【文档说明】浙江省宁波三锋教研联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.453 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考

试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10xy−−=的倾斜角是A.6B.4C.3D.2【答案】B【解析】【

详解】1yx=−，斜率为1，故倾斜角为π4.2.直线1l的一个方向向量为()1,2,1a=−，直线2l的一个方向向量为(),1,3bx=−，若12ll⊥，则实数x的值为（）A.1B.2−C.1−D.5【答案】

C【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因为12ll⊥，所以0ab=，又()1,2,1a=−，(),1,3bx=−，所以230x−+−=，解得=1x−.故选：C.3.椭圆221259xy+=上一点M到左焦点1F距离为2，则其

到右焦点2F的距离为（）A.8B.4C.7D.6【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义计算可得.【详解】椭圆221259xy+=，则225a=，所以5a=，又椭圆221259xy+=上一点M到左焦点1F距离为2，即12MF=，且12210MFMFa+==，所以28MF=，即M到右焦点

2F的距离为8.故选：A4.若圆1C：()()22121xy++−=与圆2C：()()22256xyr−++=()0r相切，则r=（）A.9B.10C.11D.9或11【答案】D【解析】【分析】求出圆心坐

标与半径，求出圆心距，再根据两圆相切，即可求出r的值.【详解】圆1C：()()22121xy++−=的圆心为()11,2C−，半径11r=，圆2C：()()22256xyr−++=()0r的圆心为()25,6C−，半径2r

r=，所以()()2212152610CC=−−+−−=，因为两圆相切，则1212CCrr=+或1221CCrr=−，即9r=或11r=.故选：D5.如图，一束光线从()1,0A出发，经直线10xy++=反射后又经过点()6,5B−，则光线从A到B走过的路程为（）A.55B.2

14C.58D.215【答案】C【解析】【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.【详解】一束光线从()1,0A出发，经直线10xy++=反射,与10xy++=交于点P,由题意可得，点()1,0A关于直线10x

y++=的对称点C在反射光线上，设()00,Cxy,则0000=1-1+1++1=022yxxy,001=2xy=−−,()1,2C−−故光线从A到B所经过的最短路程是()()22615258APPBCPPBBC+=+==++−+=.故选：C.6.如图，棱长为

1的正方体1111ABCDABCD−，中M，N点，分别是线段1BB，1DD的中点，记E是线段1MC的中点，则点E到面1ANB的距离为（）A.23B.33C.23D.13【答案】D【解析】【分析】将点E到平面ABE的距离转化为

点C到平面ABE的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.【详解】如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，1DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则()()()11111001110,,,,,,,,,,,

,11001122,,ABCNM，()()111111101001110022,,,,,,,,,,,MCANABCB=−=−==，设平面1ANB的法向量为(,,)nxyz=，则11

020nANxznAByz=−+==+=，令2z=，则()1,2,2n=−r，因为()11101221102,,,,MCn=−−=−+=，所以1MCn⊥，又1MC平面1ANB，所以1//MC面1ANB，故E与1C到平面1ANB的距离相等，设点1C到平面1

ANB的距离为d，则11222113122nCBdn===++，故点E到面1ANB的距离为13.故选：D7.已知()2,0A−，()2,0B，动点P满足3PAPB=，则点P的轨迹与圆224xy+=相交的弦长

等于（）A.23B.433C.263D.6【答案】A【解析】【分析】设(),Pxy，据题意可求出点P的轨迹，联立方程求出交点，进而求出弦长.【详解】设(),Pxy，则()222PAxy=++，()222PBxy=−+，因为3PAPB

=，所以()()2222232xyxy++=−+，整理得22840xyx+−+=，即()22412xy−+=，所以点P的轨迹为以()4,0为圆心，半径为23的圆，由22228404xyxxy+−+=+=得13xy==或13xy==−，故点P的轨

