【文档说明】专题02“辅助圆”模型解决最值问题（原卷版）-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）.docx，共(25)页，1.720 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c595383675eb66c84e1d070972eec9cf.html

以下为本文档部分文字说明：

1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知3AB=，4BC=，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A．2B．52C．3D．102．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FEAB⊥，2AF

AE=，FC交BD于O，则DOC的度数为()A．60B．67.5C．75D．54课前热身策略一：角处理的常见策略“边对角”问题属角的存在性问题特例，具备角处理的通用解法，比如“一线三等角”，“母子型相似

”，“整体旋转法”策略二：“边对角”→辅助圆（本节重点）由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图：注意：有圆，常有“定边对定角”；反过来，有“定边对定角”常

可以构造辅助圆。策略三：“半角模型”45°角常与“半角模型”挂钩，可尝试构造解题方法提炼典例精析【例题1】已知，点）（4,0A，），（6-0B，C为x正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C的坐标为策略一：45°→构造等腰直角三角形→造“一线三直角”策略二：一个45°→补两个

45°→造“一线三等角”策略三：一个45°→再补一个45°→造“母子型相似”策略四：“边对角”→辅助圆策略五：45°→两次对称→正方形中“半角模型”策略六：45°→等腰直角三角形中“半角模型”【变式1】如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA=4，OB=6，且∠ACB=30°，求OC

的长。“半角模型”基本结论：和关系−−=+cba平方和关系--x222zy=+策略一：30°→构直角三角形→造“一线三直角”策略二：一个30°→再补一个30°→造“母子型相似”策略三：“定边”AB对“定角”∠AC

B→思构辅助圆【变式2】如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA=8，OB=12，且tan∠ACB=2，求OC的长。策略一：“定边”AB对“定角”∠ACB→思构辅助圆策略二：∠ACB→构直角三角形→造“一线三直角”策略三：构造“母子

型相似”策略四：构造“一线三等角”一、触发隐圆模型的类型（1）动点到定点定长模型（共顶点的三条等线段）若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注

：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定边对定角模型固定线

段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C

在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆备注：点P与点C需在线段AB同侧一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角（参考

知识梳理）。二、模型本质：两点之间，线段最短。【例题1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是_

_________．【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【例题3

】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【例题4】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两

个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．A'NMABCDABCEFPlPOCBAQABCDEFP【例题5】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H

，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【例题6】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【例题7】如图，在Rt△AB

C中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．HGABCDEFPABCOEDCBA【例题8】如图，正方形

ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【例题9】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC

、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【例题10】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【例题11】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8．D是弧BC

上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【例题12】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________

．GFEDCBAEFCBAPOEDCBAABCDEFP【例题13】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【例题14】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝9

0°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【例题15】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点

，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是．【例题16】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF

翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．FEDCBA【经典剖析1】已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且EDFC=，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分GBC

交FC于H，连接DH．（1）求证：EDFC⊥；（2）求证：DGH是等腰直角三角形．【经典剖析2】定理：图1，如果ADBACB=，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注:本定理不

需要证明）（1）图2，ABC中，ACBC=，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CEBF=，O是ABC的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明C，E，O，F四点共圆．（注：可以使用上述定

理，也可以采用其他方法）如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有：（2）图3，在凸四边形ABCD中，ADBC=，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DEBF=，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别

在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．【经典剖析3】如图1，直线333yx=−+与两坐标轴交于A、B，以点(1,0)M为圆心，MO为半径作小M，

又以点M为圆心、MA为半径作大M交坐标轴于C、D．（1）求证：直线AB是小M的切线．（2）连接BM，若小M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，大M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，问：经过多少秒后，两圆相切？（3）如图2，作直线//B

Ex轴交大M于E，过点B作直线PQ，连接PE、PM，使120EPB=，请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系．【拓展训练1】（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，(8,0)A，(8,8)B，点D坐

标为(6,0)−，连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DECP⊥于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为()A．1538989−B．204137137−C．113D．154【拓展训练2】（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，8

