【文档说明】天津市南开中学2022-2023学年高三上学期第三次月考（1月期末考）数学试卷 含答案.docx，共(11)页，541.371 KB，由管理员店铺上传

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天津市南开中学2023届高三第三次月考一、选择题1．设i为虚数单位，则复数21iz=+的虚部是（）A．i-B．1-C．iD．12．集合{}2|4Axx=>，{}|51Bxx=-<<，则()RABð=（）A．{}|52xx

-<<-B．{}|22xx-<<C．{}|21xx-<<D．{}|21xx-?3．已知直线()1:120laxay-+=，()()2:22110laxay-+++=，则1a=是12//ll的（）条件A．充分不必要B．必要不

充分C．充要D．既不充分也不必要4．623xx骣琪-琪桫展开式中的常数项是（）A．135-B．135C．1215D．1215-5．已知2log3a=，0.42b=，1313c-骣琪=琪桫，则,,abc的大小关系是A．bac<<B．acb

<<C．abc<<D．bca<<6．将函数()2sin23fxx骣琪=-琪桫的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移6个单位，得到函数()gx的图象，全科免费下载公众号《高中僧课堂》则下列说法正确的是（）A．()gx的图象关于点7,024骣琪琪桫对称B

．()gx的图象关于直线6x=对称C．()gx过点,28骣琪琪桫D．()gx在区间0,24骣琪琪桫上单调递增7．设抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为F，C上一点B，满足直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在,FM之间，若2FBBM=，且点B到抛物线准线的距离为43

，则点M的纵坐标为（）A．1B．2C．32D．38．已知双曲线H：()222210,0xyabab−=的右焦点为F，关于原点对称的两点,AB分别在双曲线的左．右两支上，0AFFB=，32BFFC=，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．2B．375C．102D．2339．已知函数()

3,42,4,26.6xxxfxxxx−+=−若方程()20fxax+=有5个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．21,43−−−B．11,34−−C．12,34D．21,43

+二、填空题10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为________

_11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则1533P=______12．等差数列na中，31a=，5672aaa−+=，则数列

()cosπna的前2023项和为___________.13．已知,ab都是正数，则222ababab+++的最小值是___________14．已知圆C的圆心为()2,1C，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420lxy-+=与

C交于,AB两点，120ACB?，则实数=__________15．如图，在ABC中，,23BAB==，点M满足13AMAC=，43BMAC?，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则OAON×的最小值是______三、解答题16．在ABC，中，记角A，B，C

的对边分别为,,abc，已知cos3sinacCCb++=(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且4,27,6ADBDAB===，求ABC的面积.OMCBA17．如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面AB

CD，,,3ABBCADBCAD⊥=∥，2,1,3PABCABPB====．(1)．求证：PB^平面ABCD；(2)．求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；(3)．若点E在棱PA上，且//BE平面PCD，求线段BE的长.18．已知椭圆C中心在原点，右焦点()2,0F，离心率为12.（1）求

椭圆C的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A和2A，B为椭圆位于第二象限的一点，在y轴上存在一点N，满足BFNF^，设12AAB和1AFN的面积分别为1S和2S，当12:3:2SS=时，求直线1AB的斜率.19．已知

公差不为零的等差数列na，{}nb为等比数列，且满足11ab=，442ba=，2352bba+=+，248,,aaa成等比数列.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nT，若不等式()*942nnnTnN++−恒成立，

求实数的取值范围．20．已知函数()esinxfxkx=−.（1）．当1k=，0,2x骣琪Î琪桫时，求()fx的单调区间；（2）．若()fx在区间0,2内存在极值点.①．求实数k的取值范围；②．求证：

()fx在区间()0,内存在唯一的，使()1f=，并比较与2的大小，说明理由.一、选择题BDABCDDBA二、填空题10、3011、4712、1213、4213-14、1-或11-15、2936-三、解答题16、（

1）因为cos3sinacCCb++=，由正弦定理可得sincos3sinsinsinsinBCBCAC+=+，因为π=−−ABC，所以()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，所以3sinsincossinsinBCBCC=+，因为0πC

