【文档说明】安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.565 MB，由小赞的店铺上传

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2025届安徽省高三摸底大联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．3．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本大

题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数()4(1i)1i+−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的几何意义可得.【详解】()()()242(

1i)1i(1i)1i41i44i+−=+−=−−=−+，所以复数()4(1i)1i+−在复平面内对应的点()4,4−在第二象限．故选：B．2.已知集合()*225140,log22AxxxBxx=−−=−N∣．则图中阴影部分表示的集合为（）A.3,4,5B.1,2

C.3,4,5,6D.1,2,6【答案】D【解析】【分析】先求出集合,AB，再求AB，进而得图中阴影部分表示的集合.【详解】由题*2*5140271,2,3,4,5,6Axxxxx=

−−=−=NN∣∣，因为函数2logyx=单调递增，所以()22log22{022}{26}Bxxxxxx=−=−=，所以3,4,5AB=，所以图中阴影部分表示的集合为1,2,6.故选：D.3.有一组数据，按从小到大排列

为：1,2,6,8,9,m，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义求出40%分位数，再根据平均数定义得到方程，求出10m=【详解】因为该组数据共6个，且640%2.4=，所以这组数据

的40%分位数为从小到大第3个数，即6，则1268966m+++++=，解得10m=．故选：B．4.已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为205π3的球面上，该圆柱的侧面积为（）A.8πB.6πC.5πD.4π【答案】A【解析】【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半

径可得圆柱的高，然后可解.【详解】球的体积为3420π5π33R=，可得其半径5R=，圆柱的底面直径为2，半径为1r=，在轴截面中，可知圆柱的高为2224hRr=−=，所以圆柱的侧面积为2π8πrh=.故

选：A．5.已知π0,,sin35sincos22aa=，则tan值为（）A.3B.32C.22D.1【答案】C【解析】【分析】()sin25sincos2+=，利用三角恒等变换得到22

tan4tantan21tan==−，求出答案.【详解】因为sin35sincos2=，所以()sin25sincos2+=，sincos2+cossin25sincos2=，即cossin24sincos2=，所以22tan4tantan21tan

==−，解得2tan2=（负根舍去）.故选：C．6.已知双曲线222:1(0)xCyaa−=，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为,AB，若34MAMB=，则双曲线C的离心率为（）A.62

B.233C.263D.3【答案】B【解析】【分析】设点()00,Mxy，利用点到直线的距离公式，结合点M在C上即可求解.【详解】设点()00,Mxy，则220021xya−=，即222200xaya−=，又两条渐近线方程为1yxa=，即0xay=，故有22220000002222341

1xayxayxayaMAMBccaa−+−====++，所以233cea==．故选：B．7.已知函数()fx的定义域为(),exyfx=+R是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()ln3f的值为（）A.73B.3C.103D

.113【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性解方程组求解可得()fx，然后可得()ln3f.【详解】因为函数()exyfx=+为偶函数，则()()eexxfxfx−−+=+，即()()eexxfxfx−−−=−①，又因为函数()3exyfx=−为奇函数

，则()()3e3exxfxfx−−−=−+，即()()3e3exxfxfx−+−=+②，联立①②可得()e2exxfx−=+，所以()ln3ln311ln3e2e3f−=+=．故选：D．8.数列na的前n项和为nS，满足111,3,2nnnaada

+−==，则10S可能的不同取值的个数为（）A.45B.46C.90D.91【答案】B【解析】【分析】利用累加法表示出na，先计算()11,2,,1idin==−时的nS，然后依次将id调整为3可求得nS的最大值，然后可得解.【详解】由累加法可得121

2nnaddd−=++++，其中1,3id，故131nnan+−，且{𝑎𝑛}奇偶交错出现.（1）若na为奇数，由1,3id可得对na可取遍1,31nn+−中的每一个奇数；（2）若na为偶数，由1,3id可得对na可取遍1,31nn+−

中的每一个偶数，又()()121212nnSnndndd−=+−+−++，当()11,2,,1idin==−时，()32nnnS+=；考虑()11,2,,1idin==−时，id调整为3，则对应的nS可增加()2ni

−，依次对id至少一个调整为3后()()()332222232122nnnnnSn++++++++−，即()()331222nnnnnS+++，从上述的调整过程可得nS取遍了()()331,2

2nnnn++中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于()32nn+的奇偶性），当10n=时，nS取遍了65,155中的奇数，合计46个.故选：B．【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据()11,2,,1idin==−求nS的最小值，

然后依次将id调整为3求nS的最大值，然后分析即可得解.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知随机变量X满足：()()()34,,01,2XBppEXDX=，则（）.

