【文档说明】福建省厦门市思明区湖滨中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.docx，共(19)页，140.668 KB，由小赞的店铺上传

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福建省厦门市思明区湖滨路高中2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知𝑖为虚数单位，复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=1，则𝑧的共轭复数𝑧̅=（）A.12+12𝑖B.12−12𝑖C.−12+12𝑖D.−12−12𝑖2.已知向量𝑎⃗=(2,

−1,2)，𝐴(−1,𝑥,1)，𝐵(1,−1,1)，若𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，则实数𝑥的值为()A.-5B.0C.-1D.53.如图所示，已知𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平行六面体.设

𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑀，𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点，若𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥,𝑦,𝑧的值为（）A.𝑥=12,𝑦=14,𝑧=34B.𝑥=14,𝑦=

12,𝑧=34C.𝑥=12,𝑦=34,𝑧=14D.𝑥=34,𝑦=12,𝑧=144.函数y＝xlnx在(0，5)上是()A.单调增函数B.在(0,1𝑒)上单调递增，在(1𝑒，5)上单调递减C.单调减函数D.

在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增5.已知𝑅上可导函数𝑓(𝑥)的图象如图，则不等式𝑓′(𝑥)>0的解集是（）A.(−2,0)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,−1)∪(1,2)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)6.在我国古代数学名著《九章

算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.12B.-12C.2D.−√327.若𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10

，则𝑏𝑎的值为（）A.−32或−12B.−32或12C.−32D.−128.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数

𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥sin𝑥的图象大致为（）．A.B.C.D.二、多选题（共4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（）A.(1𝑥)′=1𝑥2B.(𝑥𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥C.(𝑒2𝑥)′=2𝑒2𝑥D.(ln2𝑥)′=2𝑥10.函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的

图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.(−1,3)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间B.(3,5)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递减区间C.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=5处取得极小值D.函数𝑦=𝑓(𝑥)

在𝑥=0处取得极大值11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.复数𝑧=3−𝑖的虚部为−𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内𝑧̅对应的点位于第二象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则z在复平面内

对应的点的轨迹为直线12.已知空间四点𝑂(0,0,0),𝐴(0,1,2),𝐵(2,0,−1),𝐶(3,2,1)，则下列说法正确的是（）A.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2B.cos<𝑂𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=−25C.点O到直线𝐵𝐶的距离为√5D.O，A，B，C四点共面三、填空题（共4题；共20分）13.若𝐴(−1,1,4)，𝐵(1,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷为𝐵𝐶的中点

，|𝐴𝐷|=________.14.函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，则𝑎=________.15.定义在𝑅上的连续函数𝑓(𝑥)满足𝑓(1)=2，且𝑓(𝑥)在𝑅上的导函数𝑓′

(𝑥)<1，则不等式𝑓(𝑥)<𝑥+1的解集为________．16.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数𝑚的取值范围是________．四、解答题（共6题；共70分）17

.已知向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角𝜃=3𝜋4，且|𝑎⃗|=3，|𝑏⃗⃗|=2√2．（1）求𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；（2）求𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值．18.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝐸,𝐹分

别为𝐴𝐷,𝑃𝐶的中点，且𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2.（1）证明：𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸；（2）求二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小.19.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=2处取得极值为𝑐−16.（1）求𝑎、𝑏的值；

（2）若𝑓(𝑥)有极大值28，求𝑓(𝑥)在[−3，3]上的最大值.20.某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为𝑎元，预计当每件产品的售价为𝑥元(

3≤𝑥≤8)时，年销量为(9−𝑥)2万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元（1）试求每件产品的成本𝑎的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润𝑦（万元）最大，并求最大值．21.如图1，在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中

，∠𝐵𝐴𝐷=60°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，将𝛥𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起到𝛥𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，如图2.（1）求证：𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸；（2）在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵�

�？若存在，求𝐵𝑃𝐵𝐷的值；若不存在，说明理由．22.设函数𝑓(𝑥)=𝑥22−𝑎ln𝑥,𝑔(𝑥)=(1−𝑎)𝑥．（1）当𝑎=12,𝑥>1时，求证：𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)；（2）若∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤�

