【文档说明】广东省四校2023届高三上学期第一次联考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.085 MB，由小赞的店铺上传

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2023届广东省四校高三第一次联考高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合02xAxx=−，集合2320Bxxx=−+，则AB=

（）A.21xx−B.12xxC.02xxD.12xx【答案】D【解析】【分析】解集合对应不等式，后由集合交集定义可得答案.【详解】解02xx−，得02x，故)0,2A=.解2320xx−+，得12

x，故1,2B=则)1,2AB=，即12xx.故选：D2.设3(1i)2iz−=−，则z=（）A.22B.2C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则求出复数z的代数形式，再由模的公式求其模.【详解】因为3(1i)2iz−=−，所以23

2(1i)2i2i11i1i(1i)(1i)1i(1i)(1i)z−−++=====−−−−−+，所以22112222z=+=，故选：A.3.已知向量a、b为单位向量，则||||(0)+=−abab是ab⊥的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为向量a、b为单位向量，所以1ab==，若||||(0)+=−abab，则()()22abab+=−，则22222222aabbaa

bb++=−+，即22222222aabbaabb++=−+，即40ab=，即0ab=，所以ab⊥，故充分性成立，若ab⊥，则0ab=，所以22222222aabbaabb++=−+，即()()22abab+=−，所以abab+

=−，R，所以||||(0)+=−abab成立，故必要性成立，故||||(0)+=−abab是ab⊥充分必要条件；故选：C4.已知531axx−（a为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（）A.−90B.−10C.1

0D.90【答案】A【解析】【分析】由题意可得55(1)2a−=，得3a=，然后求出二项式展开式的通项公式，由x的次数为零，求出r，从而可求出常数项.【详解】因为531axx−（a为常数）的展开式中所有项系数的和与二

项式系数的和相等，所以55(1)2a−=，得3a=，所以5533113axxxx=−−，则其展开式的通项公式为()15555615531C3C3(1)rrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令15506r−=，得3r=，所以该展

开式中的常数项为35335C3(1)90−−=−，故选：A5.已知随机变量()6,XBp，()2,YN，且()122PY=，()()EXEY=，则p=（）A.12B.13C.14D.16【答案】B【解

析】【分析】根据随机变量()6,XBp可知()6Exp=，再根据()2YN，，()122PY=，可求出()2EY=，利用()()EXEY=，建立方程，即可求出结果.【详解】因为随机变量()6,XBp，所以()6EXp=，因为()2YN，，()122

PY=，所以2=，即()2EY=，又()()EXEY=所以62p=，即13p=.故选：B.6.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，ACB最大？问题的答案是：当且

仅当ABC的外接圆与边OM相切于点C时，ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点D．E的坐标分别是()0,1，()0,3，F是x轴正半轴上的一动点，当DFE最大时，点F的横坐标为（）A.1B.2C

.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据米勒定理可知，当DEF的外接圆与x轴相切时，DFE最大，利用圆的垂径定理和三角形外接圆的性质，即可求解.【详解】因为点D、E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理可知，当DEF的外接圆与x轴相切时，DFE最大，由

垂径定理可知，弦DE的垂直平分线必过DEF的外接圆圆心，所以弦DE中点G的纵坐标，即为DEF外接圆半径的大小，即2r=，设DEF的外接圆的圆心为(,2)a，其中0a，则222()2DEar+=，即22212a+=，解得3a=，所以DEF的外接圆的方程为22

(3)(2)4xy−+−=，令0y=，可得3x=，即点F的横坐标为3.故选：C．7.设函数()()2sinln1fxxxxx=−++++，则满足()()320fxfx+−的x的取值范围是（）A.()3,+B.()1

,+C.(),3−D.(),1−【答案】A【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()fx为定义在R上的奇函数；结合导数、奇偶性可求得()fx在R上单调递增；将所求不等式化为()()23fxfx−，由单调性可解得结果.【详解】由题意知：()f

x定义域为R；()()()221sinln1sinln1fxxxxxxxxx−=−−++−−=+−++()()2sinln1xxxxfx=−++−=−，()fx\为定义在R上的奇函数；令()sin0yxxx=−，则1cos

