【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修1-2教案：2.1.2演绎推理 1 含解析【高考】.doc，共(14)页，667.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-2.1.2演绎推理一，教法分析●三维目标1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念

．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用

，养成言之有理，论证有据的思维习惯．●重点难点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．难点：利用三段论证明一些实际问题．通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在

演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．二，方案设计●教学建议建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系

，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，

而在“精”，关键在理解．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的-2-区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结

此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老

师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．三、自主导学课标解读1.理解演绎推理的意义．(重点)2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和

联系.演绎推理【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22012＋1)是奇数，所以(22012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中

的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．(2)特点：由一般到特殊的

推理．2．三段论-3-一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P四、互动探究把演绎推理写成三段论形式将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对

角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数；(4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．【思路探究】首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．【自主解答】(1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论(2

)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0．332·是循环小数，小前提0．332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提y＝sinx是三角函数

，小前提y＝sinx是周期函数．结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时

甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找-4-一个使结论成立的充分条件作为大前提．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函

数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提13(0.33333…)是无限不循环小数，小前提13是无理数结论【解】(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形

式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数.三段论在证明几何问题中的应用图2－1－4已知在梯形ABCD中(如图2－1

－4)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)【思路探究】观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3【自主解答】∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴

∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，-5-大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提

∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一

个三段论的前提．试用更简洁的语言书写本例的证明过程．【解】在△DAC中，∵DA＝DC，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.合情推理、演绎推理的综合应用图2－1－5如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点

A在底面BCD上的射影．(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．【思路探究】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．-6-(2)先利用

类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．【自主解答】(1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，且AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋

S2△ABD＝S2△BCD.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，∴(12BC·AE)2＝(12BC·EO)·(12BC·ED)，即S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.同理可证：S2△ACD＝S△

COD·S△BCD，S2△ABD＝S△BOD·S△BCD.∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S2△BCD.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它

得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．已知命题：“若数列{an

}是等比数列，且an>0，则数列bn＝na1a2…an(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．-7-【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an

}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋ann也是等差数列．证明如下：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝a1＋a2＋…＋ann＝na1＋nn－1d2n＝a1＋d2(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，d2为公差的等差数列．五、方法技巧数形结合思想在演

绎推理中的应用数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就

是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．若函数f(x)＝log2(x＋1)，且c>b>a>0，则faa、fbb、fcc的大小关系是()A.faa>fbb>fccB.f

cc>fbb>faaC.fbb>faa>fccD．faa>fcc>fbb【思路点拨】作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象―→找三点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))―→结论的几何意义―→结论【规范解答】作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示，faa、fb

b、fcc可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A项正确．【答案】A-8-运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！六、课堂小结1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情

况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．七、双基达标1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函

数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.【答案】C2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③

这艘船是准时起航的．”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③【解析】本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．【答案】D3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：_____

_________小前提：_____________结论：_____________【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．【答案】不能被2整除的整数是奇数35不能被

2整除35是奇数4．用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式an＝2n＋3的数列{an}是等差数列．【解】(1)三角形的内角和是180°，大前提Rt△ABC是三角形，小前提

Rt△ABC的内角和为180°.结论(2)若n≥2时，an－an－1为常数，则-9-{an}是等差数列，大前提an＝3n＋2，an－an－1＝3，小前提则{an}是等差数列．结论八、知能检测一、选择题1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60

°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】B2．

(2013·三亚高二检测)“指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是R上的增函数，而y＝(12)x是指数函数，所以y＝(12)x是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是()A．大前提B．小前提C．大、小前提D．推理形式【解析】指数函数y＝ax在a＞1时

在R上是增函数，当0＜a＜1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．【答案】A3．在不等边三角形中，a为最大边．要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c

2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】∵cosA＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0，∴a2>b2＋c2.【答案】C4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条

直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰-10-富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7

＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋1an－1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式【解析】B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．【答案】A5．“∵四边形ABC

D是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】大前提为矩形都是对角线相等的四边形．【答案】B二、填空题6．在求

函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a有意义时，a≥0”；小前提是“log2x－2有意义”；结论是________________________________．【解析】由log2x－2≥0得x≥4.【答案】“y＝log2

x－2的定义域是[4，＋∞)”7．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是______________________________________

______．【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形图2－1－68．如图2

－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．【答案】演绎推理三、解答题-11

-9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)

不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．【解】(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，

小前提(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tanα是三角函数，小前提y＝tanα是周期函数．结论10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．图2－1－7【证明】因为

同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边

形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论-12-11．已知函数f(x)＝ax＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单

调区间上的增减性．【解】设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋bx1)－(ax2＋bx2)＝(x2－x1)(ax1x2－b)．当0<x1<x2≤ab时，则x2－x1>0,0<x1x2<ab，ax1x2>b，∴

f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，ab]上是减函数，当x2>x1≥ab时，则x2－x1>0，x1x2>ab，ax1x2<b，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[ab，＋∞)上是增函数.九、备课

资源已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．【思路探究】利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的

定义．【自主解答】设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2x1＋1－ax2－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝ax

1－ax2＋3x1－x2x1＋1x2＋1.∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．-13-1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．如图所示，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝B

C＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【解】(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)∵△ADB为等边三角形，∴DE⊥AB.又∵平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面AB

C＝AB，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.由已知可得DE＝32AB＝3，EC＝1.∴在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝B

C，AD＝BD，∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，∴AB⊥CE.∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD.-14-

综上所述，总有AB⊥CD.