�成立，求实数a的取值范围．答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知𝑖为虚数单位，复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=1，则𝑧的共轭复数𝑧̅=（）A.12+12𝑖B.12−12𝑖C.−12+12𝑖D.−12−12𝑖【答

案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由𝑧(1+i)=1，得𝑧=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i,∴𝑧̅=12+12i。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复

数z的共轭复数。2.已知向量𝑎⃗=(2,−1,2)，𝐴(−1,𝑥,1)，𝐵(1,−1,1)，若𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，则实数𝑥的值为()A.-5B.0C.-1D.5【答案】A【考点】数量积的坐标表达式，

数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：由题意得𝐴𝐵→=(2,−1−𝑥,0)，又∵𝑎⃯⊥𝐴𝐵⃯，∴2×2+(-1)×(-1-x)+2×0=0解得x=-5故答案为：A【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的充要条件求解即可

.3.如图所示，已知𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平行六面体.设𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑀，𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点，若𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥,𝑦,𝑧的值

为（）A.𝑥=12,𝑦=14,𝑧=34B.𝑥=14,𝑦=12,𝑧=34C.𝑥=12,𝑦=34,𝑧=14D.𝑥=34,𝑦=12,𝑧=14【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】由题知𝑀是𝐵𝐷的中点,所以𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1

2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又𝑁是𝐵𝐶1上靠近点𝐶1的四等分点,所以𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+34(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗⃗+34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗又𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以𝑥=12,𝑦=14,𝑧=34。故答案为：A【分析】由题知𝑀是𝐵𝐷的中点,所以𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又因为点𝑁是𝐵𝐶1上靠近点�

�1的四等分点,所以𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再结合三角形法则和向量共线定理，从而利用平面向量基本定理和已知条件𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗+𝑧𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而求出x,y,z的值。4.函数y＝xlnx在(0，5)上是()A.单调增函数B.在(0,1𝑒)上单调递增，在(1𝑒，5)上单调递减C.单调减函数D.在(0,1𝑒)上单调递

减，在(1𝑒，5)上单调递增【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】∵𝑦=𝑥ln𝑥,∴𝑦′=ln𝑥+1，由𝑦′=ln𝑥+1=0，得极值点𝑥=1𝑒,∵𝑥∈(0,5),∴当𝑥∈(0,1𝑒)时

，𝑓′(𝑥)<0，函数是单调递减函数；当𝑥∈(1𝑒,5)时，𝑓′(𝑥)>0，函数是单调递增函数，即函数𝑦=𝑥ln𝑥在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增。故答案为：D.【分析】利用求导的方法判断函数的

单调性，从而判断出函数在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒，5)上单调递增。5.已知𝑅上可导函数𝑓(𝑥)的图象如图，则不等式𝑓′(𝑥)>0的解集是（）A.(−2,0)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,−1)

∪(1,2)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由图可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1),(1,+∞)上单调递增，所以𝑓′(𝑥)>0的解集为(−∞,−1)∪(

1,+∞)。故答案为：D【分析】由图可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1),(1,+∞)上单调递增，再利用求导判断函数的单调性的方法，从而求出不等式𝑓′(𝑥)>0的解集。6.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑AB

CD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.12B.-12C.2D.−√32【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：如图所示，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐵𝐷的中点𝐸，𝐹，𝐺，

𝑂，则𝐸𝐹//𝐵𝐷，𝐸𝐺//𝐴𝐶，𝐹𝑂⊥𝑂𝐺，∴∠𝐹𝐸𝐺或其补角为异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角．设𝐴𝐵=2𝑎，则𝐸𝐺=𝐸𝐹=√2𝑎，𝐹𝐺=√𝑎2+𝑎2=√2𝑎，∴∠𝐹𝐸𝐺=60°

，∴异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角的余弦值为12。故答案为：A．【分析】分别取𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐵𝐷的中点𝐸，𝐹，𝐺，𝑂，则𝐸𝐹//𝐵𝐷，𝐸𝐺//𝐴𝐶，𝐹𝑂⊥𝑂𝐺，所以∠𝐹𝐸𝐺或其补角为异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角，设