AB=，6BC=，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若PBCPAB=，则PC的最小值是()A．6B．733−C．2134−D．4134−【拓展训练3】（2021秋•宜兴市期末）如图，在ABC中，90ABC=，4BC=，8AB=，P为AC边上的一个动点，D为P

B上的一个动点，连接AD，当CBPBAD=时，线段CD的最小值是()A．2B．2C．221−D．424−【拓展训练4】（2021秋•唐县期末）如图，ABC中，90C=，30BAC=，2AB=，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q

运动的路径长为()A．233B．3C．36D．3【拓展训练5】（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，5AD=，33AB=，点E在AB上，12AEEB=，在矩形内找一点P，使得60BPE=，则线段PD的最小值为()A．272−B．21

34−C．4D．23【拓展训练6】（2021•永嘉县校级模拟）如图，ABC，3AC=，43BC=，60ACB=，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，O为APC的外接圆，直线BP交O于E点，

则AE的最小值为()A．31−B．743−C．3D．1【拓展训练7】（2019•安徽一模）在RtABC中，90ACB=，8AC=，3BC=，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为()A

．1B．32C．3D．52【拓展训练8】（2017秋•崇安区期末）如图，在RtABC中，90BAC=，ABAC=，22BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为()A．3B．1C．2D．51−【拓展训练9】（2017•黔东南州）如图，正方形

ABCD中，E为AB中点，FEAB⊥，2AFAE=，FC交BD于O，则DOC的度数为()A．60B．67.5C．75D．54【拓展训练10】（2016秋•苏州期末）如图，已知等边ABC的边长为8，以AB为直径的圆交BC于点F．

以C为圆心，CF长为半径作图，D是C上一动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为()A．43B．45C．432+D．12【拓展训练11】（2021秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，90BADBCD==，30ACD=，2AD=，E

是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．【拓展训练12】（2020秋•拱墅区校级期末）如图，在等边ABC中，6AB=，点D，E分别在边BC，AC上，且BDCE=，连接AD，BE交于点F，连接CF，则AFB=，CF的最小值是．【拓展训练13】（2021•郯城县校级模拟）如

图，半径为4的O中，CD为直径，弦ABCD⊥且过半径OD的中点，点E为O上一动点，CFAE⊥于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．【拓展训练14】（2021•汉阳区校级模拟）如图，四边形ABCD中，ABACAD==，15CBD=，3

BDAB=，则BDC=．【拓展训练15】（2020秋•昭阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABACAD==，如果70BAC=，那么BDC=．【拓展训练16】（2020秋•闽侯县校级月考）如图，已知四边形ABCD中，//ABCD，3ABACAD===，2BC=，则BD=

．【拓展训练17】（2020•碑林区校级模拟）如图，等边ABC中，6AB=，点D、点E分别在BC和AC上，且BDCE=，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．【拓展训练18】（2019秋•高淳区期末）如图，已知：ABACAD==，50BAC=，30DAC=，则BDC=．【拓展训练1

9】（2019春•杏花岭区校级月考）如图示，A，B两点的坐标分别为(2,0)−，(3,0)，点C在y轴上，且45ACB=，则点C的坐标为．【拓展训练20】（2018秋•南浔区期中）如图，已知ABACAD==，23CBDBDC=，102BAC=，则CAD的度数为．【拓展训练21】（2

021秋•武夷山市期末）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边HAC与等边DCB，连接DH．（1）如图1，当90DHC=时，直接写出DC与CH的数量关系为；（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平

分AEB；（3）现将图1中DCB绕点C顺时针旋转一定角度(090)，如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．【拓展训练22】（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆

”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC中，ABAC=，90BAC=，D是ABC外一点，且ADAC=，求BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆

A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC=．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，90BADBCD==，25BDC=，求BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：ABD的外接圆就是以BD

的中点为圆心，12BD长为半径的圆；ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在ABC中，45BAC=，AD是BC边上的高，且6

BD=，2CD=，求AD的长．【拓展训练23】（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC中

，ABAC=，90BAC=，D是ABC外一点，且ADAC=，求BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC=．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，90BADBCD==，25BDC

=，求BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF=．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

e100.com