【文档说明】福建省厦门市思明区湖滨中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.docx，共(19)页，140.668 KB，由小赞的店铺上传

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福建省厦门市思明区湖滨路高中2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知𝑖为虚数单位，复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=1，则𝑧的共轭复数𝑧̅=（）A.12+12𝑖B.12−12𝑖C.−12+1

2𝑖D.−12−12𝑖2.已知向量𝑎⃗=(2,−1,2)，𝐴(−1,𝑥,1)，𝐵(1,−1,1)，若𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，则实数𝑥的值为()A.-5B.0C.-1D.53.如图所示，已知𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平行六面体.设𝐴𝐶

∩𝐵𝐷=𝑀，𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点，若𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥,𝑦,𝑧的值为（）A.𝑥=12,

𝑦=14,𝑧=34B.𝑥=14,𝑦=12,𝑧=34C.𝑥=12,𝑦=34,𝑧=14D.𝑥=34,𝑦=12,𝑧=144.函数y＝xlnx在(0，5)上是()A.单调增函数B.在(0,1𝑒)上单调递

增，在(1𝑒，5)上单调递减C.单调减函数D.在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增5.已知𝑅上可导函数𝑓(𝑥)的图象如图，则不等式𝑓′(𝑥)>0的解集是（）A.(−2,0)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,−1)∪(1,2)D.

(−∞,−1)∪(1,+∞)6.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.12B.-12C.2D.

−√327.若𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10，则𝑏𝑎的值为（）A.−32或−12B.−32或12C.−32D.−128.我国著名数学家华罗庚先生

曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥sin𝑥的图象大致为（）．A.B.C.D.二、多选题（共

4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（）A.(1𝑥)′=1𝑥2B.(𝑥𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥C.(𝑒2𝑥)′=2𝑒2𝑥D.(ln2𝑥)′=2𝑥10.函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的图象如图所示，则

下列说法错误的是（）A.(−1,3)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间B.(3,5)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递减区间C.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=5处取得极小值D.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=0

处取得极大值11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.复数𝑧=3−𝑖的虚部为−𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内𝑧̅对应的点位于第二象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则z

在复平面内对应的点的轨迹为直线12.已知空间四点𝑂(0,0,0),𝐴(0,1,2),𝐵(2,0,−1),𝐶(3,2,1)，则下列说法正确的是（）A.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

−2B.cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=−25C.点O到直线𝐵𝐶的距离为√5D.O，A，B，C四点共面三、填空题（共4题；共20分）13.若𝐴(−1,1,4)，𝐵(1,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷为𝐵𝐶的中点，

|𝐴𝐷|=________.14.函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，则𝑎=________.15.定义在𝑅上的连续函数𝑓(𝑥)满足𝑓(1)=2，且𝑓(𝑥)在𝑅上的导函数𝑓′(𝑥)<1，则不等式𝑓(𝑥)<

𝑥+1的解集为________．16.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数𝑚的取值范围是________．四、解答题（共6题；共70分）17.已知向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角𝜃=3𝜋4，且|𝑎

⃗|=3，|𝑏⃗⃗|=2√2．（1）求𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；（2）求𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值．18.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝑃𝐶的中点，且𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2.（

1）证明：𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸；（2）求二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小.19.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=2处取得极值为𝑐−16.（1）求𝑎、𝑏的值；（2）若𝑓(𝑥)有极大值28，求𝑓(𝑥)在[−3，3]上的最大值.20.某偏

远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为𝑎元，预计当每件产品的售价为𝑥元(3≤𝑥≤8)时，年销量为(9−𝑥)2万件.若每件产品的售价定为6

元时，预计年利润为27万元（1）试求每件产品的成本𝑎的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润𝑦（万元）最大，并求最大值．21.如图1，在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=60°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，将𝛥

𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起到𝛥𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，如图2.（1）求证：𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸；（2）在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷？若存在，求𝐵𝑃𝐵𝐷的值；若不存在，说明理由．22.设函数𝑓

