【文档说明】福建百校联考2024届高三下学期正月开学考试数学试题（解析版）.docx，共(25)页，1.512 MB，由envi的店铺上传

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2023~2024学年福建百校联考高三正月开学考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘跕在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡

上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合Z14Axx=−，2log0Bxx=，则AB=（）A.1,0,1,2−B.1,2,3,4C.3,4D.2,3,4【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详

解】解14x−，可得414x−−，则35x−，故Z352,1,0,1,2,3,4Axx=−=−−，2log01Bxxxx==，可得2,3,4AB=，故选：D．2.复数()()1i12i13iz++=+在复平面内所对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数进行化简，再找到其在复平面对应的点，得到答案.【详解】由()()()213i13i13i86i43i13i13i13i13i1055z−−+−

−−==−=−=−=++++−，可得复数z在复平面内所对应的点为43,55，所在的象限为第一象限.故选：A．3.过点()1,0P的直线l与圆()()22:315Cxy−++=相切，则直线l的方程为（）A.1yx=−B.22yx=−C.33yx=−D.1yx

=−【答案】B【解析】【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.【详解】由点P在圆C上，又由直线PC的斜率为()011132−−=−−，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为22yx=−．故选：B．4.已知tan3=，tan22+=，则t

an=（）A.4−B.139C.143D.173【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式先求出()tan+，再利用和差角公式求()tantan=+−，可得解.【详解】由()22tan442tan1431tan2++===−+−−，有()()()43tant

an133tantan41tantan9133−−+−=+−===+++−．故选：B．5.如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，APAQ⊥，则P

Q=（）A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】【分析】设两圆锥的高OPx=，OQy=，由APAQ⊥可推出1xy=，由上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，推得2PAQA=，即得2243xy=+，求出,xy的值，即可求得

答案.【详解】设两圆锥的高OPx=，OQy=，则21APx=+，21AQy=+，由APAQ⊥，有222APAQPQ+=，可得()22211xyxy+++=+，可得1xy=，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π12π1PAQA=，可得2PAQA=，则有22121xy+=+，即2243xy=

+，代入1yx=整理为42340xx−−=，解得2x=（负值舍），可得12y=，15222OPxy=+=+=．故选：C．6.如图，在边长为2的菱形ABCD中，π3DAB=，点E，F分别在边CB，CD上

，且CECF=，若132AEAF=，则EF=（）A.12B.23C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算，进而根据数量积的运算律即可求解,EF为边CB，CD的中点，进而可求解.【详解】设()01BEBC=，可

得DFDC=，有AEABBCABAD=+=+，AFADDCADAB=+=+，故()()AEAFABADABAD=++()()2222214214282ABABADAD=

+++=+++=++，又由132AEAF=，有2132822++=，解得12=，92=−（舍），故,EF为边CB，CD的中点，所以CEF△为等边三角形，故1EF=．故选：C．7.已知函数()3233fxxx=−+在区间(),6aa+上存在最小值，则实数a的取值范围为（）A.

)1,2−B.5,12−C.32,2−D.)1,1−【答案】A【解析】【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数()3233fxxx=−+在区间(),6aa+上

存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意得()()23632fxxxxx==−−．当()0fx时，得0x或2x，当()0fx时，02x，可得函数的单调增区间为(),0−，()2,+．减区间为()0,2，即2x=时，函数取得极小值()21f=

−，当32331xx−+=−时，即()()()232131120xxxx++−=+−=，解得=1x−或2x=，故要使函数()3233fxxx=−+在区间(),6aa+上存在最小值，需有6212aa+−，解得12a−，即

实数a的取值范围为)1,2−故选：A．8.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别1F，2F，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P为直线2xb=上的任意一点，则12FPF的最大值为（）A.π2B.π4C.π3D.π

6【答案】D【解析】【分析】设直线2x=与x轴的交点为Q，设PQt=，有1tan3tPFQ=，2tanPFQt=，由两角差的正切公式可得()122123tantan13ttFPFPFQPFQt−=

