【文档说明】《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题09 第七章《锐角三角函数》中的三角形问题培优训练（解析版）.docx，共(31)页，414.170 KB，由管理员店铺上传

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1专题092020第七章《锐角三角函数》中的三角形问题培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.(1)【问题发现】如图1，△𝐴𝐵𝐶和△𝐶�

�𝐹都是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐹𝐶=90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为______；(2)【拓展研究】在(1)的条件下，将△𝐶𝐸𝐹绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无

变化？仅就图2的情形给出证明；(3)【问题发现】当𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，△𝐶𝐸𝐹旋转到B、E、F三点共线时候，直接写出线段AF的长=．【答案】(1)𝐵𝐸=√2𝐴𝐹；(2)𝐵𝐸=√2�

�𝐹，理由如下：如图2中，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐶𝐴𝐶𝐵=√22，在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐶𝐸=45°，∠𝐸𝐹𝐶=90°，∴sin∠𝐹�

�𝐶=𝐶𝐹𝐶𝐸=√22，2∴𝐶𝐴𝐶𝐵=𝐶𝐹𝐶𝐸，又∵∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴∠𝐹𝐸𝐶−∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐸，即∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐵，∴△�

�𝐶𝐹∽△𝐵𝐶𝐸，∴𝐵𝐸𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶=√22，∴𝐵𝐸=√2𝐴𝐹；(3)√3−1或√3+1．【解析】(1)由△𝐴𝐹𝐶为等腰直角三角形，进而得出𝐴𝐶=√2𝐴𝐹，

即可得出结论；(2)先利用三角函数得出𝐶𝐴𝐶𝐵=√22，同理得出𝐶𝐹𝐶𝐸=√22，夹角相等即可得出△𝐴𝐶𝐹∽△𝐵𝐶𝐸，进而得出结论；(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出𝐸𝐹=𝐶𝐹√2，𝐵𝐹=√2，即可得出𝐵𝐸=√6−√2

，借助(2)得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解(2)(3)的关键是判断出△𝐴𝐶𝐹∽△𝐵𝐶𝐸.第三问要分情况讨论．【解答】解：(

1)𝐵𝐸=√2𝐴𝐹，理由如下：如图1中，∵△𝐴𝐹𝐶是等腰直角三角形，∴𝐴𝐶=√2𝐴𝐹，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐵𝐸=𝐴𝐵=√2𝐴𝐹，故答案为：𝐵𝐸=√2𝐴𝐹；(2)见答案；(3)当点E在线段AF上

时，如图2，3由(1)知，𝐶𝐹=𝐸𝐹=√2，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹中，𝐶𝐹=√2，𝐵𝐶=2√2，根据勾股定理得，𝐵𝐹=√6，∴𝐵𝐸=𝐵𝐹−𝐸𝐹=√6−√2，由(2)知，𝐵𝐸=√2𝐴𝐹，∴𝐴𝐹=√3−1，当点E在线段BF的延长线上时，如图

3，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐶𝐴𝐶𝐵=√22，在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐶𝐸=45°，在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐹中，sin∠𝐹𝐸𝐶=𝐶𝐹𝐶𝐸=√

22，∴𝐶𝐹𝐶𝐸=𝐶𝐴𝐶𝐵，∵∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴∠𝐹𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐶𝐵+∠𝐹𝐶𝐸，∴∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐵，∴△𝐴𝐶𝐹∽△𝐵𝐶𝐸

，∴𝐵𝐸𝐴𝐹=𝐶𝐵𝐶𝐴=√2，∴𝐵𝐸=√2𝐴𝐹，由(1)知，𝐶𝐹=𝐸𝐹=√2，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹中，𝐶𝐹=√2，𝐵𝐶=2√2，根据勾股定理得，𝐵𝐹=√6，∴𝐵�

�=𝐵𝐹+𝐸𝐹=√6+√2，由(2)知，𝐵𝐸=√2𝐴𝐹，4∴𝐴𝐹=√3+1，即：当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候，线段AF的长为√3−1或√3+1，故答案为：√3−1或√3+1．2.已知：等边△𝐴𝐵𝐶中，CE平分∠𝐴𝐶𝐵，D为BC边上一点，且𝐷𝐸=

𝐷𝐶，连接BE．(1)如图1，若𝐵𝐶=6√3，𝐶𝐸=4，求BE的长；(2)如图2，取BE中点P，连接AP、PD、AD，求证：𝐴𝑃⊥𝑃𝐷且𝐴𝑃=√3𝑃𝐷；(3)在(1)的条件下，将△𝐶𝐷𝐸绕点

C顺时针旋转，如图3，连接BE，取BE中点P，连接AP、PD、AD，当𝐸𝐶//𝐴𝐷时，求AP的长．【解析】本题属于几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，体会倍长中线在解题中的作用，体会形变结论不变证明方法类似的含

义，属于中考常考题型．(1)作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，求出EF、BF即可利用勾股定理求出BE．(2)延长DP至G，使𝑃𝐺=𝑃𝐷，由△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐶𝐷，推出△𝐴𝐺𝐷是等边三角形，即可解决问题．(3)过C作𝐶𝐻⊥𝐴𝐷交AD延长线于

H，过D作𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于点F，先求CF的长，再根据锐角三角函数求出CD，DH的长，再由勾股定理求得AH的长，从而得到AD的长，再根(2)的结论𝐴𝑃=√3𝑃𝐷可得结论．【答案】解：(1)解：如图1，作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，∵∠𝐴𝐶𝐵=6

0°，CE平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐶𝐸=30°，∴𝐸𝐹=12𝐶𝐸=2，𝐶𝐹=√𝐶𝐸2−𝐸𝐹2=2√3，∴𝐵𝐹=𝐵𝐶−𝐶𝐹=4√3，5∴𝐵𝐸=√𝐵𝐹2+𝐸𝐹2=√(4√3)2+22=2√13；(2