(𝑥)=𝑥22−𝑎ln𝑥,𝑔(𝑥)=(1−𝑎)𝑥．（1）当𝑎=12,𝑥>1时，求证：𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)；（2）若∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立，求实数a的取值范围．答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知𝑖为

虚数单位，复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=1，则𝑧的共轭复数𝑧̅=（）A.12+12𝑖B.12−12𝑖C.−12+12𝑖D.−12−12𝑖【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由𝑧(1+i)=1，得𝑧=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12

i,∴𝑧̅=12+12i。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。2.已知向量𝑎⃗=(2,−1,2)，𝐴(−1,𝑥,1)，𝐵(1,−1,1)，若𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，则实数𝑥的值为()A.-

5B.0C.-1D.5【答案】A【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：由题意得𝐴𝐵→=(2,−1−𝑥,0)，又∵𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，∴2×2+(-1)×(-1-x)+2×0=0解得x=-5故答案为：A【分析】根据向量的坐标运

算，结合向量垂直的充要条件求解即可.3.如图所示，已知𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平行六面体.设𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑀，𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点，若𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+

𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥,𝑦,𝑧的值为（）A.𝑥=12,𝑦=14,𝑧=34B.𝑥=14,𝑦=12,𝑧=34C.𝑥=12,𝑦=34,𝑧=14D.𝑥=34,𝑦=12,𝑧=14【答案】A【考点】平面向量的基

本定理及其意义【解析】【解答】由题知𝑀是𝐵𝐷的中点,所以𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点,所以𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+34(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗)=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗又𝑀𝑁⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以𝑥=12,𝑦=14,𝑧=34。故答案为：A【分析】由题知𝑀是𝐵𝐷的中点,所以𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又因为点𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点,所以𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再结合三角形法则和向量共线定理，从而利用平面向量基本定理和已知条件𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+

𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而求出x,y,z的值。4.函数y＝xlnx在(0，5)上是()A.单调增函数B.在(0,1𝑒)上单调递增，在(1𝑒，5)上单调递减C.单调减函数D.在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增【答案】D【

考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】∵𝑦=𝑥ln𝑥,∴𝑦′=ln𝑥+1，由𝑦′=ln𝑥+1=0，得极值点𝑥=1𝑒,∵𝑥∈(0,5),∴当𝑥∈(0,1𝑒)时，𝑓′(𝑥)<0，函数是单调递减

函数；当𝑥∈(1𝑒,5)时，𝑓′(𝑥)>0，函数是单调递增函数，即函数𝑦=𝑥ln𝑥在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增。故答案为：D.【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而判断出函数在(0,1�

�)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增。5.已知𝑅上可导函数𝑓(𝑥)的图象如图，则不等式𝑓′(𝑥)>0的解集是（）A.(−2,0)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,−1)∪(1,2)D.(−∞,−1

)∪(1,+∞)【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由图可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1),(1,+∞)上单调递增，所以𝑓′(𝑥)>0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)。故答案为：D

【分析】由图可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1),(1,+∞)上单调递增，再利用求导判断函数的单调性的方法，从而求出不等式𝑓′(𝑥)>0的解集。6.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，

且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.12B.-12C.2D.−√32【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：如图所示，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐵𝐷的中点𝐸，

𝐹，𝐺，𝑂，则𝐸𝐹//𝐵𝐷，𝐸𝐺//𝐴𝐶，𝐹𝑂⊥𝑂𝐺，∴∠𝐹𝐸𝐺或其补角为异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角．设𝐴𝐵=2𝑎，则𝐸𝐺=𝐸𝐹=√2𝑎，𝐹𝐺=√𝑎2+𝑎2=√2𝑎，∴∠𝐹𝐸𝐺=60°，∴异面直线

𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角的余弦值为12。故答案为：A．【分析】分别取𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐵𝐷的中点𝐸，𝐹，𝐺，𝑂，则𝐸𝐹//𝐵𝐷，𝐸𝐺//𝐴𝐶，𝐹𝑂⊥𝑂𝐺，所以∠𝐹𝐸𝐺或其补角为异面直线

𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角，设𝐴𝐵=2𝑎，则𝐸𝐺=𝐸𝐹=√2𝑎，再利用勾股定理求出𝐹𝐺=√2𝑎，从而结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形的性质，从而得出∠𝐹𝐸𝐺=60°，进而求出异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角的余弦值。7.若𝑓(𝑥

)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10，则𝑏𝑎的值为（）A.−32或−12B.−32或12C.−32D.−12【答案】C【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】∵𝑓

(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎，∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏，又𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10，∴𝑓′(1)

=3+2𝑎+𝑏=0，𝑓(1)=1+𝑎+𝑏−𝑎2−7𝑎=10，∴𝑎2+8𝑎+12=0，∴𝑎=−2,𝑏=1或𝑎=−6,𝑏=9．当𝑎=−2,𝑏=1时，𝑓′(𝑥)=3𝑥3−4𝑥+1=(3𝑥−1)(𝑥−1)，当13＜x

＜1时，𝑓′(𝑥)<0，当x＞1时，𝑓′(𝑥)>0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当𝑎=−6,𝑏=9时，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9=3(𝑥−1)(𝑥−3)，当x＜1时，𝑓′(𝑥)>0，当＜x＜3时，𝑓′(𝑥)<0，∴f（x）在

x=1处取得极大值，符合题意；则𝑏𝑎=−9−6=−32，故答案为：C．【分析】由于𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏，依题意知，𝑓′(1)=3+2𝑎+𝑏=0，𝑓(1)=1+𝑎+𝑏−𝑎2−7𝑎=10，于是有𝑏=−3−2𝑎，代

入f（1）=10即可求得𝑎,𝑏，从而可得答案．8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用

函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥sin𝑥的图象大致为（）．A.B.C.D.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由f（-x）=(-x)2+(-x)s

in(-x)=x2+xsinx=f（x），所以函数f（x）是偶函数，故B错误，又f'(x)=2x+sinx+xcosx=(2+cosx)x+sinx，当x>1时，2+cosx∈[1,3]，(2+cosx)x>1，sinx∈

[-1,1]，则f'(x)>0恒成立，当x∈(0,π2)时，sinx>0，cosx>0，x>0，则f'(x)>0恒成立，因为(0,1)⊂(0,π2)，所以f'(x)>0在（0,1）恒成立，综上所述，f'(x)>0在（0,+∞）恒成立，所以f（x）在（0,+∞）上单调递增，

所以A对.故答案为：A【分析】利用函数的奇偶性可排除A，再利用导数研究函数的单调性即可判断.二、多选题（共4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（）A.(1𝑥)′=1𝑥2B.(𝑥𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥C.(𝑒2𝑥)′=2𝑒2𝑥D.(l

n2𝑥)′=2𝑥【答案】B,C【考点】导数的乘法与除法法则，简单复合函数的导数【解析】【解答】对于A，(1𝑥)′=(𝑥−1)′=−𝑥−2=−1𝑥2，故错误；对于B，(𝑥𝑒𝑥)′=𝑥′𝑒𝑥+𝑥(𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥，故正确；

对于C，(𝑒2𝑥)′=(2𝑥)′𝑒2𝑥=2𝑒2𝑥，故正确；对于D，(ln2𝑥)′=(2𝑥)′12𝑥=1𝑥，故错误.故答案为：BC.【分析】利用导数的运算法则结合复合函数导数的求解方法，从而选出导数运算正确的选项。10.函数𝑦=𝑓(�

�)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.(−1,3)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间B.(3,5)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递减区间C.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=5处取得极小值D.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=0处取得极大值【答案】D【考点】利用导数研究函数的