A.23p=B.()43EX=C.()11213EX+=D.()32219DX+=【答案】BCD【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出p，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可.【详解】对A，因为()()()34,,2XBpEXDX=，所以()34142ppp−=，解得1

3p=，故A错误；对B，由上知()14433EX==，故B正确；对C，()()1121213EXEX+=+=，故C正确；对D，()()1132214441339DXDX+==−=，故D正确．故选：BCD．10.设函数()()2()4fxxax

=−−，定义域为R，若关于x的不等式()0fx的解集为{4xx或1}x=，下列说法正确的是（）A.()fx的极大值为0B.点()2,2−是曲线()yfx=的对称中心C.直线94yx=−与函数()fx的图象相切D.若函数()fx在区间(),4m上存在最小值，则m的取值范

围为()0,3【答案】ABC【解析】【分析】根据解集确定a，然后求导，利用导数求极值可判断A；计算()()22fxfx++−即可判断B；设出切点坐标，根据导数几何意义求解可判断C；求出极小值4−，然后解()4fx=−，结合图象即可判

断D.【详解】对于A，由()()2()40fxxax=−−，解得4x或xa=，所以()()21,(1)4afxxx==−−，则()()()()()2214(1)313fxxxxxx=−−+−=−−，当()1,3x时，𝑓′(𝑥

)<0；当(),1x−或()3,x+时，𝑓′(𝑥)>0；可知()fx在()(),1,3,−+上单调递增，在()1,3上单调递减，所以函数()fx的极大值为𝑓(1)=0，故A正确；对于B，因为()()()()2222(1)2(1)24fxfxxxxx++

−=+−+−−−=−，故B正确；对于C，设切点为00(,)xy，则()()()()2000000014931394yxxxxyx=−−=−−=−，解得000,4,xy==−所以直线94yx=−与函数()fx的图象相切于()0,4−，故C正确；对于D，由A选项知()fx

在()(),1,3,−+上单调递增，在()1,3上单调递减，又()34f=−，令()4fx=−，解得0x=或3，函数()fx在区间(),4m上存在最小值，由图可知，m的取值范围为)0,3，故D错误．故选：ABC．11.已知曲线()222:248Cxyxy+−=+，点()0

0,Pxy为曲线C上任意一点，则（）A.曲线C的图象由两个圆构成B.2200xy+的最大值为22C.0024yx++的取值范围为1,17−D.直线2yx=+与曲线C有且仅有3个交点【答案】AC【解析】【分析】根据题意，化简方程为()()222222220xyxyx

yxy++++−−=，结合圆的标准方程，可判定A正确；由2200xy+表示点()00,xy到原点距离的平方，可判定B错误；设过点()4,2A−−且与圆N相切的直线方程为()42ykx=+−，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线2

yx=+与圆MN、均相切，可判定D错误．【详解】对于A中，由()222248xyxy+−=+，得()()222224448xyxyxy+−++=+，即()22224()0xyxy+−+=，即()()222222220xyxyxyxy++++−−

=，所以22220xyxy+++=或22220xyxy+−−=，即22(1)(1)2xy+++=或22(1)(1)2xy−+−=，所以曲线C表示以()()1,1,1,1MN−−为圆心，2为半径的两个圆，

所以A正确；对于B中，由2200xy+表示点()00,xy到原点距离的平方，最大值为22(2)(22)8NO+==，所以B错误；对于C中，如图所示，设过点()4,2A−−且与圆N相切的直线方程为()42yk

x=+−，则点N到该直线的距离125321kdk−==+，解得1271,23kk==，即图中直线AC的斜率为1，可得直线AC的方程为2yx=+，点M到直线AC的距离22d=，则直线AC与圆M相切，设过点A且与圆M相切的直线方程为()42ykx+=−，则点

