【文档说明】江西省宜丰中学、宜春一中、万载中学2021届高三三校3月联考数学（理）试卷 PDF版含答案.pdf，共(5)页，499.125 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1万载中学、宜丰中学、宜春一中2021届高三联考数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1．已知复数21izi，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合{(,)|210},Axyxy

{(,)|0}Bxyxy，则AB（）A．{1,1}xyB．{1,1}C．{(1,1)}D．3．已知10210012101222xaaxaxax，则9a（

）A．10B．10C．45D．454.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形

的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（）注：圆台体积公式：)(h31下上下上SSSSVA.9寸B.7寸C.8寸D.3

寸5.下列命题正确的是（）A.在独立性检验中，随机变量2K的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B.已知2,XN，当不变时，越大，X的正态密度曲线越高瘦C.若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面//平面D.若平面

平面，直线m，//nm，则n//6．在矩形ABCD中，1AB，2AD，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，则AEEC（）A．1225B．2425C．125D．457．函数cosx

fxx（22x且0x）的图象可能．．是（）A．B．C．D．8.裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列na

满足：121aa，21nnnaaa，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（）A．14B．13C．12D．239．已知函数1ln12xfxex，若41log5af，5

log6bf，6log4cf，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．bacB．abcC．cbaD．cab10．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线与圆22(23

)4xy相交于A，B两点，若2AB，则C的离心率为（）A．233B．3C．2D．411．已知函数()sin06fxx在区间0,4上的最大值为3，则实数的取值个数最多为（）A．1B．

2C．3D．412．已知函数)1(log)(aaxexfexa没有零点，则实数a的取值范围为（）A．(e，+∞)B．(e，+∞)C．(1，+∞)D．(1ee，+∞)二、填空题（每题5分，共20分）13．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…38，39．现要从中选出5

个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______.064743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533

23732270736075124517914．已知tan()2,4则sin2______.15．若x，y满足约束条件60,240,240,xyxyxy则2zxy的最大值为___________.16．如图所示，三棱锥PABC中，ABC

是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DEPBE，且DEAB，若120EDC，32PA，332PB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为__________．2三、解答题（70分）17．（12分）已知数列na的前

n项和nS满足2nnSnan，Nn，且23a．（1）求数列na的通项公式；（2）设111nnnnnbaaaa，nT为数列nb的前n项和，求使920nT成立的最小正整数n的值．18．

（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，2APB，3ABC，23PB，4PC，点M是AB的中点.（1）求证：CM平面PAB；（2）线段CD上是否存在一点N，使得直线PN与平面PMD所成的角的正弦值为68，若存在，求出的CNND值，若不存在

，请说明理由.19．（12分）宜春市为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为

0.60.8pp．（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引

种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B种树苗多少棵？20.已知椭圆C：

x24＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足OM→＝λOP→(λ＞1，λ是常数)．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.(1)求曲线Cλ的轨迹方程；(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点

为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．21．已知函数3()2xfxexmx.（1）若x轴为曲线yfx的切线，试求实数m的值；（2）已知xgxfxe，若对任意实数x，均有)()(

g1xgex，求m的取值范围.选考题（任选一题作答，多做则按第1题计分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为126126xmmymm（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

l的极坐标方程为ρcos（θ+3）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求11||||MPMQ的值．23．记函数1()212

fxxx的最小值为m.（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足abcm，证明：9abbccaabc.3参考答案题号123456789101112答案ACADADBABCBA1．A2．C3.A101021001210112222xxa

axaxax1102rrrTCx，99910110aC.故选：A4．【答案】D由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为1(146)102

寸，则盆中水体积为22196106105883（立方寸）所以平地降雨量为2588314（寸），故选：D．5．A.对选项A，因为随机变量2K的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A正确.对选项B，根据正态曲线的几何特征，

即可判断B错误.对选项C，当平面与平面相交时，在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，故C错误.对选项D，若平面平面，直线m，//nm，则直线n有可能在平面内，故D错误.故选：A6．D建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)ABCD，设(,)

