【文档说明】广东省佛山市南海区大沥高级中学2023-2024学年高二上学期阶段检测一数学试题+含解析.docx，共(13)页，742.305 KB，由小赞的店铺上传

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大沥高级中学2023~2024学年度第一学期阶段检测一高二级数学试卷2023年10月18日.命题人：黄秋兰审题人：张伟红一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一

项）1．已知两个向量()2,1,3a=−，()4,,bmn=，且//ab，则mn+的值为（）A．1B．2C．4D．82．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为（）A．10B．15C．20D．253．作为常态化疫情防控措施，公共场所要求进入的人员必须佩戴口罩，某家庭成员3人在

一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（）A．35B．12C．25D．3104．已知空间向量()1,1,0a=−，()3,2,1b=

−，则ab+=（）A．5B．6C．5D．265．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（）A．14B．13C．12D．166．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.3，则密码被破译的

概率为（）A．0.09B．0.42C．0.51D．0.67．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球利用电脑随机产生1到4之间取整数值

的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：4112313244121124432131443311231

14142111344312334223122113133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）A．110B．320C．15D．148．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点

，则AEAF的值为（）A．2aB．212aC．214aD．234a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知空间向量()1,1,2a=−，则下列说法正确的是（）A．6a=B．向量a

与向量()2,2,4b=−−共线C．向量a关于x轴对称的向量为()1,1,2−D．向量a关于yOz平面对称的向量为()1,1,2−−10．若()16PAB=，()23PA=，()12PB=，则下列说法正确的是（）A．()12PA=B．事件A与B不互斥C．事

件A与B相互独立D．事件A与B不一定相互独立11．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，若前两局中乙队以2∶0领先，则（）A．甲队获胜的概率为8

27B．乙队以3∶0获胜的概率为13C．队以3∶1获胜的概率为19D．乙队以3∶2获胜的概率为4912．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E、F、G分别为AD，AB，11BC的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥AEFG−的体积为13B．1AC⊥平面E

FGC．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是33D．异面直线EG与1AC所成的角的余弦值为33三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．相关部门对某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作

了统计，其频率分布表如下所示：时间10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日频率0.050.080.090.130.300.150.20已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，

则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为______万元．14．已知直线l的方向向量为()2,,1m，平面的法向量为11,,22，且//l，那么m=______．15．已知平面的法向量为()1,1,0n=，向量()0,1,1AB=在平面内的投影向量的长度

为______．16．如图，在三棱锥PABC−，ABC△为等边三角形，PAC△为等腰直角三角形，4PAPC==，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______．四

、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10.0分）在空间直角坐标系中，已知点()2,,1Aa−，()2,3,Bb−，()1,2,2C−．（1）若A，B，C三点共线，求a和b的值；（2）已知3b=−

，()1,3,3D−−，且A，B，C，D四点共面，求a的值．18．（本小题12.0分）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是)80,90，)90,100，)100,110，)110,120，120,130．（1）求语文成绩在120,

130内的学生人数．（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．（3）若语文成绩在)80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在)80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名

女生的概率．19．（本小题12.0分）如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，5AB=，3AD=，14AA=，90DAB=，1160BAADAA==，E是1CC的中点，设ABa=，ADb=，1AAc=．（1）用a，b，c表示AE；（2）求AE的长．20．（本小题12.0分）

近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为23，教师乙每次考核通过的概率为12

，且甲乙每次是否通过相互独立．（1）求甲通过考核的概率；（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．21．（本小题12.0分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，2PAAD==，M为PD中点，（1）求cos,BPMC；（2

）求二面角PBDC−−余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．22．（本小题12.0分）如图，四面体ABCD中，ADCD⊥，ADCD=，ADBBDC=，E为AC的中点．（1）证明：AC⊥平面BDE；（2）设DEBE⊥，1DE=，60AC