𝐴𝐵=2𝑎，则𝐸𝐺=𝐸𝐹=√2𝑎，再利用勾股定理求出𝐹𝐺=√2𝑎，从而结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形的性质，从而得出∠𝐹𝐸𝐺=60°，进而求出异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷所成角的

余弦值。7.若𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10，则𝑏𝑎的值为（）A.−32或−12B.−32或12C.−32D.−12【答案】C【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】∵𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥

−𝑎2−7𝑎，∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏，又𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑎2−7𝑎在x=1处取得极大值10，∴𝑓′(1)=3+2𝑎+𝑏=0，𝑓(1)=1+𝑎+𝑏−𝑎2−7𝑎=1

0，∴𝑎2+8𝑎+12=0，∴𝑎=−2,𝑏=1或𝑎=−6,𝑏=9．当𝑎=−2,𝑏=1时，𝑓′(𝑥)=3𝑥3−4𝑥+1=(3𝑥−1)(𝑥−1)，当13＜x＜1时，𝑓′(𝑥)<0，当x＞1时，𝑓′(𝑥)>0，∴f（

x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当𝑎=−6,𝑏=9时，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9=3(𝑥−1)(𝑥−3)，当x＜1时，𝑓′(𝑥)>0，当＜x＜3时，𝑓′(𝑥)<0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则𝑏𝑎=−9−

6=−32，故答案为：C．【分析】由于𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏，依题意知，𝑓′(1)=3+2𝑎+𝑏=0，𝑓(1)=1+𝑎+𝑏−𝑎2−7𝑎=10，于是有𝑏=−3−2𝑎，代入f（1）=10即可求得𝑎,𝑏，从而可得答案．8.我国著名数学家华罗庚先

生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥sin𝑥的图象大致为（）．A.B.C.D.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断，

奇偶函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由f（-x）=(-x)2+(-x)sin(-x)=x2+xsinx=f（x），所以函数f（x）是偶函数，故B错误，又f'(x)=2x+sinx+xcosx=(2+cosx)x+sinx，当x>1时，

2+cosx∈[1,3]，(2+cosx)x>1，sinx∈[-1,1]，则f'(x)>0恒成立，当x∈(0,π2)时，sinx>0，cosx>0，x>0，则f'(x)>0恒成立，因为(0,1)⊂(0

,π2)，所以f'(x)>0在（0,1）恒成立，综上所述，f'(x)>0在（0,+∞）恒成立，所以f（x）在（0,+∞）上单调递增，所以A对.故答案为：A【分析】利用函数的奇偶性可排除A，再利用导数研究函

数的单调性即可判断.二、多选题（共4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（）A.(1𝑥)′=1𝑥2B.(𝑥𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥C.(𝑒2𝑥)′=2𝑒2𝑥D.(ln2𝑥)′=2𝑥【答案】B,C【考点】导数的乘法与除法法则，简单复合函数的导数【解析】【解答

】对于A，(1𝑥)′=(𝑥−1)′=−𝑥−2=−1𝑥2，故错误；对于B，(𝑥𝑒𝑥)′=𝑥′𝑒𝑥+𝑥(𝑒𝑥)′=(𝑥+1)𝑒𝑥，故正确；对于C，(𝑒2𝑥)′=(2𝑥)′𝑒2𝑥=2

𝑒2𝑥，故正确；对于D，(ln2𝑥)′=(2𝑥)′12𝑥=1𝑥，故错误.故答案为：BC.【分析】利用导数的运算法则结合复合函数导数的求解方法，从而选出导数运算正确的选项。10.函数𝑦=𝑓(𝑥)的

导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.(−1,3)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间B.(3,5)为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调递减区间C.函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=5处取得极小值D.函数𝑦=𝑓(𝑥)在

𝑥=0处取得极大值【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由题意，函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的图象可知：当𝑥<−1时，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)单调递减；当−1<𝑥<3时，𝑓′(𝑥)>0

