，3(|)2%PAB=，1()10%PB=，2()40%PB=，3()50%PB=，对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008PABPABPB===，故A错误；对于B，任取一个零

件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03PAPABPABPAB=++=++=，故B正确；对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98PABPAB

=−=−=，故C正确；对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033PABPABPBPBAPAPA−=−==−=，故D错误．故选：BC．10.已知函数()2414xfxx=−+的定义域是

,ab（a，bZ），值域为0,1，则满足条件的整数对(),ab可以是（）A.()2,0−B.()1,1−C.()0,2D.()1,2-答案：ACD解析：显然()2414xfxx=−+是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为0,1，且a，bZ,则2

a=−，0,1,2b=；1a=−，2b=；0a=，2b=.故选：ACD.11.已知双曲线()222:0xyaa−=的左，右焦点分别为1F、2F，过2F的直线l与双曲线的右支交于点B、C，与双曲线的渐近线交于

点A、D（A、B在第一象限，C、D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若BCx⊥轴，则1BCF△的周长为6aB.若直线OB交双曲线的左支于点E，则1//BCEFC.AOD△面积的最小值为24aD.1ABBF+的取值范围为()3,a+答案：BD解析

：双曲线的标准方程为22221xyaa−=，则222caaa=+=，易知点()12,0Fa−、()22,0Fa，双曲线的渐近线方程为yx=.对于A选项，当BCx⊥轴，直线BC的方程为2xa=，联立2222xaxya=−=，可得2xaya==，此时，2BCa=

，则()()11222246BFCFBFaCFaBCaa+=+++=+=，此时，1BCF△的周长为118BCBFCFa++=，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线上，因为若直线OB交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，即BE、12

FF的中点均为原点，故四边形12BFEF为平行四边形，所以，12//EFBF，即1//EFBC，B对；对于C选项，易知OA的方程为yx=，OD的方程为yx=−，所以，OAOD⊥，因为直线l与双曲线的右支

交于点B、C，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为2xmya=+，设点()11,Bxy、()22,Cxy，联立2222xmyaxya=+−=可得()2221220mymaya−++=，则()()

222222210Δ841410mmamaam−=−−=+，解得1m，由韦达定理可得122221mayym+=−−，212201ayym=−，可得11m−，联立2xmyayx=+=可得21axym==−，即点22,11aaAmm−−，联立

2xmyayx=+=−可得21axm=+，21aym=−+，即点22,11aaDmm−++，所以，22111AaOAxm=+=−，()22111DaODxm=+−+，所以，222221222211AODaaSOAODamm===−−△，当且仅当0

m=时，等号成立，C错；对于D选项，()2212222122122211amABBFABBFaAFamaaamm++=++=+=++=+−−22212222121212mmaaaammmm+=+=

+++−+−，当0m=时，122ABBFaa+=+，当01m时，12222122121122mABBFaaaammmm+=++=+++−+−，因为函数12ymm=+−在()0,1上单调递减，此时()1221222,12ABBFaaaamm

+=+++++−，当10m−时，因为函数12ymm=+−在()1,0−上单调递减，此时()122123,2212ABBFaaaaamm+=++++−，综上所述，1ABBF+的取值范围是()3,a+，D对.故选：BD.12.已知正四面体ABCD−的棱长为2，点

M，N分别为ABC和ABD△的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A.若APBP+取得最小值，则CPPN=B.若3CPPN=，则DP⊥平面ABCC.若DP⊥平面ABC，则三棱锥−PABC外接球的表面积为27π2D.直线MN到平面ACD

的距离为269答案：BCD解析：将正四面体ABCD−放入正方体DEBFGAHC−中，以点D为原点，以DE，DF，DG所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，因为正四面体ABCD−的长为2，所以正方体的棱长为2，则(2,0,2)A，(2,2,0)B，(0,2,2)C，因为点M，N分

别为ABC和ABD△的重心，所以点N的坐标为2222(,,)333，点M的坐标为222222(,,)333所以222222(,,)333NC=−设NPNC=，则NP=222222(,,)333−，所以2222222222(,,)333333OPONNP=

