【文档说明】【精准解析】江苏省南京师范大学附属扬子中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题.doc，共(20)页，1.724 MB，由小赞的店铺上传

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南京师范大学附属扬子中学高一年级期初考数学试卷命题人：张朋举做题人：卓杰2020.04.16注意事项：本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷

满分为150分，考试时间为120分钟.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在相应位置上．1.cos24cos36sin24cos54−=（）A.12B.32C.12−D

.32−【答案】A【解析】【分析】由题意利用两角和差的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【详解】解：cos24cos36sin24cos54−()cos24cos36sin24cos9036=−−

cos24cos36sin24sin36=−1cos(2436)cos602=+==，故选：A．【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．2.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是2、3、4，则cosC的值为（）A.716B.1116C.14−D

.1116−【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可．【详解】解：在ABC中，A、BÐ、C所对的边长分别是2、3、4，22249161cos22234abcCab+−+−===−．故选：C．【点睛】本题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本

题的关键，属于基础题．3.若直线y=-1的倾斜角为α，直线0xy−=的倾斜角为β，则β+α=（）A.34−B.4C.4−D.54【答案】B【解析】【分析】先根据直线求出，，再代入计算．【详解】解：直线1y=−的倾斜角为0=，直线0xy−=的斜率

为1k=，倾斜角为4=，则4+=．故选：B．【点睛】本题考查直线斜率，倾斜角，属于基础题．4.已知1010sin=，5sin()5−=−，,(0,)2，则=（）A.512B.3C.4D.6【答案】C【解析】【详

解】由于、均为锐角，且αβ0−，那么3csα0o101=,()25cosαβ5−=,则()()()2sinβαβsinαcosαβcosαsin2=−−=−−−=，则4=.故本题正确答案为C．点睛：三角函数式的化简要遵循“三

看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等5.如图，点A，B，C是圆O上的点，且2AB=，

15ACB=，则圆O的半径长为（）A.62+B.2622+C.62−D.2622−【答案】A【解析】【分析】首先由两角差的正弦公式求出sin15，再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径；【详解】解：因为()sin15sin45430sincos30cossin35504

=−=−23212222=−624−=又因为()22262sin624ABRACB===+−所以62R=+故选：A【点睛】本题考查两角差的正弦公式，以及正弦定理的应用，属于中档题；6.已知直线:20lkxyk−+−=过定点M，点(,)Pxy在直线210xy+−=上，则|

|MP的最小值是（）A.55B.355C.255D.5【答案】B【解析】【分析】令直线l的参数k的系数等于零，求得定点M的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得||MP的最小值．【详解】直线:20lkxyk−+−=，即(1)20kxy−−+=，令1020xy−

=−+=解得12xy==故直线过定点(1,2)M，点(,)Pxy在直线210xy+−=上，∴min||MP为点M到直线的距离，min2121335||5415MP+−===+，||MP取得最小值为355，故选：B

．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．7.在ABC中,2sinsincos2ABC=,则ABC是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式可得，()21cos1cos22A

A=+，再根据诱导公式可得()coscosABC=−+，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将2sinsincos2ABC=化简成()cos1BC−=，所以BC=，即可求得答案．【详解】因为()()2cos11sinsi

ncos1cos1222AACBCB==+−+=，()coscoscossinsinBCBCBC+=−，所以，coscos+sinsin=1BCBC，即()cos1BC−=，BC=．故选：C．【点睛】本题主

要考查利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．8.如图所示，已知线段10BDm=，线段56EDm=，4BED=（BDE为锐角三角形），线段AB和线段B

C的总长为20m，则线段AC最短是（）m.A.10B.25C.20D.10【答案】D【解析】【分析】在BDE中使用正弦定理求出DBE，设ABx=，在ABC中利用余弦定理把AC表示为x的函数，求出函数的最小值即可．【详解】解：在BDE中，由正弦定理得：sinsinBDDEBEDDBE=

，即1056sin45sinDBE=，解得3sin2DBE=．BDE∵是锐角三角形，1coscos2ABCDBE==．设ABx=，则20BCx=−，在ABC中，由余弦定理得：2222cosACABBCABBCABC=

+−，22222(20)(20)3604003(10)100ACxxxxxxx=+−−−=−+=−+．当10x=时，2AC取得最小值100，AC的最小值为10．故选：D．【点睛】本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．二、多项选择

题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9.若函数()3sin(

2)cos(2)fxxx=+++为偶函数，则的值可能为（）A.23−B.6−C.3D.43【答案】ACD【解析】【分析】先对已知函数进行化简可得()2sin(2)6fxx=++，然后结合偶函数图