迹与圆224xy+=的两交点坐标分别为()1,3或()1,3−，所以点P的轨迹与圆224xy+=相交的弦长等于23.故选：A8.棱长为2的菱形ABCD中，60BAD=，将BCD△沿对角线BD翻折，使A到P的位置，得到三棱锥PBCD−，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.三棱锥PBCD−的

体积的最大值为3B.CDPC⊥C.存在某个位置，使得CDPB⊥D.存在某个位置，使得⊥CP面BCD【答案】C【解析】【分析】平面PBD⊥平面BCD时，得到点P到平面BCD的距离最大，结合锥体的体积公式，可判

定A不正确；根据PCD为等腰三角形，可判定B不正确；取2PC=，且CD的中点F，证得CD⊥平面PBF，可判定C正确；根据CP与CD不垂直，可判定D不正确.【详解】对于A中，当平面PBD⊥平面BCD时，此时点P到平面BCD的距离最大

，此时三棱锥PBCD−的体积取得最大值，取BD的中点E，连接PE，则PEBD⊥，因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD平面BCDBD=，所以PE⊥平面平面BCD，又由正三角形PBD的边长为2，可得3PE=，所以三棱锥PBCD−的体积为21323134V==，所以A不正确；对于B中，在P

CD中，因为PDCD=，所以PCD为等腰三角形，所以90PCD，所以B不正确；对于C中，当2PC=，取CD的中点F，连接,PFBF，因为,BDBCPDPC==，所以,CDBFCDPF⊥⊥，又因为BFPFF=，且,BFPF平面PBF，所以CD⊥平面PBF，又因为PB平面

PBF，所以CDPB⊥，所以C正确.对于D中，若⊥CP面BCD，且CD平面BCD，可得CPCD⊥，因为CP与CD不垂直，所以不存在点P，使得⊥CP面BCD，所以D不正确.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆M：22430xyx+−+=，则下列说法正确的是（）A.点()3,2在圆内B.圆M关于直线240xy+−=对称C.圆M的半径为2D.直线30

xy+=与圆M相切【答案】BD【解析】【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.【详解】将圆M：22430

xyx+−+=化成标准方程：22(2)1,xy−+=知圆心坐标为(2,0),M圆的半径为1.A项中，由点()3,2到圆心的距离：22(32)251d=−+=知点()3,2在圆外，A项错误；B项中，因圆心(2,0

)M在直线240xy+−=上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线240xy+−=对称，B项正确；C项中，显然错误，C项错误；D项中，由圆心(2,0)M到直线30xy+=的距离为：22|2|11(3)d==+知直线30xy+=与圆M相切，D

项正确.故选：BD.10.以下四个命题正确的有（）A.直线220xy+−=与直线2410xy++=的距离为52B.直线l过定点()0,1−，点()3,4A−−和()6,3B到直线l距离相等，则直线l的方程为330xy−++=C.点(

)1,2到直线10xy+−=的距离为2D.已知Ra，则“直线210axy+−=与直线()120axaya+−+=垂直”是“3a=”的必要不充分条件【答案】ACD【解析】【分析】选项A根据平行直线距离公式求解即可；选项B分类讨论直线l斜率是否存在，斜率不存在时判断

是否符合题意，斜率存在时列方程即可求得直线l的方程；选项C根据点到直线的距离公式求解即可；选项D根据两直线垂直得到(1)40aaa+−=，求出a的值后进行判断即可.【详解】对于选项A，12410202xyxy++=++=，所

以两直线的距离为221|2|52212−−=+，故A正确；对于选项B，当直线l斜率不存在时，直线l方程为0x=，此时点()3,4A−−和()6,3B到直线l距离分别为3和6，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为1ykx=−，即10kxy−−=，因为点()3,4A−−和()6,3B到直

线l距离相等，所以22|341||631|11kkkk−+−−−=++，解得79k=或13k=，所以直线l的方程为7990xy−−=或330xy−−=，故B错误；对于选项C，点()1,2到直线10xy+−=的距离为22|121|211+−=+

，故C正确；对于选项D，因为直线210axy+−=与直线()120axaya+−+=垂直，所以(1)40aaa+−=，解得0a=或3a=，所以“直线210axy+−=与直线()120axaya+−+=垂直”是“3a=”的必要不充分条件，故D正确.的的故选：ACD11.下列说法正确的是（）A.