)延长DP至G，使𝑃𝐺=𝑃𝐷，连接AG，可证△𝑃𝐵𝐺≌△𝑃𝐸𝐷(𝑆𝐴𝑆)，则𝐵𝐺=𝐸𝐷=𝐶𝐷，∠𝑃𝐵𝐺=∠𝑃𝐸𝐷，∴𝐵𝐺//𝐷𝐸，∴∠𝐷𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸=120°

，∴∠𝐴𝐵𝐺=60°=∠𝐴𝐶𝐷，又𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐺=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐷，∴𝐴𝑃⊥𝑃𝐷，∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=60°，∴△𝐴𝐺𝐷为等边三角形，∴𝐴�

�=√3𝑃𝐷．(3)过C作𝐶𝐻⊥𝐴𝐷交AD延长线于H，过D作𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于点F，∵𝐸𝐶//𝐴𝐷，∴∠𝐶𝐷𝐻=∠𝐷𝐶𝐸=30°，在等腰△𝐶𝐷𝐸中，∵𝐶𝐸=4，∴𝐶𝐹=12𝐶𝐸=2，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，由

cos∠𝐷𝐶𝐹=𝐶𝐹𝐶𝐷，可求𝐶𝐷=𝐶𝐹cos∠𝐷𝐶𝐹=4√33，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻中，𝐶𝐻=12𝐶𝐷=2√33，𝐷𝐻=cos∠𝐶𝐷𝐹·𝐶𝐷=2，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐻中，𝐴𝐻=√𝐴𝐶2−𝐶𝐻2=8√153

，∴𝐴𝐷=8√153−2．6同(2)可证𝐴𝑃⊥𝑃𝐷，𝐴𝑃=√3𝑃𝐷∴𝐴𝑃=√32𝐴𝐷=4√5−√3．3.如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC>CD，∠ACB=∠DCE=𝛼，且点A、D、E在同一

直线上，连结BE(1)求证：AD=BE．(2)如图2，若𝛼=90°，CM⊥AE于𝐸.若CM=7，BE=10，求AE的长．(3)如图3，若𝛼=120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，𝐸𝑁=𝑎，𝐶𝑀=𝑏，求出AE的值(用a，b的代数式表示)．【解析】略【答案】(1)证明：∵∠

𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，{𝐴𝐶=𝐵𝐶∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸𝐶�

�=𝐶𝐸，∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐵𝐸；(2)解：设AE交BC于点H，如图2所示：由(1)得：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸

，𝐴𝐷=𝐵𝐸=10，∵∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐵𝐻𝐸，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐶𝐻=90°，∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼=90°，𝐶𝐷=𝐶𝐸，∴△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，∵𝐶𝑀⊥𝐷𝐸，7∴𝐶𝑀=𝐷𝑀=𝑀𝐸=7，

∴𝐷𝐸=2𝐶𝑀=14，∵𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐸=10+14=24；(3)解：∵△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸均为等腰三角形，且∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=120°，∴∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐶𝐸𝑀=12×(180°−120°)=30°．∵𝐶𝑀⊥𝐷𝐸，∴∠𝐶

𝑀𝐷=90°，𝐷𝑀=𝐸𝑀．在𝑅𝑡△𝐶𝑀𝐷中，∠𝐶𝑀𝐷=90°，∠𝐶𝐷𝑀=30°，∴𝐷𝐸=2𝐷𝑀=2×𝐶𝑀tan∠𝐶𝐷𝑀=2×𝐶𝑀√33=2√3𝑏，∵∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=180°−30°=1

50°，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐸𝑀+∠𝐴𝐸𝐵，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝑀=150°−30°=120°，∴∠𝐵𝐸𝑁=180°−120°=60°，在𝑅𝑡△𝐵𝑁𝐸中，∠𝐵𝑁𝐸=90°，∠𝐵�

�𝑁=60°，∴𝐵𝐸=𝐵𝑁sin∠𝐵𝐸𝑁=𝐵𝑁√32=2√33𝑎，∵𝐴𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐸，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸+𝐷𝐸=2√33𝑎+2√3𝑏.4.已知如图在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=

60°8(1)𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝑃𝐴=5，𝑃𝐵=3①如图1，若点P是△𝐴𝐵𝐶内一点，且𝑃𝐶=4，求∠𝐵𝑃𝐶的度数。②如图2，若点P是△𝐴𝐵𝐶外一点，且∠𝐴𝑃𝐵=60°，求PC的长。(2)如图3，𝐴𝐵<𝐴𝐶，点

P是△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，则𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小值是__________【答案】解：(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，

①如图1，将△𝐴𝐵𝑃绕点B顺时针旋转60°得到△𝐶𝐵𝑃′，连接𝑃𝑃′，∴𝐵𝑃=𝐵𝑃′，∠𝑃𝐵𝑃′=∠𝐴𝐵𝐶=60°，∴△𝐵𝑃𝑃′是等边三角形；∴𝑃𝑃′=𝑃𝐵，∠𝐵𝑃𝑃′=60°

，由旋转的性质得，𝑃′𝐶=𝑃𝐴=5，∵𝑃𝑃′2+𝑃𝐶2=32+42=25=𝑃′𝐶2，∴△𝐶𝑃𝑃′是直角三角形，∠𝐶𝑃𝑃′=90°，∴∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐵𝑃𝑃′+∠𝐶𝑃𝑃′=60°+90°=150°；②如

图2中，以AP为边向上作等边△𝑃𝐴𝐸，作𝐸𝐹⊥𝐵𝑃交BP的延长线于F．∵∠𝐸𝐴𝑃=∠𝐵𝐴𝐶=60°，9∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝑃𝐴𝐶，∵𝐴𝐸=𝐴𝑃，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴

△𝐸𝐴𝐵≌△𝑃𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐸=𝑃𝐶，∵∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝑃𝐵=60°，∴∠𝐸𝑃𝐹=180°−60°−60°=120°，∵𝑃𝐸=𝑃𝐴=5，∴𝑃𝐹=𝑃𝐸⋅𝑐𝑜𝑠60°=52，𝐸𝐹=𝑃𝐸⋅�

�𝑖𝑛60°=5√32，∴𝐵𝐹=𝐵𝑃+𝑃𝐹=3+52=112，∴𝐵𝐸=√𝐵𝐹2+𝐸𝐹2=√(112)2+(5√32)2=7，∴𝑃𝐶=𝑃𝐸=7．(2)2√37【解析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三

角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)①如图1，将△𝐴𝐵𝑃绕点B顺时针旋转60°得到△𝐶𝐵𝑃′，连接𝑃𝑃′，利用勾股定理的逆定理证明△𝐶𝑃𝑃

′是直角三角形即可解决问题．②如图2中，以AP为边向上作等边△𝑃𝐴𝐸，作𝐸𝐹⊥𝐵𝑃交BP的延长线于𝐹.利用全等三角形的性质证明𝐵𝐸=𝑃𝐶，解直角三角形求出BE即可解决问题．(2)如图3中，将△𝑃𝐵𝐹绕点B逆时针旋转60°得到△𝐵�

�𝐸，作𝐸𝐻⊥𝐶𝐵交CB的延长线于𝐻.根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的值最小，最小值=𝐸𝐶的长，解直角三角形求出EC即可．【解答】解：(1)①见答案；②见答案．(2)如图3中，将△𝑃𝐵𝐹绕点B逆时针旋转60°

得到△𝐵𝐹𝐸，作𝐸𝐻⊥𝐶𝐵交CB的延长线于H．10∵∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝑃𝐵𝐹=60°，∵∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝐹，∴∠𝐸𝐵𝐹+∠𝐵𝐶=60°，∴∠𝐸𝐵𝐶=120°，∵𝑃𝐵=𝐵𝐹，∠𝑃𝐵𝐹=60°

，∴△𝑃𝐵𝐹是等边三角形，∴𝑃𝐵=𝑃𝐹，∵𝑃𝐴=𝐸𝐹，∴𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝐶𝑃+𝑃𝐹+𝐸𝐹，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的

值最小，最小值=𝐸𝐶的长，在𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐻中，∵∠𝐸𝐵𝐻=60°，𝐸𝐵=6，∴𝐵𝐻=𝐵𝐸⋅𝑐𝑜𝑠60°=3，𝐸𝐻=𝐸𝐵⋅𝑠𝑖𝑛60°=3√3，∴𝐶𝐻=𝐵𝐻+𝐶𝐵=3+8=11，∴𝐸𝐶=√𝐶𝐻2+𝐸𝐻2=√112+(3√

3)2=2√37．5.如图1，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，E为线段BC上一点，AE交CD于G，且𝐺𝐶=𝐺𝐸，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶交AB于点F．(1)求证：𝐴𝐸2=𝐴𝐹⋅𝐴𝐵；(2)连FG，若𝐵𝐸=2𝐶𝐸，求tan∠

𝐴𝐹𝐺；(3)如图2，当𝑡𝑎𝑛𝐵=______时，𝐶𝐸=𝐹𝐸(请直接写出结果，不需要解答过程)．11【答案】√5−12【解析】(1)根据等腰三角形的性质、同角的余角相等得到∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵，证明△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐸，根据相似三角形的性质证

明结论；(2)设𝐶𝐸=𝑎，则𝐵𝐸=2𝑎，证明△𝐴𝐸𝐶∽△𝐵𝐴𝐶，得到𝐴𝐶=√3𝑎，求出∠𝐴𝐹𝐺=60°，得到答案；(3)设𝐵𝐸=𝑎，𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝑏，证明△𝐴𝐸𝐶∽△𝐵𝐴𝐶，得到𝐴𝐶=√𝑏(𝑎

+𝑏)，证明△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐶𝐴，求出a、b的关系，根据正切的定义解答即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】(1)证明

：∵𝐺𝐶=𝐺𝐸，∴∠𝐺𝐶𝐸=∠𝐺𝐸𝐶，∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐵=90°，∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，∴∠𝐺𝐸𝐶+∠𝐴𝐸𝐹=90°，∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵，又∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸，∴

△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐸，∴𝐴𝐹𝐴𝐸=𝐴𝐸𝐴𝐵，∴𝐴𝐸2=𝐴𝐹⋅𝐴𝐵；(2)设𝐶𝐸=𝑎，则𝐵𝐸=2𝑎，∵∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐵=90°，∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐵=90°，∴∠𝐷𝐶𝐵=∠�

�𝐴𝐵，∵∠𝐺𝐶𝐸=∠𝐺𝐸𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐺𝐸𝐶，又∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐴=90°，∴△𝐴𝐸𝐶∽△𝐵𝐴𝐶，12∴𝐶𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐶，即

𝑎𝐴𝐶=𝐴𝐶3𝑎，解得，𝐴𝐶=√3𝑎，∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐹=30°，∴𝐹𝐴=𝐹𝐸，∵∠𝐺𝐴𝐶=∠𝐺𝐶𝐴=30°，∴𝐺𝐴=𝐺𝐶，∵𝐺�

�=𝐺𝐸，∴𝐺𝐴=𝐺𝐸，又𝐹𝐴=𝐹𝐸，∴∠𝐴𝐹𝐺=60°，∴tan∠𝐴𝐹𝐺=√3；(3)设𝐵𝐸=𝑎，𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝑏，∵△𝐴𝐸𝐶∽△𝐵𝐴𝐶，∴𝐶𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐶，即𝑏𝐴𝐶=𝐴𝐶

