【文档说明】新教材2022版数学苏教版必修第一册提升训练：6.2 指数函数含解析.docx，共(22)页，142.276 KB，由小赞的店铺上传

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6.2指数函数基础过关练题组一指数函数的概念1.下列函数中指数函数的个数是(深度解析)①y=2x;②y=x2;③y=2x+1;④y=xx;⑤y=(6a-3)x(𝑎>12且𝑎≠23).A.0B.1C.

2D.32.(2020江苏镇江中学高一期中)已知指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(6)=()A.34B.164C.43D.1123.已知函数f(x)={2𝑥,𝑥≥3,𝑓(𝑥+1),𝑥<3,则f(0)的值

为.4.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f(x)是指数函数,如果f(3)=9f(1),那么f(8)f(4)(填“>”“<”或“=”).题组二指数函数的图象5.(2020江苏东台中学高一月考)要得到函数f(

x)=21-x的图象,可以将()A.函数y=2x的图象向左平移1个单位长度B.函数y=2x的图象向右平移1个单位长度C.函数y=2-x的图象向左平移1个单位长度D.函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度6.(2021江苏仪征中学高一期中)当a>1时,函数y=

ax和y=(a-1)x2的大致图象是()ABCD7.已知y1=(13)𝑥,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为()8.(2021江苏连云港板浦高级中学高一期中)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1

)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题组三指数(型)函数的性质及简单应用9.(2021江苏镇江大港中学高一期中)函数y=√1-(12)𝑥的定义域是()A.(0,+

∞)B.(-∞,0)C.[0,+∞)D.(-∞,0]10.(2020江苏扬州宝应中学高一月考)函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是()A.[0,1]B.[-1,0]C.[0,12]D.[-12,0]11.(

2020江苏泰州姜堰中学高一期末)函数y=ax(a>0,a≠1)在[0,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值为()A.√2B.√3C.2D.312.(2021山东济宁高一上期中)不等式(12)2𝑥2

-1>(12)4-3𝑥的解集为.13.(2020江苏泰兴第一高级中学高一上期中)若函数y=6-𝑥2+𝑎𝑥在区间(-∞,1]上单调递增,则实数a的取值范围是.14.比较下列各组数中两个数的大小.(1)(12)-√3与(12)-1.7;(2)(23)-45与(32)67;(

3)279与(14)-49;(4)𝑎-35与𝑎-47(其中a>0且a≠1).易错15.(2020江苏常州教学研究合作联盟高一上期中)已知函数f(x)=𝑚2𝑥-1-1是奇函数.(1)求实数m的值;(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.16.(2020江苏扬州高一期中)已知函数f(

x)=ax+k-a-x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)<0,且不等式f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0对任意t∈[-1,1]恒成立,求实数x的取值范围.题组四指数(型)函数的实际问题17.如图,某池塘中的浮

萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)满足关系式y=at(a>0,且a≠1),给出下列说法:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相

等.其中正确的是()A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②18.(2021江苏无锡高一期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到20~80mg(不包括80mg)的驾

驶员即为酒后驾车,80mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为()A.

6B.5C.4D.319.(2021江苏海安高级中学高一阶段测试)某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量

).经过5h后,经测试,消除了20%的污染物.问:(1)15h后还剩百分之几的污染物?(2)污染物减少36%需要花多长时间?易错能力提升练题组一指数(型)函数的图象及应用1.()如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax

(a>1)的图象经过点E,B,则a等于()A.√2B.√3C.2D.32.(2020广东汕头澄海中学高一期中,)已知函数f(x)=x-4+9𝑥+1,x∈(0,4).当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b

|的图象是()ABCD3.()若函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=2a有两个公共点,则实数a的取值范围是.4.(2020江苏盐城东台高一上期中,)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a

≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9).(1)求a+b的值;(2)当x≤-3时,函数y=(1𝑎)𝑥+1𝑏的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取值范围.题组二指数(型)函数的性质及应用5.(2

021江苏江安高级中学高一期中,)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为9,最小值为n,且函数g(x)=(4n-1)√𝑥+1在[-1,+∞)上是减函数,则a=()A.3B.19C.9D.136.(2021江苏连云港石

榴高级中学高一月考,)若函数f(x)=𝑎2𝑥2-𝑎𝑥+1(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,4]D.[4,+∞)7.(2020浙江温州十五校联合体高