，函数𝑓(𝑥)单调递增；当3<𝑥<5时，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥>5时，𝑓′(𝑥)>0，函数𝑓(𝑥)单调递增；所以函数𝑓(𝑥)单调递减区间为(−∞,−1),(3,5)，单调递增区间为(

−1,3),(5,+∞)，且函数𝑓(𝑥)在𝑥=−1和𝑥=5取得极小值，在𝑥=3取得极大值。故答案为：D．【分析】利用函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数的图象结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数𝑓(𝑥)单调递减区间为(−∞,−1),(3,5)，单调递增区

间为(−1,3),(5,+∞)，再利用函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而得出函数𝑓(𝑥)在𝑥=−1和𝑥=5取得极小值，在𝑥=3取得极大值，从而选出说法错误的选项。11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.复数𝑧=

3−𝑖的虚部为−𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内𝑧̅对应的点位于第二象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】A,D【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】A选项，𝑖+𝑖2+𝑖3

+𝑖4=𝑖−1−𝑖+1=0，A选项正确.B选项，𝑧的虚部为−1，B选项错误.C选项，𝑧=1+4𝑖+4𝑖2=−3+4𝑖,𝑧̅=−3−4𝑖，对应坐标为(−3,−4)在第三象限，C选项错误.D选

项，|𝑧−1|=|𝑧+1|=|𝑧−(−1)|表示𝑧到𝐴(1,0)和𝐵(−1,0)两点的距离相等，故𝑧的轨迹是线段𝐴𝐵的垂直平分线，D选项正确.故答案为：AD【分析】利用虚数单位i的运算性质判断A；根据复数定义判断B；利用复数代数形式的乘除

运算化简z进一步求得𝑧的坐标判断C；由复数模的几何意义判断D．12.已知空间四点𝑂(0,0,0),𝐴(0,1,2),𝐵(2,0,−1),𝐶(3,2,1)，则下列说法正确的是（）A.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2B.cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=−25C.点O到直线𝐵𝐶的距离为√5D.O，A，B，C四点共面【答案】A,B,C【考点】数量积的坐标表达式，数量积表示两个向量的夹角，点到直线的距离公式，共线向量与共面向量【解析】【解答】𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−1

)，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0×2+1×0+2×(−1)=−2，A符合题意；cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

−2√5×√5=−25，B符合题意；𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,2)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×1+0×2+(−1)×2=0，所以𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

√5，所以点O到直线𝐵𝐶的距离为√5，C符合题意；𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,2,1)，假设若O，A，B，C四点共面，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，设𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则{2𝑦=3𝑥=22𝑥−𝑦=1，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．故答案为：ABC．【分析】利用已知条件结合数

量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直

线𝐵𝐶的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。三、填空题（共4题；共20分）13.若𝐴(−1,1,4)，𝐵(1

,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷为𝐵𝐶的中点，|𝐴𝐷|=________.【答案】√10【考点】空间两点间的距离公式【解析】【解答】因为𝐴(−1,1,4)，𝐵(1,2,3)，𝐶(3,0,3)，𝐷

为𝐵𝐶的中点，所以𝐷的坐标为𝐷(1+32,22,3+32)，即𝐷(2,1,3)，从而得出|𝐴𝐷|=√(2+1)2+(1−1)2+(3−4)2=√10。故答案为：√10。【分析】利用已知条件结合中点坐标公式，

从而求出中点D的坐标，再利用空间两点求距离公式，从而求出|𝐴𝐷|的长。14.函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，则𝑎=________.【答案】2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【

解析】【解答】依题意𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−1，由于函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，直线𝑦=𝑥−2的斜率为1，所以𝑓′(1)=𝑎1−1=𝑎−1=1⇒𝑎=2。故答案为：2。【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切

线的斜率，再利用函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥的图象在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−2，从而求出切线的斜率，进而求出a的值。15.定义在𝑅上的连续函数𝑓(𝑥)满足𝑓(1)=2，且𝑓(𝑥)在𝑅上的导函数𝑓′(𝑥)

<1，则不等式𝑓(𝑥)<𝑥+1的解集为________．【答案】{𝑥|𝑥〉1}【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−1，则ℎ/(𝑥)=𝑓/(𝑥)−1<0，即ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−1是单调递减函数，而ℎ(1)=𝑓