𝑎+𝑏，解得，𝐴𝐶2=𝑏(𝑎+𝑏)，∴𝐴𝐶=√𝑏(𝑎+𝑏)，∵𝐸𝐹//𝐴𝐶，∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐶𝐴，∴𝐸𝐹𝐴𝐶=𝐵𝐸𝐵𝐶，即𝑏√𝑏(𝑎+𝑏)=𝑎𝑎+𝑏，整理得，𝑏2+𝑎𝑏−�

�2=0，则(𝑏𝑎)2+𝑏𝑎−1=0，解得，𝑏𝑎=−1±√52，∴𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑏𝑎=√5−12，故答案为：√5−12．6.(1)问题发现：如图1，在△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐶𝐷中，�

�𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=40°，连接AC，BD交于点𝑀.填空：①𝐴𝐶𝐵𝐷的值为____；②∠𝐴𝑀𝐵的度数为____．13(2)类比探究：如图2，在

△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐶𝐷中，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°，∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐷=30°，连接AC交BD的延长线于点𝑀.请判断𝐴𝐶𝐵𝐷的值及∠𝐴𝑀𝐵的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：在(2

)的条件下，将△𝑂𝐶𝐷绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若𝑂𝐷=1，𝑂𝐵=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【答案】解：(1)①1；②40°；(2)类比探究如图2，𝐴𝐶𝐵𝐷=√3，∠�

�𝑀𝐵=90°．理由是：𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷中，∠𝐷𝐶𝑂=30°，∠𝐷𝑂𝐶=90°，∴𝑂𝐷𝑂𝐶=𝑡𝑎𝑛30°=√33，同理得：𝑂𝐵𝑂𝐴=𝑡𝑎𝑛30°=√33，∴𝑂𝐷𝑂𝐶=𝑂𝐵𝑂𝐴，∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°，∴∠

𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷，∴△𝐴𝑂𝐶∽△𝐵𝑂𝐷，∴𝐴𝐶𝐵𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷=√3，∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐷𝐵𝑂，在△𝐴𝑀𝐵中，∠𝐴𝑀𝐵=180°−(∠𝑀𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝑀)=1

80°−(∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝑀+∠𝐷𝐵𝑂)=90°；(3)拓展延伸①点C与点M重合时，如图3，14同理得：△𝐴𝑂𝐶∽△𝐵𝑂𝐷，∴∠𝐴𝑀𝐵=90°，𝐴𝐶𝐵𝐷=√

3，设𝐵𝐷=𝑥，则𝐴𝐶=√3𝑥，𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷中，∠𝑂𝐶𝐷=30°，𝑂𝐷=1，∴𝐶𝐷=2，𝐵𝐶=𝑥−2，𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，∠𝑂𝐴𝐵=30°，𝑂𝐵=√7，∴𝐴𝐵=2𝑂𝐵=2√7，在𝑅𝑡△

𝐴𝑀𝐵中，由勾股定理得：𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，(√3𝑥)2+(𝑥−2)2=(2√7)2，𝑥2−𝑥−6=0，(𝑥−3)(𝑥+2)=0，𝑥1=3，𝑥2=−2，∴𝐴𝐶=3√3

；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠𝐴𝑀𝐵=90°，𝐴𝐶𝐵𝐷=√3，设𝐵𝐷=𝑥，则𝐴𝐶=√3𝑥，在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐵中，由勾股定理得：𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，(√3𝑥)2+

(𝑥+2)2=(2√7)2，𝑥2+𝑥−6=0，(𝑥+3)(𝑥−2)=0，𝑥1=−3，𝑥2=2，∴𝐴𝐶=2√3；综上所述，AC的长为3√3或2√3．15【解析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△𝐴𝑂𝐶∽△𝐵

𝑂𝐷，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．(1)①证明△𝐶𝑂𝐴≌△𝐷𝑂𝐵(𝑆𝐴𝑆)，得𝐴𝐶=𝐵𝐷，比值为1；②由△𝐶𝑂𝐴≌△𝐷𝑂𝐵，得∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐷

𝐵𝑂，根据三角形的内角和定理得：∠𝐴𝑀𝐵=180°−(∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐷)=180°−140°=40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△𝐴𝑂𝐶∽△𝐵𝑂𝐷，则𝐴𝐶𝐵𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷=√3，由全等三角形

的性质得∠𝐴𝑀𝐵的度数；(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△𝐴𝑂𝐶∽△𝐵𝑂𝐷，则∠𝐴𝑀𝐵=90°，𝐴𝐶𝐵𝐷=√3，可得AC的长．【解答】(1)问题发现①如图1，∵∠𝐴

𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=40°，∴∠𝐶𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐵，在△𝐶𝑂𝐴和△𝐷𝑂𝐵中{𝑂𝐶=𝑂𝐷∠𝐶𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐵𝑂𝐴=𝑂𝐵∴△𝐶𝑂𝐴≌△𝐷𝑂𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐶=𝐵�

�，∴𝐴𝐶𝐵𝐷=1；②∵△𝐶𝑂𝐴≌△𝐷𝑂𝐵，∴∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐷𝐵𝑂，∵∠𝐴𝑂𝐵=40°，∴∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝑂=140°，在△𝐴𝑀𝐵中，∠𝐴𝑀𝐵=180

°−(∠𝐶𝐴𝑂+∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐷)=180°−(∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐷)=180°−140°=40°．故答案为①1；②40°；167.如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，

小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于12𝐴𝐵的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，𝐴𝐷=

7，sin∠𝐷𝐴𝐶=17，𝐵𝐶=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足为点F，如图，∵𝐷𝐸是线段AB的垂直平分线，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=7∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=2，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中

，∵sin∠𝐷𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐷=17，∴𝐷𝐹=1，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，𝐴𝐹=√72−12=4√3，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，𝐶𝐹=√22−12=√3，∴𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐶𝐹=4√3+√3=5√3