一上期中联考,)已知a>0,设函数f(x)=2019𝑥+1+32019𝑥+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N=()A.2025B.2022C.2020D.20198.(2021江苏泰兴中学高一月考,)已

知函数f(x)=2𝑥+𝑚2𝑥+1,若对任意x1,x2,x3∈R,总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,则实数m的取值范围是()A.[12,1]B.[0,1]C.[12,2]D.[1,2]9.(多选)(2020江苏徐

州郑集高级中学高一期中,)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函

数f(x)=2𝑥1+2𝑥−12,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是()A.g(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,0,1}10.(2021江苏扬州新华中学高一月考,)已知1+2x+4x·

a>0对一切x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围是.11.(2020山东济南兖州实验高级中学高一期末,)已知函数f(x)=2𝑎𝑥-4+𝑎2𝑎𝑥+𝑎(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x∈(1,2)时,2+mf(x)-2x>0

恒成立,求实数m的取值范围.12.(2019江苏泰州姜堰第二中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=1-5𝑥·𝑎5𝑥+1,x∈(b-3,2b)是奇函数.(1)求实数a,b的值;(2)证明:f(x)是区间(b-3,2b)上的减函数;(3

)若f(m-1)+f(2m+1)-3m>0,求实数m的取值范围.13.(2020浙北G2高一上期中联考,)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=3𝑥𝑎+𝑎3𝑥是偶函数.(1)求实数a的值;(2

)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;(3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.答案全解全析6.2指数函数基础过关练1.C①是指数函数;②的底数不是常数,故不是指数函数;③的指数是x+1,而

不是x,故不是指数函数;④的底数不是常数,故不是指数函数;⑤因为a>12且𝑎≠23,所以6a-3>0且6a-3≠1,故是指数函数.所以指数函数的个数是2,故选C.解题模板判定一个函数是指数函数的依据:①形如y=ax的函数

,ax的系数必须是1;②底数a满足a>0,a≠1;③自变量为x,而不是a,且自变量的取值范围为R.2.B设f(x)=ax(a>0且a≠1).∵f(x)的图象过点(-2,4),∴f(-2)=a-2=4,解得a=12,∴f(

6)=(12)6=164.故选B.3.答案8解析f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=23=8.4.答案>解析设f(x)=ax(a>0,且a≠1).依题意得f(3)=a3=9f(1)=9a1,即a(a+3)·(a-3)=0,解

得a=0(舍去)或a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x.因此f(4)=34,f(8)=38=34×34,所以f(8)>f(4).5.D将函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度后可得y=2-(x-1)=21-x的图象.故选D.6.A当a>1时,函数y=ax为增函数,

函数y=(a-1)x2的图象开口向上,且对称轴为y轴,故选A.7.Ay2=3x与y4=10x是增函数,y1=(13)𝑥与𝑦3=10−𝑥=(110)𝑥是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知选A.8.C易知f(x)=ax-2+1

(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,∴g(x)为减函数,且过点(0,1),∴函数g(x)的图象不经过第三象限.故选C.9.C易得1-(12)𝑥≥0,即(12)𝑥≤1=(12)0,解得x≥0,因此函数y=√

1-(12)𝑥的定义域为[0,+∞).故选C.10.B令f(x)=2x,由指数函数的性质可得f(x)=2x是增函数,∴当x∈[0,1]时,f(0)≤f(x)≤f(1),即1≤f(x)≤2,∴-2≤-2x≤-

1,∴-1≤1-2x≤0,∴函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域为[-1,0].故选B.11.B当a>1时,函数y=ax单调递增,则在[0,2]上的最大值与最小值的差为a2-a0=2,解得a=√3(a=-√3舍去).当0<a<1时,函数y=ax单调递减,则在[0,2]上的最大值与最小值的差为

a0-a2=2,得a2=-1,无解.所以a=√3.故选B.12.答案(-52,1)解析∵(12)2𝑥2-1>(12)4-3𝑥,y=(12)𝑥在R上是减函数,∴2x2-1<4-3x,解得-52<x<1,∴

