【文档说明】广东省五校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试卷 含答案.docx，共(26)页，1.342 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年上学期高二期末试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉

原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）1.集合|2sin1,RAxxx==，230Bxxx=−，则AB=（）A.0,3B.π6C.π5π,66D.π5π,66【答案】D【解析】【详解】由2sin1x=得1sin2x=解得π2π6xk=+或5π2π,Z6kk+

，所以π|2π6Axxk==+或5π2π,Z6kk+，又由230xx−解得03x，所以03Bxx=，所以AB=π5π,66，故选:D.2.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机

产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：522553135354313531423521541142125323345131332

515324132255325则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（）A.25B.920C.12D.710【答案】B【解析】【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,

125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以920P=.故选：B3.设复数z满足1zzz−=−，则z在复平面上对应的图形是（）A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线【答案】A【解析】【详解】设izxy=+，则izxy=−，1zzz−

=−可得：()()22212xyy−+=，化简得：()2213xy−=，即13xy−=或13xy−=−，则z在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A4.在ABC中，已知3a=，π3A=，bx=，满足此条件的三角形只有

一个，则x满足（）A.23x=B.()0,3xC.()230,3xD.(230,3x【答案】D【解析】【详解】由正弦定理得3πsinsin3xB=，则有3sin23sin32BxB==，()2π0,π0,3BA骣琪?=琪桫.∵满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，

则ππ0,23B禳纟镲çÎú睚çú镲铪棼，故{}(]23sin230,3xB=?.故选：D5.圆内接四边形ABCD中2AD=，4CD=，BD是圆的直径，则ACBD=（）A.12B.12−C.20D.20−【答案】B【解析】【详解】由

题知90BADBCD==o，2AD=，4CD=∴()ACBDADDCBDADBDDCBD=+=+22=coscosADBDBDADCBDBDCADDC−=−41612=−=−.故选：B.6.已知

数列na为等差数列，若2830aa+，670aa，且数列na的前n项和有最大值，那么nS取得最小正值时n为（）A.11B.12C.7D.6【答案】A【解析】【详解】因为等差数列的前n项和有最大值，故可得0d，因为2830aa+，故可得10224+ad，即10

112+da，所以7012−ad，可得7102ad，又因为670aa，故可得60a，所以数列na的前6项和有最大值，且6712110+=+aaad，又因为()122711612602==++aSaaa，()

611111111102+==Saaa，故nS取得最小正值时n等于11.故选：A.7.已知过椭圆()222210xyabab+=的左焦点()1,0F−的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A.22165

xy+=B.22154xy+=C.22132xy+=D.22143xy+=【答案】B【解析】【详解】不妨设A在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F−，点C，F是线段AB的三等分点，则C为1AF的中点，1F为BC中点，所以1Ax=，所以22211Ayab+=，则2A

bya=即21,bAa，所以220,2bCa，22,2bBa−−，将点坐标代入椭圆方程得4222441baab+=，即222414baa+=，又221ab−=，所以25a=，24b=，所以椭圆的标准方程是22154xy+=.

故选：B8.定义在()0,+的函数()yfx=满足：对1x，()20,x+，且12xx，()()2112120xfxxfxxx−−成立，且()39f=，则不等式()3fxx的解集为（）A.()9,+B.()0,9C.()0,3D.()3,+【答案】D【解析】【详解

】由()()2112120xfxxfxxx−−且1x，()20,x+，则两边同时除以12xx可得()()1212120fxfxxxxx−−，令()()fxgxx=，则()()fxgxx=在()0,+单调递增，由()3fxx得()3fxx且(3)

(3)33fg==，即()(3)gxg解得3x，故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知双曲线

22221xyab−=（0a，0b）的右焦点为(),0Fc，在线段OF上存在一点M，使得M到渐近线的距离为34c，则双曲线离心率的值可以为（）A.7B.2C.43D.2【答案】AB【解析】【详解】2

2221xyab−=的一条渐近线方程为0bxay−=，设(),0Mm，0mc，2234bmcab=+，整理得：234cmb=，因为0mc，所以234ccb，即22344cbca=−，解得：477ca，因为7477，2477，44737，47