(1)−1−1=0，所以𝑓(𝑥)>𝑥+1等价于𝑓(𝑥)−𝑥−1>0，即ℎ(𝑥)>ℎ(1)，所以𝑥>1，故不等式的解集为{𝑥|𝑥〉1}，应填答案{𝑥|𝑥〉1}。【分析】本题主要考查函数的单调性以及导数的应用。

主要是要构造函数，利用导数判断单调性进行求解。16.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数𝑚的取值范围是________．【答案】𝑚≥−3【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】𝑓′(�

�)=2𝑥+1𝑥+𝑚=2𝑥2+𝑚𝑥+1𝑥，由题意𝑓′(𝑥)≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，即2𝑥2+𝑚𝑥+1≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，−𝑚≤2𝑥2+1𝑥=2𝑥+1𝑥，由对勾函数性质知𝑦=2𝑥+1𝑥在(1,2)单调递增，所以2�

�+1𝑥>3，所以−𝑚≤3，即𝑚≥−3。故答案为：𝑚≥−3。【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥+𝑚𝑥−1在区间(1,2)上为单调递增函数，得出𝑓′(𝑥)≥0在𝑥∈(1,2)时恒成立，即2𝑥2+𝑚𝑥+1≥0在𝑥∈(1,2

)时恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，得出−𝑚≤2𝑥2+1𝑥=2𝑥+1𝑥，由对勾函数性质知𝑦=2𝑥+1𝑥在(1,2)单调递增，所以2𝑥+1𝑥>3，从而求出实数m的取值范围。四、解答题（共6题；共70分）17.已知向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角𝜃=3𝜋4，且|𝑎⃗|=3

，|𝑏⃗⃗|=2√2．（1）求𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；（2）求𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值．【答案】（1）解：由已知，得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗⃗|cos𝜃=

3×2√2×(−√22)=−6，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=√(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)2=√𝑎⃗2+2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+𝑏⃗⃗2=√32+2×(−6)+(2√2)2=√5；（2）解：设𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角为𝛼，

则cos𝛼=𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗)|𝑎⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗|=𝑎⃗⃗2+𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗|=9−63×√5=√55，因此，𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗的夹角的余弦值为√55.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角【解析

】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出|𝑎→+𝑏→|=√(𝑎→+𝑏→)2的值；（2）利用平面向量夹角的余弦公式可求得。18.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，

点𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝑃𝐶的中点，且𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2.（1）证明：𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸；（2）求二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小.【答案】（1）解：证明：取𝑃𝐵的中点为𝐺，连接𝐸𝐺,�

�𝐺又𝐹为𝑃𝐶的中点，所以𝐹𝐺//𝐵𝐶，且𝐹𝐺=12𝐵𝐶，因为𝐷𝐸//𝐵𝐶，且𝐷𝐸=12𝐵𝐶，所以𝐷𝐸//𝐹𝐺，且𝐷𝐸=𝐹𝐺，故四边形𝐷𝐸𝐺𝐹为平行四边形，则𝐷𝐹//𝐸𝐺又𝐷𝐹⊄平面𝑃𝐵

𝐸，𝐸𝐺⊂平面𝑃𝐵𝐸，所以𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸，（2）因为𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐷=1而四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以可如图建立空间直角坐标系𝐷−�

�𝑦𝑧𝐴(1,0,0)，𝐵(1,1,0)，𝑃(0,0,1)，𝐶(0,1,0)所以𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,−1)，𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)设平面𝐴𝑃𝐵的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,

𝑧)，则{𝑃𝐵⃯⋅𝑚⃯=0𝑃𝐴⃯⋅𝑚⃯=0∴{𝑥+𝑦−𝑧=0𝑥−𝑧=0，∴𝑚⃗⃗⃗=(1,0,1)同理可得平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量为𝑛⃗⃗=(0,1,1)所以cos〈𝑚⃗⃗

⃗,𝑛⃗⃗〉=𝑚⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=12，由图知二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶为钝角，则大小为120∘.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）取𝑃𝐵的中点为�

�，连接𝐸𝐺,𝐹𝐺，又因为𝐹为𝑃𝐶的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以𝐹𝐺//𝐵𝐶且𝐹𝐺=12𝐵𝐶，因为𝐷𝐸//𝐵𝐶且𝐷𝐸=12𝐵𝐶，所以𝐷𝐸//

𝐹𝐺且𝐷𝐸=𝐹𝐺，故四边形𝐷𝐸𝐺𝐹为平行四边形，则𝐷𝐹//𝐸𝐺，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线𝐷𝐹//平面𝑃𝐵𝐸。（2）因为𝐷𝐶=1，𝑃𝐶=√2，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶

𝐷，所以𝑃𝐷=1，而四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以可建立空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶的大小。19.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在

𝑥=2处取得极值为𝑐−16.（1）求𝑎、𝑏的值；（2）若𝑓(𝑥)有极大值28，求𝑓(𝑥)在[−3，3]上的最大值.【答案】（1）因𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐故𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+𝑏由于𝑓(𝑥)在点𝑥=2处取得极值故

有{𝑓′(2)=0𝑓(2)=𝑐−16即{12𝑎+𝑏=08𝑎+2𝑏=𝑐−16，化简得{12𝑎+𝑏=04𝑎+𝑏=−8解得{𝑎=1𝑏=−12（2）知𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑥+𝑐，𝑓′(𝑥)

=3𝑥2−12令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥1=−2，𝑥2=2当𝑥∈(−∞，−2)时，𝑓′(𝑥)>0故𝑓(𝑥)在(−∞，−2)上为增函数；当𝑥∈(−2，2)时，𝑓′(𝑥)<0故𝑓(𝑥)在(−2，

2)上为减函数；当𝑥∈(2，+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，故𝑓(𝑥)在(2，+∞)上为增函数．由此可知𝑓(𝑥)在𝑥1=−2处取得极大值𝑓(−2)=16+𝑐．𝑓(𝑥)在𝑥2=2处取得极小值𝑓(2)=𝑐−16由题设条件知16+𝑐=28得𝑐=12此时

𝑓(−3)=9+𝑐=21，𝑓(3)=−9+𝑐=3，𝑓(2)=𝑐−16=−4因此𝑓(𝑥)上[−3，3]的最小值为𝑓(2)=−4.①因𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐故𝑓′(𝑥)

=3𝑎𝑥2+𝑏由于𝑓(𝑥)在点𝑥=2处取得极值故有{𝑓′(2)=0𝑓(2)=𝑐−16即{12𝑎+𝑏=08𝑎+2𝑏=𝑐−16，化简得{12𝑎+𝑏=04𝑎+𝑏=−8解得{𝑎=1𝑏=−12②知𝑓(𝑥)=𝑥3−12�

�+𝑐，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥1=−2，𝑥2=2当𝑥∈(−∞，−2)时，𝑓′(𝑥)>0故𝑓(𝑥)在(−∞，−2)上为增函数；当𝑥∈(−2，2)时，𝑓′(𝑥)<0故𝑓(𝑥)在(−2，2)上为减函数；当𝑥∈(2，+∞)时，𝑓′(𝑥)>

0，故𝑓(𝑥)在(2，+∞)上为增函数．由此可知𝑓(𝑥)在𝑥1=−2处取得极大值𝑓(−2)=16+𝑐．𝑓(𝑥)在𝑥2=2处取得极小值𝑓(2)=𝑐−16由题设条件知16+𝑐=28得𝑐=12此时𝑓(−3)=9+𝑐=21，𝑓(3)=−9+

𝑐=3，𝑓(2)=𝑐−16=−4因此𝑓(𝑥)上[−3，3]的最小值为𝑓(2)=−4.【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从

而求出函数的极值点，进而求出相应的极值，再利用已知条件函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=2处取得极值为𝑐−16，从而解方程组求出a,b的值。（2)利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用已知条件函数𝑓(𝑥)有极大值28，从

而求出a,b,c的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数在给定区间的最大值。20.某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件

