【文档说明】武昌区2023届高三年级5月质量检测 数学答案.pdf，共(6)页，960.902 KB，由小赞的店铺上传

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1/5武昌区2023届高三年级5月质量检测数学参考答案及评分细则选择题：题号123456789101112答案CCBCBDBBBDBDABDBCD填空题：13．0或114．��15．����16．��解答题：17.（10分）解：因为cos𝐵=���，所以si

n𝐵=����，又因为sin𝐴=��<sin𝐵=����，所以𝐴<𝐵<��，故cos𝐴=��所以sin𝐶=sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴sin𝐵=����.……………………………..（5分）（2）

由正弦定理可知：�����=�����，代入已知条件得����=�����，解得𝑏=20，所以𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆=��𝑎𝑏sin𝐶=��×13×20×����=126.……………………………..（10分）18.（12分

）解：（1）因为𝑎���=𝑆�+𝑛，所以𝑎�=𝑆���+𝑛−1(𝑛≥2)，所以𝑎���=2𝑎�+1(𝑛≥2)，整理得𝑎���+1=2(𝑎�+1)(𝑛≥2).又因为𝑎�=3，所以当𝑛≥2时，𝑎�+1=(𝑎�+1)×2���=2�(𝑛≥2)，所以𝑎�

=2�−1(𝑛≥2)，当𝑛=1时，𝑎�=2不满足.所以，𝑎�=�2(𝑛=1)2�−1(𝑛≥2).……………………………………………………………..（4分）（2）（i）设数列{𝑏�}的公差为𝑑（𝑑>0）.因为𝑎�+𝑏�,𝑎�+𝑏�,𝑎�+��𝑏�成等

比数列，且𝑎�=2,𝑎�=3,𝑎�=7，所以(𝑎�+𝑏�)�=(𝑎�+𝑏�)(𝑎�+��𝑏�)，即𝑑�+12𝑑−13=0.又因为𝑑>0，所以𝑑=1.所以数列{𝑏�}的通项公式为𝑏�=𝑛+1，𝑛∈𝐍∗.…………………………………………………………..

（8分）（ii）𝑇�<��.证明如下：2/5由（i）知，𝑏�=𝑛+1，𝑛∈𝐍∗，所以𝑇�=����+����+⋯+����=���+���+⋯+�(���)�.当𝑛=1时，𝑇�=��<��；当𝑛≥2时，𝑇�=���+���+⋯+�(���)�<��×�+��×�+⋯+��(

���)=��−�������+�����<��，综上：∀𝑛∈𝐍∗，𝑇�<��.…………………………………………………..（12分）19.（12分）（1）证明：在𝛥𝐴𝐵𝐶中，设𝐵𝐶=2𝐴𝐵=2𝑚，因为∠𝐴𝐵𝐶=60�，由余弦定理可知：cos∠𝐴𝐵

𝐶=���(��)������×�×��=��，解得𝐴𝐶=√3𝑚.所以𝐴𝐶�+𝐴𝐵�=𝐵𝐶�，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.又因为平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐵∩平面�

�𝐵𝐶𝐷=AB，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐶⊂平面ABC，所以𝐴𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵.……………………………………………..（4分）（2）连BD交AC于点M，连接PM，BQ，设PM交BQ于点H.在△PBD中，过P作直

线PT//直线BD交BQ的延长线于N，易得：PN:BM=PH:HM=1:1，所以点H为线段PM中点.在△PAC中，因为直线AC//平面𝛼，平面PAC∩平面𝛼=EF，所以直线EF//直线AC，且直线EF过点H，所以点E为线

段PA中点.以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2.则𝐴(0,0,0)，𝐵(2,0,0)，𝐷(−2,4,0)，𝑃�1,0,√3�.因为点E为线段PA中点，所以𝐸���,0,√���，由𝑃𝑄�����⃗=��𝑃𝐷�����⃗，得𝑄�

0,��,�√���.设平面𝐵𝐸𝑄（平面BEF）的法向量为𝑛���=(𝑥,𝑦,𝑧)，因为𝐵𝐸�⎯�=�−��,0,√���，𝐸𝐹�⎯�=��𝐴𝐶�⎯�=(0,2,0)，由�𝐵𝐸�⎯�⋅𝑛���=0，𝐸𝐹�⎯�⋅𝑛

