【文档说明】优生从120分到150分之路(圆锥曲线)---1 圆锥曲线中档小题-解析版-2023届高考数学一轮复习优生从120分到150分之路（圆锥曲线）.docx，共(20)页，1.315 MB，由envi的店铺上传

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圆锥曲线中档小题知识与方法本节收录一些圆锥曲线的中档小题.典型例题1.（★★★）设抛物线24yx=的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若120FAC=，则圆的方程为______.【解

析】由题意，()1,0F，:1lx=−，ACy⊥轴，所以ACx∥轴，12060FACAFO==，又1OF=，所以3AO=，故()1,3C−，从而圆C的方程为()()22131xy++−=.【答案】()()22131xy++−=2.（★★★）平面上一机器人在行进中始终保持与点()1,0F

的距离和到直线1x=−的距离相等.若机器人接触不到过点()1,0P−且斜率为k的直线，则k的取值范围是_______.【解析】解法1：由抛物线定义可得机器人行进的轨迹是以()1,0F为焦点，以直线1x=−为准线的抛物线24yx=，由题意，该抛物线与直线()1ykx=+

没有交点，联立()214yxykx==+消去x整理得：204kyyk−+=，当0k=时，显然直线0y=与抛物线24yx=有交点，不合题意，当0k时，判别式221011kkk=−=−△或1k，故k的取值范围是()(),11,−−+.解法

2：由抛物线定义可得机器人行进的轨迹是以()1,0F为焦点，以直线1x=−为准线的抛物线24yx=，如图，根据二级结论“过,02p−与抛物线22ypx=相切的直线的斜率必为1”，容易发现本题中要使机器人接触不到过点

()1,0P−且斜率为k的直线，应有()(),11,k−−+.【答案】()(),11,−−+3.（★★★）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，直线24yx=−与C交于A、B两点，则cosAFB=（）A.45B

.35C.35−D.45−【解析】如图，不妨设A在x轴上方，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2244yxyx==−消去y整理得：2540xx−+=，解得：1x=或4，则14x=，21x=，所以115AFx=+=，212BFx=+=，2121235

ABxx=+−=，由余弦定理，2224cos25AFBFABAFBAFBF+−==−.【答案】D4.（★★★）已知抛物线()2:20Cypxp=的准线为l，过()1,0M且斜率为3的直线与l相交于点A，

与C的一个交点为B.若AMMB=，则p=______.【解析】解法1：如图，作BKl⊥于K，因为直线AB的斜率为3，所以60BMx=，故60KBM=，从而30BAK=，12BKAB=，又AMMB=，所以M是AB中点，从而BKB

M=，即M是抛物线C的焦点，所以2p=.解法2：如图，直线AB的斜率为36060BMxAMN==，易得准线l与x轴的交点为,02pN−，所以12pMN=+，从而3312pANMN==+，

所以,3122ppA−−+，因为AMMB=，所以M是AB中点，故2,3122ppB++，代入22ypx=可得：2312222ppp+=+，解得：2p=或6−（舍去）.【答案】25.（★★★）已知1F

、2F分别为双曲线22:1927xyC−=的左、右焦点，点AC，点M的坐标为()2,0，AM为12FAF的平分线，则2AF=_______.【解析】如图，由题意，双曲线的实半轴长3a=，半焦距6c=，所以()16,0F−，()26,0F，由双曲线定义，126AFAF−=，又()2,0M，所

以18FM=，24FM=，由角平分线性质定理，11222AFFMAFFM==，所以122AFAF=从而1222226AFAFAFAFAF−=−==.【答案】66.（★★★）已知直线()()20ykxk=+与抛物线2:8Cyx=相交于A、B两点，F为

C的焦点，若2FAFB=，则k=（）A.13B.23C.23D.223【解析】解法1：如图，设()11,Axy，()22,Bxy，联立()228ykxyx=+=消去y整理得：()22224840kx

kxk+−+=，212284kxxk−+=①，124xx=②，又2FAFB=，所以()12222xx+=+③，联立①②③及0k解得：223k=.解法2：如图，直线()2ykx=+与x轴的交点K在抛物线C的准线

:2lx=−上，由题意，()2,0K−，()2,0F，作AMl⊥于M，BNl⊥于N，由抛物线定义，FAAM=，FBBN=，因为2FAFB=，所以2AMBN=，从而BN是AMK△的中位线，所以B是AK中点，连