产品的成本为𝑎元，预计当每件产品的售价为𝑥元(3≤𝑥≤8)时，年销量为(9−𝑥)2万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元（1）试求每件产品的成本𝑎的值；（2）当每件产品的售价定为多少元

时？年利润𝑦（万元）最大，并求最大值．【答案】（1）解：由题意可知，该产品的年利润为𝑦=(𝑥−𝑎)(9−𝑥)2，(3≤𝑥≤8)，当𝑥=6时，𝑦=9×(6−𝑎)=27，解得：𝑎=3（2）解

：由𝑦=(𝑥−3)(9−𝑥)2，(3≤𝑥≤8)，得：𝑦′=(𝑥−9)2+2(𝑥−3)(𝑥−9)=(𝑥−9)(3𝑥−15)，由𝑦′=0，得𝑥=5或𝑥=9（舍）.当𝑥∈[3,5)时，𝑦

′>0，当𝑥∈(5,8]时，𝑦′<0.所以当𝑥=5时，𝑦max=32（万元）即每件产品的售价定为5元时，年利润𝑦最大，最大值为32万元.【考点】二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，根据实际问题选择函数类型【解析】【分析

】（1）根据题意可得(6−𝑎)(9−6)2=27，解得a；（2）根据题意可得𝑦=(𝑥−3)(9−𝑥)2，分析单调性，再求最值即可。21.如图1，在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=6

0°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，将𝛥𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起到𝛥𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，如图2.（1）求证：𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸；（2）在线段𝐵𝐷上是否存在点�

�，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷？若存在，求𝐵𝑃𝐵𝐷的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：因为𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，所以𝐴1𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴1𝐷⊥𝐵𝐸，𝐸𝐷⊥𝐵𝐸，且𝐸𝐷∩𝐴1𝐷

=𝐷，𝐵𝐸⊥平面𝐴1𝐷𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴1𝐸𝐵𝐸∩𝐷𝐸=𝐸，𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸.（2）假设在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷.

根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：则𝐵(1,0,0),𝐷(0,√3,0),𝐴1(0,0,1)，𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,−1)，设𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝐵𝑃=𝜆𝐵𝐷(0≤𝜆≤1)，则(𝑥

−1,𝑦,𝑧)=𝜆(−1,√3,0)，所以𝑃(1−𝜆,√3𝜆,0)，所以𝐸𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,√3𝜆,0)，设平面𝐴1𝐸𝑃一个法向量为：𝑚⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则{m⇀⋅𝐸𝐴1⃯=0

m⇀⋅𝐸𝑃⃯=0，即{𝑧1=0(1−𝜆)𝑥1+√3𝜆𝑦1=0，令𝑥1=√3𝜆,𝑦1=𝜆−1，所以𝑚⃗⃗⃗=(√3𝜆,𝜆−1,0)，设平面𝐴1𝐵𝐷一个法向量为：𝑛⃗⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则{n⇀⋅𝐴1𝐵⃯=0n⇀⋅𝐴1𝐷⃯=0，即{𝑥2−𝑧

2=0√3𝑦2−𝑧2=0，令𝑦2=1,𝑧2=𝑥2=√3，所以𝑛⃗⃗=(√3,1,√3)，因为平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，所以𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，即3𝜆+𝜆−1=0，解得𝜆=14.所以在线段𝐵𝐷上是否

存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，且𝐵𝑃𝐵𝐷=14.【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）因为𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，所以𝐴1𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴1

𝐷⊥𝐵𝐸，𝐸𝐷⊥𝐵𝐸，再利用线线垂直推出线面垂直，所以𝐵𝐸⊥平面𝐴1𝐷𝐸，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以𝐵𝐸⊥𝐴1𝐸，再利用线线垂直证出线面垂直，即证出直线𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸。（2）根据（1）建立

空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，设𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝐵𝑃=𝜆𝐵𝐷(0≤𝜆≤1)，再利用向量共线的坐标表示，得出𝑃(1−𝜆,√3𝜆,0)，再利用

向量的坐标表示求出𝐸𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,√3𝜆,0)，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量的坐标，因为平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，所以𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，再利用数量积