27，所以AB正确，CD错误.故选：AB10.已知正实数a，b满足8abab++=，下列说法正确的是（）A.ab的最大值为2B.ab+的最小值为4C.2+ab的最小值为623−D.()111abb++的最小值为12【答案】BCD【解析】【详解】对于

A,因为82abababab++=+，即()2280abab+−，解得42ab−，又因为正实数a，b，所以02ab，则有4ab，当且仅当2ab==时取得等号，故A错误；对于B，2()8()4abababab+++=++，即()24()320abab+

++−，解得8ab+−（舍）4ab+，当且仅当2ab==时取得等号，故B正确；对于C,由题可得(1)8baa+=−所以801aba−=+，解得08a，()8181818221321361112231aaaaaaabaaa−

=+−=++−++=+−=−++++，当且仅当1811aa+=+即321a=−时取得等号，故C正确；对于D,11111(1)(1)8(1)abbabbabb+=+++++1(1)112(22)8(1)82bababb+=+++=

+，当且仅当(1)44,(1)15babbabaabbb+====++时取得等号，故D正确，故选:BCD.11.已知正方体1111ABCDABCD−的边长为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足15sin5EDD=

，则下列说正确的有（）A.若E为面1111DCBA内一点，则E点的轨迹长度为π2B.过AB作面使得DE⊥，若E，则E的轨迹为椭圆的一部分C.若F，G分别为11AD，11BC的中点，E面FGAB，则E的轨迹为双曲线的一

部分D.若F，G分别为11AD，11BC的中点，DE与面FGAB所成角为，则sin的范围为10310,1010【答案】ABD【解析】【详解】对于A项，正方体1111ABCDABCD−中，1DD⊥平面1

111DCBA，若E为面1111DCBA内一点，所以11DDDE⊥.又因为15sin5EDD=，所以11tan2EDD=，在1RtEDD中11111tan22DEDEEDDDD===，所以11DE=故点E的轨迹是以1D为圆心1为半径的14个圆弧，所以E

点的轨迹长度为1π2π142=故A正确.对于B项，因为15sin5EDD=，即1EDD为定值，线段1DD也为定值，取11AD的中点1O，故点E的轨迹是以1DD为轴线，1DO为母线的圆锥的侧面上的点.设平面即为下图的圆O面，过点H作1DA的平行线交圆锥底面于

点1H，交1DD于点M，从图形可得11DMHDDAEDD==，易得1DOHHMOEDD=，故E的轨迹为椭圆的一部分，所以B正确.对于C项,平面与轴线1DD所成的角即为平面与1AA所成的角，1AA

F是平面与轴线1DD所成的角，在1RtAAF中1111tan2AFAAFAA==，而母线DF与轴线1DD所成的角为1FDD，在1RtFDD中1111tan2FDFDDDD==，即母线与轴线所成的角与截面与轴线所成的角，所以点E的轨

迹应为抛物线，故C不正确.对于D项,以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴的非负半轴建立如图所示的坐标系，连接DE并延长交上底面1111DCBA于点1E，设111π,0,2ADE=，则()()

()()()10,0,0cos,sin,12,0,02,2,01,0,2DEABF，()1cos,sin,1DE=则()()0,2,01,0,2ABAF==−，设面ABGF的法向量为(),,nxyz

=所以()0202,0,1200nABynxznAF===−+==所以DE与面FGAB所成角的正弦值为112cos12cos1sin5210nDEnDE++===又因为

π0,2cos11,32+所以2cos110310,101010+，故D正确.故选：ABD12.已知函数()()lnfxx=−，()()ln4gxx=+，则（）A.函数()()22y

fxgx=−+−为偶函数B.函数()()yfxgx=−为奇函数C.函数()()22yfxgx=−−−为奇函数D.2x=−为函数函数()()yfxgx=+图像的对称轴【答案】CD【解析】【详解】对于A，()()22ln(2)ln(2