B=，点P在BD上，若CF与平面ABD所成的角的正弦值为437，求此时F点的位置．大沥高级中学2023~2024学年度第一学期阶段检测一高二级数学试卷答案【解析】1．解：∵//ab，∴存在实数k使得akb=，∴2413k

kmkn=−==，解得12k=，2m=−，6n=，则4mn+=．故选C．2．解：从5人中选出2人担任正、副班长，设这5人编号为1，2，3，4，5，用(),xy表示一个样本点，其中表示x正班长，

y表示副班长，列举（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2

），（5，3），因此样本点个数为20．故答案为C．3．解：从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个，其中蓝、

白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，所以蓝、白口罩同时被选中的概率为310．4．解：∵()1,1,0a=−，()3,2,1b=−，∴()4,3,1ab+=

−，∴()22243126ab+=+−+=．故选：D．5．解：根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为12，把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是23，故第二次才能打开门的概率是121

233=．故选：B．6．解：甲乙都不能译出密码的概率为()()10.310.30.49P=−−=，故密码被破译的概率为1051P−=．故选：C．7．解：由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个，由古典概型的概率公式得恰好在第三次

就停止摸球的概率为320P=．故选：B．8．解：由题意可知()()111224AEAFABACADABADACAD=+=+()22211111cos60cos6044224aaaaaaa=+=+=．故选：C．9．解：A：因为

()2221126a=+−+=，所以本选项说法正确；B：因为2ba=−，所以向量a与向量()2,2,4b=−−共线，因此本选项说法正确；C：设()1,1,2a=−的起点为坐标原点，所以该向量的终点为()1,1,2−，因为点(1,12)−、关于x轴对称的点的坐标为()1,1,2−，所以向量a关于x轴

对称的向量为()1,1,2−，因此本选项说法正确；D：设()1,1,2a=−的起点为坐标原点，所以该向量的终点为()1,1,2−，因为点()1,1,2−关于yOz平面对称点的坐标为()1,1,2−−，所以向量

a关于yOz平面对称的向量为()1,1,2−−，D错误，故选：ABC．10．解：()()211133PAPA=−=−=，∴()()()106PABPAPB==．∴事件A与B相互独立，不是互斥事件，事件A与B一定相

互独立．11．解：对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为328327=，故A正确；对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为13，故B正确；对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获

胜，第四局乙获胜，概率为212339=，故C错误；对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队获胜，第二、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为221433327=，故D错误．故选：AB12．解：对于A，1111123323AEFGEAFVSCC−===△

，故A正确；对于B、D，以DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，如图，()0,2,0C，()10,2,2C，()12,0,2A，()1,0,0E，()2,1,0F，()1,2,2G，()2,0,0A，则()12,2,2AC=−−

，()1,1,0EF=，()0,2,2EG=，10ACEF=，10ACEG=，即1ACEF⊥，1ACEG⊥，又EFEGE，EF，EG平面EFG，则1AC⊥平面EFG，故B正确；()0,2,2EG=，()12,2,2AC=−，11186co

s,3823EGACEGACEGAC===，故D错误；对于C，作11CD中点N，1BB的中点M，1DD的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面，易得正六边形边长为2，则截面面

积为：()2362334S==，故C正确．故选ABC．13．解：设游客人数最多的那一天的营业额约为x万元，由80.050.30x=，解得48x=．14．解：设直线l的方向向量为()2,,1mm=，平面的法向量为11,,22n=，

若//l，则mn⊥，即12202mnm=++=，解得8m=−，故答案为-8．15．解：因为平面的法向量为()1,1,0n=，向量()0,1,1AB=，所以1cos,2nABnABnAB==，设直线AB与平面所成角为

，所以1sincos,2nAB==，因为02，所以6=，所以向量()0,1,1AB=在平面内的投影向量的长度为36cos222AB==．故答案为62．16．解：取AC的中点O，连接OP，OB，∵P

APC=，∴ACOP⊥，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCA=，AC，PO平面PAC，∴OP⊥平面ABC，又∵ABBC=，∴ACOB⊥，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵PAC△是等腰直角三角形，4PAPC==，∴