在四面体OABC中，若151266OGOAOBOC=−++，则,,,ABCG四点共面B.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则()13OGOAOBOC=++C.已知平行六面体1111ABCDABCD−的棱长均为1，且1160BADBAADAA===，则对

角线12AC=D.若向量pmxnykz=++，则称(),,mnk为p在基底,,xyz下的坐标，已知向量p在单位正交基底,,abc下的坐标为()1,2,3，则向量p在基底,,ababc−+下的坐标为13,,322−

【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量共面定理、重心的向量表示、向量数量积的运算律、基底法表示向量的方式依次判断各个选项即可.【详解】对于A，151112662−++=，当151266OGOAOBOC=−++

时，,,,ABCG四点不共面，A错误；对于B，当G为ABC重心时，0GAGBGC++=，0OAOGOBOGOCOG−+−+−=，整理可得：()13OGOAOBOC=++，B正确；对于C，111ACACA

AABADAA=−=+−，()2222211111222ACABADAAABADAAABADABAAADAA=+−=+++−−1112cos602cos602cos602=+++−−=，12AC=，C正确；对于D，由题意知：23pabc=++，的设()()(),,pxabyabz

cxyz=−+++R，则()()23pxyayxbzcabc=++−+=++，123xyyxz+=−==，解得：12323xyz=−==，向量p在基底,,ababc−+下的坐标为13,,322−，D正确.故选：BCD

.12.离心率为512−的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆()222210xyabab+=中，1A，2A，1B，2B分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，1F，2F是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A.1PFx⊥轴且2

1//POABB.2121122FFAFAF=C.四边形1122ABAB的内切圆过1FD.2212ABFB⊥【答案】CD【解析】【分析】A选项，求出2,bPca−，由斜率关系得到222ac=，求出离心率；B选项，由条件得到3ac=，

求出离心率；C选项，求出直线21AB的方程为0bxayab+−=，根据点到直线距离得到()22222abcab=+，结合222bac=−，得到关于,ac的齐次式，求出离心率；D选项，根据斜率关系得到2bac=，结合22

2bac=−得到关于,ac的齐次式，求出离心率.【详解】A选项，由题意得()1,0Fc−，()()()1220,,,0,0,BbAaBb−，()222210xyabab+=中，令xc=−得2bya=，因为21//POAB，所以

2,bPca−，其中2OPbkac=−，21ABbka=−，故2bbaca−=−，所以bc=，故222ac=，所以离心率为22cea==，A错误；B选项，2121122FFAFAF=，即()()222cac=−，故3ac=，离心率13

cea==，B错误；C选项，直线21AB的方程为1xyab+=，即0bxayab+−=，因为四边形1122ABAB的内切圆过1F，所以22abcab−=+，即()22222abcab=+，因为222bac=−，

所以422430aacc−+=，方程两边同除以4a得42310ee−+=，解得2352e−=或2352e+=，当2352e−=时，()510,12e−=（负值舍去），当2352e+=时，5112e+=（舍去），负值舍去，C正确；D选项，2212ABFB⊥，显然两

直线斜率均存在，故22121ABFBkk=−，即1bbac−=−，即2bac=，因为222bac=−，所以220aacc−−=，方程两边同除以2a得210ee+−=，解得()510,12e−=

，负值舍去，D正确.故选：CD非选择题部分三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知空间中三点()3,0,4A−，()1,1,2B−，()2,0,2C−，则ABC的面积为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】先利

用坐标求出,,ABACBC，再利用余弦定理求出cosABC，则sinABC，最后用面积公式求解即可.【详解】4143,145,112ABACBC=++==+==+=，则9252cos2232ABC+−==，12sin122ABC=−=，12332