象关于0x=对称，可求．【详解】解：()3sin(2)cos(2)fxxx=+++2sin(2)6x=++，()fx是偶函数，函数图象关于0x=对称，162k+=+，kZ．则13k=

+，kZ当0k=时，13=，当1k=−时，23=−，当1k=时，43=．故选：ACD．【点睛】本题主要考查了利用辅助角公式化简三角函数及正弦函数对称性的应用，属于中档试题．10.ABC中，给出以下条件，有唯一解的是（）A.7a

=，8b=，98A=B.5a=，10b=，30A=C.10b=，45A=，70C=D.6a=，5b=，150A=【答案】BCD【解析】【分析】各项利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入求出sinB的值，利用三角形边角关系判断即可．【详解】对于A：由

7a=，8b=，98A=，ba，所以BA，但98A=为钝角，即最大角，得到B只能为锐角，故矛盾，即不存在这样的三角形，故A排除；对于B：因为5a=，10b=，30A=，由正弦定理s

insinabAB=得：110sin2sin15bABa===，又()0,B则90B=，故满足条件；对于C：10b=，45A=，70C=，则65B=，故满足条件；对于D：6a=，5b=，150A=，

由正弦定理sinsinabAB=得：15sin512sin6122bABa===，又150A=为钝角，则B只有一解，符合题意；故选：BCD【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．11.以A(0,1

)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是（）A.(2,3)B.(2,－1)C.(4,1)D.(－2,－1)【答案】ACD【解析】【分析】设(),Dxy再根据向量相等分类讨论

可得；【详解】解：设(),Dxy，若ABCD=，则()()1,13,2xy−=−−，即3121xy−=−=−解得41xy==，即()4,1D；若ABDC=，则()()1,13,2xy−=−−，

即3121xy−=−−=解得23xy==，即()2,3D；若ADCB=，则()()2,2,1xy−−=−，即212xy=−−=−解得21xy=−=−，即()2,1D−−；故选：ACD【点

睛】本题考查向量相等的应用，属于基础题.12.下列说法正确的是（）A.平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率；B.不存在实数，使3sincos4=；C.若钝角△ABC的三边长为a,1a+,2a+(

aN)，则a的值为2D.cos2sin47+cos88sin133的值为2【答案】BCD【解析】【分析】由倾斜角与斜率的定义判断A，利用二倍角正弦公式及三角函数的性质判断B，由余弦定理及三角形三边关系判断C，诱导公式及辅助角公式判断

D，即可得出结论．【详解】解：倾斜角为90的直线没有斜率，故A错误；若3sincos4=，即13sin224=，3sin212=，故不存在实数，使3sincos4=，故B正确；若钝角△ABC的三边长为a,1a+

,2a+(aN)，则()()22221012aaaaaaa++++++解得13a，又aN，故2a=，故C正确；()()()cos9022cos2sin45cos45sin2cos2cos88cos2cos2sin2sin47sin133sin47sin1804

7sin47sin47sin47−++=+=+=−()2sin2452sin47+==，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查倾斜角和斜率的关系，三角函数的性质以及三角恒等

变换，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．13.已知直线1:220lkxy++=与直线()2:130lxkyk+−−+=平行，则直线1l与直线2l之间的距离为_______.

【答案】655【解析】【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：因为直线1:220lkxy++=与直线()2:130lxkyk+−−+=平行，所以()121kk−=，

解得1k=−或2k=，当1k=−时，1:220lxy−−=，2:240lxy−+=，则()222465512d−−==+−当2k=时，1:10lxy++=，2:10lxy++=，两直线重合，故舍去；故答案为：655【点睛】本题考查了直线平行与斜率之间的关

系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=，23c=，6A=，则b＝_______.【答案】2或4【解析】【分析】由已知利用余弦定理计算可得；【详解】解：

在三角形ABC中2a=，23c=，6A=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，即24126bb=+−，解得2b=或4b=故答案为：2或4【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．15.设，

为锐角，若(4tan1)(14tan)17+−=，则cos()−的值为_______.【答案】1717【解析】【分析】可将(4tan1)(14tan)17+−=展开，得到tantan4(1tantan)−=+，逆用两角差的正切

即可得到tan()−，再根据同角三角函数的基本关系求出cos()−．【详解】解：(4tan1)(14tan)17+−=，即4tan16tantan14tan17−+−=，4tan4tan16tantan16−−=，tantan4(1tantan)−=+，因为

，为锐角，所以1tantan0+，tantan41tantan−=+，又tantantan()1tantan−−=+，tan()4−=．sin()tan()4co

s()−−==−且22sin()cos()1−+−=所以17cos()17−=因为，为锐角且tan()4−=，故02−故17cos()17−=故答案为：1717【点睛】本题考查两角