．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作𝐷𝐹⊥𝐴�

�，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到𝐴𝐷=𝐵𝐷=7，则𝐶𝐷=2，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中利用勾股定理可计算出CF，然后计算𝐴𝐹+𝐶𝐹．17解

：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；8.如图1，过△𝐴𝐵𝐶顶点A作BC边上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定𝜆𝐴=𝐷𝐸𝐵𝐸.特别地，当D、E重合时，规定𝜆𝐴=0.另外对𝜆

𝐵、𝜆𝐶也作类似规定．(1)①当△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶时，则𝜆𝐴=____；②当△𝐴𝐵𝐶中，𝜆𝐴=𝜆𝐵=0时，则△𝐴𝐵𝐶的形状是____；(2)如图2，在𝑅𝑡△𝐴𝐵�

�中，∠𝐴=30°，求𝜆𝐴和𝜆𝐶的值；(3)如图3，正方形网格中，格点△𝐴𝐵𝐶的𝜆𝐴=____；(4)判断下列三种说法的正误(正确的打“√”错误的打“×”)①若△𝐴𝐵𝐶中𝜆𝐴<1，则

△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形____；②若△𝐴𝐵𝐶中𝜆𝐴=1，则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形____；③若△𝐴𝐵𝐶中𝜆𝐴>1，则△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形____；【解析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题．此题

综合性较强，属于阅读性与新定义性题目，题目难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．(1)①根据题意画出图形，然后根据𝜆𝐴定义与等腰三角形三线合一的性质，即可求得𝜆𝐴=0，②根据𝜆𝐴定义与线段垂直平分线的性质，即可证得△𝐴𝐵𝐶的形状是等边三角形；

(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与特殊角的三角函数的值，即可求得答案；18(3)观察图形，根据𝜆𝐴的定义，即可求得𝜆𝐴的值；(4)根据𝜆𝐴的定义，即可判定①②③的正确性；【答案】解：(1)①如图：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶

，∴𝐴𝐷是BC的高，也是BC的中线，即D与E重合，∴𝜆𝐴=𝐷𝐸𝐵𝐸=0；②当△𝐴𝐵𝐶中，𝜆𝐴=0时，即𝐷𝐸=0，∴𝐴𝐷是BC的高，也是BC的中线，即AD是线段BC的垂直平分线，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶

，∵𝜆𝐵=0，同理：𝐵𝐶=𝐵𝐴，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶的形状是等边三角形；(2)如图，作BC边上的中线AD，过点C作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于E，作AB边上的中线CF，又�

�𝐶⊥𝐷𝐶，∴𝜆𝐴=𝐶𝐷𝐵𝐷=1，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴𝐴𝐹=𝐶𝐹，∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐶𝐴𝐹=30°，∴∠𝐶𝐹𝐸=60°，∴𝜆𝐶=𝐸𝐹𝐴𝐹=𝐸𝐹𝐶𝐹19=

𝑐𝑜𝑠60°=；12(3)如图：𝜆𝐴=𝐷𝐸𝐵𝐸=2；(4)①×，②√，③√．故答案为：(1)0;等边三角形；(3)2；(4)①×，②√，③√．9.【知识回顾】我们学习完《直角三角形的边角关系》之后知道，在𝑅𝑡△�

�𝐵𝐶中，当锐角A确定时，锐角A的三角函数值也随之确定．结合课本所学知识，请你填空：𝑠𝑖𝑛30°=______；𝑠𝑖𝑛45°=______；𝑠𝑖𝑛60°=______．【深入探究】定义：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=30

°，我们把∠𝐴的对边与∠𝐶的对边的比叫做∠𝐴的邻弦，记作thiA，即：𝑡ℎ𝑖𝐴=∠𝐴的对边∠𝐶的对边=𝐵𝐶𝐴𝐵.请解答下列问题：已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=30°．(1)如图①，若∠𝐴=45°，求thiA的值；(2)如图②，若𝑡ℎ𝑖𝐴

=√3，求∠𝐴的度数；(3)若∠𝐴是锐角，请你直接写出thiA与sinA的数量关系．【答案】12√22√32【解析】(1)作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶，根据正弦的定义得到𝐵𝐶=2𝐵𝐻，𝐴𝐵=√2𝐵𝐻，根据邻弦的定义计算

得到结论；(2)根据邻弦的定义得到𝐵𝐶=√3𝐴𝐵，根据正弦的定义求出∠𝐴，分∠𝐴为锐角和钝角两种20情况解答；(3)根据邻弦的定义计算，即可得到结论．本题考查的是直角三角形的边角关系、邻弦的定义、锐角三角函数的定义，掌握邻弦的定义、锐角三角函数的定义、

熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【解答】解：𝑠𝑖𝑛30°=12；𝑠𝑖𝑛45°=√22；𝑠𝑖𝑛60°=√32，故答案为：12；√22；√32；(1)如图①，作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为H，在𝑅𝑡△𝐵𝐻𝐶中，∠𝐶=30°，∴𝐵𝐶=2

𝐵𝐻，在𝑅𝑡△𝐵𝐻𝐴中，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐻𝐴𝐵，即𝐵𝐻𝐴𝐵=𝑠𝑖𝑛45°=√22，∴𝐴𝐵=√2𝐵𝐻，∴𝑡ℎ𝑖𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵=2𝐵𝐻√2𝐵𝐻=

√2；(2)∵𝑡ℎ𝑖𝐴=√3，∴𝐵𝐶𝐴𝐵=√3，即𝐵𝐶=√3𝐴𝐵，∵∠𝐶=30°，∴𝐵𝐶=2𝐵𝐻，∴√3𝐴𝐵=2𝐵𝐻，即𝐵𝐻𝐴𝐵=√32，则𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐻𝐴𝐵=√32，