M到该直线的距离()223121kdk−==+，解得1211,7kk==−，又由0024yx++表示的是点()00,xy到点()4,2−−的斜率，故0024yx++的取值范围为1,17−，所以C正确；对于

D中，由C项可知直线2yx=+与圆MN、均相切，所以直线2yx=+与曲线C有且仅有2个交点，所以D错误．故选：AC．【点睛】方法点睛：有关与圆有关的最值问题的求解策略：1、借助几何性质与圆的有关最值问题，根据代数式的几何意义，结合

数形结合思想求解：①形如：zaxby=+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；②形如：ybzxa−=−形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；③形如：22()()zxayb=−+−的最值问题，可转化

为动点到定点的距离平方的最值问题；2、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；3、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③

单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.已知向量()32,3,,2abm==，且()2//aba+，则向量b在向量a上的投影向量坐标是___

____．【答案】31,2【解析】【分析】通过向量线性运算、向量平行求得参数m，根据投影向量求法求解即可.【详解】由题意知()222,6abm+=+，因为()2//aba+，可得()26322m=+，解得1m=，所以31,2b=

，所以b在a上的投影向量为()21332cos,2,31,132aabbabaaa===．故答案为：31,2.13.已知函数()2sinfxx=与()2cos(0)gxx=的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则=______．【答案】

2π4##2π4【解析】【分析】设出相邻三点的坐标，根据可知ABCV为等腰直角三角形，然后可得()123112yyxx−=−，求解即可得解.【详解】如图所示，设函数()2sin(0)fxx=与()2c

osgxx=的交点分别为()()()112233,,,,,AxyBxyCxy，由2sin2cosxx=得tan1x=，所以1x=23π5π9π,,444xx==，则132π2sin2,24yyy====−，由对称性和已

知可得ABCV为等腰直角三角形，所以点B到直线AC的距离为12AC，即()123112yyxx−=−，解得2π4=．故答案为：2π414.用n个不同的元素组成m个非空集合（1mn，每个元素只能使用一次），不同的组成方案

数记作mnS，且当2nm时，111mmmnnnSSmS−−−=+．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得,,,ABCD四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为_____

___．【答案】5251024【解析】【分析】利用结论111mmmnnnSSmS−−−=+列出mnS对应取值表格，然后由排列组合知识和古典概型概率公式求解即可.【详解】根据题干可列出mnS对应取值表格如下：mn123411211313141761511525106

13190657163301350即123477771,63,301,350,7SSSS====个人集齐全4种卡片等价于7个不同元素组成4个非空集合，再将4个非空集合对应,,,ABCD4种卡片，所以44747A52541024Sp==．故答案为：5251024【点睛】关键

点点睛：关键在于正确理解题干结论，利用结论求出47S，然后结合古典概型概率公式求解.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为cosπ,,,2sincos6AabcCB

=−．（1）求B；（2）若ABCV的面积为3,AC边上的高为1，求ABCV的周长．【答案】（1）π3B=（2）2623+．【解析】【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展开，然后化简整理即可得解；（2）利用三角形面积公式求出b，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得a

c+，可得周长.【小问1详解】由cosπ2sincos6ACB=−，得31cos2cossincos22ABCC=−，①由πABC++=，得()coscoscoscossinsinABCBCBC=−+=−+，②由①②联立，得sinsin

3cossinBCBC=，由()0,πC，得sin0C，所以tan3B=，又由𝐵∈(0,π)，得π3B=．【小问2详解】因为ABCV的面积为3，所以1132b=，得23b=．由1sin32acB=，即13322ac=，所以4ac=．由余弦定

理，得2222cosbacacB=+−，即2212acac=+−，所以2()31224acac+=+=，可得26ac+=，所以ABCV的周长为2623abc++=+．16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点为12,FF，离心

率为223，点P为椭圆C上任意一点，且12PFF的周长为642+．（1）求椭圆C的方程；（2）直线1:3lyx=+与直线2:3lyx=−分别交椭圆C于,AB和,CD两点，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）22