单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由题意，函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的图象可知：当𝑥<−1时，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)单调递减；当−1<𝑥<3时，𝑓′(𝑥)>0，函数𝑓(𝑥)单调递增；当3<𝑥<5时，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥>5

时，𝑓′(𝑥)>0，函数𝑓(𝑥)单调递增；所以函数𝑓(𝑥)单调递减区间为(−∞,−1),(3,5)，单调递增区间为(−1,3),(5,+∞)，且函数𝑓(𝑥)在𝑥=−1和𝑥=5取得极小值，在𝑥=3取得极大值。

故答案为：D．【分析】利用函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的图象结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数𝑓(𝑥)单调递减区间为(−∞,−1),(3,5)，单调递增区间为(−1,3),(5,+∞)，再利用函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而

得出函数𝑓(𝑥)在𝑥=−1和𝑥=5取得极小值，在𝑥=3取得极大值，从而选出说法错误的选项。11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.复数𝑧=3−𝑖的虚部为−𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内

𝑧̅对应的点位于第二象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】A,D【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】A选项，𝑖+𝑖2+𝑖3+�

�4=𝑖−1−𝑖+1=0，A选项正确.B选项，𝑧的虚部为−1，B选项错误.C选项，𝑧=1+4𝑖+4𝑖2=−3+4𝑖,𝑧̅=−3−4𝑖，对应坐标为(−3,−4)在第三象限，C选项错误.D选项，|𝑧−1|=|𝑧+1|=|𝑧−(−1)|表示𝑧到𝐴(1,0)和

𝐵(−1,0)两点的距离相等，故𝑧的轨迹是线段𝐴𝐵的垂直平分线，D选项正确.故答案为：AD【分析】利用虚数单位i的运算性质判断A；根据复数定义判断B；利用复数代数形式的乘除运算化简z进一步求得𝑧的坐标判断C；由复数模的几何意义判断D．12.已知空间四

点𝑂(0,0,0),𝐴(0,1,2),𝐵(2,0,−1),𝐶(3,2,1)，则下列说法正确的是（）A.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2B.cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=−25C.点O到直线𝐵𝐶的

距离为√5D.O，A，B，C四点共面【答案】A,B,C【考点】数量积的坐标表达式，数量积表示两个向量的夹角，点到直线的距离公式，共线向量与共面向量【解析】【解答】𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),𝑂𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−1)，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0×2+1×0+2×(−1)=−2，A符合题意；cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−2√5×√5=−25，B符合题意；𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,2)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×1+0×2+(−1)×2=0，所以𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5

，所以点O到直线𝐵𝐶的距离为√5，C符合题意；𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,2,1)，假设若O，A，B，C四点共面，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，设𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则{2𝑦=3𝑥=22𝑥−𝑦=1，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．故答案为：ABC．【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积

求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线𝐵𝐶的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无

解，得出O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。三、填空题（共4题；共20分）13.若𝐴(−1,1,4)，𝐵(1,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷为𝐵𝐶的中点，|𝐴𝐷|=________.【答案】√10【考点】空间

两点间的距离公式【解析】【解答】因为𝐴(−1,1,4)，𝐵(1,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷为𝐵𝐶的中点，所以𝐷的坐标为𝐷(1+32,22,3+32)，即𝐷(2,1,3)，从而得出|𝐴𝐷|=√(2+1)2+(1−1

)2+(3−4)2=√10。故答案为：√10。【分析】利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出中点D的坐标，再利用空间两点求距离公式，从而求出|𝐴𝐷|的长。14.函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图

象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，则𝑎=________.【答案】2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】依题意𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−1，由于函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，直线𝑦=

𝑥−2的斜率为1，所以𝑓′(1)=𝑎1−1=𝑎−1=1⇒𝑎=2。故答案为：2。【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为