，则sin0C，所以3sincos1BB=+，即3sincos1BB−=，故π2sin16B−=，又0πB，所以ππ66B−=，故π3B=.（2）在ABD中由余弦定理可得，2221cos22ABADBDAABAD+−==，0πA，60A=ABC是等

边三角形，所以113sin6693222ABCSABBCB===，即ABC的面积是93．17．(1)．略（2）解：在PAB△中，因为2,3,1PAPBAB===，所以222PAABPB=+，所以PBAB⊥．所以，建立空间直角坐标系Bxyz−，如图所示．所以(1,0,0),(0,0,0),

(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)ABCDPCDPC−−=−=−，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n=．设平面PCD的一个法向量为(,,)mxyz=，则=0=0mCDmPC，即=2=3xyyz，令=

2z，则(3,3,2)m=．则210cos,5||||334nmnmnm===++，即平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值为105．（3）解：因为点E在棱PA，所以,[0,1]AEAP=．因为(1,0,3)AP=．所以(,0,3),(1,0,3)AEBEBAAE==+=−．

又因为BE∥平面PCD，m为平面PCD的一个法向量，所以0BEm=，即3(1)+23=0−，所以13=．所以23,0,33BE=−，所以7||3BEBE==18．（1）椭圆方程221

1612xy+=（2）设直线1AB的方程为4xmy=-，显然0m>，联立2243448xmyxyì=-ïí+=ïî()223424mymy?=，所以2222224241216,4343434BBmmmyxmmm-==-=+++，所以22222

443412164234BFmmmkmmm+==---+，设()0,Nu，所以2244422mumumm--=?-，根据题意，12:3:2SS=24222424423628910448023493mmmmmmmm-薮?创?-=??+，所以所求直线斜率为3219．(1)．2,2n

nnanb==(2)．∵1222nnnnannb−＝＝，则23123412222nnnT−＝＋＋＋＋＋，23111231222222nnnnnT−−＝＋＋＋＋＋，2311111111221212222222212nnnnnnnnnT−−−−−−＋＝＋＋＋＋＋＝

＝，1242nnnT−−＋＝，()*942nnnTnN++−恒成立，则192544222nnnnnn−−−−＋＋＋＝恒成立，令()52nnfn−＝，则()()114561222nnnnnnfnfn−−−−−＋＋＋＋＝＝，()()()(

)()12678fffff＜＜＜＝＞＞，()()1()6764maxfnff＝＝＝，164，故实数的取值范围是164，+20．(1)．()'cos,0,2exfxxx骣琪=-?琪桫，()''sin0exfxx=+>，所以()'f

x在0,2骣琪琪桫()()''00fxf>=，所以()fx在0,2骣琪琪桫单调递增（2）．①()ecosxfxkx=−，又()0f=，则ecosk=且π(0,)2，∴2e(cossin)0cosk+

=，即k在π(0,)2上递增，故1k，当1k时，在(0,)2x上()esin0xfxkx=+，即()fx递增，又(0)10fk=−，()e0fk=+，∴(0,)上()0fx，(,)2上()0fx，则()fx在(0,)上递减，在(,)

2上递增，∴()fx在处取极小值，符合题设.∴1k.②要证在()0,内存在唯一的使()1f=，只需证()esin1xgxkx=−−在()0,上有唯一零点，∴()ecosxgxkx=−，由（1）知

：()gx在(0,)上递减，在(,)2上递增，又[,)2x时，()ecos0xgxkx=−，即()gx在[,)2上递增，综上，()gx在(0,)上递减，在(,)上递增，而(0)0()gg=，()e10g=−，∴()gx在(0,)无零点

，在(,)上存在一个零点，故存在唯一()0,使()0g=.由①知：ecos1k=，∴22(2)esin21e2sine1e(e2sin)1gk=−−=−−=−−，令2e2si()ne1xxhxx=−−且(0,)2x

，则e[e(cossin)2]'()xxxhxx−+=，令e(cossin)xyxx=−+，则显然esincos0xyxx=+−，则y递增，∴0y，即'()0hx，故()hx在(0,)2x上递增，则()()00hxh=，∴在π(0,)2

有(2)0g，即有(2)()0gg=，又()gx在(,)上递增且2<<，∴2.