−=+，再由基本不等式求最值.【详解】由题意有2a=，1b=，1c=，设直线2x=与x轴的交点为Q，设PQt=，有11tan3PQtPFQFQ==，22tanPQPFQtFQ==，可得()12212222233tantan3332313ttttFPFPFQPFQt

tttt−=−====+++，当且仅当3t=时取等号，可得12FPF的最大值为π6.故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长4.6%（同比一般情况下是指本年第N月与去年的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增

长5.1%.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长7.0%.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长7.2%．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：则下列说法正确的是（）A.20

23年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元B.2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元C.除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小D.2022年8月至20

23年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多【答案】BC【解析】【分析】计算平均数判断A，根据社会消费品零售总额的增长率及2023年的数据计算判断B，根据标准差的含义判断C，分别计算极差和中位数即可判断D.【详解】对于A，由2023年1~8月份，社会

消费品零售总额为302281亿元，可得社会消费品零售总额的月平均值约为30228137785.18亿元，故A错误；对于B，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长4.6%，可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为3793336264.814.6%+亿元．故B正确；

对于C，由图表可知去掉5.9−，18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C正确；对于D，极差为()18.4%5.9%24.3%−−=，中位数为3.1%3.5%3.3%2+=，可得3.3%826.4%=，24.3%26.4%，故D错误.故选：BC10.在前n项和

为nS的正项等比数列na中，148aa=，322aa=+，2log1nnnabS=+，则（）A.65448aa−=−B.7127S=C.21nnSa=−D.数列nb中的最大项为2b【答案】BC【解析】【分析】利用等比数列的性质和通项公

式，逐项判断选项A、B、C；对于选项D，由2log112nnnnanbS−==+，令()12nnfn−=，利用()()11121222nnnnnnfnfn++−−+−=−=研究数列的增减性即可得出.【详解】设等比数列na的公比为q，由148aa=，有238aa=，联立方程2332

8,2,aaaa==+解得232,4aa==或234,2aa=−=−（舍去），有322aqa==，可得2212222nnnnaaq−−−===．对于A选项，由56232a==，45216==a，有654326432aa−=−=−，故A选项错误；对于B选项

，771212712S−==−，故B选项正确；对于C选项，由122112nnnS−==−−，有21nnSa=−，故C选项正确；对于D选项，由()122loglog2112211nnnnnanS−−==+−+，令()12nnfn−=，有()()11121222nnnnnnfnfn++−−+−

=−=，可得()()()()1234ffff=有()()()max1234fnff===，可得数列nb中的最大项为2b或3b，故D选项错误，故选：BC．11.如图，在棱长为1的正方体1

111ABCDABCD−中，E是线段1DD上的动点（不包括端点），过A，1B，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍B.存在一点E，使得点1A和点C到平面1AEB的距离相等C.正方体被平面1

AEB所截得的截面的面积随着1DE的增大而增大D.当正方体被平面1AEB所截得的上部分的几何体的体积为13时，E是1DD的中点【答案】AC【解析】【分析】计算正方体外接球和内切球的半径，代入表面积公式即可判断A，假设存在，可得/

/AD平面1AEB，与条件矛盾判断B，先利用平面性质作出截面1ABFE，求出梯形面积，利用导数研究单调性判断C，利用割补法求得体积即可求得点E的位置判断D.【详解】对于A，正方体外接球的半径为32，内切球的半径为12，可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的2232312=

倍，故A正确；对于B，由点1A和点B到平面1AEB的距离相等，若点1A和点C到平面1AEB的距离相等，必有//BC平面1AEB，又由BCAD∥，可得//AD平面1AEB，与AD平面1AEBA=矛盾，故B错误；对于C，如图，在11CD

上取一点F，使得1EFCD∥，连接1BF，设()101DEaa=，由11EFCDAB∥∥，可得平面1ABFE为过A，1B，E三点的截面，在梯形1ABFE中，12AB=，2EFa=，()2221122AEaaa=+−=−+，()22211122BFaaa=+−=−+，梯形1ABF

E的高为222221322222aaaaa−−+−=−+，梯形1ABFE的面积为()()()()2222113112212312322222aaaaaaaaa+−+=+−+=+−+，令()()()()2212301faaaaa=+−+，有()()()()()()()

