【文档说明】四川省成都市成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.509 MB，由小赞的店铺上传

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成都七中高2025届高一下期期末考试数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非

选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知5a=，4b=，a与b的夹角2π3=，则ab=（）A.10B.-10

C.5D.-5【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积运算即可求出结果.【详解】因为5a=，4b=，a与b的夹角2π3=，所以2πcos54cos103abab===−，故选：B2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选

项是（）A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图必为矩形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形【答案】A【解析】【分析】根据三角形特征可知A正确；通过反例可说明BCD错误.【详解】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是

三角形，A正确；对于B，如下图所示平行四边形ABCD，其中π4BAD=，其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；.的对于C，正方形ABCD的直观图为平行四边形ABCD，如下图所示，C错误；对于D，如下图所示的菱形ABCD，其

中π4BAD=，其直观图为平行四边形ABCD，若DEAB⊥，则12DEDE=，ADAD，即ABAD，四边形ABCD不是菱形，D错误.故选：A.3.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（）A.512B.

19C.16D.14【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号）一共36种结果，两枚骰子出现“两个点数相等”的有()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5

,5,6,6，一共6种，所以两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为61366P==，故选：C4.如图，已知长方体ABCDABCD−，2ABAD==，1AA=，则直线BD与DC所成角的余弦值为（）A.53B.52C.34D.23【答案】D【解析】【分析】

数形结合，找到直线BD与DC所成角'ABD，然后简单计算即可.【详解】连接'AD，如图直线BD与DC所成角为'ABD由题可知：'ABAD⊥，由2ABAD==，1AA=所以222'2123BD=++=，所以'2cos'3ABABDBD==故选：D5.下面选项中方差最大的是（

）A.8，8，8，8，8，8，8，8，8B.6，6，6，5，5，5，4，4，4C.7，7，6，6，5，4，4，3，3D.8，8，8，8，5，2，2，2，2【答案】D【解析】【分析】利用方差公式求出各选项方差即可.【详解】对于A：28,0xs==

，对于B：1(666555444)5,9x=++++++++=22222222221(65)(65)(65)(55)(55)(55)(45)(45)(45)0.679s=−+−+−+−+−+−+−+−+−；对于C：1(7766654433)5,9x=

+++++++++=22222222221(75)(75)(65)(65)(55)(45)(45)(35)(35)2.29s=−+−+−+−+−+−+−+−+−；对于D：1(888852222)5,9x=++++++++=22222222221(

85)(85)(85)(85)(55)(25)(25)(25)(25)89s=−+−+−+−+−+−+−+−+−=；故选：D.6.1tan151tan15+−的值为（）A.62−B.33C.3D.6【答案】C【解

析】【分析】根据tan451=，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++==+==−−.故选：C7.如图，在ABC中，已知

2AB=，5AC=，60BAC=，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则APB的余弦值为（）A.1313B.21313C.29191D.49191【答案】D【解析】【分析】在ABC中，设,ABaACb

==，则111,222AMabBNba=+=−，利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：在ABC中，设,ABaACb==，则,60,cos605ababab===，所以111,222AMabBNba=+=−，2221

113922222AMabaabb=+=++=，2221121242BNbababa=−=−+=，1113222AMBNabba=+−=，所以3491coscos91392122A

MBNAPBMPNAMBN====，故选：D8.如图，三棱锥−PABC中，PC⊥平面ABC，CHPB⊥，ABBC⊥，4PA=，点C到PA的距离2CD=，若BH和平面CDH所成角的正弦值为34，则BC长度为（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理证明CH

⊥平面PAB，再由CDPA⊥，进而证明PD⊥平面CDH，进而可证明PHD为BH和平面CDH所成的角，则3sin4PDPHDPH==，求出PH，设BCa=，由PBCHPCCB=，解方程即可得出答

案.【详解】因为PC⊥平面ABC，则,ABAC平面ABC，所以,PCABPCAC⊥⊥，又因为ABBC⊥，且PCBCC=，,PCBC平面PBC，所以AB⊥平面PBC，因为CH平面PBC，所以ABCH⊥，因为CHPB⊥，且ABPBB=,,ABPB平面PAB

，所以CH⊥平面PAB，PA平面PAB，所以CHPA⊥，因为4PA=，2CD=，PCAC⊥，所以点D是PA的中点，又因为CDPA⊥，所以PAC△是等腰直角三角形，由,,CHCDCCHCD=平面CDH，所以PA⊥平面CDH，所以