0yx=−，sinyxx=−在)0,+上单调递增；又()2ln1yxx=++在)0,+上单调递增，()fx\在)0,+上单调递增，又()fx为奇函数，()fx\在R上单调递增；由()()320fxfx+−得：()()()3223fxfxfx−−=−，23x

x−，解得：3x，即x的取值范围为()3,+.故选：A.8.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON

（其中O为坐标原点）的中点B，且2ONBM=，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.52D.23【答案】A【解析】【分析】由中点B，且2ONBM=得NFOM⊥，由点到直线距离公式得FMb=，从而得OMOAa==，通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得ba，从而计算出离心率．

【详解】记M为双曲线C：()222210,0xyabab−=的渐近线0bxay−=上的点，因为2ONBM=，且OBBN=，所以BOMBMO=，BMNBNM=．所以NFOM⊥．因为右焦点(),0Fc到渐近线0bxay−=的距离22bcMFbba==+，所以OMOAa==．所以

BMOBAO=，所以BOMBAO=，所以RtAOBRtOMN≌!!，所以ABOONM=，又因为MNBNMB=，ABONBM=．所以△MNB为等边三角形，所以60FNO=，所以30MFO=，即t

an603ba==，所以2212bea=+=．故选：A．二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对两个变量y和x进

行回归分析，得到一组样本数据()11,xy，()22,xy，()33,xy，…，()1010,xy.则下列结论正确的是（）A.若其经验回归方程为0.81yx=+，当解释变量x每增加1个单位，预报变量y增加0.8个单位B.若其经验回归方程ybxa

=+$$$必过点()3,2.25，则12310123107.5xxxxyyyy++++=++++C.若根据这组数据得到样本相关系数0.98r，则说明样本数据的线性相关程度较强D.若用相关指数2R来刻画回归效果，回归模型1的相关指数21R0.32=，回归模型2的相关指数22R0.

68=，则模型1的拟合效果更好【答案】ABC【解析】【分析】依据回归方程的含义判断A,B选项，利用相关系数与相关指数2R的定义判断选项C,D.【详解】在经验回归方程中0.81yx=+，一次项系数为0.8，故当解释变量x每增加1个单位，预报变量y增加0.8个单位，故A

正确；在经验回归方程中ˆˆˆybxa=+恒过样本中心(),xy，则3,2.25xy==，故10107.5xy=+，故B正确；相关系数||1r→，则样本数据的线性相关程度越强．故C正确；相关指数2R越大，模型拟合效果越好，故D错误．故选：ABC．1

0.为了得到函数ln()yex=的图象，可将函数lnyx=的图象（）A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC.向上平移一个单位长度D.向下平移一个单位长度【答案】BC【解析】【分析】根据函数图像变换求得结果.【详解】解：由题意函数lnyx=的图象纵坐

标不变，横坐标缩短为原来的1e，可得到函数ln()yex=的图象，则A错误，B正确；因为ln()ln1yexx==+，则将函数lnyx=的图象向上平移一个单位可得到函数ln()yex=的图象，则C正确，D错误.故选：BC.11.已知点

O为坐标原点，直线1yx=−与抛物线24yx=相交于A、B两点，则（）A.8AB=B.OAOB⊥C.AOB的面积为22D.线段AB的中点到y轴的距离为2【答案】AC【解析】【分析】通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标公式、直线垂直的性质逐一判断即可.【详解】

由2246103221yxxxxyx=−+===−，不妨设(322,222),(322,222)AB++−−，因为()()2242428AB=+=，所以选项A正确；因为22222241322322OAOBkk+−==−−+−，所以,OAOB不互相垂直，因此选项B不正确；

因为点(0,0)到直线1yx=−的距离为()2212211−=+−，所以AOB的面积为1282222=，因此选项C正确；因为线段AB的中点的横坐标为：32232232++−=，所以线段AB的中点到y轴的距离为3，因此选项D不正确，故选：AC

12.如图，在棱长为1的正方体ABCD—111ABCD中，E为侧面11BCCB的中心，F是棱11CD的中点，若点P为线段1BD上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（）A.PE·PF的最小值为148B.若12BPPD=，则平面PAC截正方体所得截面的面积为9