不等式的解集为(-52,1).13.答案[2,+∞)解析函数y=6-𝑥2+𝑎𝑥是由y=6u与u=-x2+ax复合而成的,y=6u在(-∞,1]上单调递增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=𝑎2,故𝑎2≥1,解得a≥2.14.解析(1)∵y=(12)𝑥为减函数,且

-√3<-1.7,∴(12)-√3>(12)-1.7.(2)∵(23)-45=(32)45,y=(32)𝑥为增函数,且45<67,∴(23)-45<(32)67.(3)∵(14)-49=289,y=2x为增

函数,且79<89,∴279<(14)-49.(4)当a>1时,y=ax单调递增,又-35<−47,∴𝑎-35<𝑎-47.当0<a<1时,y=ax单调递减,又-35<−47,∴𝑎-35>𝑎-47.易错警示利用指数函数的单调性判断指数式的大

小关系时,要注意底数与1的关系.15.解析(1)由题意知2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则𝑚2-𝑥-1−1=−𝑚2𝑥-1+1,即𝑚·2𝑥1-2𝑥=−𝑚2𝑥

-1+2,即m·2x=m+2(1-2x),即(m+2)(2x-1)=0对于定义域中的任意x都成立,所以m=-2.经检验,m=-2时,f(x)是奇函数.(2)证明:由(1)知f(x)=-22𝑥-1-1

.在(0,+∞)内任取x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-22𝑥1-1−1−-22𝑥2-1+1=-2(2𝑥2-2𝑥1)(2𝑥1-1)(2𝑥2-1),∵0<x1<x2,∴2𝑥1-1>0,2𝑥2-1>0,2𝑥2−2𝑥1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1

)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.16.解析(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=ak-1=0,解得k=0,当k=0时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数,符合题意.(2)由(1

)知f(x)=ax-a-x,由f(1)<0得a-1𝑎<0,所以0<a<1,所以f(x)=ax-a-x是R上的减函数.因为f(x)为奇函数,所以由f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0得f(3tx+4)≤-f(-2x2+1)=f(2x2-

1).因为f(x)是R上的减函数,所以3tx+4≥2x2-1对任意t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=3tx+4-2x2+1=3tx+5-2x2,则g(t)≥0对任意t∈[-1,1]恒成立,所以{𝑔(1)=3𝑥+5-2𝑥2≥0,𝑔(-1)=-3𝑥+5-2𝑥2≥0,解得-1≤x≤

1,所以实数x的取值范围是[-1,1].17.D由题中图象知,当t=2时,y=4,则a2=4,故a=2(a=-2舍去),①正确;当t=5时,y=25=32>30,②正确;当y=4时,由4=2𝑡1知t1=2,当y=12时,由12=2𝑡2知t2=

log212=2+log23,t2-t1=log23≠1.5,故③错误;浮萍每月增加的面积不相等,增长速度越来越快,④错误.故选D.18.C设他需要经过x个小时才能驾车,则60(1-25%)x<20,即(34)𝑥<13.当x=3时,(3

4)3=2764>13;当x=4时,(34)4=81256<13.结合选项知他至少需要经过4个小时才能驾车,故选C.19.解析(1)由题意得P02-5k=(1-20%)P0,则2-5k=80%.故当t=15时,P0·2-15k=P0·(2-5𝑘)3=(80%)3P0=5

1.2%P0.故15h后还剩51.2%的污染物.(2)令P02-kt=(1-36%)P0,即(2-5𝑘)𝑡5=64%,所以(80%)𝑡5=64%,所以𝑡5=2,即t=10,故污染物减少36%需要花10h.易错警示从实际问题向数学问题的转化过程中,要检验所

得结果,必要时运用估算近似运算,以使结果符合实际问题的要求.能力提升练1.A设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A(8𝑚,𝑚),E(4𝑚,𝑚),B(8𝑚,2𝑚).因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以{

𝑚=𝑎4𝑚,①2𝑚=𝑎8𝑚,②①式两边平方得m2=𝑎8𝑚,③②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2,所以a=√2或𝑎=−√2(舍去).2.A函数f(x)=x-4+9𝑥+1=𝑥+1+9𝑥+1−5可以看成由函数𝑦=𝑢+9𝑢-5和

u=x+1复合而成的.当x∈(0,2)时,u=x+1是增函数,此时u∈(1,3),y=u+9𝑢-5是减函数,故f(x)是减函数;当x∈(2,4)时,u=x+1是增函数,此时u∈(3,5),y=u+9𝑢-5是增函