的坐标表示，得出𝜆=14，所以在线段𝐵𝐷上存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⊥平面𝐴1𝐵𝐷，且𝐵𝑃𝐵𝐷=14。22.设函数𝑓(𝑥)=𝑥22−𝑎ln𝑥,𝑔(𝑥)=(1−𝑎)𝑥．（1）当𝑎=12,𝑥>1时，求证：𝑓

(𝑥)>𝑔(𝑥)；（2）若∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：当𝑎=12时，𝑓(𝑥)=𝑥22−12ln𝑥,𝑔(�

�)=12𝑥，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ(𝑥)=𝑥22−12ln𝑥−12𝑥，ℎ′(𝑥)=𝑥−12𝑥−12=2𝑥2−𝑥−12𝑥=(2𝑥+1)(𝑥−1)2𝑥，∵𝑥>1，∴ℎ′(𝑥)>0,∴函数ℎ(𝑥)在(1,

+∞)上单调递增，∴ℎ(𝑥)>ℎ(1)=0，即𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)．（2）法一：令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，则𝐹(𝑥)=𝑥22−𝑎ln𝑥+(1−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，𝐹′(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥+(1

−𝑎)=(𝑥+1)(𝑥−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，①当𝑎≤1时，𝐹′(𝑥)≥0恒成立，∴𝐹(𝑥)在[1,𝑒]上单调递增，∴[𝐹(𝑥)]min=𝐹(1)=32−𝑎，由题意得32−𝑎≤𝑎，解得𝑎≥34,∴34≤𝑎≤1；②当

𝑎≥𝑒时，𝐹′(𝑥)≤0恒成立，∴𝐹(𝑥)在[1,𝑒]上单调递减，∴[𝐹(𝑥)]min=𝐹(𝑒)=𝑒22−𝑎+(1−𝑎)𝑒，由题意得𝑒22−𝑎+(1−𝑎)𝑒≤𝑎，解得𝑎≥𝑒2,∴𝑎≥𝑒；③当1<𝑎<𝑒

时，𝑥∈(1,𝑎)时，𝐹′(𝑥)<0,∴𝐹(𝑥)在(1,𝑎)上单调递减；𝑥∈(𝑎,𝑒)时，𝐹′(𝑥)>0,∴𝐹(𝑥)在(1,𝑎)上单调递增．∴[𝐹(𝑥)]min=𝐹(𝑎)=𝑎22−𝑎+(1−𝑎)�

�，由题意得𝑎22−𝑎ln𝑎+(1−𝑎)𝑎≤𝑎，即ln𝑎+𝑎2≥0，恒成立，∴1<𝑎<𝑒．综上，实数a的取值范围为[34,+∞)．法二：∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≤𝑎成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],(𝑥+

ln𝑥+1)𝑎≥12𝑥2+𝑥成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],𝑎≥12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1成立，令ℎ(𝑥)=12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1,𝑥∈[1,𝑒]，则ℎ′(𝑥)=(12𝑥+ln𝑥)(𝑥+1)(𝑥+ln𝑥+1)2>0，∴ℎ

(𝑥)在[1,𝑒]上是增函数，[ℎ(𝑥)]min=ℎ(1)=34，∴𝑎≥34，即实数a的取值范围为[34,+∞)．【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）当𝑎=12时，从而求出函数f(x)与g(x)的解析式，令ℎ(𝑥)=𝑓(

𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ(𝑥)=𝑥22−12ln𝑥−12𝑥，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以ℎ(𝑥)>ℎ(1)=0，即证出𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)。（2）用两种方法求解。法一，令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，则𝐹(�

�)=𝑥22−𝑎ln𝑥+(1−𝑎)𝑥,𝑥∈[1,𝑒]，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。法二，∃𝑥∈[1,𝑒]，使得不等式𝑓(𝑥)+𝑔(�

�)≤𝑎成立⇔∃𝑥∈[1,𝑒],𝑎≥12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1成立，令ℎ(𝑥)=12𝑥2+𝑥𝑥+ln𝑥+1,𝑥∈[1,𝑒]，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实

数a的取值范围。