【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 5．3 诱导公式 Word版含解析.docx，共(16)页，418.735 KB，由管理员店铺上传

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第五章三角函数5．3诱导公式例1利用公式求下列三角函数值：（1）cos225：（2）8πsin3；（3）16πsin3−；（4）()tan2040−.解：（1）()cos225cos18045=+2cos452=−=−；（2）8π2πsin

sin2π33=+2ππsinsinπ33==−π3sin32==；（3）16π16πsinsin33−=−πsin5π3=−+π3sin32=−−=；（4）()tan2040tan2

040−=−()tan6360120=−−()tan120tan18060==−tan603=−=−.例2化简()()()()cos180sin360tan180cos180++−−−+.解：()()tan180tan180−−=−+()tan1

80=−+tan=−，()()cos180cos180−+=−−()cos180=−cos=−，所以原式cossincos(tan)(cos)−==−−−.例3证明：（1）3πsincos2−=−

；（2）3πcossin2+=.证明：（1）3ππsinsinπ22−=+−πsincos2=−−=−；（2）3ππcoscosπ22

+=++πcossin2=−+=.例4化简π11πsin(2π)cos(π)coscos229πcos(π)sin(3π)sin(π)sin2−++−

−−−−+.解：原式π(sin)(cos)(sin)cos5π2π(cos)sin(π)[sin(π)]sin4π2−−−+−=−−−+++2πsincoscos2π(cos)sin[(sin)]si

n2−−−=−−−+sintancos=−=−.例5已知()1sin535−=，且27090−−，求()sin37+的值.分析：注意到()()533790−++=，如果设53

=−，37=+，那么90+=，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.解：设53=−，37=+，那么90+=，从而90=−.于()sinsin90cos=−=.因为2709

0−−，所以143323.由1sin05=，得143180所以22126cos1sin155=−−=−−=−，所以()26sin37sin5+==−.练习1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:(1)1

3cos9=________;(2)sin1()+=________:(3)sin5−=________;(4)()tan706−=________;(5)6cos7=_____

___;(6)tan100021=________.是.【答案】①.4cos9−②.sin1−③.sin5−④.tan706−⑤.cos7−⑥.tan7939−【解析】【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角

函数，即可得到答案.【详解】（1）1344coscos()cos999=+=−；（2）sin(1)sin1+=−；（3）sin()sin55−=−；（4）''tan(706)tan706−=−；（5）6coscos()cos7

77=−=−；（6）'''tan100021tan(10807939)tan7939=−=−；【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.2.利用公式求下列三角函数值：（1）()cos420−；（2）7sin()6

−；（3）()tan1140−；（4）77cos(π)6−（5）tan315；（6）11sin()4−．【答案】（1）12（2）12（3）3−（4）32−（5）1−（6）22−【解析】【分析】（

1）用余弦的诱导公式化简后计算；（2）用正弦的诱导公式化简后计算；（3）用正切的诱导公式化简后计算；（4）用余弦的诱导公式化简后计算；（5）用正切的诱导公式化简后计算；（6）用正弦的诱导公式化简后计算；【小问1详解】()1cos42c0cos602os420

===−；【小问2详解】771sin()sinsin6662−=−==；【小问3详解】()tan1140tan1140tan(360360)tan603−=−=−+=−=−；【小问

4详解】7777553cos(π)coscos(12)coscos666662−==+==−=−；【小问5详解】tan315tan(36045)tan451=−=−=−；【小问6详解】111152sin()sin4sins

in44442−=−+==−=−．3.化简:(1)()()sin180cos()sin180−−−−+;(2)33cos()sin(2)tan()−+−−.【答案】（1）2sincos

（2）4sin−【解析】【分析】利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案.【详解】(1)原式()2sin180cossinsincos=−+=;(2)原式()()()3333cossintancossintan=−+=−3343sincossin

sincos=−=−.【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.4.填表:43−54−53−74−83−114−sincostan【

答案】见解析【解析】【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.【详解】43−54−53−74−83−114−sin3222322232−22−cos12−22−122212−22−tan3−-13131【点睛】本题考查诱导公

式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.练习5.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到0.0001):(1)65cos6;(2)31sin4−;(3

)()cos118213−;(4)sin67039;(5)26tan3−;(6)tan58021.【答案】(1)32−;(2)22;(3)-0.2116;(4)-0.7587;(5)3;(6)0.

8496.【解析】【分析】利用诱导公式将任意角转化为锐角的三角函数，非特殊角再借助计算器求值.【详解】（1）653coscos(11)cos()cos66662=−=−=−=−；（2）312sin()sin(8)sin4442−

=−−==；（3）''''cos(118213)cos(336010213)cos(901213)cos12130.2116=+=+=−=−；（4）'''sin67039sin(23604921)sin49210.7587=−=−=−；（5

）262tan()tan(8)tan3333−=−+==；（6）'''tan58021tan(31804021)tan40210.8496=+==.【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应

用.6.证明:(1)5cossin2−=;(2)7cossin2+=;(3)9sincos2−=;(4)11sincos2−=−.【答案】（

1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导.【详解】(1)左边cossin2=−==右边;(2)左边coscossin22=−+=−==

右边;(3)左边sincos2=−==右边;(4)左边sinsincos22=−−=−+=−=右边.【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用诱导公式2-4进行证明诱导

公式5和6.7.化简:(1)cos2sin(2)cos(2)5sin2−−−+;(2)()2tan360cos()cos2+−−+;(3)23cos(3)cos2sin2−−−.【答