∴∠𝐴=60°，如图②，根据对称性，△𝐴′𝐵𝐶是钝角三角形时，∠𝐵′𝐴𝐶=120°，综上所述，∠𝐴的度数为60°或120°；(3)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝑡ℎ𝑖𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵，在𝑅𝑡△𝐵𝐻𝐴中，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐻𝐴𝐵，在𝑅𝑡△𝐵�

�𝐶中，∠𝐶=30°，∴𝐵𝐶=2𝐵𝐻，∴𝑡ℎ𝑖𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴．10.如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点𝑀(6,0)，𝑁(0,2√3)，且∠𝑂𝑀𝑁=30°，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点B与原点O重合，BC边落在

x轴正半轴上，21点A恰好落在线段MN上，将等边△𝐴𝐵𝐶从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，𝐹(如图2所示)，设△𝐴𝐵𝐶平移的时间为𝑡(𝑠)．(1)等边△𝐴𝐵𝐶的边长为________

；(2)在运动过程中，当t为多少时，MN垂直平分AB；(3)若在△𝐴𝐵𝐶开始平移的同时．点P从△𝐴𝐵𝐶的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线𝐵𝐴−𝐴𝐶运动．当点P运动到C时即停止运动．△𝐴𝐵𝐶也随之停止平移．当点P在线段BA

上运动时，若△𝑃𝐸𝐹与△𝑀𝑁𝑂相似．求t的值；【答案】解：(1)3；(2)易知当点C与M重合时，直线MN垂直平分线段AB，此时𝑂𝐵=𝑂𝑀−𝐵𝐶=3，所以𝑡=3；(3)如图1中，由题意

𝐵𝑃=2𝑡，𝐵𝑀=6−𝑡，∵∠𝐵𝐸𝑀=90°，∠𝐵𝑀𝐸=30°，∴𝐵𝐸=3−𝑡2，𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=𝑡2，∵∠𝐵𝐴𝐶=60°，∴𝐸𝐹=√3𝐴𝐸=√32𝑡，①当

点P在EF下方时，𝑃𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑃=3−52𝑡，22由{𝑡≥02𝑡≤33−52𝑡>0，解得0≤𝑡<65，∵△𝑃𝐸𝐹与△𝑀𝑁𝑂相似，∴𝑃𝐸𝐸𝐹=2√36或𝐸𝐹𝑃𝐸=2√36，∴3−52�

�√32𝑡=√33或√32𝑡3−52𝑡=√33，解得𝑡=1或34．②当点P在点E上方时，同法可得：52𝑡−3√32𝑡=√33或√32𝑡52𝑡−3=√33，解得𝑡=32或3，∵0≤𝑡≤32，且52𝑡−3>0，即65<𝑡≤32，∴𝑡=32，

综上所述，𝑡=1或34或32．【解析】本题考查相似形综合题，等边三角形的性质、解直角三角形、相似三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)根据锐角三角函数的定义，得∠𝑂𝑀𝑁=30°，根据△𝐴𝐵

𝐶为等边三角形，求证△𝑂𝐴𝑀为直角三角形，然后即可得出答案；(2)易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时𝑂𝐵=3，由此即可解决问题；(3)如图1中，由题意𝐵𝑃=2𝑡，𝐵𝑀=6−𝑡，由△𝑃𝐸𝐹与△𝑀𝑁𝑂相似

，分两种情形分别求解即可．【解答】解：(1)∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，𝑂𝑀=6，𝑂𝑁=2√3，∴tan∠𝑂𝑀𝑁=𝑂𝑁𝑂𝑀=√33，∴∠𝑂𝑀𝑁=30°，∴∠𝑂𝑁𝑀=60°，∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角

形，∴∠𝐴𝑂𝐶=60°，∠𝑁𝑂𝐴=30°，∴𝑂𝐴⊥𝑀𝑁，即△𝑂𝐴𝑀为直角三角形，23∴𝑂𝐴=12𝑂𝑀=12×6=3．故答案为3；(2)易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时𝑂𝐵=3，所以𝑡

=3；故答案为3．11.如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=5.点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿𝐵→𝐶→𝐴→𝐵的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿𝐶→𝐴→𝐵的方向运动

，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．(1)当点P与点Q相遇时，求t的值．(2)在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，▵𝑃𝐶𝑄为等腰三角形？(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，设▵𝑃𝐶𝑄的面积为s平方单位．①求

s与t之间的函数关系式．②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将▵𝐴𝐵𝐶中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△𝐴𝑃𝐷与▵𝑃𝐶𝑄重叠部分的面积．【解析】本题考查了相似形综合题，涉及到相似三角形的判

定与性质，勾股定理、锐角三角函数定义、矩形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的最值问题、分类讨论的思想以及方程的思想的综合运用，正确进行分类讨论是关键．(1)首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即

可求得;(2)分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤𝑡≤2时，若△𝑃𝐶𝑄为等腰三角形，则一定有：𝑃𝐶=𝐶𝑄，和当2<𝑡≤3时，若△𝑃𝐶𝑄为等腰三角形，则一定有𝑃𝑄=𝑃𝐶两种情况进行讨论求得t的值;(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，P

一定在AC上，则PC的长度是𝑡−3，然后24利用相似三角形的性质即可利用t表示出S的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．【答案】解：(1)在直角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√𝐴𝐵2

−𝐵𝐶2=4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒，此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5−4.5=7.5，根据题意得：(𝑡−4.5)+2(𝑡−4.5)=7.5，解得：𝑡=7．∴当点P与点Q相遇时，t为7秒；(2)𝑄从C到A的时间是2秒