8C.若1DN与AB所成的角为4，则N点的轨迹为双曲线D.若正方体绕1BD旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23【答案】BCD【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设1(,,)BPBD=

=−−，(01)，得(1,1,)P−−，然后用空间向量法求得PE，求得数量积PEPF计算最小值判断A；由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断B；根据1DN与AB所成的角为4，运用夹角公式计算并化简，判断C；结合正方体的对称性，利用1

BD是正方体的外接球直径判断D．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，正方体棱长为1，的的则11(,1,)22E，(1,1,0)B，1(0,0,1)D，1(0,,1)2F，(,,),(1,0,0)NxyzA,对于A，1(1,1,1)BD=−−，设1(,,)BPBD==−−，(01)

，所以(1,1,)P−−，11(,,)22PE=−−，1(1,,1)2PF=−−−，111()(1)()()(1)222PEPF=−−+−+−−2713()1248=

−−，所以712=时，min1()48PEPF=−，A不正确；对于B，12BPPD=，则P是1BD上靠近1D的三等分点，112(,,)333P，取AC上靠近C的三等分点G，则12(,,0)33G，12(0,,)33PG=−，显

然PG与平面11CDDC的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG平面11CDDC，所以截面PAC与平面11CDDC的交线与PG平行，作//CMPG交11CD于点M，设(0,,1)Mk，则(0,1,1)CMk=−，由

//CMPG得21(1)33k−−=，解得12k=，则M与F重合，因此取11AD中点N，易得//NFAC，截面为ACFN，它是等腰梯形，2AC=，22NF=，52ANCF==，梯形的高为22225222

h−=−324=，截面面积为12329(2)2248S=+=，B正确；对于C，1(,,1),(0,1,0)DNxyAB=−=，若1DN与AB所成的角为4，则有12222cos,||211yDNABx

y==++，两边平方化简整理有221yx−=，C正确；对于D，(1,0,0)A，(0,1,0)C，1(1,1,1)B，(1,1,0)AC=−，1(1,1,1)BD=−−，11100ACBD=−+=，1ACBD⊥，同理11ABBD⊥，所以1BD是平面1ACB的一个法向量，即1BD⊥平面

1ACB，设垂足为1O，则111123AOCCOBBOA===，1BD是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD旋转角度后与其自身重合，至少旋转23．D正确．故选：BCD．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()lnfxxxx=−，则

函数()fx的零点个数为______个.【答案】1【解析】【分析】令()ln0fxxxx=−=，求解即可.【详解】由题意，令()ln0fxxxx=−=，即(ln1)0xx−=，即ln1x=，解得ex=，即函数()fx有1个零点.故答案为：114.在ABC的内角A，B，C的对边分

别为a，b，c，已知1,2sin3sin4bcaBC−==，则cosA的值为_______.【答案】14−【解析】【详解】试题分析：∵32sin3sin,23,,2BCbcbc===代入14bca−=得2ac=，由余弦定理得2221cos24bca

Abc+−==−．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．15.nS是公差为2的等差数列na的前n项和，若数列{1}nS+也是等差数列，则1a=________.【答案】1−或3【解析】【分析】可由特殊值求出1a，再验证对所有正整数

n，都有数列{1}nS+是等差数列【详解】由题意211(1)2(1)2nnnSnanan−=+=+−，∵数列{1}nS+是等差数列∴2132111SSS+=+++，111223137aaa+=+++，解得11a=−或1

3a=，11a=−时，21211nSnnn+=−+=−，13a=时，21211nSnnn+=++=+，均为n的一次函数，数列{1}nS+是等差数列，故答案为：1−或3.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列的

证明，如果数列的通项公式是n的一次函数，则数列一定是等差数列．16.在RtABC△中，已知60A=，90C=，4AC=，则ABC的内接正DEF边长的最小值为______.【答案】4217##4

217.【解析】【分析】先根据题意求出BC，设正DEF的边长为a，DEC=，在FEB中，由正弦定理可得cos3sinBEaa=+，则2cos3sin43BCCEBEaa=+=+=，再利用辅助角公