42AC=，则ABC△为边长为42的等边三角形，∴()22,0,0A，()22,0,0C−，()0,0,22P，()2,6,0D，∴()42,0,0AC=−，()2,6,22PD=−，∴82cos,4424ACPDACPDACPD===．∴异面直线AC与PD所成

角的余弦值为24．故答案为24．17．解：（1）()1,2,1CAa=−，()3,1,2CBb=−+，∵A，B，C三点共线，∴//CACB，存在R，CACB=，即()()1,2,13,1,2ab−=−+

，∴()31221ab−==−+=解得13535ab=−==−∴53a=，5b=−；（2）()3,1,1CB=−−，()2,1,1CD=−−，∵A，B，C，D四点共面，∴CA，CB，CD共面，∵5b−，由

（1）知A，B，C三点不共线，∴存在,xyR，使CDxCAyCB=+，即()()()2,1,11,2,13,1,1xay−−=−+−−，∴()23121xyxayxy−=−=−+−=−，解得17121xya=−==，所以1a=．18．解：（1）由频率分布直方图，知()

20.020.030.04101a+++=，解得0.005a=，语文成绩在120,130内的学生人数为0.005101005=．（2）由频率分有直方图，知语文成绩不低于112分的概率为120112

0.02100.005100.2110−+=．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在)80,90内的学生有0.005101005=人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c，样本空间为,,,,,,,,,ABAaAbA

cBaBbBcabacbc，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105=．19．解：（1）12AEABBCCEabc=++=++．（2）由（1）得12AEabc=++，所以2212AEab

c=++()22212259402012cos60544abcabacbc+++++=++++−==，故36AE=．20．解：（1）甲第一次考核通过的概率为123P=，甲第二次考核通过的概率为22221339P=−=，所以甲通过考核

的概率为12228399PPP=+=+=．（2）中考核1次、乙考核2次的概率为32111323P−==，乙考核1次、甲考核2次的概率为42111326P=−=，所以甲乙两人考核的次数和为3的概率为34111362PPP=+=+=．21．

解：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2P，()0,1,1M，∴()2,0,2BP=−，()2,1,1MC=−，∴423cos,222411BPM

CBPMCBPMC−−===−++；（2）由（1）可知，()0,2,2PD=−，()2,2,0BD=−，设平面PBD的法向量为(),,mxyz=，则00mPDmBD==，即220220yzxy−=−+=，令1y=，

则1x=，1z=，∴()1,1,1m=，∵PA⊥平面ABCD，∴平面BCD的一个法向量为()0,0,1n=，∴13cos,331mnmnmn===，由图可知，二面角PBDC−−为钝角，故二面角PBDC−−余弦值的大小为33−；（3）由（2）知，平面PB

D的法向量为()1,1,1m=，()2,0,0CD=−，故点C到平面PBD的距离为22333mCDdm−===．22．解：（1）因为ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥，在ABD△和CBD△中ADCD=

，ADBCDB=，DBDB=，所以ABDCBD△△≌，所以ABCB=，又E为AC的中点，所以ACBE⊥．又,DEBE平面BDE，DEBEE=，所以AC⊥平面BDE．（2）因为ABDCBD△△≌，则ABCB=，ADCD=

，由60ACB=且ABCB=，所以ABC△是等边三角形，由ADCD⊥且ADCD=，E为AC的中点，所以，在等腰直角ADC△中1DEAEEC===，则3BE=，故DEAC⊥，又BEDE⊥且ACBE⊥，以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()1

,0,0A，()0,3,0B，()0,0,1D，所以()1,0,1AD=−，()1,3,0AB=−，()0,3,1DB=−，设面ABD的一个法向量为(),,nxyz=，则030nADxznABxy=−+==−+=，取3y=，则()3,3,3n=，又()1,0,0C

−，()1,0,1CD=，设()0,3,DFDB==−，0,1，所以()1,3,1CFCDDF=+=−，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02，因为43sincos7nCF==，所

以()22333343cos,721131nCFnCFnCF++−===++−，所以()2410−=，解得14=，所以F为BD的四等分点且靠近D点位置．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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