()222213212312241141024faaaaaaaaaaa=+−+++−=+−+=+−+.可得函数()fa单调递增，可得正方体被平面1AEB所截得的截面面积随着1DE的增大而增大，故C正确；对于D选项，1111111132

6EAABV−==，()()11121111111326EABFDVaaaa−=−−=+，被平面1AEB所截得的上部分的几何体的体积为()2111663aa++=，整理为210aa+−=，解得

512a−=，故D错误.故选：AC12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22:13xCy−=的右顶点为A，直线l与以O为圆心，OA为半径的圆相切，切点为P．则（）A.双曲线C的离心离为233B.当直线OP与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个

焦点C.当直线l与双曲线C的一条渐近线平行吋，若直线l与双曲线C的交点为Q，则5OQ=D.若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则DMEN=【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线离心率的求法判

断A；设直线l与渐近线33yx=−重合，点P位于第四象限，直线l与x轴的交点为T，通过计算得OTOF=判断B；设直线l的方程为33yxm=+，根据相切求出直线方程为直线l的方程为323yx=−，联立直线方程与双曲线方程求出点Q坐标，进而求出OQ，判断C选项；P的

坐标为(),st，可得直线l的方程为3sxty+=，分别联立直线与渐近线方程和双曲线方程，分别求得线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标，证明相同，判断D.【详解】对于A选项．由3a=，1b=，2c=，可得双曲线C的离心率为22333e==，故A选项正确；对于B选项，双曲线C的渐

近线方程为33yx=．由对称性，不妨设直线l与渐近线33yx=−重合，点P位于第四象限，记直线l与x轴的交点为T，由直线33yx=−的倾斜角为5π6，有π6POT=，又由3OP=，可得2OT=．又由2OF=，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确；对于C选项，当直线l与双曲

线C的一条渐近线平行时，由对称性，不妨设直线l的方程为33yxm=+（其中0m），有3113m=+，可得2m=−，直线l的方程为323yx=−，联立方程21,332,3xyyx−==−解方程组可得点Q的坐标为533,44−．可得759

2116162OQ=+=，故C选项错误；对于D选项，设点P的坐标为(),st，可得直线l的方程为3sxty+=．其中223st+=．联立方程3,33,yxsxty=+=解得333xst=+，联立方程3,33.yxsxty=−+=解

得333xst=−，可得线段DE的中点的横坐标为221333392333sststst+=−+−，联立方程221,33,xysxty−=+=，消去y后整理为()()22223183270stxsxt−−++=，可得线段MN的

中点的横坐标为2221189233ssstst=−−，可得线段DE和MN的中点相同，故有DMEN=，故D选项正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题第四个选项，证明DMEN=，如果直接证明DM长度等于EN长度计

算量较大，本题采用了线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标相等来证明，更最直观简便.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若()34PB=，()13PAB=，()23

PAB+=，则()PA=______．【答案】16【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.【详解】由()()()PABPABPB=，有()()()131344PABPABPB===，又由()()()

()PABPAPBPAB+=+−，有()312443PA+−=，可得()16PA=．故答案为：1614.已知()611xaxx++的展开式中3x的系数为240，则实数=a______．【答案】

2【解析】【分析】首先原式展开为()6661111xaxaxxaxxxx++=+++，再利用二项式定理转化为求2x项的系数，即可求解.【详解】()6661111xaxa

xxaxxxx++=+++，二项式61axx+的通项公式为()6662661CCrrrrrraxaxx−−−=，其中61axx+的展开式中无含3x项，含2x的项为242426C15xaax=，∴()611xaxx

++中含3x项为4315ax，则415240a=．解得2a=．故答案为：215.已知函数()()21,22,axaxafxxaxa−−=−−的值域为R，则实数a的取值范围为______．【答案】)1,0−【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并

集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当0a时，若xa，可得()1fx−；若xa，()2fx−，函数()fx的值域不可能为R；②当a<0时，2aa，所以函数()fx在(),a−，),+a上单调递增，若函数()fx的值域为R，只需21a−−，可得1