接OB，显然O是KF中点，所以12OBAFBF==，从而1Bx=代入28yx=可得22By=，所以()1,22B，故直线AB的斜率()2222123k==−−.【答案】D7.（★★★）已知椭圆2222:1xyCab+=()0a

b的离心率为32，双曲线221xy−=的渐近线与椭圆有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A.22182xy+=B.221126xy+=C.221164xy+=D.221205xy+=【解析】如图，椭圆C的离心率为223

3222ababa−==，双曲线221xy−=的渐近线方程为yx=，由对称性易得四边形ABCD为正方形，其面积为()162,2A，代入椭圆C的方程得22441ab+=，结合2ab=可得220a=，25b=，故选D.【答案】D8.（

★★★）过双曲线2222:1xyCab−=的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A.221412xy−=B.22179xy−=C.22188xy−=D

.221124xy−=【解析】如图，双曲线C的右顶点为(),0Ba，其中一条渐近线为byxa=，联立xabyxa==解得：yb=，所以(),Aab，从而ABb=，因为圆F的半径为4，且过原点，所以()4

,0F，4AF=，4BFa=−，在ABF△中，222ABBFAF+=，所以()22416ba+−=，结合2216ab+=可解得：2a=，23b=，所以双曲线C的方程为221412xy−=.【答案】A9.（★★★）抛物线()211:02Cyxpp=的焦点与双曲线22

2:13xCy−=的右焦点的连线交1C于第一象限的点M，若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p=（）A.36B.38C.233D.433【解析】如图，设1C的焦点为0,2pF，2C的右焦点为()2,0T，对地物线方程

求导得：xyp=，故13Mxp=，所以3Mpx=，即,63ppM，由F、M、T三点共线得：00620223ppp−−=−−，解得：433p=.【答案】D10.（★★★）已知点()2,0A，抛物线2:4Cxy=的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交

于点N，则:FMMN=（）A.2:5B.1:2C.1:5D.1:3【解析】如图，作MP⊥准线于P，则FMMP=，所以sinsinFMMPOFMNPFAOFNMNFA====，由题意，()0,1F，所以1OF=，5AF=，从而1

5FMOFMNAF==.【答案】C11.（★★★）已知直线ya=交抛物线2yx=于A、B两点.若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为______.【解析】如图，显然A、B两点关于y轴对称，设()211,Axx，()211,Bxx−，()222,Cxx，12xx

，则21ax=，因为ACB为直角，所以2222121212121ACBCxxxxkkxxxx−−==−−−−整理得：()()12121xxxx+−=，所以22121xx=+，从而211x，即1a.【答案】)1,+12.（★★★）.设双曲

线2213yx−=的左、右焦点分别为1F、2F.若点P在双曲线上，且12FPF△为锐角三角形，则12PFPF+的取值范围是______.【解析】由题意，()12,0F−，()22,0F，由对称性，不妨设点P位于第一象限，如图，要使12FPF△为锐角三角形，则点P在1P和2P之间

，其中1112PFPF⊥，2212PFFF⊥，先求点P的坐标，因为1112PFPF⊥，所以1P在以12FF为直径的圆224xy+=上，联立2222413xyyx+=−=解得：227494xy==，所以173,22P，所以()222173208277

17122PF=++−=+=+=+；另一方面，直线22PF的方程为2x=，代入2213yx−=可解得：3y=，所以()22,3P，从而()()222122305PF=++−=，所以1715PF+，由双曲线定义，122PFPF−=，所以212PFPF=−，故121

11222PFPFPFPFPF+=+−=−，所以12PFPF+的取值范围为()27,8.【答案】()27,813.（★★★★）设抛物线2:2Cypx=()0p的焦点为F，点M在C上，5MF=，若以MF为直径的圆过点()0,2，则C的方程为（）A.24yx=或28yx=B.32y

x=或28yx=C.24yx=或216yx=D.22yx=或216yx=【解析】解法1：由题意，,02pF，记()0,2T，设200,2yMyp，则20522ypMFp=+=①，因为以MF为直径的圆过点()0,2T，所以0202412TFTMykkypp

−=−=−②，联立①②解得：2p=或8，即抛物线C的方程为24yx=或216yx=.解法2（用结论）：以抛物线()220ypxp=的焦半径为直径的圆与y轴相切.如图，24MTyy==，所以282MMyxpp==，852pMFp=+=，解得：2p=或8.【答案】C强化训练14.（★★★）过抛

物线2:2Eypx=()0p的焦点F的直线交抛物线E于A、B两点，其中A在x轴上方，过A、B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C、D.若ACF△与BDF△的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A.1B

.3C.2D.22【解析】如图，设AFO=，则CAF=−，FBD=，由抛物线定义，AFAC=，BFBD=，所以()22111sinsinsin222ACFSAFACCAFAFAF==−=△，同理，21sin2BDFSBF=△，因为4