19xy+=（2）6215．【解析】【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可；（2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解.【小问1详解】由题意知22222642223acabcca+=+=

+=，解得3,1,22abc===，则椭圆C的方程为2219xy+=．【小问2详解】易知四边形ABCD为平行四边形，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立直线1l与椭圆223

,:1,9yxCxy=++=消去y并整理得259390xx++=，由韦达定理得1212939,55xxxx+=−=，()221212314145ABkxxxx=++−=，因为AB与CD平行，所以这两条直线的距离()3362d−−==，则平行四边形

ABCD的面积314621655SABd===．17.如图，在四棱锥PABCD−中，//,90ABCDABC=，平面PAD⊥平面,224ABCDABCDBC===．（1）证明：PABD⊥；（2）若2PAPD==，点M为棱AB的中点，求二面角APDM−−的

余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33．【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明ADBD⊥，然后由面面垂直性质定理可证BD⊥平面PAD，再由线面垂直的性质可得；（2）记O为AD的中点，以O为坐标原点，,,OMODOP所在直线分别为,,x

yz轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDM的法向量，然后由二面角的向量法可得.【小问1详解】证明：因为//,90ABCDABC=，所以90BCD=，所以2222,45BDBCCDCBD=+==，所以45ABD=，所以22222cos45816222482ADBD

ABBDAB=+−=+−=，所以222ABBDAD=+，所以90ADB=o，即ADBD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，因为PA

平面PAD，所以BDPA⊥.【小问2详解】解：取AD的中点O，连接,POMO，由（1）知22AD=，因为2PAPD==，易知,2POADPO⊥=，因为M为AB的中点，O为AD的中点，所以12,//2OMBDOMBD==，所以OM⊥

平面PAD，所以,,OPOMOD两两垂直，以O为坐标原点，,,OMODOP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0APDM−，则()()0

,2,2,2,0,2PDPM=−=−，平面APD的法向量为()1,0,0m=，设平面PDM的法向量为(),,nxyz=，则()()()(),,0,2,2220,,,2,0,2220,nPDxyzyznP

Mxyzxz=−=−==−=−=令1z=，则1xy==，故()1,1,1n=，故13cos,33mnmnmn===，设二面角APDM−−的大小为，由图形可知，为锐角，故二面角APDM−−的余弦值为33.18.已知函数()()l

n,0fxxxaa=−−．（1）若2x=为函数()fx的极值点，求a的值；（2）若不等式()94lnln2xfxaxaa−+−+−恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1a=（2）)3,+【解析】【分析】（1）先求导函数𝑓′(𝑥)，进而由(

)20f=求得1a=，再检验即可.（2）先构造函数设()()ln94hxxaax=−+−，定义域为9,4aa，接着求其导函数()()()94294axxahxxaax−−−=−−，再设()()99424agxaxxaax=−−−

，利用导数得()gx在9,4aa上单调递减，再结合()90,04agag，得到存在09,4axa使𝑔(𝑥0)=0，从而得()0,xax时ℎ′(𝑥)>0，函数ℎ(𝑥)单调递增，09,4axx时ℎ′(𝑥)

<0，函数ℎ(𝑥)单调递减，进而得max()hx，再结合题意得()()00ln2ln222aaxaxa−+−+，根据函数()ln2(0)mxxxx=+的单调性得032ax恒成立，于是由()gx在9,4aa上单调递减且𝑔(𝑥0)=0得302ag恒

成立，解302ag即可得解.【小问1详解】由题()11fxxa=−−，故()12102fa=−=−，解得1a=，此时()()ln1fxxx=−−，故定义域为(1,+∞)，()12111xfxx

x−=−=−−，所以当()1,2x时𝑓′(𝑥)<0，𝑥∈(2,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，所以2x=为函数()fx的极值点，故1a=.【小问2详解】设()()ln94hxxaax=−+−，定义域为9,4aa，()()()942129494axxahxxaaxxaax

−−−=−−=−−−，设()()99424agxaxxaax=−−−，所以()22094gxax−−=−，所以()gx在9,4aa上单调递减，又()9550,042aagaag==−，()gx在9