0a−．由上知，实数a的取值范围为)1,0−．的故答案为：)1,0−16.方程cos23cos2xx=−的最小的29个非负实数解之和为______．【答案】811π3【解析】【分析】利用余弦二

倍角公式求出cos1x=或1cos2x=，得到12πxk=，1kZ，或2π2π3xk=+，2kZ，或35π2π3xk=+，3Zk，将最小的29个非负实数解分为三组，结合等差数列求和公式求出答案.【详解】方程cos23cos2xx=−可化为22cos3cos10xx−+=，因式分解为(

)1cos1cos02xx−−=，解得cos1x=或1cos2x=，当cos1x=时，12πxk=，1kZ，当1cos2x=时，2π2π3xk=+，2kZ，或35π2π3xk=+，3Zk，通过列举，可得方程的最小的29个非

负实数解中，有10个是以0为首项，2π为公差的等差数列．其和为1091002π90π2+=；有10个是以π3为首项，2π为公差的等差数列，其和为π109280π102π323+=；有9个是以5π3为首项，2π为公差

的等差数列，其和为5π8992π87π32+=．可得方程的最小的29个非负实数解之和为280π811π90π87π33++=．故答案为：811π3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证

明过程及演算步骤．17.已知正项数列na中，11a=，121nnnaaa+=++．（1）求数列na的通项公式；（2）记数列121nnnnabaa++=的前n项和nS，求满足99100nS的正整数n的集合．【答案】（1）2nan=（

2）*18nnN|【解析】【分析】（1）由题意，可得到数列na是公差为1的等差数列，进而得到数列na的通项公式；（2）由（1）可得数列nb的通项公式，利用裂项相消法即可求出nS，进而解不等式.【小问1详解】

由121nnnaaa+=++，有()211nnaa+=+，即()2211nnaa+=+，因为数列na是正项数列，所以11nnaa+=+，即11nnaa+−=，可得数列na是首项为1，公差为1的等差数列，所以11naann=+−=，故数列na的通项公式为2nan=；【小问2详解】

由（1）可得()()()()2222222212111111nnnnbnnnnnn+−+===−+++．所以()()2222221111111122311nSnnn=−+−++−=−

++，故不等式99100nS可化为()219911001n−+，解得09n，所以满足99100nS的正整数n的集合为*18nnN|.18.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()5cos

cos2sin3sincAABbC−=．（1）求A；（2）过点A作AB的垂线与BC的延长线交于点D，3BCCD=，ABD△的面积为23，求ABC的周长．【答案】18.π3A=19.333+【解析】【分析

】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出cosA得解；（2）根据题意得3ABCACDSS=△△，结合ABD△的面积为23，可求得,ABAD，又由34ABCABDSS=△△，求得AC，在ABC中，由余弦定理求得BC,得解.【小问1详解】因为()5co

scos2sin3sincAABbC−=，由正弦定理得()5coscos23bcAAbc−=．两边除以bc，得5coscos23AA−=，由二倍角公式，有()25cos2cos13AA−−=，整理为22cos5cos20AA−+=，上式因式分解为()()2cos1cos20AA−−=

，解得1cos2A=或cos2A=（舍去），又由0πA，可得π3A=；【小问2详解】由ABAD⊥．有π6CAD=，又由3BCCD=，可得3ABCACDSS=△△，有1π1πsin3sin2326ABACADAC=

，可得3ABAD=，又由ABD△的面积为23及π2BAD=，有1232ABAD=，代入3ABAD=，可得2AD=，23AB=，又由34ABCABDSS=△△，有1π3sin23234ABAC=，代入23AB=，可得3AC=，在ABC中，由余弦定理，有221232333BCABACAB

AC=+−=+−=，有ABC的周长为2333333++=+．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，ABBC⊥，ABAD⊥，2ADBC=，2DEPE=．（1）证明：//BP平面ACE；（2）已知2AD=，2AP=，10PD=，平面PAD⊥底面ABCD，若平面PAC与

平面EAC的夹角的余弦值为155，求AB．【答案】（1）证明见解析（2）2AB=【解析】【分析】（1）连接BD与AC相交于点O，连接OE，即可证明//OEBP，从而证明//BP平面ACE（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC与平面EAC的法向量，利用空间向量的数量积公式即可求出AB的长【