ACFBDFSS=△△，所以2AFBF=，而1cospAF=+，1cospBF=−，所以21cos1cospp=+−，解得1cos3=−，从而222sin1cos3=−=，sintan22cos==−，所以直线AB的斜率()tantan22k=−=−=.【答案】

D15.（★★★）已知F为抛物线22ypx=()0p的焦点，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A、B两点，若6AFBF−=，则AB=______.【解析】解法1：如图，,02pF，直线AB的方程为2pxy=+，设()11,Axy，()22,B

xy，将2pxy=+代入22ypx=消去x整理得：2220ypyp−−=，判别式280p=，所以122yyp+=，12123xxyypp+=++=，由题意，212128622ppAFBFxxxxp−=+

−−=−==，所以32p=，从而12423ABxxpp=++==解法2：如图，设AFO=，直线AB的斜率为1344AFx==，所以()221cos212ppAFp===++−，()22212pBFp==−+，故()()2222226A

FBFppp−=+−−==，解得：32p=，从而2223sinpAB==.【答案】2316.（★★★）已知ABC△的三个顶点均在抛物线2yx=上，边AC的中线BMy∥轴，2BM=，则ABC△的面积为__

____.【解析】解法1：如图，设()200,Bxx，()211,Axx，()222,Cxx，则()200,2Mxx+，且1202xxx+=，设直线AC的斜率为k，则2212120122xxkxxxxx−==+=−，所以直线AC的方程为(

)()200022yxxxx−+=−，整理得：20022yxxx=+−，联立200222yxxxyx=+−=消去y整理得：2200220xxxx−+−=，判别式()()22002428xx=−−−

=，从而12118222221ABCSBMxx=−==解法2（特值法）：假设B就是原点，则直线AC为2y=，联立22yyx==解得：2x=，所以22AC=，从而112222222ABCSBMAC===.【答案】2217.（★★★）在平面直角坐标系xOy中，已知AB

C△的顶点()22,0B−，()22,0C，且2sinsinsin2BCA−=，设()4,0P，则AOAP的取值范围为______.【解析】222sinsinsin4222BCAbcaACABBC−=−=−==，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支且不含左顶点，其方程为有

22144xy−=()2x−，设()00,Axy()02x−，则2200144xy−=，所以22004yx=−，而()00,AOxy=−−，()004,APxy=−−，所以()()()22200000044AOAPxxyxyx=−−+−=+−，将22004yx=−代入可得()2222000

00044244216AOAPxyxxxx=+−−=−−=−−，故AOAP的取值范围为()12,+.【答案】()12,+18.（★★★）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，P是C上一动点，点M在x轴上，且PM的中点N在y轴上，则FNM=_____

_.【解析】解法1：设()00,Pxy，P在抛物线C上，所以2004yx=，因为点M在x轴上，且PM的中点在y轴上，所以()0,0Mx−，00,2yN，又()1,0F，所以直线FN与MN的斜率之积为20000

01224yyyxx−=−=−，故90FNM=.解法2：如图，延长FN到Q，使FNNQ=，则N为FQ的中点，由题意，N为PM的中点，所以四边形PQMF为平行四边形，又()1,0F，所以点Q的横坐标为1−，从而Q在抛物线的

准线上，且显然PQ⊥准线，由抛物线定义，PFPQ=，所以PQMF为菱形，故FQPM⊥，从而90FNM=.【答案】9019.（★★★）已知抛物线2:4Cyx=，斜率为43的直线l与C的交点为A、B，与x轴的交点为Q，若4AQQB=，

则AB=______.【解析】设()11,Axy，()22,Bxy，直线3:4lxyt=+，则(),0Qt，()11,AQtxy=−−，()22,QBxty=−，联立2344xytyx=+=消去x整理得：2340yyt−−=，判别式991601

6tt=+−，由韦达定理，123yy+=，124yyt=−，又4AQQB=，所以124yy−=，联立121212344yyyytyy+==−−=解得：12411yyt==−=，所以212325144AByy=+−=.【答案

】25420.（多选★★★）已知抛物线2:2Cypx=()0p的焦点为F，直线l的斜率为3且过点F，l与抛物线C交于A、B两点（A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若4AF=，则（）A.1p=B.F为AD的中点C.2BDBF=D.AOB△的面积为3【解析】A项，如图，直线l的斜率为

360120AFxAFO==由角版焦半径公式，2421cos120pAFpp====+，故A项错误，B项，作AM⊥准线于M，则4AMAF==，60608cosAMAFxFAMADFFAM====是AD的中点，