PHD为BH和平面CDH所成的角，因为4,PA=则2PD=，所以23sin4PDPHDPHPH===，则83PH=，因为PAC△是等腰直角三角形，所以22PCAC==，设BCa=，所以2228PBPCCBa=+=+，又22223CHPCPH=−=，又因为PBCHPCCB=，所

以2228223aa+=，解得：1a=.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于两个平面，和两条直线

m，n，下列命题中假命题是（）A.若m⊥，mn⊥，则//nB.若//m，⊥，则//mC.若//m，//n，⊥，则mn⊥D.若m⊥，n⊥，⊥，则mn⊥【答案】ABC【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定

定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若m⊥，mn⊥，则//n或n，故A是假命题；对于B，若//m，⊥，有可能出现m，故B是假命题；对于C，若//m，//n，⊥，有可能出现//mn，故C是假命题；对于D，m⊥

，⊥，则m或//m，若m，则由n⊥得nm⊥，若//m，则内有直线//cm，而易知cn⊥，从而mn⊥，D是真命题.故选：ABC.10.在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，

已知()()sinsin3sin2BABAA−++=，且7c=，π3C=，则a的可能取值为（）A.1B.213C.2D.2213【答案】AD【解析】【分析】利用正余弦定理即可求出结果.【详解】()()sinsin3sin2BABAA−++=，sincoscossinsincoscossin3

2sincosBABABABAAA−++=，即sincos3sincosBAAA=，当cos0A=时，即π2A=，因为7c=，π3C=，所以221sin3caC==，当cos0A时，sin3sinBA=，由正弦定理可得3ba=，由

余弦定理可得：()22222371cos2232aaabcCabaa+−+−===，解得1a=，所以1a=或2213a=.故选：AD.11.在等腰直角三角形ABC中，90BAC=，,23BDABDC==，则下列命题正确的是（）A.1233ADABAC

=+B.12ABAD=C.22AD=D.()()20ADDCADDC+−=【答案】AD【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由21233ABADABABAC=+，可判定B不正确；2222144999ADADABACABA

C=+=+，可判定C不正确；由ADDCAC+=，2ADDCAB−=，结合数量积的运算公式，可判定D正确.【详解】如图所示，等腰直角ABC中，90BAC=，,23BDABDC==，对于A中，由2212()3333ADABBDABBCABACABAB

AC=+=+=+−=+，所以A正确；对于B中，由21212()33333ABADABABACABABAC=+=+=，所以B不正确；对于C中，由2222221441499393995ADADABACABAC=+===++，所以5AD=，所以C不正确；

对于D中，由,2ADDCACADDCADDBAB+=−=+=，所以()()2cos900ADDCADDCACABACAB+−===，所以D正确.故选：AD.12.四棱锥的四个侧面都是腰长为7，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥

的高为（）A.2B.62C.3D.5【答案】ACD【解析】【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.（1）如图，四条侧棱长均为7，则四棱锥为正四棱锥，连接ACBD、交于点E，连接OE，则OE⊥平

面ABCD，OE是四棱锥的高，则122CEAC==，122CEAC==，所以225OEOCCE=−=，四棱锥的高为5；（2）如图，有两条侧棱长为7，作OE⊥平面ABCD，记AEy=，OEx=，OE是四棱锥的高，于是，227xy+=，且2247xy−=−

.解得2x=，5y=.四棱锥的高为2；（3）如图，三条侧棱（OB、OC、OD）长为7，一条侧棱2OA=，7ABAC==，2BDDC==，设AD与BC交于点E.记BEx=.由等腰三角形三线合一可得：DEBCOEBC⊥⊥、,DE平面AOD，OE平面AOD，DEOEE=，则BC⊥平面

AOD，因为BC平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AOD，过O作OMAD⊥，因为平面ABCD平面AODAD=,所以OM⊥平面ABCD，OM是四棱锥的高，则有224DEx=−，227OEx=−，227AEx=−.因为coscosOEDOEA=−

，于是，22222222OEEDODOEEAOAOEEDOEEA+−+−=−.将前面的结果代入上式，解得3x=或22.显然22x，故3x=.12DEAE==、，在ADO△中，3,2,7,ADAOAD===由余弦定理得22227cos207ADODAOODAADD+−=