小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点O，连接OE．∵//BCAD，2ADBC=，∴2ODOB=，又∵2DEPE=．∴//OEBP，∵//OEBP，OE平面ACE，BP平面ACE．∴//BP平面ACE；【小问2详解】在PAD中，()()22222222102c

os22222APADDPPADAPAD+−+−===−，可得3π4PAD=，由ABAD⊥，平面PAD⊥底面ABCD，过点A作底面ABCD的垂线l，垂线在平面PAD内，以A为坐标原点，AB，AD，直线l分别为x，y，z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，有()0,0,0A，()0,2,0D．又由2AP=，3π4PAD=，可得点P的坐标为()0,1,1−，又由()1110,3,10,1,333PEPD==−=−，有()120,1

,10,1,0,0,33AEAPPE=+=−+−=，设()0ABaa=，可得点B的坐标为(),0,0a，点C的坐标为(),1,0a，设平面PAC的法向量为(),,mxyz=．由(),1,0ACa=，()0,1,1AP=−uuu

r，有00ACmaxyAPmyz=+==−+=，取=1x−，则ya=，za=，可得平面PAC的一个法向量为()1,,maa=−，设平面EAC的法向量为(),,npqr=，由(),1,0ACa=，20,0,3AE=，有0203ACnapqAEnr=+=

==，取1p=，则qa=−，0r=，可得平面ACE的一个法向量为()1,,0na=−．由21mna=−−，221ma=+，21na=+，有()()2221cos121amnaa+=++，又由平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为

155，有()()2221155121aaa+=++，化简为225563aa+=+，解得2a=或2a=−（舍）．由上知2AB=．20.驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同

准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科

目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为1516，科目二：平均通过的概率为45，科目三平均通过的概率为45．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾

驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然

事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）参考数据：40.990.9975，lg20.3010【答案】（1）分布列见解析，()125EX=，()2425DX=（2）6【解析】【分析】（1）根据题意可知34,5X

B，分步计算即可；（2）增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1215k+−，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k+−，利用用对数运算求

解不等式.【小问1详解】1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为1544316555=，根据题意可知34,5XB，X的取值分别为0，1，2，3，4，()4043160C15625PX==−=，()31433961C155625PX==−=

，()2224332162C155625PX==−=，()334332163C155625PX==−=，()404433814C155625PX==−=，故X的分布列为：X01234P16625966

2521662521662581625()312455EX==，()3324415525DX=−=；【小问2详解】增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证概率为1322111555kk+−−

=−，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k+−，有1210.99755k+−，有120.00255k+，有0.4log0.00251k−，又由0.4lg0.0025lg2542lg4422l

g2220.3010log0.00256.54lg0.4lg41lg4112lg2120.3010−−−++====−−−−．可得5.54k，故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试

并领取驾驶证．21.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为24yx=−+时，2MF=，5NF=．（1）求抛物线C标准方程；（2）证明：直线PF是MFN的外角平分线．【答案】

（1）24yx=（2）证明见解析的的【解析】【分析】（1）联立方程组，利用韦达定理并结合抛物线定义得124xx=，有25422pp−−=，可解；（2）利用M，N两点的坐标表示出直线l的方程，求出点P，通过计算出点P到直线MF的距离等于点P到直线NF的距离

得证.【小问1详解】设M，N的坐标分别为()11,xy，()22,xy，由抛物线的定义有122pMFx=+=，252pNFx=+=，可得122px=−，252px=−，联立方程22,24,ypxyx==−+消去y后整理为()22880x

px−++=，有124xx=，有25422pp−−=，整理为214240pp−+=，解得2p=或12p=（舍去），故抛物线C的标准方程为24yx=；【小问2详解】直线l的斜率为21212221212

1444yyyyyyxxyy−−==−+−，直线l的方程为()11214yyxxyy−=−+，代入2114yx=后整理为()121240xyyyyy−++=，令=1x−，得12124yyyyy−=−．可得点P的坐标为121241,y

yyy−−+，焦点F的坐标为()1,0，直线MF的方程为()()1111xyyx−=−，整理为()11110yxxyy−−−=，点P到直线MF的距离为()()()()()2112112112111212221111414241114yyyyyyx

yyyyyydxyxx−−+−−+−−−+==−+−+()()()()()()()()()22223112111211212122212121121112444444416444441yyyyyyyyyyyyyyyyyyxyyyxyy+++++++++==