)yfxgxxx=−+−=−++，定义域为()2,+，所以函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B,()()ln()ln(4)yfxgxxx=−=−−+定义域为()40−，，所以函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C,()()22ln(2)ln(2)yf

xgxxx=−−−=−−+，定义域为()2,2−，设()ln(2)ln(2)hxxx=−++，()ln(2)ln(2)()hxxxhx−=+−−=−，所以函数为奇函数，故C正确；对于D,设()()2()ln(4)txfxgxxx=+=−−定义域为()4,0−，22(4)

ln(4)4(4)ln(4)()txxxxxtx−−=−−−−−−=−−=，所以2x=−为函数函数()()yfxgx=+图像的对称轴，故D正确，故选:CD.第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知首项为2的数列na对*Nn

满足134nnaa+=+，则数列na的通项公式na=______.【答案】1432n−−【解析】【详解】设()13nnaa++=+，即132nnaa+=+，故24=，解得：2=，故134nnaa+=+变形为()1232nnaa++=+，122

24a+=+=，故2na+是首项为4的等比数列，公比为3，则1243nna−+=，所以1432nna−=−，故答案为：1432n−−14.已知直线l的方向向量为()1,0,2n=，点()0,1,1A在直线l上，则点(

)1,2,2P到直线l的距离为______.【答案】305【详解】()1,1,1=AP，10215cos,553++===nAPnAPnAP，所以21510sin,155=−=nAP，点()1,2,2P到l的距离为1030sin,355===d

APnAP．故答案为：305．15.函数()()2cosfxx=+（0，ππ2）的部分图象如图所示，直线ym=（0m）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x，2x，3x，则()123sin

2xxx+−=______.【答案】22−【详解】由图可知，5π5π2cos144f=+=，即5π2cos42+=，则5ππ2π825π7π2π440ππ2

kk+=++=+，解得2=，3π4φ=-，故()3π2cos24fxx=−.则()3π02cos14f=−=−，()fx最小正周期为2ππ2=.直线ym=（0m）与

这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x，2x，3x，则由图可知125ππ3π2848xx+=-=，235ππ7π2848xx+=+=.∴()()()()123122312π14πππ2sin2sin2sinsinsin88442xxxxx

xx+−=+−+=−=−=−=−.故答案为：22−16.已知实数x、y满足||||14xxyy−=，则25xy−+的取值范围是________．【答案】(5,225]+.【解析】【详解】因为实数,xy满足||||14xxyy−=，当0

,0xy时，方程为2214xy−=的图象为双曲线在第一象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy+=的图象为椭圆在第四象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy−−=的图象不存在；当0,0xy时，方程为22+14xy−=的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出

函数的图象如图所示，25xy−+表示点(,)xy到直线250xy−+=的距离的5倍根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为12yx=，令25zxy=−+，即15222zyx=−+，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，

当过点(,)xy且斜率为12的直线与椭圆相切时，点(,)xy到直线250xy−+=的距离最大，即当直线25zxy=−+与椭圆相切时，z最大，联立方程组221415222xyzyx+==−+，得()2222252510xzxzz−−+−+=，()()

22Δ225422510zzz=−−−+=，解得522z=，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以5+22z=，又直线250xy−+=与20xy−=的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以5z综上所述，5522z+，所以

5522z+，即(245,5+22xy+−，故答案为：(5,225]+.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()2πππ2sinsin23cos33

63fxxxx=−++−+.（1）求函数()fx的单调增区间；（2）求π2π3π4π5π6π7π24242424242424fffffff++++++的值.【答案】（

1）()π5ππ,π1212kkkZ−++（2）143【小问1详解】()2ππππ2sincos32cos1233263fxxxx=−−+++−−+πππ2sincos3cos223333xxx

=−−+−+ππsin23cos22333xx=−+−+2ππ2sin22333x=−++π2sin2233x=−+令()πππ22π

,2π322xkkkZ−−++，则()π5ππ,π1212xkkkZ−++.故函数()fx的单调增区间为()π5ππ,π1212kkkZ−++.【小问2详解】()π2sin223