=,221sin1cos7ODAODA=−=，sin3OMODODA==，四棱锥的高为3.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知()4,2a=，()6,by=

，且//ab，则y=___________.【答案】3【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为()4,2a=，()6,by=，且//ab，所以4260y−=，则3y=.故答案为：3.14.一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，

26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则xy+=___________.【答案】33【解析】【分析】利用中位数与百分位数的定义求得,xy，从而得解.【详解】因为50%84=，故中位数1716

2x+=，解得15x=；因为75%86=，故75%分位数是22202y+=，则18y=；所以33xy+=故答案为：33.15.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16k

m到达D地，则A，D两地距离为____________km.【答案】519【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出AD，从而求出AD即可.【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，是则(0,0),(9,0)AB，(96sin30,6cos30)C+−

，即(12,33)C−，(1216sin30,3316cos30)D+−+，即(20,53)D，所以(20,53)AD=，故22||20(53)519AD=+=.所以A，D两地距离为519km.故答案为：519.16.某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何

模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则sinAOB=___________.【答案】223##223【解析】【分析】根据题意可得两两连接,,,ABCD

后所得到的四面体为正四面体，且O是其外接球的球心，设出棱长，在直角三角形中建立等式关系，求得OB，BE的长度，即可求得结果.【详解】根据题意可得OA，OB，OC，OD相等且两两所成的角相等，两两连接,,,AB

CD后所得到的四面体为正四面体，且O是其外接球的球心，延长AO交面BCD于E，连接BE，则E为BCD△的外心，设BCa=，则233323BEaa==，222236()33AEABBEaaa=−=−=，222OEOBBE=−,222(),AEOAOBBE−

=−22263()()33aOAOBa−=−，因为OAOB=，所以解得64OBa=，22sinsin3BEAOBBOEOB===.故答案为：223.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()2

1iza=+，243iz=−，其中Ra.（1）若12izz=，求a的值；（2）若12zz是纯虚数，求a的值.【答案】（1）2（2）2a=或12a=−.【解析】【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果；（2）利用纯虚数定义即可求出结果.【小

问1详解】∵()21iza=+，243iz=−，12izz=，∴()22i12i34iaaa+=−+=+，从而21324aa−==，解得2a=，所以a的值为2.【小问2详解】依题意得：()()()()

()2222122i143i464383ii43i2525aaaaaaazz+−+−−++−+===−，因为12zz是纯虚数，所以2246403830aaaa−−=+−，解得2a=或12a=−.18.函数()3fxab=−，其中()cos,sinaxx=−，()cos3si

n,sin3cosbxxxx=−+.（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若x是三角形的内角，当()0fx=时，求x的集合.【答案】（1）πT=（2）3π11π,412.【解析】【分析】（1）根据数

量积公式，结合辅助角公式求得()π2cos233fxx=+−，再根据周期公式求解即可；（2）由()0fx=，根据三角形内角范围，可得π11π236x+=或π13π236x+=，从而可得答案.【小问1详解】函数()2223sincoscossin3fxxxxx=−+−−13

cos23sin232cos2sin2322xxxx=−−=−−，π2cos233x=+−，所以()fx的最小正周期为：2ππ2T==.【小问2详解】()π30cos232fxx=+=，因为x是三角形的内角，所以()ππ7π0,

π2,333xx+，所以π11π236x+=或π13π236x+=，即3π4x=或11π12x=，所以x的集合为3π11π,412.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABC

D，在直角梯形ABCD中，ABAD⊥，//BCAD，22ADABBC==，E是PD中点.求证：（1）//CE平面PAB；（2）平面PCD⊥平面ACE.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取线段AP的中点F，可证得四边形B

CEF为平行四边形，从而得到//CEBF，由线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得PCAC⊥，ACCD⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论.【小问1详解】取线段AP的中点F，连接,EFBF，,EF分别为,PDAP中点，//EFAD，12EFAD=

，又//BCAD，12BCAD=，//EFBC，EFBC=，四边形BCEF为平行四边形，//CEBF，BF平面PAB，CE平面PAB，//CE平面PAB.【小问2详解】PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，PCAC⊥；设2AD=，则1ABBC==，//BCADQ，ABAD⊥，

ABBC⊥，2AC=，()222CDADBCAB=−+=，222ACCDAD+=，ACCD⊥；PCCDC=，,PCCD平面PCD，AC⊥平面PCD，AC平面ACE，平面PCD⊥平面ACE.20.400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样