+=−++，所以2222222222(,,)333333AP=−−+−+，2222222222(,,)333333BP=−−−++，对于Ａ：因为2222214(2882888168)(21)93AP=++++++−+=+，2222214(28

88168288)(21)93BP=+++−++++=+，所以2224443(21)(21)21333APBP+=+++=+，当0=时，即CPCN=，0PN=，取得最小值433，故A错误；对于B：若3CPPN

=，则14NPNC=，所以222(,,)222OP=，因为(0,2,2)BA=−，(2,0,2)BC=−，设平面ABC的一个法向量为1(,,)nxyz=，则220220yzxz−+=−+=，取1

x=，则1(1,1,1)n=，因为122OPn=，所以OP⊥平面ABC，即DP⊥平面ABC，故B正确；对于C：若DP⊥平面ABC，则NP=222(,,)666−，即66NP=，2222(,,)333AN=−，即233AN=，设平面ABO的一个法向量为2(,,)nxyz=，因为(2,0,2)OA

=，(2,2,0)OB=，则220220xzxy+=+=，取1x=，则2(1,1,1)n=−−，因为226NPn=−，所以NP⊥平面ABO，则三棱锥−PABC外接球的球心在直线NP上，又因为点N为等边三角形ABO的重心，所以点N为等边三角形ABO的外心，AB

O外接圆半径为233AN=，设三棱锥−PABC外接球的半径为R，则222()RRNPAN=−+，即2264()63RR=−+，解得364R=，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为227π4π2R=，故C选项正确；对于D：因为点N的坐标为2222(,,)3

33，点M的坐标为222222(,,)333，所以22(0,,)33MN=−−，设平面ACD的一个法向量为3(,,)nxyz=，因为(2,0,2)OA=，(0,2,2)OC=，所以220220xzyz+=+=

，取1x=，则3(1,1,1)n=−，因为30MNn=，且直线MN平面ACD，所以直线//MN平面ACD，所以点N到平面ACD的距离就是直线MN到平面ACD的距离，则点N到平面ACD的距离332226393ONndn===，即直线MN到平面ACD的距离为269，故D正确，故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布()280,N，且成绩在80,90上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.答案：8解析：由X（

单位：分）服从正态分布()280,N，知正态密度曲线的对称轴为80x=，成绩在80,90上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168−=.故答案为

：814.已知*nN，21nxx−的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.答案：3（答案不唯一）解析：二项式21nxx−的展开式的通项为()3121C1C,0,1,2

,,rrrnrrnrrnnTxxrnx−−+=−=−=，因为二项式21nxx−的展开式中存在常数项，所以30nr−=有解，即3nr=，可得n的一个值为3.故答案为：3（答案不唯一）15.在数列na中，12a=，mnmn

aaa+=+，若1440kkaa+=，则正整数k=____________．答案：10解析：由12a=，mnmnaaa+=+，令1m=，则112nnaaa+−==，所以数列na是以2为首项，2为公差的等差数列

，即()2122nann=+−=，又k为正整数，所以()1221440kkaakk+=+=，即()1110kk+=，解得10k=或11k=−（舍去）．故答案为：10．16.在平面直角坐标系xOy中，定义()1212,

dABxxyy=−+−为()11,Axy，()22,Bxy两点之间的“折线距离”.已知点()1,0Q，动点P满足()1,2dQP=，点M是曲线21yx=上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，

(),dPM的最小值为___________答案：①.12##0.5②.133212−解析：设(),Pxy，()1,12dQPxy=−+=，当1,0xy时，则112xy−+=，即302xy+−=，当1,0xy时，则112xy−−

=，即302xy−−=，当1,0xy时，则112xy--=，即102xy+−=当1,0xy时，则112xy−+=，即102xy−−=，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：则111142222S==.如下图，设()00,Pxy，()11,Mxy，