3fxx=−+，令()π2sin23gxx=−，由()π2π3xkk-=?Z得()()43+1πππ6224kkxk=+=?Z，故()gx关于()()43+1π,024kk骣琪Î琪桫Z对称，故当0k=时，()

gx关于4π,024骣琪琪桫对称.故π2π3π4π5π6π7π24242424242424fffffff++++++π7π2π6π3π5π4π143242424

24242424ggggggg=+++++++0000143=++++143=.18.已知等比数列na对任意的n+N满足183nn

naa++=.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列na的前n项和为nS，定义min,ab为a，b中较小的数，13min,log2nnnabS=，求数列nb的前

n项和nT.【答案】（1）123n-（2）21,42111093,42318nnnnnTnn−−=+−【小问1详解】设等比数列na公比为q，则有()1118131813nnnnnnnna

aaqaaaq+−−+=+=+=+=，两式相除化简得11131qq+=+，解得13q=，又()121831aaaq=+=+，可得12a=.∴数列na的通项公式1112233nnna−−==.【小问2详解】11213131

313nnnS−−==−−，则111331111min,logmin,logmin,221111333313333nnnnnnbn−−−−−===

−−−−.令11313nn−−−，即1143nn−−，∵()1143,43n−−，∴当4n时，1143nn−−，即11313nn−−−；当4n时，1143nn−−，即11313nn−−−；∴111,

41min3,1133,43nnnnnbnn−−−=−−=−.故当4n，()20122nnnnnT+--==；当4n时，()341111333333nnTn-骣骣骣琪琪琪=+-+-+-++-琪琪琪桫桫桫33111113311111093636311823231813

nnnnnn---轾骣骣犏--琪琪琪琪犏骣桫桫臌琪=-+=--+=?-琪×桫-.故21,42111093,42318nnnnnTnn−−=+−.19.已知平面内一动点P

到定点()0,1F的距离比它到x轴的距离多1.（1）求P点的轨迹方程C；（2）过点()0,5Q作直线l与曲线C交于,AB（A点在B点左侧），求ABFAFOSS+△△的最小值.【答案】（1）24xy=或.0(0)xy=（2

）20【小问1详解】由题知，动点P到定点()0,1F的距离比它到x轴的距离多1，设(,)Pxy，所以1PFy=+，当0y时，22(1)1xyy+−=+，化简得24xy=，当0y时，22(1)1xyy+−=−，化简得0x=，所以P点

的轨迹方程为2:4Cxy=，或.0(0)xy=.【小问2详解】由题得，过点()0,5Q作直线l与曲线C交于,AB（A点在B点左侧），所以由（1）得2:4Cxy=，设直线l为11225,(,),(,)ykxAxyBxy=+，将5ykx=+代入2:4Cxy=中得24200x

kx−−=，所以216800k=+，即Rk，12124,20xxkxx+==−，即1220xx−=，所以ABFAFOAQFBQFAFOSSSSS+=++1212111112()222QFxxOFxxxx=−+=−−222222240105050222220xxxxxxx=++=+=当且仅当

22502xx=，即25x=时，取等号，所以()min20ABFAFOSS+=所以ABFAFOSS+△△的最小值为20.20.已知正项数列na满足2112nnnnnaaaaa+++−=，且121aa==，设1nnnn

abaa+=+.（1）求证：数列nb为等比数列并求na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nS，求数列1nnnbSS+的前n项和nP.【答案】（1）()222211,113721,2nnnan−==−（2）12221nnP+=−−

【小问1详解】因为1nnnnabaa+=+，所以1121++++=+nnnnabaa，因为2112nnnnnaaaaa+++−=，所以2112++++=nnnnnaaaaa，所以()()11121111212

11++++++++++++++++===+++nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbaaaaaaaaaa11111222+++++==+nnnnnnaaaaaa，且112112==+abaa，所以数列nb是以12为公比，12为首项的等比数列，即12nn

b=，即112+=+nnnnaaa，可得112++=nnnaa，()2121+=−nnnaa，所以2n时，()22221324112313721−−=−nnnaaaaaaa

a，即()2222113721−=−nna，而此时1n=时，()1121210−=−=a，所以()222211,113721,2nnnan−==−；【小问2详解】由（1）12nnb=，所以11122111

