【文档说明】江苏省兴化中学2020届高三考前冲刺练习数学含附加题含答案.docx，共(14)页，717.094 KB，由小赞的店铺上传

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高三考前冲刺练习数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13VSh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．球的体积343Vr=，其中r表示球的半径．样本数据12,,,nxxx的方差()2211niisxxn==−，其中11niixxn==．一、填空题：本大题共14小题

．1．已知集合{1,3,}Aa=，{4,5}B=，若{4}AB=，则实数a的值为________．2．设复数z满足(2)1izi−=+（i为虚数单位），则复数z=________．3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差

为________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S的值是________．5．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则A与B相对而坐的概

率为________．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线221169xy−=的顶点到其渐近线的距离为________．7．若函数()sin(06)3fxx=+图象的一个对称中心为,06，则函数()fx的最小正周期为

________．8．某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为65，弧长为6cm的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm3．9．已知

函数212()12xxfxkxxx−+=+−，对任意的12,xxR，12xx，有()()()12120fxfxxx−−，则实数k的取值范围是________．10．已知圆22:(1)(2)4Cxy−+−=

，若直线:(2-1)(22)-4-10lmxmym++=与圆C交于A，B两点，当弦AB的长度最小时，则正实数m=________．11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：

构造数列11111,,,,234n．①；第二步：将数列①的各项乘以2n，得到一个新数列123,,,,aaaa．则根据以上两步可得1223341nnaaaaaaaa−++++=________．()2,nnN12．如图，在△ABC中，23A=，

过点A作AC的垂线交BC于点D．若△ABC的面积为43，则AD的最大值是________．13．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，PQ与AB的夹角为120，则APBQ

=________．14．已知函数()ln(3)2fxxx=+−，若不等式()20fxa−有解，则整数a的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

，c，(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)BCBCABA+−=−．（1）若ABC面积为3，求ab的值；（2）若223cba+=，求cosA．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab+

=的离心率为32，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明

理由．18．如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（单位：百米），DEF是一段曲线形马路．该牧场的核心区

为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP=PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处．如图

2所示，建立平面直角坐标系，若(,())Mxfx满足,21(),42kxfxxaxbx−−=+−−．（1）求()fx的解析式；（2）求观察通道OQ长度的最小值．19．数列{an}的前n项和为nS，且满足1

(2)0nnnSnSn−−−+=，*Nn，2n，22a=．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记221111iiibaa+=++，()11nniiTb==−．①求Tn；②求证：11lnlnnnnTTT++．20．已知()x

fxxe=，()(ln)()gxaxxaR=+（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx，()gx在其公共点()00,Pxy处切线相同，求实数a的值；（3）记()()()Fxfxgx=−，若函数()Fx存在两个零点，求实数a的取值范围．21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选

定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]已知可逆矩阵43abA=的逆矩阵为131222A

b−−=−，矩阵12B−=．（1）求a，b的值；（2）若矩阵X满足1AXB−=，求矩阵X．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知以极点O为圆心，2为半径的圆O与以2,2C为圆心，且过极点的圆C相交于A、B两点．（1）分别求圆O，

圆C的极坐标方程；（2）求弦AB所在直线的极坐标方程．C．[选修4-5：不等式选讲]已知x，y，z是正实数，且5xyz++=，求证：222210xyz++．【必做题】第22、23题．请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在三棱锥A-BCD中，已知,ABDBCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记BFBA=．（1）当23=时，求

异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当二面角A-CD-F的余弦值76565时，求的值．23．已知集合的“集合价”定义：含有()kkN个元素的集合其“集合价”为12k+，例如含有一个元素的集合其“集合价”为13．已知一个数集*{1,2,3,,},MnnN=，我们从集合M

的所有子集中，任意取出一个M的子集N．（1）求当n=4时，取出的集合N的“集合价”为14的概率；（2）设随机变量X为取出的集合N的“集合价”，求X的分布列及数学期望E(X)．高三考前适应性练习参考答案及评分

建议一、填空题：本大题共14小题．1．4；2．1355i+3．10；4．17；5．13；6．125；7．2；8．30；9．1,2−−；10．12；11．(1)4nn−；12．6；13．32−；14．-1二、解答题：本大题共6小题．15．证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，B

C平面ABCD，所以PD⊥BC．因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥BC．因为CD∩PD=D，CD，PD平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．（2）底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，因为

BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC因为AD平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，所以AD∥EF．16．【解】（1）因为(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)BCBCABA+−=−，在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcAB

C==，得()()()bcbcaba+−=−，化简得222abcab+−=，在ABC中，由余弦定理得，2221cos22abcCab+−==，因为(0,)C，所以3C=，又ABC面积为3，可得1sin32abC=，所以ab=4．（2）因为223cba+=

，在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC==，所以2sinCsin2sin3BA+=因为ABC++=，所以2sinCsin()2sin3ACA++=由（1）得3C=，所以2sinsin2sin333AA++=，化简得333sincos