式化简，结合正弦函数的性质可求出a的最小值，从而可得答案.【详解】因为60A=，90C=，4AC=，所以tan6043,28BCACABAC====，设正DEF的边长为a，DEC=，在RtDEC△中，

sin,cosDCDECEDE==，即sin,cosDCaCEa==，因为60DEF=，所以18060120FEB=−−=−,18030(120)30EFB=−−−=+，在

FEB中，由正弦定理得21sinsin2BEEFaaEFBEBF===，所以132sin2sin(30)2cossincos3sin22BEaEFBaaaa==+=+=+，因为2cos3sinB

CCEBEaa=+=+237cossin77a=+()7sina=+，其中23sin,cos77==，所以()7sin43a+=，因为()sin1+，所以当()sin1+=时，a取得最小值4342177=，所以ABC的内接正DEF边长的最小值

为4217，故答案为：4217.【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查数形结合的思想，解题有关键是在FEB中利用正弦定理表示出BE，从而可表示出BC，再利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出DE

F边长的最小值，考查计算能力，属于较难题.四.解答题：本题共6小题，共70分.17.已知数列na的前n项和为nS，且23nnS=+.（1）求数列na的通项公式；（2）保持数列na中各项先后顺序不变，在ka与1ka+之间插入k

个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记nb的前n项和为nT，求50T的值.【答案】（1）15,12,2nnnan−==（2）556【解析】【分析】（1）数列na的前n项和为nS与n

a的关系，求解数列na的通项公式；（2）由题意得新数列{}nb的前50项，分组后由等差数列与等比数列的前n项和公式求解．【小问1详解】解：数列na的前n项和为nS，且23nnS=+，当2n时，1123nnS−−=+，所以111222nnnnnnaSS−−−=−=−=；当1n=时

，111235aS==+=，不符合上式，所以15,12,2nnnan−==；【小问2详解】解：保持数列{}na中各项先后顺序不变，在ka与1(1kak+=，2，)之间插入k个1，则新数列{}nb的前50项为：5，1，12，，1，1，

22，，1，1，1，32，，1，1，1，1，42，，1，1，1，1，1，52，，1，1，1，1，1，1，62，，1，1，1，1，1，1，1，72，，1，1，1，1，1，1，1，1，82，1，1，1，1，1．则12345678505(12345678)5(22222222)T=+++++++++

++++++++()91882210556212+−=++=−．18.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，若ABDBACDC=.（1）证明：AD平分BAC；（2）若ABC为锐角三角形，7AB=，8AC=，3C=，求AD的长.【答案】（1）见解析（2）873

【解析】【分析】（1）分别在△ABD、△ACD中利用正弦定理进行边化角，结合题意化简整理；（2）在ABC中，由余弦定理结合题意求出5BC=，再由ABDBACDC=可求得83DC=，在三角形△ACD中，由余弦定理即可求出AD的长.【小问1详解】设∠BAD＝α，∠CAD＝β，在△AB

D中，由正弦定理得：sinsinABBDBDA=，即sinsinABBDABD=，在△ACD中，由正弦定理得：sinsinCDACCDA=，即sinsinACCDACD=由题意可得：ABACBDCD=

，则sinsinsinsinBDACDA=∵πBDACDA+=，则sinsinBDACDA=∴sinsin=，又因为π02＜、＜，所以=，即BADCAD=，所以AD平分∠BAC；【小问2详解】在ABC中，由余弦定理得：2

22187cos228BCCBC+−==，化简得：28150BCBC−+=，所以5BC=或3BC=，当3BC=时，49964cos0273B+−=，因为ABC为锐角三角形，所以不符合题意.因为78ABDBACDC==，设7,8DBxDCx==，所以875xx+=，解得：13x

=，所以83DC=，在三角形△ACD中，由余弦定理可得，2288648187828cos606428339323AD=+−=+−=.故AD的长为873.19.每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就

是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.（1）若

每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列22列联表，并依据小概率值0.01=的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关？睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计（2）现从常