Exy所以(,1),(,),2,1AExyBExyBDAEBD且//BEBD21020xyxy，解得2515xy481(,),

,5212(,),55555AEECE，8414+552555AEEC.故选：D7B【详解】因为cos()cos()()xxfxfxxx，又22x且0x，所以()fx为奇函数

，其函数图象关于原点对称，所以排除,AC；由题，得2sincos()xxxfxx，因为当02x时，sin0,cos0xx，所以sincos0xxx，则()0fx，所以()fx在0,2递减，所以排除D.故选：B8A【详解】裴波那契数列为：1，1

，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，观察发现前12项中，第4项，第8项，第12项都能被3整除.以此类推前40项中，第4项，第8项，第12项，第16项，第20项，第24项，第28项，第32项，第36项，第40项，共10项，能

被3整除.所以能被3整除的概率为101404P.9．B由题可知：fx的定义域为R，且1ln12xfxex111lnln122xxxexexe，则fx为偶函数，112xxeefx

2112121xxxxxeeeee，当0x时，0)('xf，fx在),0(上单调递增.又由45551log5log6log6log45551log4log6lo

g42555log4log612log4255log25120log4所以456log5log61log40，41log5af44log5log5ff，故abc.故选：B（构造函数xxx

hln)1ln()(比较大小也可以）10．C解：设双曲线的一条渐近线方程为：byxa，又由已知圆的方程可得圆心为(0M，23)，半径2r=，设圆心M到渐近线的距离为d，则222||2242ABrdd

，所以2|23|31()dba，即21ca，所以2e，故选：C．11．B因为函数()sin06fxx在区间0,4上的最大值为3，所以013，解得03，因为0,4x，所以6646x

，①当462，即803时，maxsin463fx，令sin,463gh，在同一坐标系中作出图象：令sin463F，因为188100,102399FF

所以存在唯一，使得sin463；②当462，即833时，max1fx，即13，解得3，所以实数的取值个数最多为2.故选：B12．A11loglog,exxeeaafxexaxa令1(1),e

bab因为logbyx与xyb关于yx对称，所以logxeafxexa没有零点等价于log(1)xbgxxbb没有零点，等价于(1)xhxbxb没有零点.4ln1,xhxb

b令0hx得1loglnbxb，则hx在1,loglnbb上单调递减，在1log,lnbb上单调递增，1logln11

loglog0,lnlnbbbbhxhbbb所以1,ebe故ae.故选：A.13．11利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至由一次读取，即47开始读取，在编号范围内的提

取出来，可得36,33,26,16,11，则选出来的第5个零件编号是1114．35设4t,则tan2t,所以21cos5t,所以23sin2sin2sin2cos22cos1425tttt

,故答案为:3515．14作出可行域如图所示，将目标函数化为122zyx，联立60240xyxy，解得28xy，则(2,8)A，由图可知，当直线122zyx经过点

2,8A时，目标函数取得最大值，且max21614z.故答案为：1416【答案】13【解析】三棱锥PABC中，ABC是边长为3的等边三角形，设ABC的外心为1O，外接圆的半径10332sin60OA

，在PAB中，333,,323PAPBAB，满足222PAPBAB，PAB为直角三角形，PAB的外接圆的圆心为D，由于,CDABEDAB，0120EDC为二面角PABC的平面角，分别过两个三角形

的外心1,OD作两个半平面的垂线交于点O，则O为三棱锥PABC的外接球的球心，在1RtOOD中，011330,2ODODO，则013cos30,12ODODODOD，连接OA，设OAR，则22222313124RADOD

，21344=134SR球.17．（1）12121nann（2）50（1）由2nnSnan，得11211nnSnan．将上述两式相减，得11211nnnanana．所以111nnnana．①所以

1211nnnana．②①－②，得1220nnnnanana，所以212nnnaaa．故数列na为等差数列．又由1121Sa，及23a，得11a，na的

公差2d．所以12121nann．（2）由（1）知，121212121nbnnnn．所以121212121nbnnnn121211112221212121nnnnnn

．所以11111111122213352121nTnn111221n．由920nT，得119122021n．所以111021n，2110

0n，992n．所以使920nT成立的最小正整数n的值为50．18．解：（1）证明：连接PM，在PAB中，因为3ABC，23PB，4PC，所以2PA.因为点M是AB的中点，所以2BMPM.在BMC中，3MBC，2BM，4BC，由余弦定哩，有23