���=0，得�−��𝑥+√��𝑧=0，2𝑦=0，令𝑥=1，则𝑛���=�1,0,√3�.设平面𝐸𝑄𝐷（平面PAD）的法向量为𝑛���=(𝑥,𝑦,𝑧)，因为𝐴𝑃�⎯�=�1,0,√3�，𝐴𝐷�⎯�=(−2,4,0)，由�𝐴𝑃�⎯�⋅�

����=0，𝐴𝐷�⎯�⋅𝑛���=0，得�𝑥+√3𝑧=0，−2𝑥+4𝑦=0.令𝑧=−2，则𝑛���=�2√3,√3,−2�.所以cos<𝑛���,𝑛���≥����⋅����|��|�⎯�|����|=0，所以二面角𝐵−𝐸𝑄−𝐷的余弦值为0.………………………….

.（12分）3/520.（12分）解：设多选题正确答案是“选两项”为事件𝐴�，正确答案是“选三项”为事件𝐴�，则𝛺=𝐴�∪𝐴�.考生得0分，2分，5分为事件𝐵�，𝐵�，𝐵�，𝑃(𝐴�)=𝑝�，𝑃(𝐴�)=1−𝑝�．（1）当𝑃(�

��)=��时，𝑃(𝐴�)=��，则正确答案是“选两项”时，考生选2项，全对得5分，有选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选2项，选出了2个正确选项得2分，有选错得0分.因为𝐵�=𝐴�𝐵�∪𝐴�𝐵�，所以𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐴�𝐵�∪𝐴�

𝐵�)=𝑃(𝐴�𝐵�)+𝑃(𝐴�𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=��×�1−�������+��×������=���+���=��.因为𝐵�=𝐴�𝐵�∪𝐴�𝐵�，所以𝑃(𝐵�)=𝑃

(𝐴�𝐵�∪𝐴�𝐵�)=𝑃(𝐴�𝐵�)+𝑃(𝐴�𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=��×0+��×������=��，𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐴�𝐵�∪�

��𝐵�)=𝑃(𝐴�𝐵�)+𝑃(𝐴�𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=��×����+��×0=���.所以，得分𝑋的分布列为：𝑋025P231

4112得分𝑋的数学期望𝐸(𝑋)=0×��+2×��+5×���=����.…………………………..（4分）(2)方案一：随机选择一个选项正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；正确答案是“选

三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分.因为𝐵�=𝐴�𝐵�∪𝐴�𝐵�，所以𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�×��+(1−

𝑝�)×��=��+��𝑝�.因为𝐵�=𝐴�𝐵�∪𝐴�𝐵�，所以𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�×��+(1−𝑝�)×��=��−��𝑝�所以，随机选择一

个选项得分的数学期望00021131+4444pp��−��𝑝�4/5方案二：随机选择两个选项；𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�

×�1−𝐶��𝐶���+(1−𝑝�)×𝐶��𝐶��=��𝑝�+��(1−𝑝�)=��𝑝�+��，𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�×0+(1−𝑝�)×

������=��(1−𝑝�)=��−��𝑝�，𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�×����+(1−𝑝�)×0=��𝑝�．所以，随机选择两个选项得分的数学期望

0×���𝑝�+���+2×��(1−𝑝�)+5×��𝑝�=1−��𝑝�.方案三：随机选择三个选项.正确答案是“选两项”时，考生选3项，得0分；正确答案是“选三项”时，考生选3项，选对得5分,有选错得0分.𝑃(𝐵

�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)=𝑝�×1+(1−𝑝�)×������=𝑝�+��(1−𝑝�)=��+��𝑝�，𝑃(𝐵�)=𝑃(𝐵�|𝐴�)𝑃(𝐴�)+𝑃(𝐵�|𝐴�

)𝑃(𝐴�)=𝑝�×0+(1−𝑝�)×��=��−��𝑝�，所以，随机选择三个选项得分的数学期望001105431444pp��−��𝑝�.因为���−��𝑝��−�1−��

𝑝��=��−��𝑝�>0，���−��𝑝��−���−��𝑝��=��+��𝑝�>0．所以选择方案一．……………………………………………………………………………………………..（12分）21.（12分）解：（1）由已知得����+�

���=1，𝑎�−𝑏�=1，解得𝑎�=4，𝑏�=3.即椭圆𝐶的方程为���+���=1.………………………………………………..（4分）（2）由����+���=1，𝑦=��𝑥，得𝐴�√3,√���，𝐵�−√3,−√���.设𝐶(𝑥�,𝑦�)，𝐷(𝑥

�,𝑦�)，则𝑘��⋅𝑘��=�����������=���������������=−��，同理𝑘��⋅𝑘��=−��.设𝑀(𝑥�,𝑦�)，𝑁(𝑥�,𝑦�)，则由直线𝐴𝐶过点𝑀得：𝑦�−√��=𝑘���

𝑥�−√3�.①由直线𝐵𝐶过点𝑁得：𝑦�+√��=𝑘���𝑥�+√3�..②①×②得：�𝑦�−√����𝑦�+√���=−���𝑥�−√3��𝑥�+√3�.③同理，由直线𝐵𝐷过点𝑀得：𝑦�+√��=𝑘���𝑥�+√3�.④5

/5由直线𝐴𝐷过点𝑁得：𝑦�−√��=𝑘���𝑥�−√3�.⑤③×④得：�𝑦�+√����𝑦�−√���=−���𝑥�+√3��𝑥�−√3�.⑥③－⑥得：√3(𝑦�−𝑦�)=−�√��(𝑥�−𝑥�)，进而𝑘��=����������=−��.所以

直线𝑀𝑁的斜率为定值−��.………………………………………………..（12分）22.（12分）解：（1）因为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+(𝑎−1)ln𝑥+��，所以𝑓�(𝑥)=(���)(����)��，①当𝑎≤0时，𝑓�(𝑥)<0，所

以函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减；②当𝑎>0时，由𝑓�(𝑥)>0得𝑥>��，所以函数𝑓(𝑥)在���,+∞�上单调递增，在�0,���上单调递减.综上：当𝑎≤0时，函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减；当𝑎>0时，函数𝑓(𝑥)在�

��,+∞�上单调递增，在�0,���上单调递减.………………………………………………………………………………..（4分）（2）（i）方程𝑓(𝑥)=𝑥e�−ln𝑥+��可化为𝑥𝑒�=𝑎𝑥+𝑎ln𝑥，即e�����

=𝑎(𝑥+ln𝑥).令𝑡(𝑥)=𝑥+ln𝑥.因为函数𝑡(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，结合题意，关于𝑡的方程e�=𝑎𝑡（*）有两个不等的实根.又因为𝑡=0不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为���=�

�.令𝑔(𝑡)=���，则𝑔�(𝑡)=��(���)��.易得函数𝑔(𝑡)在(−∞,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.结合函数的图象可知，实数𝑎的取值范围是(e,+∞).…………………………………………………………..（8分）（ii）要证�����+���

��>������，只需证e��+e��>2𝑎.因为e�=𝑎𝑡，所以只需证𝑡�+𝑡�>2.由（i）知，不妨设0<𝑡�<1<𝑡�.因为e�=𝑎𝑡，所以𝑡=ln𝑎+ln𝑡，即�𝑡�=ln𝑎+l

n𝑡�𝑡�=ln𝑎+ln𝑡�，𝑡�−𝑡�=ln����.所以只需证����������>�������，即只需证������������>�������.令𝑡=����(𝑡>1)，只需证ln𝑡>�(���)���.令ℎ(𝑡)=ln𝑡

−�(���)���，𝑡>1，则ℎ�(𝑡)=��−�(���)�=(���)��(���)�>0，所以ℎ(𝑡)在(1,+∞)上单调递增，故ℎ(𝑡)>ℎ(1)=0，即ℎ(𝑡)>0在(1,+∞)上恒成立.所以原不等式得证.…………………………………………

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