参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）用此样本的频率估计总体的概率

，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为Y，求Y的方差.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.0.100050.0100.001x2.7063.8416.63510.828【

答案】（1）列联表见详解，有关；.（2）分布列见详解，数学期望为32；（3）916.【解析】【分析】（1）根据频率直方图计算得到列联表中数据，再根据2公式计算，和表格中临界值比较分析得到结论；（2）根据分层抽样按比例抽取可得睡眠足和不足分别抽取6，2人，则X的可能取值为0,1,

2，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列，计算数学期望即可；（3）由题意3(3,)4YB，根据二项分布的方差公式，求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：常参加体育锻炼且睡眠足的人数为：1004(0.04250.06250.06250

.02)75+++=，常参加体育锻炼且睡眠不足的人数为：1007525−=，不常参加体育锻炼且睡眠足的人数为：1004(0.07250.0350.0150.015)55+++=，不常参加体育锻炼且睡眠

不足的人数为：1005545−=，绘制22列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200()22200754525558510010601330.791.

706−=，因此有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.【小问2详解】根据（1）中分析可知常参加体育锻炼的人员中睡眠足的有75人，不足的有25人，按照分层抽样抽取8人，故抽取的睡眠足的有7586100=人，睡眠不足的有862−=人，从这8人中随机抽取2人填写调查问

卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，故X的可能取值为0,1,2，22281(0)28CPXC===，116228123(1)287CCPXC====，262815(2)28CPXC===，分布列如下：X012P128371528数学

期望13153()012287282EX=++=.【小问3详解】由题意，用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机抽取常参加体育锻炼的人员，睡眠足的概率为7531004=，设调查的3人中睡眠足的人数为

Y，故3(3,)4YB，根据二项分布的方差公式：339()3(1)4416DY=−=.20.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，90ADC=，22ABCD==，3AD=，6PA=，侧面PBC为等边三角形.（1）求证：平面PBC⊥平面ABCD；（2）在棱

PD上是否存在点Q，使得二面角ABCQ−−的大小为4？若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q，PQPD23=，理由见解析.【解析】【分析】（1）取BC中点为O，通过证明PO⊥面ABCD，

即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以BC中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，求得两个平面的法向量，根据其夹角大小即可判断和求值.【小问1详解】取BC的中点为O，连接,,OPOAAC，如下所示：因为底面ABCD是直角梯形，故可得2

213122BCADAB=+=+=，在三角形ADC中，22312ACADDC=+=+=，又2AB=，故三角形ABC是边长为2的等边三角形，则3AO=；又因为三角形PCB也是边长为2的等边三角形，则3PO=；则222POOAOP+=，

故POOA⊥，又POBC⊥，,OABC面ABCD，OABCO=，故PO⊥面ABCD，又因为PO面PBC，故面PBC⊥面ABCD.【小问2详解】根据（1）中所证，,,OPOAOB两两垂直，故以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则()()(

)()333,0,0,0,1,0,0,1,0,,,0,0,0,322ABCDP−−，的不妨设(),0,1PQtPDt=，()111,,Qxyz，即()11133,,3,,322xyzt−=−−，解得11133,,3322xtytzt==−=−，即

Q的坐标为33,,3322ttt−−；则()330,2,0,,1,3322BCCQttt=−=−−设平面BCQ的法向量为()222,,mxyz=，则00mBCmCQ==，即()2222203

3133022ytxtytz−=+−+−=，不妨取21x=，故可得()220,21tyzt==−，即()1,0,21tmt=−，取平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，根

据题意可得：()()22212cos42141ttmnmntt−===+−，整理得：23840tt−+=，解得2t=（舍）或23t=；故在棱PD上存在靠近D点的三等分点为Q，使得二面角ABCQ−−的大小为4，且PQPD23=.21.已

知椭圆2214xy+=的左右顶点为A、B，直线:1lx=.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.（1）记直线AM，AN的斜率分别为1k、2k，求12kk的值；（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）19−；（2）10

