【文档说明】上海市崇明中学2021届高三5月模拟考试数学试卷 含解析.doc，共(15)页，1009.000 KB，由管理员店铺上传

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2021年上海市崇明中学高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．椭圆+＝1长轴长为．2．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）＝．3．在四边形ABCD中，，则该四边形的面积是．4．已知复数z＝a+i（a∈R，i为虚数单位）在复

平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝．5．由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为．6．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不

等式f（x）≥log2（x+1）的解集是．7．已知数列{an}的通项公式，前n顶和为Sn，则值是．8．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且△ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为．9．已知直线3x+y﹣2＝0与单位圆x2+y2＝1交

于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，那么cosα+cosβ＝．10．若函数f（x）＝2|x|﹣a|x|+a2﹣2（x∈R）有唯一零点，则实数a的值为．11．定义Hn＝为数列{an}的均值，已知

数列{bn}的均值，记数列{bn﹣kn}的前n项和是Sn，若Sn≤S5对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是．12．数列{an}满足anan+1an+2＝an+an+1+an+2（anan+1≠1，n∈N*），且

a1＝1，a2＝2．若an＝Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，0＜φ＜π），则实数A＝二、选择题（每题5分，共20分）13．sinx＝0是cosx＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．下列命题中与“f（x）为R上非奇非偶函数”

等价的命题是（）A．对任意x∈R，都有f（﹣x）≠f（x）或f（﹣x）≠﹣f（x）B．存在x0∈R，有f（﹣x0）≠f（x0）且f（﹣x0）≠﹣f（x0）C．存在x0∈R．有f（﹣x0）≠f（x0）或f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．存在x1，x2∈R，有f（﹣

x1）≠f（x1）且f（﹣x2）≠﹣f（x2）15．若a，b∈R，|a|＞|b|且，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1或﹣1＜a＜0D．a＜﹣1或0＜a＜116．已知数列{an}满足an+1＝

an2﹣3an+4，a1＝3，则下列选项错误的是（）A．数列{an}单调递增B．数列{an}无界C．D．a100＝101三、解答题（满分76分）17．直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕

O逆时针能转到OQ，使∠POQ＝α，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）．（1）若P的模坐标为，求；（2）求的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的

中点．（1）证明：直线BC⊥平面PAC；（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求三棱锥P﹣ACE的体积．19．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公

司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．20．（16分）已知椭圆Γ：

，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m＝3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求

直线l的方程．21．（18分）若数列{an}、{bn}满足|an+1﹣an|＝bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”．（1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一

定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，求的值；（3）设，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1＝1，a2n≤a2

n﹣1且a2n≤a2n+1，若|an|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值．参考答案一.填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．椭圆+＝1长轴长为10．解：a2＝25⇒a＝5，长轴长2a＝10．故答案为：10．2．已知幂函

数f（x）的图象过，则f（4）＝．解：设幂函数f（x）＝xa，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a＝﹣，∴，故f（4）＝＝．故答案为：．3．在四边形ABCD中，，则该四边形的面积是10．解：因为．所以，解得m＝6，所以四边形的面积为，故答案为：10．4．已知复数z＝a+i（a∈R，i为虚数单位）

在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝﹣1i．解：复数z＝a+i（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，∴，解得a＝﹣1．则复数z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．5．由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄

冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为．解：抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m＝＝2，甲、乙两人恰好分配在同一个城

市的概率为p＝．故答案为：．6．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（﹣1，1]．解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y＝log2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是

：（﹣1，1]，故答案为：（﹣1，1]7．已知数列{an}的通项公式，前n顶和为Sn，则值是0．解：，故答案为：0．8．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且△ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为64π．解：设球的球心为O，半径为R，取AB的中点D，连接CD，根据

题意得△ABC的外心O'，在线段CD上，由△ABC是边长为6的等边三角形可得，连接OC，OO′，如图根据球的性质可得OC＝R，OO'⊥而ABC．即，所以OO'⊥O'C，在Rt△OO'C中，O'O2+O'C2＝OC2即，解得R＝4或R＝﹣4（含去），所以该球的表面积S＝4πR2＝

64π，故答案为：64π9．已知直线3x+y﹣2＝0与单位圆x2+y2＝1交于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，那么cosα+cosβ＝﹣．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，如图：由三角函数的定义得：cosα+co

sβ＝﹣x1+x2，由，消去y得：10x2﹣12x+3＝0则x1+x2＝，x1x2＝即cosα+cosβ＝﹣（x1﹣x2）＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．若函数f（x）＝2|x|﹣a|x|+a2﹣2（x∈R

）有唯一零点，则实数a的值为﹣1．解：因为x∈R，又f（﹣x）＝2|﹣x|﹣a|﹣x|+a2﹣2＝f（x），所以函数为偶函数．因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得f（0）＝0，所以20+a2﹣2＝0，解得a＝±1当a＝1，此时f（x）＝2

|x|﹣|x|﹣1，知，f（x）有零点（x＝1），不符合题意：当a＝﹣1，此时f（x）＝2|x|+|x|﹣1在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）＝0，根据偶函数对称性，符合题意；故答案为：a＝﹣111．定义Hn＝为数列{a

n}的均值，已知数列{bn}的均值，记数列{bn﹣kn}的前n项和是Sn，若Sn≤S5对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是[，]．解：由题意，Hn＝＝2n+1，则b1+2b2+…+2n﹣1bn＝n•2n+1，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1＝（n﹣1）•2n，则2n﹣1bn＝n•

2n+1﹣（n﹣1）•2n＝（n+1）•2n，则bn＝2（n+1），对b1也成立，故bn＝2（n+1），则bn﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{bn﹣kn}为等差数列，故Sn≤S5对任意的n（n∈N*）