𝑦=𝑥−2，从而求出切线的斜率，进而求出a的值。15.定义在𝑅上的连续函数𝑓(𝑥)满足𝑓(1)=2，且𝑓(𝑥)在𝑅上的导函数𝑓′(𝑥)<1，则不等式𝑓(𝑥)<𝑥+1的解集为________

．【答案】{𝑥|𝑥〉1}【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−1，则ℎ/(𝑥)=𝑓/(𝑥)−1<0，即ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−1是单调递减函数，而ℎ(1)=𝑓(1)−1−1=0，所以𝑓(𝑥)>𝑥+1等价于𝑓

(𝑥)−𝑥−1>0，即ℎ(𝑥)>ℎ(1)，所以𝑥>1，故不等式的解集为{𝑥|𝑥〉1}，应填答案{𝑥|𝑥〉1}。【分析】本题主要考查函数的单调性以及导数的应用。主要是要构造函数，利用导数判断单

调性进行求解。16.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数𝑚的取值范围是________．【答案】𝑚≥−3【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】𝑓

′(𝑥)=2𝑥+1𝑥+𝑚=2𝑥2+𝑚𝑥+1𝑥，由题意𝑓′(𝑥)≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，即2𝑥2+𝑚𝑥+1≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，−𝑚≤2𝑥2+1𝑥=2𝑥+1𝑥，由对勾函数性质知𝑦=2𝑥+1𝑥在(1,2)单调递增，所

以2𝑥+1𝑥>3，所以−𝑚≤3，即𝑚≥−3。故答案为：𝑚≥−3。【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，得出𝑓′(𝑥)≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，即2𝑥2+𝑚𝑥

+1≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，得出−𝑚≤2𝑥2+1𝑥=2𝑥+1𝑥，由对勾函数性质知𝑦=2𝑥+1𝑥在(1,2)单调递增，所以2𝑥+1𝑥>3，从而求出实数m的取值范围。四、解答题（共

6题；共70分）17.已知向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角𝜃=3𝜋4，且|𝑎⃗|=3，|𝑏⃗⃗|=2√2．（1）求𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；（2）求𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值．【答案】（1）解：由已知

，得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗⃗|cos𝜃=3×2√2×(−√22)=−6，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=√(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)2=√𝑎⃗2+2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+𝑏⃗⃗2=√32+2×(−6)+(2√2)2=√5；（

2）解：设𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角为𝛼，则cos𝛼=𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗)|𝑎⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗|=𝑎⃗⃗2+𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗|=9−63×√5=√55，因此，𝑎⃗与�

�⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值为√55.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出|𝑎→+𝑏→|=√(𝑎→+𝑏→)2的值；（2）利用平面向量夹角的余弦公式可求得。18

.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝑃𝐶的中点，且𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2.（1）证明：𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸；（2）求二面

角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小.【答案】（1）解：证明：取𝑃𝐵的中点为𝐺，连接𝐸𝐺,𝐹𝐺又𝐹为𝑃𝐶的中点，所以𝐹𝐺//𝐵𝐶，且𝐹𝐺=12𝐵𝐶，因为𝐷𝐸//𝐵𝐶，且𝐷𝐸=12𝐵

𝐶，所以𝐷𝐸//𝐹𝐺，且𝐷𝐸=𝐹𝐺，故四边形𝐷𝐸𝐺𝐹为平行四边形，则𝐷𝐹//𝐸𝐺又𝐷𝐹⊄平面𝑃𝐵𝐸，𝐸𝐺⊂平面𝑃𝐵𝐸，所以𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸，（2）因为𝐷𝐶=1，𝑃

𝐶=√2，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐷=1而四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以可如图建立空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧𝐴(1,0,0)，𝐵(1,1,0)，𝑃(0,0,1)，𝐶(0,1,0)所以𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,−1)，𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)设平面𝐴𝑃𝐵的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑃𝐵⃯⋅𝑚⃯=0𝑃𝐴⃯⋅𝑚⃯=0∴{𝑥+𝑦−𝑧=0𝑥−𝑧=0，∴𝑚⃗⃗⃗=(1,0,1)同理可得平面