，P从B到C的时间是3秒，则当0≤𝑡≤2时，若▵𝑃𝐶𝑄为等腰三角形，则一定有：𝑃𝐶=𝐶𝑄，即3−𝑡=2𝑡，解得：𝑡=1；当2<𝑡≤3时，若▵𝑃𝐶𝑄为等腰三角形，则一定有𝑃𝑄=𝑄𝐶(如图1)，则Q在P

C的中垂线上，作𝑄𝐻⊥𝐴𝐶，𝑄𝐾⊥𝐵𝐶于𝐾,则四边形CKQH是矩形，∴𝑄𝐻=𝐶𝐾=𝑃𝐾,则𝑄𝐻=12𝑃𝐶，▵𝐴𝑄𝐻∽▵𝐴𝐵𝐶，∵𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=5，𝑄𝐻⊥𝐴𝐶，∴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝑄𝐻𝐴𝑄=35，∴

𝑄𝐻=35𝐴𝑄，在直角▵𝐴𝑄𝐻中，𝐴𝑄=2𝑡−4，则𝑄𝐻=35𝐴𝑄=35(2𝑡−4)，∵𝑃𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝑃=3−𝑡，∴35(2𝑡−4)=12(3−𝑡)，解得：𝑡=3917𝑠．25

综上所述，或3917𝑠．(3)①在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则𝑃𝐶=𝑡−3，𝐵𝑄=2𝑡−9，即𝐴𝑄=5−(2𝑡−9)=14−2𝑡，在▵𝑃𝐶𝑄中，过Q作�

�𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸,由sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐵=35=𝑄𝐸𝐴𝑄,∴𝑄𝐸=35(14−2𝑡)，故𝑆=12(𝑡−3)×35(14−2𝑡)=35(−𝑡2+10𝑡−21)=−35𝑡2+6𝑡

−635；②连接𝐷𝐶(即AD的折叠线)交PQ于点O，过O作𝑂𝐹⊥𝐶𝐴于点F，则△𝑃𝐶𝑂即为折叠后的△𝐴𝑃𝐷与▵𝑃𝐶𝑄重叠部分的面积，∵𝑆=35(−𝑡2+10𝑡−21)

=−35𝑡2+6𝑡−635,当𝑡=−62×(−35)=5时，S有最大值，此时，P为AC的中点(如图)，沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，∴𝑃𝐷一定是AC的中垂线，则𝐴𝑃=12𝐴𝐶=2，𝑃𝐷=

12𝐵𝐶=32，𝐴𝑄=14−2𝑡=14−2×5=4，则PC边上的高：𝑄𝐸=35𝐴𝑄=35×4=125，26由∠𝐶𝑂𝐹=∠𝐶𝐷𝑃=∠𝐴𝐷𝑃=∠𝐵，所以，在𝑅𝑡▵𝐶𝑂𝐹中，tan∠𝐶𝑂𝐹=tan

∠𝐵=43，设OF为x，则利用三角函数得𝐶𝐹=4𝑥3，𝑃𝐹=2−4𝑥3，则𝑄𝐸=125，由tan𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐶=34=𝑄𝐸𝐴𝐸,∴𝐴𝐸=165，∴𝑃𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝑃=65，∵▵𝑃𝑂𝐹∽▵𝑃𝑄𝐸，∴𝑂𝐹𝑄𝐸=𝑃𝐹

𝑃𝐸，∴𝑥125=2−43𝑥65，解得：𝑥=1211，∴𝑆△𝑃𝐶𝑂=12×2×1211=1211．12.如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝐸2，则称

DE为Rt△ABC的“完美分割线”.显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．(1)如图1，𝐴𝐵=10，cos𝐴=45，𝐴𝐷=3，若DE为完美分割线，则BE的长是____．(2)

如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得𝐷𝑃=𝐷𝐴，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是𝑅𝑡△ABC的完美分割线．27(3)如图3，在Rt△ABC中，𝐴𝐶=10，𝐵𝐶

=5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．【答案】(1)133；(2)证明：∵𝐷𝐴=𝐷𝑃，∴∠𝐷𝐴𝑃=∠𝐷𝑃𝐴，∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐷，∴∠𝐷𝑃𝐴+∠𝐸𝑃𝐵=90°，又∠𝐴=∠𝐵

，∴∠𝐸𝑃𝐵=∠𝐵，∴𝐸𝑃=𝐸𝐵，∴𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝑃2+𝐸𝑃2=𝐷𝐸2，∴𝐷𝐸是直角△𝐴𝐵𝐶的完美分割线．(3)解：延长DP至F，使𝑃𝐹=𝑃𝐷，连接BF，EF，∵𝐴𝑃=𝐵𝑃，∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐵𝑃𝐹，∴△𝐴𝑃𝐷≌

△𝐵𝑃𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐵𝐹，∠𝐴=∠𝐹𝐵𝑃，∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐴+∠𝐹𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝐴+∠𝐴=90°，∵𝐷𝐸是完美分割线，∴𝐷𝐸2=𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐵𝐹2+𝐵𝐸2=𝐸𝐹2，即𝐸𝐷

=𝐸𝐹．又𝑃𝐷=𝑃𝐹，∴∠𝐸𝑃𝐷=90°，过点P作𝑃𝑀⊥𝐴𝐶，𝑃𝑁⊥𝐵𝐶，则∠𝑀𝑃𝐷=∠𝑁𝑃𝐸=90°−∠𝑀𝑃𝐸，∴△𝑀𝑃𝐷∽△𝑁𝑃𝐸，∴𝑃𝐷𝑃𝐸=𝑃𝑀𝑃𝑁=12，28

设𝑃𝐷=𝑎，则𝑃𝐸=2𝑎，则𝐷𝐸=√𝑃𝐷2+𝑃𝐸2=√5𝑎，∴cos∠𝑃𝐷𝐸=𝑃𝐷𝐷𝐸=1√5=√55．【解析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．