故B项正确，C项，460601cos3pAFxBFOBFBFO===+，又8AD=，4AF=，所以83BD=，从而2BDBF=，故C项正确，D项，直线l的倾斜角2443602sin3322AOBpS=

===△，故D项错误.【答案】BC21.（★★★）设双曲线()222210,0xyabab−=的左，右焦点分别为1F、2F，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线1PF与双

曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q.若点Q恰好为线段1PF的中点，则直线1PF的斜率的值为______.【解析】如图，由题意，12PFPF⊥，因为Q为1PF的中点，所以1OQPF⊥，注意到直线OQ是双曲线的渐近线，所以11tanFQbFOQOQa==，结合222211FQO

QOFc+==可得1FQb=，OQa=，又OQ是12PFF△的中位线，故22PFa=，12PFb=，由双曲线定义，122PFPFa−=，所以222baa−=，从而2ba=故111tan2OQaQFOFQb===，即直线1PF的斜率为12.【答案

】1222.（★★★）已知点P是抛物线2:4Cyx=上的动点，设点P到y轴的距离为d，()3,3Q−，则PQd+的最小值为（）A.5B.301+C.301−D.4【解析】如图，()1,0F，由抛物线定义，1dPF=−，所以114PQdPQPFQF+=+−−=，当且仅当P与图中0P重

合时取等号，所以PQd+的最小值为4.【答案】D23.（★★★）设双曲线2213yx−=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，若12BFBF⊥，则2ABF△的周长为（）A.432+B.432−C.423+D.423−【解析

】如图，由题意，点B所在的渐近线为3yx=，其斜率为3，所以260BOF=，又12BFBF⊥，所以12212OBFFOF==，故2BOF△是正三角形，且22OF=，所以22BF=，124FF=，1

23BF=所以2ABF△的周长()221122LABBFAFBFAFBFAF=++=−++()12212322423BFBFAFAF=++−=++=+.【答案】C24.（★★★）已知双曲线22:1412xyC−=的右焦点为F，点P是直线2x=在第一象限上的一点，直线PF

与双曲线C的一条渐近线交于第一象限的点Q，且2FPPQ=，则FQ=______.【解析】如图，设直线2x=与x轴交于点N，作QMx⊥轴于M，则()2,0N，由题意，()4,0F，故2FN=，~FNPFMQ△△且322311132MQFPFNFNFPPQFMOMOFFMxxFQFM====

==−===，又双曲线的渐近线方程为3yx=，显然点Q在3yx=上，所以()1,3Q，从而()()22410323FQ=−+−=.【答案】2325.（★★★）已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆O内有一个定点A，且1OA=，折叠纸片，使圆上某一点A刚好与点A重

合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为_______.【解析】如图，设AO的中点为P，以P为原点建立如

图所示的平面直角坐标系，连接AO，设AO与AA的中垂线（折痕）交于点Q，则点Q的轨迹即为曲线C，由图可知2QOQAQOQAAO+=+==，所以点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆，其方程为2241

3xy+=由图可知曲线C上的点到圆O上的点的距离的最大值为17422−=.【答案】7226.（★★★）已知抛物线24xy=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，点70,2P−，且PBAB⊥，则AF=（）A.32B.2C.52D.3【解析】设()2112

,Axx，()2222,Bxx，()0,1F，由题意，F、A、B三点共线，所以2212121122xxxx−−=，化简得：121xx=−，又PBAB⊥，所以222221221721222xxxxxx+−

=−−，化简得：2312212227150xxxxx+++=①，由121xx=−可得211xx=−，代入式①得：2311111111227150xxxxx−+−++−=，化简得：131113270xxx−−=，所以421171320xx−−=，从而

()()22112710xx−+=，故212x=，2113AFx=+=.【答案】D27.（★★★★）已知A为抛物线2:2Cxpy=()0p上一点，抛物线C的焦点为F，O为原点，若OFA△的外接圆的面积为9且与抛物线的准线相切

，则抛物线C过OFA△的外心的切线的斜率为_____.【解析】如图，0,2pF，抛物线的准线为2py=−，圆M的面积为9其半径3r=，设OFA△的外心为点M，则M必在直线4py=上，又

圆M与抛物线的准线相切，所以点M到准线的距离3344pdp===，故C的方程为28xy=，圆M过点FdMF=点M也在抛物线C上，联立218yxy==可解得：22x=，所以()22,1M

，由28xy=可得4xy=，所以抛物线C过点M的切线的斜率为22.【答案】22