𝑃𝐵𝐶的一个法向量为𝑛⃗⃗=(0,1,1)所以cos〈𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗〉=𝑚⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=12，由图知二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶为钝角，则大小为120∘.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）取𝑃𝐵的中点为

𝐺，连接𝐸𝐺,𝐹𝐺，又因为𝐹为𝑃𝐶的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以𝐹𝐺//𝐵𝐶且𝐹𝐺=12𝐵𝐶，因为𝐷𝐸//𝐵𝐶且𝐷𝐸=12𝐵𝐶，所以𝐷𝐸//𝐹𝐺且𝐷𝐸=𝐹𝐺，故四边

形𝐷𝐸𝐺𝐹为平行四边形，则𝐷𝐹//𝐸𝐺，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸。（2）因为𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐷=1，而四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以可建立空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦

𝑧，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小。19.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=2处取得极值为𝑐−16.（1）求𝑎、𝑏的值；（2）若�

�(𝑥)有极大值28，求𝑓(𝑥)在[−3，3]上的最大值.【答案】（1）因𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐故𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+𝑏由于𝑓(𝑥)在点𝑥=2处取得极值故有{𝑓′(2)=0𝑓(2)=𝑐−16即{12𝑎+𝑏=08𝑎

+2𝑏=𝑐−16，化简得{12𝑎+𝑏=04𝑎+𝑏=−8解得{𝑎=1𝑏=−12（2）知𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑥+𝑐，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥1=−2，𝑥2=2当𝑥∈(−∞，−2)时，𝑓′(𝑥)>0故𝑓(𝑥)在(−∞，−2)上为

增函数；当𝑥∈(−2，2)时，𝑓′(𝑥)<0故𝑓(𝑥)在(−2，2)上为减函数；当𝑥∈(2，+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，故𝑓(𝑥)在(2，+∞)上为增函数．由此可知𝑓(𝑥)在𝑥1=−2处取得极大值𝑓

(−2)=16+𝑐．𝑓(𝑥)在𝑥2=2处取得极小值𝑓(2)=𝑐−16由题设条件知16+𝑐=28得𝑐=12此时𝑓(−3)=9+𝑐=21，𝑓(3)=−9+𝑐=3，𝑓(2)=𝑐−16=−4

因此𝑓(𝑥)上[−3，3]的最小值为𝑓(2)=−4.①因𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐故𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+𝑏由于𝑓(𝑥)在点𝑥=2处取得极值故有{𝑓′(2)=0𝑓(2)=𝑐−16即{12𝑎+𝑏=08𝑎+2𝑏=�

�−16，化简得{12𝑎+𝑏=04𝑎+𝑏=−8解得{𝑎=1𝑏=−12②知𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑥+𝑐，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥1=−2，𝑥2=2当𝑥∈(−∞，−2)时，𝑓′(𝑥)>0故𝑓(𝑥)在(−∞，−2)上为增函

数；当𝑥∈(−2，2)时，𝑓′(𝑥)<0故𝑓(𝑥)在(−2，2)上为减函数；当𝑥∈(2，+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，故𝑓(𝑥)在(2，+∞)上为增函数．由此可知𝑓(𝑥)在𝑥1=−2处取得极大值𝑓(−2)=16+𝑐．𝑓(𝑥)在�

�2=2处取得极小值𝑓(2)=𝑐−16由题设条件知16+𝑐=28得𝑐=12此时𝑓(−3)=9+𝑐=21，𝑓(3)=−9+𝑐=3，𝑓(2)=𝑐−16=−4因此𝑓(𝑥)上[−3，3]的最小值为𝑓(2)=−4.【考点】利用导数研究函数的单调性

，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出相应的极值，再利用已知条件函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=2处取得极值为𝑐−16，从而解方程组求出a

,b的值。（2)利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用已知条件函数𝑓(𝑥)有极大值28，从而求出a,b,c的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数在给定区间的最大值。20.某偏远贫困村积极