==+++++++，同理点P到直线NF的距离为122124yydyy+=+，由12dd=及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线PF是MFN的外角平分线．【点睛】思路点睛：由点P到直线MF的距离等于点P到直线NF的距离，及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线PF是MFN

的外角平分线．22已知函数()()211lnln122fxxxaxx=−+−，其中0a．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若0a，证明：函数()fx有唯一的零点；（3）若()0fx

，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）321e,4−−【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0a，1a=−，10a−与1a−四种情况，解不等式，求出函数单调性；.（2）在（1）的基础上得到函数单调性，结

合零点存在性定理得到结论；（3）由（2）知，0a不合要求，故a<0，由()10f，可得14a−，构造()()11lnln122gxxxax=−+−，求导，结合隐零点得到函数单调性，且1m，2ln4ln40mmmama−+−，

2ln40mmma++=，两式相加得到()ln0mam+，am−，放缩得到不等式，求出321em，进而得到321e4a−−.【小问1详解】函数()fx的定义域为()0,+，()()()112lnln11lnlnln22fxxxxaxxxaxxax=−++−+=+=+

，①当0a时，解不等式()0fx¢>．有1x，令()0fx，得01x，故函数()fx的减区间为()0,1，增区间为()1,+；②当1a=−时．()()1lnfxxx=−，若1x，10x

−，ln0x，可得()0fx¢>；若1x，10x−，ln0x，可得()0fx¢>；若1x=，可得()0fx=．故有()0fx，函数()fx单调递增，增区间为()0,+，没有减区间；③当10a−时，解不等式()0

fx¢>，有1x或0xa−，令()0fx，解得1ax−，故函数()fx增区间为()0,a−，()1,+，减区间为(),1a−；④当1a−时，解不等式()0fx¢>，有xa−或01x，令()0fx得1xa−，故函数()fx的增区间为()0,1，(),a−+，减区间为

()1,a−；综上，当0a时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；当1a=−时，()fx在()0,+上单调递增；当10a−时，()fx在()0,a−，()1,+上单调递

增，在(),1a−上单调递减；当1a−时，()fx在()0,1，(),a−+上单调递增，在()1,a−上单调递减.【小问2详解】的若0a，函数()fx的减区间为()0,1，增区间为()1,+，且()1104fa=−−，当01x时，由ln0x，有()()11lnln102

2fxxxxax=−+−恒成立，又()21ee04f=，由零点存在性定理()1,+上存在唯一零点，由上知，函数()fx有唯一的零点；【小问3详解】由（2）知．若()0fx，必有0a．又由()1

104fa=−−，可得14a−．又由0x，不等式()0fx可化为()11lnln1022xxax−+−，设()()11lnln122gxxxax=−+−，有()11112ln4lnln22244aaxx

xagxxxxxx++=++=++=，当01x且04xa−时，ln0x，40xa+，可得()0gx，当1x且4xa−时，ln0x，40xa+，可得()0gx，当0a时，函数11ln2

4ayxx=++单调递增，故存在正数m使得2ln40mmma++=．若01m，有ln0m，41a−，有2ln410mmmam++−，与2ln40mmma++=矛盾，可得1m，当x>m时，(

)0gx；当xm时，()0gx，可得函数()gx的减区间为()0,m，增区间为(),m+，若()0gx，必有()()11lnln1022gmmmam=−+−，有2ln4ln40mmmama−+−，又由2ln40mmma++=，有()

2ln4ln42ln40mmmamammma−+−+++，有lnln0mmam+，有()ln0mam+．又由1m，有ma−，可得am−，有2ln402ln42ln3mmmammmmmmm++=+

−=−，可得321em，由()12ln4ammm=−+，及2212ln4emmm+，可得321e4a−−，若()0fx．则实数a的取值范围为321e,4−−．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法

,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.