差的正切，同角三角函数的基本关系，属于中档题．16.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则24cabb++的取值范围为______.【答案】()522,623++【解析】【分析】由条件求得3045B，

可得cosB的范围．再由正弦定理可得224cos4cos1caBBb+=+−，从而求得2cab+的取值范围即可得解．【详解】解：锐角ABC中，由于2AB=，0290B，290BB+，3045B

，23cos22B．2sin2sinsin32sin2sin2coscos2sin2sin2sinsinsincaCABBBBBBBbBBB+++++===22sincoscos2sin4sincossinBBBBBBB++=22coscos24cosBBB=++24cos4co

s1BB=+−214cos22B=+−所以()2122,223cab+++2424cabcabb+++=+所以()24522,623cabb++++故答案为：()522,623++【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角恒等变换

公式的应用，求得3045B，是解题的关键，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.求分别满足下列条件的直线l的方程．（1）经过直线220xy++

=和直线310xy++=的交点且与直线2350xy++=垂直；（2）与直线4310xy−−=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．【答案】（1）32110xy−−=；（2）43620xy−+=或43620xy−−=.【解析】【分析】（1）将220xy++=和310xy++=联立，求出交

点，又可知直线斜率为32，利用点斜式方程求出并化简即可．（2）设所求直线方程为430xym−+=，求出与坐标轴交点坐标，根据三角形面积为3，得出关于m的方程并求解，再得出所求直线方程．【详解】解：（1）将220xy++=与310xy++=联立得220310xyxy++=++=，解得1

4xx==−所以交点坐标为()1,4−．由所求直线与直线2350xy++=垂直，则所求直线斜率为32，所以方程为)324(1yx+=−，从而所求直线方程为32110xy−−=（2）依题意设直线方程为430xym

−+=，则直线过点,04m−、0,3m所以13243mmS=−=，解得62m=，故直线方程为43620xy−+=或43620xy−−=【点睛】本题考查直线方程求解，平行直线系与垂直直线系．考查分析、计算能力．18.已知角的终边上有一点P(2,3)，（

1）求tan24−的值；（2）求2sin23+的值．【答案】（1）177；（2）125326+−【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出tan，再由二倍角公式求出tan2，最后利用正切的差角公式即可求出值（2）利用三角函数

的定义求出sin，利用正弦的二倍角以及和与差即可求的值【详解】解：根据题意，角的终边上有一点()2,3p，即2x=，3y=，2213rxy=+=sinyr=．cosxr=，tanyx=33ts3

211an,sin,co23===，22322tan122tan21tan5312===−−−，12sin22sincos213313321===，2232c135os22cos1211

=−=−=−，（1）121tan2tan1754tan212471tan2tan145−−−−===+−；（2）222sin2sin2coscos2sin333+=+12153125313

213226+=−+−=−【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和与差的三角函数计算能力，属于中档题．19.在△ABC中，已知1tan2B=，10cos10C=−.（1）求A的值；（2）若ABC的面积为310，求

边BC的长.【答案】（1）4A=；（2）1BC=【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出tanC，再由tantan()ABC=−+求出tanA，从而求出角A；（2）设BCa=，利用正弦定理得求出AB，再利用1tan2B=求出sinB，所以ABC的面积为

：2133sin21010SABBCBa===，所以1a=，即1BC=．【详解】解：（1）在ABC中，1tan2B=，10cos10C=−，(2C，)，310sin10C=，故tan3C=−，所以1(3)(tantan)2tantan()11(1tantan)[1(3)]2BCAB

CBC−+=−+=−=−=−−−，0A，所以4A=；（2）由（1）知4A=，设BCa=，利用正弦定理：sinsinABBCCA=得：3103510522aABa==，又22sin1cos21BBsinBcosB=+=，解得5s

in5B=，所以ABC的面积为：21135533sin22551010SABBCBaaa====，所以1a=，即1BC=．【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．20.已知函数2

()123sincos2cosfxxxxm=−−+，在R上的最大值为3．（1）求m的值及函数()fx单调递增区间；（2）若锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()0fA=，求bc的取值范围．【

答案】（1）1m=，函数()fx的单调递增区间为2,,63kkkZ++；（2）1,22.【解析】【分析】（1）对()fx化简得()2sin(2)6fxxm=−++，然后根据()fx的最大值得到m的值，在求出单调增区间；（2）根据()0fA=求出A的值，