响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为𝑎元，预计当每件产品的售价为𝑥元(3≤𝑥≤8)时，年销量为(9−𝑥)2万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为

27万元（1）试求每件产品的成本𝑎的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润𝑦（万元）最大，并求最大值．【答案】（1）解：由题意可知，该产品的年利润为𝑦=(𝑥−𝑎)(9−𝑥)2，(3≤𝑥≤8)，当𝑥=6时，𝑦=9×(

6−𝑎)=27，解得：𝑎=3（2）解：由𝑦=(𝑥−3)(9−𝑥)2，(3≤𝑥≤8)，得：𝑦′=(𝑥−9)2+2(𝑥−3)(𝑥−9)=(𝑥−9)(3𝑥−15)，由𝑦′=0，得𝑥=5或𝑥=9（舍）.当𝑥∈[3,5)时，𝑦′>

0，当𝑥∈(5,8]时，𝑦′<0.所以当𝑥=5时，𝑦max=32（万元）即每件产品的售价定为5元时，年利润𝑦最大，最大值为32万元.【考点】二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，根据实际问题选

择函数类型【解析】【分析】（1）根据题意可得(6−𝑎)(9−6)2=27，解得a；（2）根据题意可得𝑦=(𝑥−3)(9−𝑥)2，分析单调性，再求最值即可。21.如图1，在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷

=60°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，将𝛥𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起到𝛥𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，如图2.（1）求证：𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸；（2）在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷？若存在，求𝐵𝑃𝐵𝐷的值；

若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：因为𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，所以𝐴1𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，𝐸𝐷⊥𝐵𝐸，且𝐸𝐷∩𝐴1𝐷=𝐷，𝐵𝐸⊥平面𝐴1𝐷𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴1𝐸𝐵𝐸∩𝐷𝐸=𝐸，𝐴1𝐸⊥平面𝐵

𝐶𝐷𝐸.（2）假设在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷.根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：则𝐵(1,0,0),𝐷(0,√3,0),𝐴1(0,0,1)，𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,−1)，

设𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝐵𝑃=𝜆𝐵𝐷(0≤𝜆≤1)，则(𝑥−1,𝑦,𝑧)=𝜆(−1,√3,0)，所以𝑃(1−𝜆,√3𝜆,0)，所以𝐸𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐸𝑃⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=(1−𝜆,√3𝜆,0)，设平面𝐴1𝐸𝑃一个法向量为：𝑚⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则{m⇀⋅𝐸𝐴1⃯=0m⇀⋅𝐸𝑃⃯=0，即{𝑧1=0(1−𝜆)𝑥1+√3𝜆𝑦1=0，令𝑥1=√3𝜆,𝑦1=𝜆−1，所以𝑚⃗⃗⃗=(√3𝜆,�

�−1,0)，设平面𝐴1𝐵𝐷一个法向量为：𝑛⃗⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则{n⇀⋅𝐴1𝐵⃯=0n⇀⋅𝐴1𝐷⃯=0，即{𝑥2−𝑧2=0√3𝑦2−𝑧2=0，令𝑦2=1,𝑧2=𝑥2

=√3，所以𝑛⃗⃗=(√3,1,√3)，因为平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，所以𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，即3𝜆+𝜆−1=0，解得𝜆=14.所以在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵�

�，且𝐵𝑃𝐵𝐷=14.【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）因为𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，所以𝐴1𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，𝐸𝐷⊥𝐵𝐸，再利用线线垂直推出线面垂直，所以𝐵𝐸⊥平面𝐴1𝐷𝐸，再利用线面垂直的定义推出线

线垂直，所以𝐵𝐸⊥𝐴1𝐸，再利用线线垂直证出线面垂直，即证出直线𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸。（2）根据（1）建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，设𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝐵𝑃=𝜆𝐵𝐷(0≤𝜆≤1)，再