CM，所以222BMCMBC，所以ABCM.在PMC中，2PM，23CM，4PC满足222PCCMPM，所以PMCM，又ABPMM，所以CM平面PAB.（2）如图，以点M为坐标原

点，建立空间直角坐标系，则()0,0,0M，(0,23,0)C，(4,23,0)D，设,0,ppPxz，(,23,0)([0,4])N在PAB中，3PPAPBzAB，而2PM，得1Px，所以(

1,0,3)P.平面PMD的一个法向量为111,,mxyz，直线PN与平面PMD所成角为.因为0(1,0,3),(4,23,0),0mMPMPMDmMD

，所以(3,2,1)m.因为(1,23,3)PN.所以2|||433|6sin|cos,|8||||22216mPNmPNmPN

，得210160，所以2或8(舍)，所以1CNND.19.【解析】（1）依题意，X的所有可能值为0、1、2、3，则2200.310.30.60.3PXppp，

2210.710.3210.10.80.7PXppppp，22220.710.31.11.4PXppppp，5230.7PXp.所以，随机变量X的分布列为：X0123P20.30.6

0.3pp20.10.80.7pp21.11.4pp20.7p22210.10.80.721.11.430.720.7EXpppppp；(2)由（1）知当0.8p时，EX取得最大值．①一

棵B种树苗最终成活的概率为：0.810.80.750.80.92，②记Y为n棵树苗的成活棵数，则,0.92YBn，0.92EYn，0.924000.0880100000n

，100000276.55361.6n≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．20解：(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为),(yx.由于点P在椭圆C上，得曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为x24λ2＋y2λ2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，

这时直线l的方程为x＝±2，联立方程组x＝±2，x24＋y2＝λ2，y＝±λ2－1，得|AB|＝2λ2－1.得S△OAB＝12|OP|·|AB|＝2λ2－1，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝

0，由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组y＝kx＋m，x24＋y2＝λ2，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0.所以x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4（m2－λ2）4k2＋1.则|AB|＝1＋k2·16（4k2＋1）（λ2

－1）4k2＋1＝41＋k2·λ2－14k2＋1.原点到直线l的距离为d＝|m|1＋k2＝4k2＋1k2＋1，所以S△OAB＝12|AB|d＝2λ2－1.综上所述，△OAB的面积为定值2λ2－1.21．（1）e3m；（

2）[1,)m解：（1）解：由2()e3xfxxm，设曲线()yfx与x轴相切于0,0Px，则00fx，00fx.所以0030020e20e30xxxmxxm，代入整理得02000

1e210xxxx，由0e0x，22000131024xxx，∴01x，此时e3m.经检验，当e3m时，x轴为曲线()yfx的切线.（2）由3()()e2xgxfxxmx，记1()exhxx，1()e1xhx

(,1)x时，()0hx；(1,)x时，()0hx，故()yhx在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.所以()(1)2hxh不妨设1exxt(2t)，则1e()()()xggxgxtgx3

3()()22xtmxtxmx221324ttxtm因为[2,)t时，要满足()()gxtgx恒成立，则2222121331212424txt(2t时

，1x，能同时取等号).即10m即可，解得[1,)m.综上，[1,)m时符合题意.22、解：(1)曲线C的参数方程为126126xmmymm（m为参数），两式平方相减得2233144xy．直线l

的极坐标方程为ρcos（θ+3）＝1，则(coscossinsin)133转换为直角坐标方程为320xy．（2）将直线的方程转换为参数方程为32212xtyt（t为参数

），代入2233144xy得到23123160tt（t1和t2为P、Q对应的参数），所以1243tt，12163tt，所以11|||||MPMQ＝1212||||33||||4ttMPMQMPMQtt

．23、解：（1）111()222fxxxx111222xxx1112x，当且仅当11022102xxx即12x

时，等号成立.当12x时min()1mfx（2）由题意可知，111abbccacab，因为0a，0b，0c，所以要证明不等式9abbccaabc，只需证明111()9abccab，因为3311

11()339abcabccababc成立，所以原不等式成立.