222ABCS\=创?故答案为：3214.已知椭圆C：2221xy+=，则椭圆的短轴长为______．【答案】2【解析】【分析】根据椭圆短轴长的定义即可求解.【详解】因为C：2221xy+=，所以22:11

2xCy+=，所以令0y=得22x=，所以短轴长为2.故答案为：2.15.已知Ra，过定点M的动直线310axya−−+=与过定点N的动直线310xaya+−−=相交于点P，则PMPN的最大值是______．【答案】4【解析】【分

析】先求出动直线1:310laxya−−+=过定点M的坐标和动直线2:310lxaya+−−=过定点N的坐标，由题意可知12ll⊥，即PMPN⊥，利用勾股定理可得出2228PMPNMN+==，然后由重要不等式可求出PMPN的最大值.【详

解】直线1l的方程变形为()3(1)0axy−−−=，由3010xy−=−=，得31xy==，所以，动直线1l过定点()3,1M，同理可知，动直线2l过定点()1,3N，由题意可知12ll⊥，且P为1l与2l的交点，所以PMPN⊥，由

勾股定理可得()()2222231138PMPNMN+==−+−=，由重要不等式可得2242PMPNPMPN+=，当且仅当2PMPN==时，等号成立，因此，PMPN的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查直线过定点问题，同时也考查了线段积最值的

求解，根据题意得出定值条件是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知一张纸上面有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且2OA=，折叠纸片，使圆上某一点A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条

直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为__________．【答案】6【解析】【分析】先用定义法求出折痕与OA的交点M的轨迹方程为：2

2143xy+=，再求出曲线C上点到圆心O的距离最大值，进而求出曲线C上的点到圆O上的点的最大距离.【详解】以OA的中点G为坐标原点，OA所在直线为x轴，垂直OA为y轴建立平面直角坐标系，可知1,02O−，1,02A，设折痕与OA和AA分别交于M

，N两点，则MN⊥AA，连接MA，所以MAMA=，所以42MAMOMAMOAOOA+=+===，故所有折痕与OA的交点M的轨迹为以O，A为焦点，4为长轴的椭圆，故椭圆方程为：22143xy+=，设曲线C上点坐标为()2

cos,3sinH，则2224cos3sincos3OH=+=+，当cos1=时，OH取得最大值，最大值为2，故曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为2+4=6.故答案为：6四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线1l：240x

y+−=，直线2l在y轴上的截距为－3，且21ll⊥.（1）求直线2l的方程.（2）直线3l过1l与2l的交点，且3l与直线320xy−=平行，求直线3l的方程.【答案】（1）23yx=−（2）3240xy−−=【解析】【分析】（1）通过两直线垂直求出直线2l的斜率，然后

代入斜截式方程求解即可；（2）联立1l与2l的方程求出交点坐标，再根据题意设出直线3l的方程，将点的坐标代入直接求解即可.【小问1详解】因为直线1l：240xy+−=的斜率为12−，且21ll⊥，所以直线2l的斜率为2，又直线2l在y轴上的截距为－3，所

以由斜截式知直线2l的方程为23yx=−；【小问2详解】联立方程24023xyyx+−==−，得交点坐标为()2,1，因为3l与直线320xy−=平行，故设直线3l：320xym−+=，因为直线3l过点()2,1，所以3221

0m−+=，解得4m=−，所以直线3l的方程为3240xy−−=.18.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．（1）求证：1AC⊥平面11ABD；（2）求直线1CC与平面1ADE所成角的正

弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23．【解析】【分析】（1）由正方体性质结合线面垂直定义可得11ABAC⊥，同理可证111BDAC⊥，即可证明结论；（2）设正方体边长为a.方法一，如图建立空间直角坐标系，得到向量1CC坐标及平面1ADE法