223AA−=，所以1sin63A−=．因为203A，所以662A−−，所以222cos1sin663AA−=−−=，所以coscoscoscossinsin666666AAAA=−

+=−−−2231126132326−=−=17．【解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意，得2222232bcaabc===+，解得21ab==，所以椭圆的方程为2214xy+=；（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程

为225xy+=，直线OP，OQ的斜率之积为定值14−．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)xyrr+=．当直线l的斜率存在时，设直线:lykxm=+，设()()1122,,,PxyQxy，由2214ykx

mxy=++=得()222148440kxkmxm+++−=，因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，所以()()222264414440kmkm=−+−=，所以2214mk=+由222ykxmxyr=++=

得()2222120kxkmxmr+++−=，所以()222211222212240211rrkmkmxxkmrxxk=+−−+=+−=+所以()()()2212121212121212OPOQkxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+++++=

==2222222222111mrkmkkmmkkmrk−−++++=−+()()2222222224141rkmrkmrkr−+−==−+−要使OPOQkk为定值（与k无关），则224141rr−=−，即25r=．所以当圆的方程为225xy+=，圆与直线l相交于P，Q两点，

直线OP，OQ的斜率之积为定值14−．当直线l的斜率不存在时，直线l为2x=，此圆与直线l相交于P，Q此时，(2,1)P，(2,1)Q−满足14OPOQkk=−，综上所述，存在满足条件的圆225xy+=，此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定

值14−18．【解】（1）因为AB=10，P是AB的中点，所以AP=5，又OP=1，所以AO=4，所以(4,0)A−，(1,0)P，因为CD=7，BC=4，AF=1所以(1,4)D−，(4,1)F−由(1)4fk−=−=得，

k=-4，所以(2,2)E−．故(2)2f−=，又(4)1f−=，所以22,41,abab−+=−+=解得123ab==，所以4,21()13,422xxfxxx−−−=+−−（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为'M，'

Q，则''2PQQQPQ+=，又因为PM⊥PQ，所以''2MPMQPQ+=所以''MPMPQQ=，又因为PM=PQ，所以''MPMPQQ，所以，由(1,0)P，可得(1(),1)Qfxx+−，①若21x−−，设4,Mxx−

，则41,1Qxx−+−，222224168441(1)2226OQxxxxxxxxxx=−++−=+−−+=+−+−．令4txx=+，则2226(1)7OQttt=−−=−−22244'1xtxx−=−=，因为21x−

−，所以'0t所以4txx=+在(2,]1−−上单调减，所以[5,4)t−−设2()(1)7gtt=−−，则()gt在[5,4)−−上单调减所以()(4)18gtg−=，所以32OQ②若42x−

−，设1,32Mxx+，则14,12Qxx+−，222221154(1)41612217244OQxxxxxxxx=++−=+++−+=++，252174yxx=++在[

4,2]−−上单调递减，所以2x=−时，min1832OQ==，所以OQ的长度的最小值为32百米．答：观察通道OQ的长度的最小值为32百米注：理科同学用矩阵旋转做同样给分19．【解】（1）因为1(2)0nn

nSnSn−−−+=，所以n=2时，S1=1，即a1=1．因为n≥2时，1(2)0nnnSnSn−−−+=，即2nnSnan=+．1n=时也适合该式．所以n≥2时，2nnSnan=+，112(1)1nnSnan−−=−+−，两式相减得1(2)(1)10nnna

na−−−−+=，则1(1)10nnnana+−−+=，两式相减得112(1)(1)(1)0nnnnanana−+−−−−−=，n≥2．所以1120nnnaaa−+−−=，n≥2，所以11nnnnaaaa+−−=−．所以数列{an

}为等差数列．因为a1=1，a2=2，所以公差d=1，所以1(1)1nann=+−=．（2）①因为an=n，所以2222222211(1)(1)1(1)(1)iiiiibiiii++++=++=++所以2222222211(1)(1)1(

1)(1)iiiiibiiii++++=++=++(1)111111(1)(1)1iiiiiiii++==+=+−+++，所以111111111223341nTnn=−+−+−++−+

1111nnn=−=++②要证11lnlnnnnTTT++，只要证11lnln212nnnnnn+++++，只要证12(1)ln(2)ln1nnnnnn+++++，即证1122lnln1112111nn

nnnnnnnnnn++++++++−−+．设1nxn+=，x>1，令ln()1xxfxx=−，x>1，则21ln()(1)xxfxx−−=−，易证x>1时，1ln0xx−−，故()0fx在(1,)+恒成立．所以

()fx在(1,)+上单调递增，因为1211nnnn+++，所以121nnffnn+++.所以所证不等式成立．20．【解】（1）'()(1)0xfxxe=+=，得x=-1，

当x<-1时，'()0fx；当x>-1时，'()0fx．所以函数的单调减区间为：(,1)−−；增区间为：(1,)−+．（2）由()(ln)gxaxx=+，1'()1gxax=+．因为点()00,Pxy为函数(),()fxgx的公共点，且函数(),()fxgx在点P