,4aa上连续，所以存09,4axa使()()0009420gxaxxa=−−−=，当()0,xax时，𝑔(𝑥)>0，即ℎ′(𝑥)>0，函数ℎ(𝑥)单调递增，当09,4axx时，𝑔(𝑥)<0，即ℎ′(�

�)<0，函数ℎ(𝑥)单调递减，所以函数ℎ(𝑥)的最大值为()()()()max00000()ln94ln2hxhxxaaxxaxa==−+−=−+−，因为()94lnln2xfxaxaa−+−+−恒成立，即()()00ln2ln222aaxaxa−+−+恒成立，设()ln2(0)mx

xxx=+，则()120mxx+=，所以()mx单调递增，所以02axa−，即032ax恒成立，因为()gx在9,4aa上单调递减，且𝑔(𝑥0)=0，所以只需302ag

恒成立，即30aa−，解得3a.故a的取值范围是)3,+.【点睛】思路点睛：对于函数恒成立求参问题，通常转换成最值问题，所以对于不等式()94lnln2xfxaxaa−+−+−恒成立可以先转化成求函数()()()ln9494hx

xaaxxfxax=−+−=−+−，9,4axa，的最值，利用导数工具求出max()hx即可进一步求解，接下来根据max()hx=()()00ln2ln222aaxaxa−+−+恒成立，结合函数()ln2(

0)mxxxx=+单调性得032ax恒成立，再由()gx在9,4aa上单调递减且𝑔(𝑥0)=0得302ag恒成立，解302ag即可得解.在19.已知数列na，对于任意的*nN，都有212nnnaaa+++，

则称数列na为“凹数列”．（1）判断数列2nna=是否为“凹数列”，请说明理由；（2）已知等差数列nb，首项为4，公差为d，且nbn为“凹数列”，求d的取值范围；（3）证明：数列nc为“凹数列”的充要条件是“对于任意的*,,kmnN，当kmn时，有mk

nmccccmknm−−−−”．【答案】（1）数列2n是“凹数列”，理由见解析（2）(),4−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出212nnnaaa+++，故满足“凹数列”的定义；（2）

利用等差数列通项公式得到()41nbnd=+−，由题意得11211nnnbbbnnn−++−+对任意*2,nnN恒成立，化简得到4d，得到答案；（3）先证明出必要性，放缩得到1nmmmccccnm+−−−，故1mknmmmccc

cccmknm+−−−−−，再证明充分性，取1,2mknk=+=+，则有12111kkkkcccc+++−−，即212kkkccc+++，所以nc为“凹数列”.【小问1详解】因为2nna=，则21112112

22,222nnnnnnnnnnaaaa+++++++−=−=−=−=，又122nn+，故211nnnnaaaa+++−−，即212nnnaaa+++，数列2n是“凹数列”．【小问2详解】因为等差数列{𝑏𝑛}公差为1,4db=，所以()()1141nbbndnd=

+−=+−，因为数列nbn是凹数列，所以11211nnnbbbnnn−++−+对任意*2,nnN恒成立，即()()42414211ndndndnnn+−+−++−+，的所以444211ddddddnnn−−−++++−+，即()1124011dnnn

−+−−+，因为()2211222201111nnnnnnnn+−=−=−+−−，解得4d．所以d的取值范围为(),4−．小问3详解】先证明必要性：因为nc为“凹数列”所以对任意*nN，都有212nnnccc+++，即211nnnncccc

+++−−，所以对任意的*,,kmnN，当kmn时，有()()()()()11211nmnnnnmmmmccccccccnmcc−−−++−=−+−++−−−，所以1nmmmccccnm+−−−，又()()()()()

()()112111mkmmmmkkmmmmccccccccmkccmkcc−−−+−+−=−+−++−−−−−，所以1mknmmmccccccmknm+−−−−−．必要性成立，再证明充分性：对于任意的*,

,kmnN，当kmn时，有mknmccccmknm−−−−，取1,2mknk=+=+，则有12111kkkkcccc+++−−，即212kkkccc+++，所以nc为“凹数列”.【点睛】方法点睛：数列新

定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.【的