向量坐标，可得答案；方法二，由等体积法算出1A到平面1EAD的距离h，结合11//AACC，则所求角的正弦值为1sinhAA=，即可得答案.【小问1详解】由正方体的性质可知，BC⊥面11ABBA，因1AB面11ABBA，则1BCAB⊥，又11ABAB⊥，1BCABB=，1,BCAB面1AB

C.∴AB⊥面1ABC，又1AC面1ABC，则11ABAC⊥.同理111BDAC⊥，又1111BDABB=，111,BDAB平面11ABD.∴1AC⊥平面11ABD【小问2详解】解法一：以A为原点，AD、AB、1AA分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，设正方体的棱长为a，则()0,0,0A，()10,0,Aa=，()1,0,Daa，10,,2Eaa，∴()10,0,AAa=，()1,0,ADaa=，10,,2AEaa=，设平面1ADE的法向量为(),,mxyz=，则100mADmAE==，即()010

2axzayz+=+=，令2z=，则2x=−，1y=−，∴()2,1,2m=−−，设直线1AA与平面1ADE所成角为θ，则11122sincos,33mAAamAAamAA====，故直线1CC与平面1

ADE所成角的正弦值为23．解法二：设正方体的棱长为2a，则122ADa=，5AEa=，13EDa=，1212222AADSaaa==△，由余弦定理知，222222111185910cos2102225ADAEEDaaaEADA

DAEaa+−+−===，∴1310sin10EAD=，∴12111sin32EADSADAEEADa==△，设点1A到平面1EAD的距离为h，∵111AEADEAADVV−−=，∴1122111123223333EADAADhSa

Shaaa==43ha=，设直线1AA与平面1ADE所成角为θ，则1423sin23ahAAa===．又11//AACC，则直线1CC与平面1ADE所成角的正弦值等于直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值故直线1CC与平面1ADE所成角的正弦

值为23．19.圆C过点()4,2A和()1,3B，圆心C在直线1yx=−上．（1）求圆C的标准方程（2）直线l经过点()1,1P−，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程【答案】（1）()()22215xy−+−=（2）1x=或3744yx=−【解析】【分析】（1）由题可得AB

的中垂线方程，将其与直线1yx=−联立，可得圆心坐标，后可得半径，即可得答案；（2）当斜率不存在时，易知满足题意；当斜率存在时，由弦长公式可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得直线斜率，即可得答案.【小问1详解】由题，AB的中点坐标为55,22

，直线AB斜率为321143−=−−.则AB中垂线方程斜率为3，又过点55,22，则AB中垂线方程为55322yx−=−35yx=−，联立35211yxxyxy=−==−=

，知()2,1C.则()()2242235rAC==−+−=.∴圆C的标准方程是()()22215xy−+−=.【小问2详解】若直线l的斜率不存在，则直线l：1x=，其到圆心距离为1，则相应弦长()22212514lr=

−=−=，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l：()11ykx+=−，设其到圆心距离为d.则222242541lrddd=−=−==，即圆心C到直线l的距离为1.由点到直线距离公式，2211kk−=+，34k=，则直线l：3744

yx=−综上，直线l：1x=或3744yx=−20.已知O为坐标原点，()11,0F−是椭圆C：()222210xyabab+=的左焦点，点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过1F的圆恰好与直线2x=相切．（1）求

椭圆C的方程（2）斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的最大值【答案】（1）2212xy+=（2）max22S=【解析】【分析】（1）根据条件直接确定,,abc，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理及弦长公式表示出

弦长，再求其最大值即可.【小问1详解】由已知得2a=，1c=，则2213b=+=，∴椭圆C的方程为2212xy+=；【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，直线l：yxm=+联立方程2212yxmxy=++=，得2234220xmxm++−=∵直线l交椭圆

C于A，B两点∴()221612220mm=−−，得23m1243mxx+=−，212223mxx−=，∴弦长()221212223422434311423mABxxmmxx−−=++−==−−，又点O到直线l的距离2md=∴2242211432