然后由正弦定理可得sin31sin2tan2bBcCC==+，求出tanC的范围即可得到bc的范围．【详解】解：（1）2()123sincos2cosfxxxxm=−−+(3sin2cos2)2sin(2)6xxmxm=−++=−++，由已知23m+=，1m=，因此

()2sin(2)16fxx=−++，令3222,262kxkkZ+++剟，得2,63kxkkZ++剟，因此函数()fx的单调递增区间为2,,63kkkZ++（2）由已知2sin(2)106A−++=，1sin(2)6

2A+=，由02A得72666A+，因此5266A+=3A=，1sin()3cossinsin3132sinsinsin2tan2CCCbBcCCCC++====+，锐角三角形ABC，022032CBC=−，解得62C

，因此3tan3C，那么122bc，求bc的取值范围为1,22．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质和正弦定理，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．21.已知△ABC中，顶点A(3,

7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是4370xy−−=，边AC上的高BE所在直线的方程是512130xy+−=.（1）求点A关于直线CD的对称点的坐标；（2）求顶点B、C的坐标；（3）过A作直线L，使B,C两点到L的距离相等，求直线L的方程.【

答案】（1）20379,2525；（2）()2,5C−−，()5,1B−；（3）203390xy−−=或47370xy−+=【解析】【分析】（1）设点()3,7A关于直线CD的对称点1A的坐标为()00,xy，则1AA的中点需在直线CD：4370xy−−=上，且11AACDkk=−，得

到方程组，解得即可；（2）依题意设AC所在直线方程为1250xym−+=，联立AC与CD，求得其交点即为C，设()11,Bxy则AB的中点坐标为1137,22xy++，则AB的中点在直线CD上，且()11,Bxy在BE上，联立解得；（3

）分两种情况讨论:当直线L过BC的中点，显然满足B、C两点到L的距离相等；当直线L平行BC时，也满足B、C两点到L的距离相等；分别计算可得；【详解】解：（1）设点()3,7A关于直线CD的对称点1A的坐标为()00,xy，则10073AAy

kx−=−，1AA的中点坐标为0037,22xy++，因为CD：4370xy−−=，43CDk=所以00007413337437022yxxy−=−−++−−=解得00203257925x

y==故对称点的坐标为20379,2525；（2）依题意设AC所在直线方程为1250xym−+=，则123570m−+=解得1m=−，故12510xy−−=所以125104370xy

xy−−=−−=解得25xy=−=−故()2,5C−−，设()11,Bxy则AB的中点坐标为1137,22xy++，所以111151213037437022xyxy+−=

++−−=，解得1151xy==−即()5,1B−（3）由（2）可得BC的中点坐标为3,32−，当直线L过BC的中点，显然满足B、C两点到L的距离相等，此时直线方程为()7373332yx+−=−−，即203390xy−−=；

当直线L平行BC时，也满足B、C两点到L的距离相等，此时直线方程为()517325yx−+−=−−−，即47370xy−+=故满足条件的直线方程为203390xy−−=或47370xy−+=【点睛】本题考查点

关于直线对称的点的坐标计算，两直线的交点坐标，平行直线方程以及垂直直线方程，综合性较强，计算量大，属于中档题.22.南京江北新区是第十三个国家级新区，随着新区的经济发展，老城区将不断的进行开发和改造，如图为边

长为4km的正三角形ABC区域，DEF，，分别在三边ABBCCA，，上，且D为AB的中点，()90090EDFBDE==，，现将对正三角形ABC区域进行规划，规划DEF区域为娱乐广场，其他区域为生活居住区.（1）若60=，求娱乐广场

DEF的面积；（2）求生活区域的面积S的最大值，并写出S取得最大值时的值.【答案】（1）3；（2）45=时max10312S=−【解析】【分析】（1）在BDE，ADF中，由正弦定理得DE，DF，即可得面积．（2）由已知利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应

用可求112232sin2S=+；利用正弦函数的图象和性质可求DEFS的最小值，从而得到生活区域的面积S的最大值．【详解】解：（1）在BDE中，由正弦定理得2DE=；在ADF中，由正弦定理得：sin603sin90ADDF==；所以1123322DEFSDED

F===．（2）在BDE中，由正弦定理得sin603sin(120)sin(120)BDDE==−−；在ADF中，由正弦定理得：sin603sin(30)sin(30)ADDF==++

11322sin(120)sin(30)DEFSDEDF==−+221311211212223()3sincos32sin2(3cossin)(cos3sin)4cossin===+++++；当45=时，DEFS取最小值：1126(23)223

=−+．1423432ABCS==由ABCDEFSSS=−()()maxmin4362310312ABCDEFSSS=−=−−=−即当45=时max10312S=−【点睛】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，三角函数恒等变

换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力，转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．