处的切线相同，所以()()0000000ln,(1)111,(2)xxxeaxxxeax=++=+，且00x．由（2）得，00xxea=，代入（1）得，()00ln10axx+−=，显然a≠0，所以00ln10xx+−=．设()ln1x

xx=+−，由1'()10xx=+得，()x在(0,)+上是单调增函数，又(1)0=，所以01,xae==．（3）由()()()Fxfxgx=−得，()(ln)xFxxeaxx=−+，x>0.则(

)(1)1'()(1)1xxxxeaFxxeaxx+−=+−+=，令'()0Fx=得，0xxea−=．设()xsxxea=−，由（1）知，()sx在(0,)+上是单调增函数．1°当a≤0时，由x>0得，()(0)0sxsa=−，所以'()0Fx，所以()Fx

在(0,)+上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去．2°当a>0时，因为(0)0sa=−，()()10asaae=−，由零点存在性定理，(0)()ssa，()sx在(0,)+上是单调增函数且连续，所以

存在唯一1(0,)xa，使得()0sx=，即110xxea−=．当()10,xx时，'()0Fx，()Fx单调递减；当()1,xx+时，'()0Fx，()Fx单调递增．因为()Fx存在两个零点，所以()min1()0FxFx=，即()1111l

n0xxeaxx−+，从而()11ln0aaxx−+．所以11ln10xx+−．因为()ln1xxx=+−在(0,)+上是单调增函数，且(1)0=，所以11x，由（1）可知，()xfxxe=在(1,)+是单调递增，所以11

xaxee=．又11xe，11111111ln10eeFeaeaeeeeee=−+=+−，而12ax，易证得lnxx，xex，所以()222(2)2(2ln2)2(22)220aaaFaaeaaaaeaaaa

ea=−+−+=−，由零点存在性定理知，函数()Fx在11,xe上存在唯一一个零点，在()1,2xa上存在唯一一个零点，此时函数()()()Fxfxgx=−存在两个零点．所以a>e．21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的

答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【解】（1）因为21313122222432023abababAAbb−−−−+==−−+，所以232

12102231ababb−=−+=−+=，解得21ab==；（2）法一：因为1AXB−=，所以1AAXAB−=，所以21104322XAB−===．法二：设xXy=，则3131122

222212xxyyxy−−−==−−+，所以3112222xyxy−=−−+=，解得02xy==所以02X=．B．[选修4-4：坐标系与参数

方程]【解】（1）圆O的极坐标方程为2=，圆C的极坐标方程为4sin=；（2）由24sin==得1sin2=，02„6=或562,6A、52,6B

，所以弦AB所在直线的极坐标方程为sin1=．所以222210xyz++，当且仅当2xyz==时取等号．【必做题】第22、23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．【解】连接C

E，以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则(0,0,3)A，(1,0,0)B，(0,3,0)C，(1,0,0)D−，因为F为线段AB上一动点，且BFBA=，则(1,0,3)(,0,3)BFBA==−=−，所以(1,0,3)F−．（1）当2

3=时，123,0,33F，423,0,33DF=，(1,3,0)CB=−，2222473cos,74231(3)33DFCB==++−．所以异面直线DF与BC所成角的余弦值是77.（

2）设平面ACD的一个法向量为(,,)nxyz=由,nDAnDC⊥⊥得(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0xyzxyz==化简得3030xzxy+=+=，取(3,1,1)n=−−设平面CDF的一个法向量为(,,)mabc=由,mDFmD

C⊥⊥得(,,)(2,0,3)0(,,)(1,3,0)0abcabc−==，化简得(2)3030acab−+=+=，取(3,,2)m=−−设二面角A-CD-F的平面角为，22222233()(1)(2)(1)7

65|cos||cos,m|65(3)()(2)(3)(1)(1)n+−−+−−===+−+−+−+−，化简得：282290−+=，解得12=或94=（舍去），所以12=．23．【解】（1）记“取出的集合N的“集合价”为14”为事件A．则当n

=4时，{1,2,3,4}M=，集合M的所有子集个数为24，其中“集合价”14的子集（即二元集）的个数为24C个，所以24463()2168CPA===．答：取出的集合N的“集合价”为14的概率为38．说明：若不记事件或者不答各扣1分．（2）随机变量X的所有可能取值为1111,,,,2342n

+则X12131412k+12n+P02nnC12nnC22nnC2knnC2nnnC()*10,22knnCPXknkNk==+，随机变量X的概率分布为因此随机变量X的数学期望为00111()2222knnknnnnkkCEXCkk====++其中00001111121(

1)(2)1(1)(2)nnnnkkkknnnnkkkkCCCCkkkkkkk=====−=−+++++++12121212001211111(1)(2)1(1)(2)nnnnkkkkn

nnnkkkkCCCCnnnnnn++++++++=====−=−++++++1212123211(1)(2)(1)(2)nnnnnnnnnn+++−−−+=−=+++++所以121()2(1)(2)nnnEXnn++=++答：随机变量X的数学期望为

1212(1)(2)nnnnn++++．