23923223332422mmSABdmmm−===−+=−−+当232m=，即62m=时取得等号∴max22S=.21.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，2PAAD==，4BD=，23AB=，BD是ADC的平分线，且BDBC⊥，二

面角PABD−−的大小为60°．（1）若E是棱PC的中点，求证：//BE平面PAD（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取CD中点F，连

接BF，EF，先证明//BFAD，//EFPD，从而证明平面//BEF平面PAD，进而可证//BE平面PAD；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，进而利用面面角的向量公式即可求解.【小问1详解】取CD中点F，连接BF，EF∵BDBC⊥∴BFDF=，则FDB

FBD=而BD是ADC的平分线，则FDBADB=，从而FBDADB=，则//BFAD，BF不平面PAD内，AD平面PAD，则//BF平面PAD，E，F分别是PC，CD的中点，则//EFPD，EF不在平面PAD内，PD平面PAD，则//EF

平面PAD，又EFBFF=，,EFBF平面BEF,∴平面//BEF平面PAD，又BE平面BEF,∴//BE平面PAD；【小问2详解】因为22241216ADABBD+=+==，所以BAAD⊥，又面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCDAD=，AB面

ABCD，所以BA⊥面PAD，又AP面PAD，所以BAPA⊥，则PAD是二面角PABD−−的平面角，即60PAD=，PAD是等边三角形，取AD中点O，则POAD⊥,又面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCDAD=，PO面PAD，所以PO⊥面ABCD，如图以O为原点，以过点O与AB平行

的直线为x轴，以,ODOP为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,3P，()23,1,0B−，()0,1,0D，()0,1,0A−，在Rt△ABD中，60BDA=,则60CDB=,所以8CD

=,则()43,5,0C，在所以()()()()0,1,3,23,0,0,43,5,3,0,1,3APPCPDAB===−=−，设平面PAB的一个法向量为()1,,nxyz=，则1100nAPnAB==，得23030xyz=+=，令1z=，得0,3

xy==−，则()10,3,1n=−设平面的PCD一个法向量()2,,bcna=，则1100nPCnPD==，得4353030abcbc+−=−=，令1c=，得1,3ab=−=，则()21,3,1n

=−，所以平面的PCD一个法向量()21,3,1n=−，设平面PAB与平面PCD的夹角为α，则12125cos5nnnn==，∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为55.22.已知圆O的方程为2216xy+=，与x轴的正半轴交于点N，过点()3,0M作直线与圆O交于

A、B两点．（1）若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；（2）如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角NPS，NPR，使得NPSNPR+为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．【答案

】（1）23244yx=−或23244yx=−+（2）存在，4πNPSNPR+=【解析】【分析】（1）当斜率不存在时，易知不合题意；当斜率存在时，设直线方程为()3ykx=−，后由点到直线距离公式可得答案；（2）设直线RS：yxm=−+，()11,Rxy，()22,Sxy，注意到1

11tan4ykNPRx==+，222tan4ykNPSx==+.后将直线RS方程与圆方程联立，结合韦达定理及两角和的正切公式可得答案.【小问1详解】若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB

的斜率存在，设直线AB：()3ykx=−，由2311kk=+，得24k=∴直线AB的方程为23244yx=−或23244yx=−+【小问2详解】设直线RS：yxm=−+，()11,Rxy，()22,Sxy记111tan4ykNPR

x==+，222tan4ykNPSx==+，联立方程2216xyyxm+==−+，得2222160xmxm−+−=.由题，2212840324242mmm=−−.由韦达定理，12xxm+=，212162mxx−=，∴()12122yyxxmm+=−

++=，()()21212162myyxmxm−=−+−+=∴()1212121244tantantan1tantan144yyxxNPSNPRNPSNPRyyNPSNPRxx+++++==−−++()()()1212121212248

4161416416xxmxxmmxxxxyym−+−+++===+++−+∵NPS，NPR都是锐角0NPSNPRπ+∴π4NPSNPR+=定值．为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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