利用向量共线的坐标表示，得出𝑃(1−𝜆,√3𝜆,0)，再利用向量的坐标表示求出𝐸𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,√3𝜆,0)，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平

面的法向量的坐标，因为平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，所以𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，再利用数量积的坐标表示，得出𝜆=14，所以在线段𝐵𝐷上存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，且𝐵𝑃𝐵𝐷=14。22.设函数𝑓(𝑥)=𝑥22−𝑎ln𝑥

,𝑔(𝑥)=(1−𝑎)𝑥．（1）当𝑎=12,𝑥>1时，求证：𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)；（2）若∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立，求实数a的取值范围．【答案】（1

）证明：当𝑎=12时，𝑓(𝑥)=𝑥22−12ln𝑥,𝑔(𝑥)=12𝑥，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ(𝑥)=𝑥22−12ln𝑥−12𝑥，ℎ′(𝑥)=𝑥−12𝑥−12=2𝑥2−𝑥−12𝑥=(2𝑥+1)(𝑥−1

)2𝑥，∵𝑥>1，∴ℎ′(𝑥)>0,∴函数ℎ(𝑥)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ(𝑥)>ℎ(1)=0，即𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)．（2）法一：令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，则𝐹(𝑥)=𝑥22−

𝑎ln𝑥+(1−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，𝐹′(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥+(1−𝑎)=(𝑥+1)(𝑥−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，①当𝑎≤1时，𝐹′(𝑥)≥0恒成立，∴𝐹(𝑥)

在[1,𝑒]上单调递增，∴[𝐹(𝑥)]min=𝐹(1)=32−𝑎，由题意得32−𝑎≤𝑎，解得𝑎≥34,∴34≤𝑎≤1；②当𝑎≥𝑒时，𝐹′(𝑥)≤0恒成立，∴𝐹(𝑥)在[1,𝑒]上单调递减，∴[𝐹(𝑥)]min=

𝐹(𝑒)=𝑒22−𝑎+(1−𝑎)𝑒，由题意得𝑒22−𝑎+(1−𝑎)𝑒≤𝑎，解得𝑎≥𝑒2,∴𝑎≥𝑒；③当1<𝑎<𝑒时，𝑥∈(1,𝑎)时，𝐹′(𝑥)<0,∴𝐹(𝑥)在(1,𝑎)上单调递减；𝑥∈(𝑎,𝑒)时，𝐹′(�

�)>0,∴𝐹(𝑥)在(1,𝑎)上单调递增．∴[𝐹(𝑥)]min=𝐹(𝑎)=𝑎22−𝑎+(1−𝑎)𝑎，由题意得𝑎22−𝑎ln𝑎+(1−𝑎)𝑎≤𝑎，即ln𝑎+𝑎2≥0，恒成立，∴1<𝑎<𝑒．综上，实数a的取值范围为[34,+∞)．法二：

∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],(𝑥+ln𝑥+1)𝑎≥12𝑥2+𝑥成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],𝑎≥12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1成立，令ℎ(�

�)=12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1,𝑥∈[1,𝑒]，则ℎ′(𝑥)=(12𝑥+ln𝑥)(𝑥+1)(𝑥+ln𝑥+1)2>0，∴ℎ(𝑥)在[1,𝑒]上是增函数，[ℎ(𝑥)]min=ℎ(1)=34，∴𝑎≥34，即实数a的

取值范围为[34,+∞)．【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）当𝑎=12时，从而求出函数f(x)与g(x)的解析式，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ(�

�)=𝑥22−12ln𝑥−12𝑥，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以ℎ(𝑥)>ℎ(1)=0，即证出𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)。（2）用两种方法求解。法一，令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，则𝐹(𝑥)=𝑥22−�

�ln𝑥+(1−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。法二，∃𝑥∈[1,𝑒]，使得

不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],𝑎≥12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1成立，令ℎ(𝑥)=12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1,𝑥∈[1,𝑒]，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成

立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。