的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30,30,4][][[0,,800]9，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）在频率分布直方图中，求分数小于70的频率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间

)40,50内人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得分数不小于70的

频率为0.6，进而求得样本中分数小于70的频率；（2）根据题意，求得样本中分数不小于50的频率为0.9，得到分数在区间)40,50内的人数为5，进而求得总体中分数在区间)40,50内的人数；（3）根据题意分别

求得样本中的男生和女生人数，得到男生和女生人数的比例，结合分层抽样的概念，即可求解.小问1详解】解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+=所以样本中分数小于70的频率为10.60.4−=.【小问2详解】解：

根据题意，样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++=，分数在区间)40,50内的人数为1001000.955−−=.所以总体中分数在区间)40,50内的人数估计为540020100=.【小问3详解】解：由题意可知，样本中

分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302=.所以样本中的男生人数为30260=，女生人数为1006040−=，男生和女生人数的

比例为60:403:2=.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.21.如图，在平面四边形ABCD中，ABAC⊥，2ACAB=，3AD=，26BD=.【（1）若6cos9ADB=，求AC长；（2）求CD的最小值.【答案】

（1）52AC=（2）3【解析】【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）在ABD△中由正弦定理得sin26sinABBADADB=，由余弦定理可得233126cosABADB=−，在DAC△中由余弦定理2CD=()7572sinADB−+，根据tan2=可

得当()sin1ADB+=时可得答案.小问1详解】ABD△中，由余弦定理得2222cos25ABADBDADBDADB=+−=，得5AB=，所以252ACAB==；【小问2详解】在ABD△中，由正弦定理：sinsinABBDADBBAD=，则sin26sinABBADADB

=，又2222cos33126cosABADBDADBDADBADB=+−=−，且π2BADDAC=+，在DAC△中，由余弦定理：22222cos9262sinCDADACADACDACABABBAD=+−=+−()()75243

2cossin7572sinADBADBADB=−+=−+，【且tan2=，所以当()sin1ADB+=时，即π2ADB=−最小值3CD=.22.如图，在斜三棱柱111ABCABC-中，11BAA

C⊥，等腰RtABC△的斜边22AB=，1A在底面ABC上的投影恰为AC的中点.（1）求二面角1BACC−−的正弦值；（2）求1AC的长；（3）求1CC到平面11ABBA的距离.【答案】（1）1（2）123AC=（3）2217.【解析】【分析】（1）设AC中点为D，则1AD⊥

平面ABC，然后由面面垂直的判定可得平面ABC⊥平面11ACCA，从而可得二面角1BACC−−为直二面角；（2）由面面垂直的性质可得BC⊥平面11ACCA，则1BCAC⊥，再结合11ACAB⊥可得1AC⊥平面1ABC，则11ACAC

⊥，从而可得11ACCA为菱形，进而可求得结果；（3）利用等体积法求解即可.【小问1详解】设AC中点为D，因为1A在底面ABC上的投影恰为AC的中点.所以1AD⊥平面ABC，因为1AD平面11ACCA，所以平面ABC⊥平面11ACCA，所以二面角1BACC−−

的正弦值为1.【小问2详解】因为平面ABC⊥平面11ACCA，且平面ABC平面11ACCAAC=又因为BCAC⊥，所以BC⊥平面11ACCA，因为1AC平面11ACCA，所以1BCAC⊥.因为11ACAB⊥，1ABBCB=I，1,ABBC平面1ABC，所以1AC

⊥平面1ABC，因为1AC平面1ABC，所以11ACAC⊥，所以11ACCA为菱形，所以1AAAC=，因为等腰RtABC△的斜边22AB=，所以2ACBC==，所以12AA=，所以112ADAC==，所以

在直角1AAD中，111cos2ADAADAA==，所以160AAC=，所以1AAC△为等边三角形，所以1322232AC==.【小问3详解】111111232233323CAAABCABBACVVSAD−−====△设1CC到平面11ABBA的距

离为h，连接BD，因为1AD⊥平面ABC，BD平面ABC，所以1ADBD⊥，所以22113522ABADBD=+=+=，因为122,2ABAA==，所以122111181122722AABAAABAAS==−−

=△，所以111172373333CAABAABhVShh−====△，所以2217h=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com