212nnnS−==−−，11112++=−nnS所以11111122111111112222+++==−−−−−nnnnnn

nnSSb，所以122311111112111111111111222222+=−+−++−−−−−−−nnnP111112222111

1122nnnP++=−=−−−−.21.已知四棱锥EABCD−中，44ABCD==，2AE=，//CDAB，22AD=，45DAB=，面ABCD⊥面ABE，17CE=.（1）求证：AECB⊥；（2）求面ADE与面BDE所成的二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）0【小问1详解】由题知，44ABCD==，2AE=，//CDAB，22AD=，45DAB=，面ABCD⊥面ABE，17CE=.过D作⊥DOAB，过C作CFAB⊥，即//DOCF，连接AC交DO于G，因为//CDAB，所以四边

形OFCD为平行四边形，所以,OFCDODFC==，因为在ADO△中，22,45,ADDAODOAO==⊥,所以2DOAO==,所以2CF=，因为44ABCD==，//CDAB，OFCD=，所以1OFCD

==所以3AF=，因为CFAB⊥，所以229413ACAFCF=+=+=,因为17CE=，2AE=，所以在ACE△中，222CEAEAC=+,即AEAC⊥，又因为⊥DOAB，平面ABCD⊥平面ABE且交于AB，所以DO⊥面

ABE，因为AE面ABE，所以DOAE⊥，因为,,DOACGDOAC=平面ABCD，所以⊥AE平面ABCD,因为CB平面ABCD，所以AECB⊥.【小问2详解】由（1）得，DO⊥面ABE，⊥AE平面ABCD，//DOCF，作//AzDO,所以Az⊥面ABE，AEAB⊥

，所以,AzAEAzAB⊥⊥，所以建立以A为原点，分别以,,AEABAz的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系Axyz−，因为2DOAO==，4AB=，2AE=，所以(0,0,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,4,0)ADEB,所以(2,0,0),(2,2,

2),(0,2,2)AEDEBD==−−=−,设面ADE与面BDE的法向量分别为111222(,,),(,,)mxyznxyz==，所以·0·0mAEmDE==，即1111202220xxyz=−−=，令11y=，得(0,1,1)m=−，·0·0nBDnDE==

，即221112202220yzxyz−+=−−=，令21y=，得(2,1,1)n=，设面ADE与面BDE所成的二面角为，所以面ADE与面BDE所成的二面角的余弦值为011cos026mnmn+−===.所以面ADE与面BDE所

成的二面角的余弦值为0.22.换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知0a，0b，4ab+=，求33+ab的最小值.其求解过程可以是：设2at=−，2bt=+，其中

22t−，则()()()()3333232322281268126161216abttttttttt+=−++=−+−++++=+；当0=t时33+ab取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.已知平面内一动点P到两个定点()11,0F−，()21,0F的距离之和为

4.（1）请利用上述方法，求P点的轨迹方程M；（2）过轨迹M与x轴负半轴交点A作斜率为k的直线交轨迹M于另一点B，连接2BF并延长交M于点C，若1FCAB⊥，求k的值.【答案】（1）22143xy+=（2）6

12【解析】【小问1详解】由题知，平面内一动点P到两个定点()11,0F−，()21,0F的距离之和为4，满足椭圆的定义，即P点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以2,1ac==，所以3b=，所以P点的轨迹方程M为22143x

y+=，【小问2详解】由（1）得22:143xyM+=，()11,0F−，()21,0F，因为M与x轴负半轴交点A作斜率为k的直线交轨迹M于另一点B，连接2BF并延长交M于点C，1FCAB⊥所以(2,0)A−，设直线AB为(2)ykx=+，直

线1FC为1(1)yxk=−+，11(,)Bxy，联立22143(2)xyykx+==+，消去y得2222(34)1616120kxkxk+++−=，所以21216234kxk−−+=+，即2126834kxk−=+，所以121

234kyk=+，所以2226812(,)3434kkBkk−++，所以22222124346814134BFkkkkkkk+==−−−+，所以224:(1)14BFklyxk=−−，联立24(1)141(1)kyxkyxk=−−=−+，解得2818xkyk=−

=−，即2(81,8)Ckk−−因为点C在椭圆上，所以()()222818143kk−−+=，化简得4219220890kk+−=，解得2124k=或298k=−（舍去），所以612k=，所以k的值为612.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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