(1)由勾股定理求出𝐵𝐶=6，设𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=6−𝑥，则𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝐸2，可得出32+𝑥2=52+(6−𝑥)2，解得：𝑥=133，则答案可求出；(2)证得𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝑃2+𝐸𝑃2=𝐷𝐸

2，则结论得证；(3)延长DP至F，使𝑃𝐹=𝑃𝐷，连接BF，EF，证明△𝐴𝑃𝐷≌△𝐵𝑃𝐹(𝑆𝐴𝑆)，得出𝐴𝐷=𝐵𝐹，∠𝐴=∠𝐹𝐵𝑃，则∠𝐸𝑃𝐷=90°，过点P作𝑃𝑀⊥𝐴𝐶，𝑃𝑁⊥𝐵𝐶，则∠𝑀𝑃𝐷=∠�

�𝑃𝐸=90°−∠𝑀𝑃𝐸，证明△𝑀𝑃𝐷∽△𝑁𝑃𝐸，得出𝑃𝐸=2𝑃𝐷，设𝑃𝐷=𝑎，则𝑃𝐸=2𝑎，则𝐷𝐸=√5𝑎，则可求出答案．【解答】解：(1)∵𝐴𝐵

=10，𝑐𝑜𝑠𝐴=45，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶10=45，∴𝐴𝐶=8，𝐶𝐷=5，∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√102−82=6，设𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=6−𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐷

𝐸2=𝐶𝐷2+𝐶𝐸2=52+(6−𝑥)2，∵𝐷𝐸为完美分割线，∴𝐴𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝐸2，∴32+𝑥2=52+(6−𝑥)2，解得：𝑥=133．∴𝐵𝐸=133．故答案为13

3．2913.等腰▵𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120∘，点P为平面内一点．(1)如图1，当点P在边BC上时，且满足∠𝐴𝑃𝐶=120∘，求𝐵𝑃𝐶𝑃的值；(2)如图2，当点P在▵𝐴𝐵𝐶的外部，且满足∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐶=90∘，求证：

𝐵𝑃=√3𝐴𝑃；(3)如图3，点P满足∠𝐴𝑃𝐶=60∘，连接BP，若𝐴𝑃=1，𝑃𝐶=3，直接写出BP的长度．【答案】(1)解：如图1中，∵∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵=∠𝐶=30

°，∵∠𝐴𝑃𝐶=120°，∴∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐶=30°，∴𝑃𝐶=𝑃𝐴，∠𝑃𝐴𝐵=90°，∴𝑃𝐵=2𝑃𝐴，∴𝑃𝐵=2𝑃𝐶，∴𝑃𝐵𝑃𝐶=2．(2)证明：如图2中，将线段AP绕点A顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF

，BF交PC于点H．∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐹=120°，∴∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐹，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐹=𝐴𝑃，∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)，30∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐴

𝐹𝐵，设∠𝐴𝑃𝐶=𝛼，则∠𝐴𝐹𝐵=𝛼，∠𝑃𝐹𝐵=30°+𝛼，∠𝐵𝑃𝐶=90°−𝛼∵∠𝑃𝐻𝐵=∠𝐻𝑃𝐹+∠𝑃𝐹𝐻=(30°−𝛼)+(30°+𝛼)=60°，∴∠𝑃𝐵𝐻=1

80°−(90°−𝛼+60°)=30°+𝛼，∴∠𝑃𝐵𝐻=∠𝑃𝐹𝐵，∴𝑃𝐵=𝑃𝐹，在△𝑃𝐴𝐹中，∠𝑃𝐴𝐹=120°，𝐴𝑃=𝐴𝐹，∴𝑃𝐹=√3𝑃𝐴，∴𝑃𝐵=√3𝑃𝐴．(3)满足条件的PB的

值为2√3或√3．【解析】本题考查三角形综合题、平行线的性质，旋转变换、勾股定理，全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)由∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，推

出∠𝐵=∠𝐶=30°，由∠𝐴𝑃𝐶=120°，推出∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐶=30°，推出𝑃𝐶=𝑃𝐴，∠𝑃𝐴𝐵=90°，推出𝑃𝐵=2𝑃𝐴，可得𝑃𝐵=2𝑃𝐶解决问题；(2)如图2

中，将线段AP绕点A顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF，BF交PC于点𝐻.想办法证明𝑃𝐵=𝑃𝐹即可解决问题；(3)分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】(3)解：①如图3−1中，当点P在△𝐴𝐵𝐶外部时，将线段AP绕点A顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF．则

△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝑃𝐶=60°，𝐵𝐹=𝑃𝐶=3，∵∠𝐴𝐹𝑃=30°，∴∠𝐵𝐹𝑃=90°，31∵𝑃𝐴=𝐴𝐹=1，∠𝑃𝐴𝐹=120°，∴𝑃𝐹=√3，∴𝑃𝐵=√32+(√3)2=2√3．②如图3−2中

，当点P在△𝐴𝐵𝐶内部时，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AH，连接PH，𝐻𝐶.作𝐻𝑀⊥𝑃𝐶于M．则△𝐵𝐴𝑃≌△𝐶𝐴𝐻(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝐵=𝐶𝐻，∵∠𝑃𝐴𝐻+∠𝐴𝑃𝐶=120°+60°=180°，∴𝐴𝐻//𝑃𝐶，∴∠𝐴�

�𝑃=∠𝐻𝑃𝑀=30°，∴𝐻𝑀=12𝑃𝐻=√32，∴𝑃𝑀=√3𝐻𝑀=32，∵𝑃𝐶=3，∴𝐶𝑀=𝑃𝑀=32，∵𝐻𝑀⊥𝑃𝐶，∴𝐻𝐶=𝑃𝐻=√3，∴𝑃𝐵=√3，综上所述，满足条件的PB的值为2√3或√3．