显然10xx，10yy，()()101010101100,dPMxxyyxxyyxyxy=−+−=−+−=+−+，求(),dPM的最小值，即11xy+的最小值，00xy+的最大值，又()00max32xy+=，下面求11xy+的最小值，令111211yxyxx=+=+，3

133112210xyxx−=−==，即1312x=，令0y，解得：1312x，令0y，解得：1312x，所以y在13,2−上单调递减，在132,+上单调递增，所以1312x=时，y有最小值，且min2332y=，所以()132min3333,21222

dPM=−=−.故答案为：12；133212−.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设nS是数列na的前n项和，已知30a=，1(1)2nnnnaS++−=.（1）求1a，2a；（2）令12nnnbaa+

=+，求2462nbbbb++++.答案：（1）121,3aa==（2）2122n+−1.由1(1)2nnnnaS++−=得212,aa−=即212,aa=+23242aS+==，即1324aaa+=+，又30a=，所以121,3aa==

，2.当2nk=时，22122kkkaS++=，当21nk=−时，221212kkkaS−−=−，两式相加可得22121221222kkkkkkaSaS+−−=+−++，得221212222kkkkaa−++=+，由于12nnnbaa+=+，所以()()()()32547462622

212222nnnbbbbaaaaaaaa+=++++++++++++()()()()21436522122222222nn−=++++++++()()24621352122222222nn−=+++++++++()()2

1414214221414nnn+−−=+=−−−18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入ix和每件产品成本()1,2,3,,10

iyi=的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：6.8x=，70y=，10113iix==，102111.6iix==，101350iiiyx==.（1）根据散点图可知，可用函数模型byax=+拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方

程；（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为222001005002510yymy=−+++−.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为

何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,uv、()22,uv、L、(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小乘估计分别为：1221ni

iiniiuvnuvunu==−=−，ˆvu=−.答案：（1）20010yx=+（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值1.解：令1ux=，则y关于u的线性回归方程为yu=+，由题意可得122110350

2102001.60.910niniiiiuyuyuu==−−===−−，702000.310yx=−=−=，则10200yu=+，所以，y关于x的回归方程为20010yx=+.2.解：由20010yx=+可得20010xy=−，年利润222002001010010500251010y

yMmxyy=−−=−+++−−−−()212090.8500y=−−+，当20y=时，年利润M取得最大值，此时20020020102010xy===−−，所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润

的预报值取最大值.19.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知coscosbAaBbc−=−.（1）求A；（2）若点D在BC边上，且2CDBD=，3cos3B=，求tanBAD.答案：（1）π3A=（2）tan32BAD=

−1.解：因为coscosbAaBbc−=−，由余弦定理可得22222222bcaacbbabcbcac+−+−−=−，化简可得222bcabc+−=，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc+−==，因为0πA

，所以，π3A=.2.解：因为3cos3B=，则B为锐角，所以，2236sin1cos133BB=−=−=，因为πABC++=，所以，2π3CB=−，所以，2π2π2π331616sinsinsincoscossin333232326CBBB=

−=−=+=+，设BAD=，则2π3CAD=−，在ABD△和ACD中，由正弦定理得3sinsin6BDADADB==，6πsin36sin3CDADADC==+−，因为2CDBD=，上面两个等式相除可得()π

6sin36sin3−=+，得()316cossin36sin22−=+，即()2cos26sin=+，所以，2tantan3226BAD===−+.20.如图，在直三棱柱111A

BCABC-中，13ABACAA===，点D是BC的中点，点E在1AA上，//AD平面1BCE.（1）求证：平面1BCE⊥平面11BBCC；（2）当三棱锥11BBCE−的体积最大时，求直线AC与平面1BCE所成角的正弦值.答案：（1）证明

见解析（2）661.取1BC中点M，连接EM、MD，如图所示：ABAC=，点D是BC的中点，ADBC⊥，又M是1BC的中点，1//DMCC，又在直三棱柱111ABCABC-中，有11//AACC，1AA⊥平面