数,故f(x)是增函数.故当x=2时,f(x)取得最小值,依题意得a=2,b=f(2)=3+3-5=1,故g(x)=a|x+b|=2|x+1|,g(x)的图象是由y=2|x|={2𝑥,𝑥≥0,(12)𝑥,𝑥<0的图象向左平移一个单位长度得到的.故选A.3.答案

0<a<12解析在平面直角坐标系中作出函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的大致图象.当0<a<1时(如图1),需满足0<2a<1,即0<a<12;图1当a>1时(如图2),2a>2,两个函数图象不可能有两个公共点.图2所以满足题意的a的取值范围是0<a<12.4.解

析(1)∵函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9),∴{𝑏𝑎=1,𝑏𝑎3=9,∴a2=9,∴a=3(a=-3舍去),b=13,∴a+b=103.(2)由(1)得

当x≤-3时,函数y=(13)𝑥+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,即当x≤-3时,不等式(13)𝑥+3-2x-t>0恒成立,亦即当x≤-3时,t<[(13)𝑥+3-2𝑥]min.设g(x)=(13)𝑥+3-2x(x≤-3),

∵y=(13)𝑥在(-∞,-3]上单调递减,y=-2x在(-∞,-3]上单调递减,∴g(x)=(13)𝑥+3-2x在(-∞,-3]上单调递减,∴g(x)min=g(-3)=36,∴t<36.5.B∵g(x)=(4n-1)√𝑥+1在[-1,+∞)上是减函数,∴4n-1<0,解得n<14.当a

>1时,f(x)的最大值为a2=9,即a=3(负值舍去),最小值n=3-1=13>14,不符合题意;当0<a<1时,f(x)的最大值为a-1=9,即a=19,最小值n=(19)2=181<14,符合题意.综上所述,a=19.故选B.6.C当0<

a<1时,f(x)在(-∞,𝑎4)上单调递增,在(𝑎4,+∞)上单调递减,因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以{0<𝑎<1,𝑎4≥3,无解﹔当a>1时,f(x)在(-∞,𝑎4)上单调递减,在(𝑎4,+∞)上单调递增,因为函数f(x)在(1,3)

上单调递增,所以{𝑎>1,𝑎4≤1,解得1<a≤4.所以a的取值范围为(1,4],故选C.7.Bf(x)=2019𝑥+1+2019-20162019𝑥+1=2019−20161+2019𝑥,∴f(-x)=2019-20162019-

𝑥+1=2019−2016×2019𝑥2019𝑥+1.∴f(x)+f(-x)=4038-2016·12019𝑥+1+2019𝑥2019𝑥+1=4038-2016=2022.易得f(x)在[-a,a]上是增

函数,∴M+N=f(a)+f(-a)=2022,故选B.8.C因为f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,所以对任意x1,x2,x3∈R,f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立.函数f(x)=2𝑥+𝑚2𝑥+1=2𝑥+1+𝑚-12𝑥+1=1+𝑚-12𝑥+1.当m≥

1时,f(x)在R上单调递减,函数f(x)的值域为(1,m),所以f(x1)+f(x2)>2且f(x3)<m,所以m≤2,又m≥1,所以1≤m≤2;当m<1时,f(x)在R上单调递增,函数f(x)的值域为(m,1),所以f(x1)+f(x2)>2m且f(

x3)<1,所以1≤2m,解得m≥12,所以12≤m<1.综上,m的取值范围是12≤m≤2.故选C.9.BC∵g(1)=[f(1)]=[21+2-12]=0,g(-1)=[f(-1)]=[2-11+2-1-12]=-1,∴g(-1)≠g(1),∴g(

x)不是偶函数,故A错误;∵f(x)=2𝑥1+2𝑥−12的定义域为R,f(-x)+f(x)=2-𝑥1+2-𝑥+2𝑥1+2𝑥−1=2𝑥·2-𝑥2𝑥(1+2-𝑥)+2𝑥1+2𝑥−1=1+2𝑥1+2𝑥-1

=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,故B正确;∵f(x)=2𝑥1+2𝑥−12=1+2𝑥-11+2𝑥−12=12−11+2𝑥,且y=2x在R上是增函数,∴f(x)=12−11+2𝑥在R上是增函数,故C正确;∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<11+2𝑥<1,