恒成立可化为：b5≥0，b6≤0；即，解得，≤k≤，故答案为：[，]．12．数列{an}满足anan+1an+2＝an+an+1+an+2（anan+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2．若an＝Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，0＜φ＜π），则实数

A＝解：数列{an}满足anan+1an+2＝an+an+1+an+2（anan+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2．令n＝1，得：2a3＝1+2+a3，解得a3＝3．令n＝2，得：6a4＝2+3+a4，解得a4

＝1．令n＝3，得：3a5＝1+3+a5，解得a5＝2．……，可得an+3＝an，a1＝1，a2＝2，a3＝3．∵an＝Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，0＜φ＜π），∴＝3，解得ω＝．∴an＝Asin（n+φ）+c（0＜φ＜π），∴1＝Asin（+φ）+c，2＝

Asin（×2+φ）+c，3＝Asin（×3+φ）+c．化为：1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c．∴Asinφ+Asin（+φ）＝1，Asinφ﹣Asin（+φ）＝2．即sinφ+Acosφ

＝1①sinφ﹣Acosφ＝2②①+②得：3Asinφ＝3，即Asinφ＝1；①﹣②得：Acosφ＝﹣1，即Acosφ＝﹣；联立解得：tanφ＝﹣，0＜φ＜π，∴φ＝，∴A＝故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．sinx＝0是cosx＝1的（）A．充分

不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若sinx＝0，则x＝kπ，k∈Z，此时cosx＝1或cosx＝﹣1，即充分性不成立，若cosx＝1，则x＝2kπ，k∈Z，此时sinx＝0，即必要性成立，故sinx＝0是cosx＝1的必要不充分条件，故选：B．14．下列

命题中与“f（x）为R上非奇非偶函数”等价的命题是（）A．对任意x∈R，都有f（﹣x）≠f（x）或f（﹣x）≠﹣f（x）B．存在x0∈R，有f（﹣x0）≠f（x0）且f（﹣x0）≠﹣f（x0）C．存在x0∈R．有f（﹣x0）≠f（x

0）或f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．存在x1，x2∈R，有f（﹣x1）≠f（x1）且f（﹣x2）≠﹣f（x2）解：由于“f（x）为R上非奇非偶函数”故存在x1，x2∈R，有f（﹣x1）≠f（x1）且f（﹣x2）≠﹣f（x2），故选：D．15．若a，b∈R，|a|＞|

b|且，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1或﹣1＜a＜0D．a＜﹣1或0＜a＜1解：因为a，b∈R．|a|＞|b|，所以，所以，因为，所以，解得a＜﹣1或0＜a＜1，故选

：D．16．已知数列{an}满足an+1＝an2﹣3an+4，a1＝3，则下列选项错误的是（）A．数列{an}单调递增B．数列{an}无界C．D．a100＝101解：根据数列的递推关系式：，所以数列{an}单调递增，an≥3恒成立，故A，B正确；对于C：．所以，所以：，故

C正确；对于D：因为，所以，结合数列{an}单调递增，所以a100＝101，故D错误，故选：D．三、解答题17．直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针能转到OQ，使∠POQ＝α，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）．（1）若P

的模坐标为，求；（2）求的取值范围．解：（1）∵P的模坐标为，∴，∴，∴．（2），∴，∴，∴．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．（1）证明：直

线BC⊥平面PAC；（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求三棱锥P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PC⊥BC，∴AB＝2，有AD＝CD＝1，AD⊥DC且ABCD是直角梯形，∴，即AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∵PC∩AC＝C

，PC⊂平面PBC，∴BC⊥平面PAC．（2）解：由（1）矢BC⊥平面PAC，∴∠BPC即为其线PB与平面PAC所成角，∴，∴，则PC＝2，∴．19．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太

阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小

值，并求出此时所安装太阳能板的面积．解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x＝0，得，则k＝2400，∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和y＝15×＝+，x≥0；（2）+＝+≥2＝

57.5，当且仅当，即x＝55时取等号．∴当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．20．（16分）已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当

m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m＝3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程．解：（1）当m＝k＝1时，联立，解之得：或，即M（0，1），N（，）；证明：（2）当m＝2时联

立，消去y得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由，，且点E的横坐标为0，得x1＝λ（x1+1）、x2＝μ（x2+1）．从而，则＝＝，即λ+μ为定值3；解：（3）当m＝3时，椭圆Γ：，假设存在直线l：y＝k（x+1）满足题意，则

△MNF的内切圆的半径为，又D（﹣1，0）、F（1，0）为椭圆Γ的焦点，故△MNF的周长为8，从而，消去y，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则．故，即．由（2），得，化简，得17k4+k2﹣18＝0，解得k＝

±1，故存在直线l：y＝±（x+1）满足题意．21．（18分）若数列{an}、{bn}满足|an+1﹣an|＝bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”．（1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一定

为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，求的值；（3）设，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1＝1，a2n

≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1，若|an|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值．解：（1）{an}不一定为等差数列，如，则bn＝2为常数列，但{an}不是等差数列，（2）设数列{an}的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，因为a3﹣a2＝6，所以a1q（q﹣1）＝6＝1×2×3，解得

或，故或（n∈N*），①当时，，，＝＝；②当时，，，＝＝；综上，的值为或；（3）由a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1得，＝故有：，，……，累加得：＝＝，又a1＝1，所以，当n为奇数时，{an}单调递增，an＞0，，当n为偶数时，{an}单调递减，an

＜0，，从而0＜|an|＜，所以M≥，即M的最小值为．