ABC//DMAE，DM⊥平面ABC，//AD平面1BCE，且AD面ADME，平面ADME平面1BCEEM=，AD//ME，1CC⊥平面ABC，且AD平面ABC，1CCAD⊥，又1CCBCC=，且1CC、BC平面11BBCC，AD

⊥平面11BBCC，又//ADME，ME⊥平面11BBCC，MEQ平面1BCE，面ABC⊥平面11BBCC.2.由（1）知ME⊥平面11BBCC，则111113BBCEBBCVSME−=，设2BCa=，则BDa=，29ADa=

−，1112332BBCSaa==，1122219939322BBCEaaVaa−+−=−=，由基本不等式知，当且仅当29aa=−时等号成立，即三棱锥11BBCE−的体积最大，此时，322a=以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM

所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有32,0,02A，320,,02C−，320,,02B，323,0,22E，1320,,32C−

，3232,,022AC=−−，()10,32,3CB=−，32323,,222BE=−，设平面1BCE的一个法向量为()111,,xnyz=，则有1111113230323230222n

CByznBExyz=−==−+=，取12y=，解得()0,2,2n=，设直线AC与平面1BCE所成的角为，36sincos,6324nAC===+，故直线AC与平面1BCE所成角的正弦值为66.21.

已知点()1,0F，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.答案：（1）24yx=（2）

330xy−−=或330xy+−=1.设(,)Pxy，则以PF为直径的圆的圆心为1,02x+，根据圆与y轴相切，可得()221111222xPFxy+==−+，化简得24yx=，所以C的方程为24yx=2.由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l：()1ykx=−，()

()1122,,,AxyBxy，联立()()2222212204ykxkxkxkyx=−−++==，所以()21212222,1kxxxxk++==，设直线l的倾斜角为，则tan,tan,AMAFBNBF==所以tantantanAMBNAFBFABABk+=

+==，所以()221222224422kkABAFBFxxkk++=+=++=+=，由题意可知四边形为梯形，所以()()()222423381821122AMFBMFkkkABkSSSABAMBNkk+++=+=+===，设0tk=，则()()4233821218tt

Sttttt++==++，所以()()()()242244413323238188tttttSttttt+−+−−=−−==，当()()3,0,tStSt单调递增，当()()

03,0,tStSt单调递减，所以当3t=时，即3k=时，面积最小，此时3k=，故直线的方程为：()31yx=−，即330xy−−=或330xy+−=22.已知函数()()ln1fxx=+，()2gx

axx=+.（1）当1x−时，()()fxgx，求实数a的取值范围；（2）已知*nN，证明：111sinsinsinln2122nnn+++++.答案：（1）0a（2）证明见解析1.解：令()()()ln11hxxxx=+−−，则()

1111xhxxx=−=−++，当10x−时，()0hx，则函数()hx在()1,0−上单调递增，当0x时，()0hx，则函数()hx在()0,+上单调递减，所以，()()max00hxh==，即()ln1xx+，所以，当0a时，()2ln1xxaxx++

，即()()fxgx，当a<0时，取010xa=−，由于()0ln1ln10x+=，而2200110axxaaa+=−−=，得()2000ln1xaxx++，故()()00fxgx，不合乎题意.综上所述，0a.2.证明：当0a=时

，由（1）可得()ln1xx+，则ln1−xx，可得11ln1xx−，即1ln1xx−−，即()1ln11xxx−，令111tx=−，所以，1txt=−，所以，1ln1ttt−，即()()1lnln11tttt−−，所以，()()1lnln1n

knknk+−+−+，0,1,2,,kn，令()()sin0gxxxx=−，则()1cos0gxx=−，且()gx不恒为零，所以，函数()gx在()0,+上单调递增，故()()00gxg=，则()sin0xxx，所

以，()()11sinlnln1nknknknk+−+−++，0,1,2,,kn，所以，111sinsinsin122nnn+++++()()()()()ln1lnln2ln1ln2ln21nnnnnn+−++−+++−−()2ln2lnln2nnnn=−==

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