∴-12<12−11+2𝑥<12,即-12<f(x)<12,∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.故选BC.10.答案(-34,+∞)解析1+2x+4x·a>0可化为a>-1+2𝑥4𝑥=-2-2x-2-x.令t

=2-x,则a>-t2-t,由x∈(-∞,1],得t∈[12,+∞),易知函数y=-t2-t=-(𝑡+12)2+14在[12,+∞)上递减,所以当t=12时,y=-t2-t取得最大值-34,所以a>-34.11.解析(1)∵f(x)是定义在R上的

奇函数,∴f(0)=2-4+𝑎2+𝑎=0,解得a=2.经检验,满足题意.(2)由(1)知f(x)=2·2𝑥-22·2𝑥+2=2𝑥-12𝑥+1=1−22𝑥+1,易知f(x)在R上单调递增,∵2x+1>1,∴-2<-

22𝑥+1<0,∴-1<1-22𝑥+1<1,∴函数f(x)的值域为(-1,1).(3)∵2+mf(x)-2x>0,∴mf(x)>2x-2,∴mf(x)=m·2𝑥-12𝑥+1>2x-2.当x∈(1,2)时,m>(2𝑥+1)(2

𝑥-2)2𝑥-1,令2x-1=t(1<t<3),则m>(𝑡+2)(𝑡-1)𝑡=𝑡−2𝑡+1,令y=t-2𝑡+1(1<t<3),∵函数y=t-2𝑡+1在(1,3)上为增函数,∴t-2𝑡+1<3−23+1=103,∴m≥103,∴实

数m的取值范围为[103,+∞).12.解析(1)∵函数f(x)=1-5𝑥·𝑎5𝑥+1,x∈(b-3,2b)是奇函数,∴f(0)=1-𝑎2=0,且b-3+2b=0,∴a=2,b=1.经检验,满足题意.(2)证明:由(1)得函数f(

x)=1-2·5𝑥5𝑥+1,x∈(-2,2).任取x1,x2∈(-2,2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1-2·5𝑥15𝑥1+1−1−2·5𝑥25𝑥2+1=2(5𝑥2-5𝑥1)(5𝑥1+1)(5𝑥2+1),∵y=5x在(-2,2)上为增函数,且x1<x2,∴5�

�1<5𝑥2,∴5𝑥2−5𝑥1>0,又∵5𝑥1+1>0,5𝑥2+1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)是区间(-2,2)上的减函数.(3)构造函数g(x)=f(x)-x,则y=g(x)是奇函数且在定

义域内单调递减.原不等式等价于g(m-1)>g(-2m-1),∴{𝑚-1<-2𝑚-1,-2<𝑚-1<2,-2<-2𝑚-1<2,即{𝑚<0,-1<𝑚<3,-32<𝑚<12,∴-1<m<0,∴实数m的取值范围是(-1,0).13.解析(1)定义域为R的函数f(x)=3𝑥𝑎+𝑎

3𝑥是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,即3-𝑥𝑎+𝑎3-𝑥=3𝑥𝑎+𝑎3𝑥恒成立,故(1𝑎-𝑎)(3x-3-x)=0恒成立.因为3x-3-x不可能恒为0,所以当1𝑎-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,而a>0,所以a=1.(2)函数f(x

)=3x+13𝑥在(0,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(3𝑥1+13𝑥1)−(3𝑥2+13𝑥2)=(3𝑥1−3𝑥2)+(13𝑥1-13𝑥2)=(3𝑥1−3𝑥2)+3𝑥2-3𝑥13

𝑥1·3𝑥2=(3𝑥1-3𝑥2)(3𝑥1·3𝑥2-1)3𝑥1·3𝑥2.因为0<x1<x2,所以3𝑥1<3𝑥2,3𝑥1>1,3𝑥2>1,所以(3𝑥1-3𝑥2)(3𝑥1·3𝑥2-1)3𝑥1·3𝑥2<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数

f(x)=3x+13𝑥在(0,+∞)上单调递增.(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立,则|t-2|<|2t-m|恒成

立,即(t-2)2<(2t-m)2,即3t2-(4m-4)t+m2-4>0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,即(m-4)2<0,无解,所以不存在.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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