,013，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意设()()121,1,MyNy、和圆G的圆心坐标，写出圆的标准方程，联立直线方程1x=，利用韦达定理求出12yy，结合两点坐标求直线斜率公式化简计算即可；(2)设3344(,)(,)PxyQx

y，，根据直线的点斜式方程写出直线AM、AN方程，分别联立椭圆方程，利用韦达定理表示出34xx、，进而求出点PQ、的坐标，根据椭圆的对称性可知直线PQ过x轴上的定点，设定点坐标，利用平面共线向量的坐标表示化简计算即可求解.【小问1详解】如图，由题意知，圆G的圆心G在直线1x

=，设(1,)Gb，则半径为21rOGb==+，标准方程为222(1)()1xybb−+−=+，设()()121,1,MyNy，，由(2,0)A−，得121233yykk==，，2221(1)()1xxybb=−+−=+，消去x，得2210yby−−=，则12

1yy=−，所以12121213399yyyykk===−；【小问2详解】设3344(,)(,)PxyQxy，，由(1)知2100，kk，1219kk=−，得2119kk=−，所以1:0(2)AMlykx−=+，即112ykxk=+，(

)2:02ANlykx−=+，即222ykxk=+，1122214ykxkxy=++=，消去y，得2222111(41)161640kxkxk+++−=，则21321164241kxk−−=+，得213212841kxk−=+，所以2113131112211284224141

kkykxkkkkk−=+=+=++，得2112211284(,)4141kkPkk−++.同理可得2222222284(,)4141kkQkk−++，即2112211162836(,)814814kkQkk−−++，又13214041kyk=+，1421360814kyk−

=+，由椭圆的对称性知，直线PQ过定点，且该定点为x轴上的点，设定点为(,0)Mm，则22m−，2112211(84)24(,)4141mkmkMPkk−−+−=++，2112211(16281)8436

(,)814814mkmkMQkk−−−−=++，令8421628184mmmm−−−=−−−，解得1013m=或265m=(舍去)此时21218149(41)kMPMQk+=−+，所以MP与MQ共线，所以直线PQ过定点10(,0)13.22.已知()exfxax=−.（1）求()f

x的单调区间；（2）当ea=时（e为自然对数的底数），若对于()0,x+，不等式()()2lnfxtxxxx−−恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,e−【解析】【分析】（1）分0a和0a两种情况进行讨论函数

的单调性即可；（2）将题意的不等式转化成()()1lnee11lnxxtxx−−−−−，令()1ln,0gxxxx=−−，通过导数可得()0gx，故原命题可转化成()ee1mtm−对任意的)0,m+上恒成立，令()1=

ee,0xhxtxx+−−，分et和te两种情况进行讨论即可【小问1详解】由()exfxax=−可得()exfxa=−，当0a时，()e0xfxa=−，所以()fxR上单调递增；当0a时，令()e0xfxa=−=，解得lnxa=，当ln

xa，()0fx，()fx单调递减；当lnxa，()0fx¢>，()fx单调递增，综上所述，当0a时，()fx在R上单调递增；当0a时，(),lnxa−，()fx单调递减；()ln,xa+，()fx单调递

增；【小问2详解】由()()2lnfxtxxxx−−可得()2eelnxxtxxxx−−−，因为0x，所以()1ee11lnxtxxx−−−−即()1lnee11lnexxtxx−−−−，所以()()1lnee11

lnxxtxx−−−−−，设()1ln,0gxxxx=−−，则()11gxx=−，令()0gx=，解得1x=，当1x，()0gx，()gx单调递减；当1x，()0gx，()gx单调递增，故()gx在1x=处取得极小值，又为最小值()1

0g=，所以()0gx，所以令1lnmxx=−−，不等式可转化为()ee1mtm−对任意的)0,m+上恒成立，设()1=ee,0xhxtxx+−−，则()1=exhxt+−，当et时，(

)1=e0xhxt+−，即()hx在)0,+上单调递增，而()0=0h，则()0hx恒成立；当te时，令()1=e0xhxt+−=，得=ln1xt−，当0<ln1xt−时，()0hx，()hx单调递减，而()0=0h，所以当0<ln1xt−时，()0hx

，即()0hx不恒成立；综上所述，实数t的取值范围为(,e−【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：在1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值

问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．获得更多资源请扫码加入享学资源网

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