案】（1）2sin（2）21coscos+（3）tan【解析】【分析】利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案.【详解】(1)原式2sinsincossincos==;(2)原式22tan1co

scossincos=−=+−.(3)原式()()()()222cossincossincossintancossinsin22−−−−====−−−.【点睛】本题考

查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限的应用.习题5．3复习巩固8.用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（2）（3）（4）（5）题精确到0．0001）：（1）17cos()4−；（2）sin1()574−；（

3）sin2162(0)5−；（4）cos1756(1)3−；（5）cos16158；（6）26sin()3−．【答案】（1）22（2）0.7193−（3）0.0151−（4）0.6639（5）0.9964−（6）3

2−【解析】【分析】（1）由余弦的诱导公式化简后求值；（2）由正弦的诱导公式化简后求值；（3）由正弦的诱导公式化简后求值；（4）由余弦的诱导公式化简后求值；（5）由余弦的诱导公式化简后求值；（6）由正弦的诱导公式化

简后求值；【小问1详解】17172cos()coscos(4)cos44442−==+==；【小问2详解】sin1()574−sin1574sin(4360134)sin134sin460.7193=

−=−+=−=−−；【小问3详解】()sin(636052)sin520.sin2101650152=−−=−−−【小问4详解】()cos(18cos1751004824)cos48240.663

936=−+=−【小问5详解】cos16158cos(14401758)cos1758cos4520.9964=+==−−【小问6详解】2626223sin()sinsin(8)sinsin333332

−=−=−+=−=−=−．9.求证：（1）()sin360sin−=−；（2）()cos360cos−=；（3）()tan360tan−=−.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【

解析】【分析】运用360+与、−与的诱导公式进行证明即可.【详解】证明：（1）左边sin360()sin()sin=+−=−=−=右边；（2）左边cos360()cos()cos=+−=−==右边；（3）左边tan360()tan(

)tan=+−=−=−=右边.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题.10.化简：（1）21sin(2)sin()2cos()+−+−−；（2）()()()sin1071sin99sin171sin2

61−+−−.【答案】（1）2cos−；（2）0【解析】【分析】运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】解：（1）原式2221[sin(2)]sin()2cos1sinsin2coscos=+

−−+−=−−=−.（2）原式()()()sin1071sin99sin171sin261=−+−−()()()()sin2360351sin909sin1809sin2709=−+++−−−−sin351cos9

sin9cos9=−−sin9cos9sin9cos90=−=.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.11.在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点

为34,55P−，分别求角,,2+−+的正弦、余弦函数值.【答案】43sin(),cos()55+=−+=；43sin(),cos()55−=−−=−；34sin,cos2525+=−+=−

【解析】【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可.【详解】解：∵角的终边与单位圆的交点为34,55P−，434sin,cos,tan553==−=−.43sin()sin,cos()cos55+=−=−

+=−=，43sin()sin,cos()cos55−=−=−−==−，34sincos,cossin2525+==−+=−=−.【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.综合运用12.已知73

sin()25+=，那么cosa=（）A.45−B.35-C.35D.45【答案】B【解析】【分析】根据73sin()25+=，利用三角函数的诱导公式求解.【详解】因为7sin()sin8()sin()222+=+−+=

−+，3sin()sin()cos225=−−=−−=−=，所以3cos5=−，故选：B13.已知1sin()2+=−，计算：（1）()sin5−；（2）sin()2+；（3）3cos()2−（4

）tan()2−．【答案】（1）12；（2）32；（3）12−；（4）3.【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解.【详解】因为1sin()sin2+=−=−，所以1sin2=，3cos2=（1）()()1sin5sinsin2

−===−；（2）23sin()cos1sin22+==−=；（3）3cos()cos()1s2n22i−=+==−−（4）sin()cos2sincos()tan()322

−==−=−．14.在ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.（1）cos()cos+=ABC；（2）sin()sinABC+=；（3）sinsin22ABC+=；（4）coscos22ABC+=

.【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；（4）不成立，理由见解析【解析】【分析】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.【详解】解：（1）不成立，cos()

cos()cosABCC+=−=−，cos()cosABC+=不成立；（2）成立，sin()sin()sin,sin()sinABCCABC+=−=+=成立；（3）不成立.sinsincos,sinsin222222ABCCABC++=−==

不成立；（4）不成立coscossin,coscos222222ABCCABC++=−==不成立.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数学运算能力.15.已知1sin33x−=，且02x，求sin6x

+和2cos3x+的值.【答案】22sin63x+=；222cos33x+=−【解析】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】解：0

,2633xx−−，又1sin033x−=，2220,cos1sin33333xxx−−=−−=.22sinsincos62333xxx+=−−=−=；222cos

coscos3333xxx+=−−=−−=−.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.拓广探索16.化简下列各式，其中nZ：（

1）sin2n+；（2）cos2n−.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】根据整数n与4的余数的大小，结合诱导公式进行分类讨论求值即可.【详解】解：当4()

nkkZ=时，sinsin(2)sin;coscos(2)cos22nnkk+=+=−=−=.当41()nkkZ=+时，sinsin2cos22nk+=++=

；coscos2sin22nk−=+−=.当42()nkkZ=+时，sinsin(2)sin2nk+=++=−；coscos(2)cos2nk−=+−=−.当43()nkkZ=+时，3sinsi

n2cos22nk+=++=−3coscos2sin22nk−=+−=−.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.17．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系?由此还能得

到三角函数值之间的哪些恒等关系？