【文档说明】北京市西城区2020—2021学年度高三上学期期末考试数学试题.doc，共(5)页，1.235 MB，由小赞的店铺上传

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北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三数学2021.1本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题

4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{|13}Axx=−，{|04}Bxx=≤，则AB=（A）(0,3)（B）(1,4)−（C）(0,4]（D）(1,4]

−（2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(1,1)−，则zz=（A）2（B）2i−（C）2（D）2i（3）已知()fx为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A）(2)2f=（B）(2)2f=−（C）(2)2f

−（D）(2)2f−（4）已知(4,8)A，(2,4)B，(3,)Cy三点共线，则y的值为（A）4（B）5（C）6（D）7（5）已知双曲线22221xyab−=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（A）3yx=（B）2yx=（C）33

yx=（D）12yx=（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120xy−+=的距离的最小值为（A）0（B）1（C）2（D）3（7）已知函数()sin2,[,]fxxxab=，则“2ba−≥”是“()fx的值域为[1,1]−”的（A）充分而不必

要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log(1)SCWN=+，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位

为Hz；SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000HzW=时，最大数据传输速率记为1C；当9999SN=，3000HzW=时，最大数据传输速率记为2C，则21CC为（A）1（B）52（C）154（D）3（9）设函数()fx和

()gx的定义域为D，若存在非零实数cD，使得()()0fcgc+=，则称函数()fx和()gx在D上具有性质P.现有三组函数：①()fxx=，2()gxx=②()2xfx−=，()exgx=−③2()fxx=−，()2xgx=其中具有性质P的是

（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③（10）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为111,BDBC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN⊥，则下列说法正确的是（A）点P可以是棱1BB的中点（B）线段MP的最大值为32（C）点P的

轨迹是正方形（D）点P轨迹的长度为2+5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）5(2)x−的展开式中x的系数是_______.（12）数列{}na是公差为2−的等差数列，记{}na的前n项和为nS，且134,,aaa成

等比数列，则1a=_______；nS=_______.（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.（14）已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过点(1,4)M−作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足||||AFA

M=，则抛物线C的方程为_______；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为______.（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供应量901009

010090100销售量809085809085记()Vt为6月t日冰激凌的供应量，()Wt为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,,30t=.用销售指数()(1)(1)(,)100%()(1)(1)WtWtWt

nPtnVtVtVtn+++++−=+++++−,(1,)nnN≥来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况.当1n=时，(,1)Pt表示6月t日的日销售指数.给出下列四个结论：①在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大；②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大

，说明该天冰激凌的销售量越大；③(1,3)(4,3)PP=；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意{1,2,3,4,5,6,7}t，都有(,6)(1,12)PtP=.其中所

有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，2ABAC==，14AA=，ABAC⊥，1BEAB⊥交1AA于点E，D为1CC的中点.（Ⅰ）求证：BE⊥平面1ABC；（Ⅱ）

求二面角1CABD−−的余弦值.（17）（本小题13分）已知ABC△的面积为42，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin()AB−的值．条件①:6a=,1cos

3C=−；条件②:AC=,7cos9B=−.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数

据如下：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量（亿立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1（Ⅰ）从2010

年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由表中数据判

断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数3()fxxx=−.（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数()()2sinfxtxxx=−，(0,)x，试判断

()tx的零点个数，并证明你的结论.（20）（本小题15分）已知椭圆22:142xyC+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率和长轴长；（Ⅱ）已知直线2ykx=+与椭圆C有两个不同的交点,AB，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得PAB△是以点P为直角顶点的等

腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.（21）（本小题15分）对于数列{}na，定义1*11,,1,.nnnnnaaaaa++=−≥设*{}na的前n项和为*nS.（Ⅰ）设2

nnna=，写出*1a，*2a，*3a，*4a；（Ⅱ）证明：“对任意*nN，有*11nnSaa+=−”的充要条件是“对任意*nN，有1||1nnaa+−=”；（Ⅲ）已知首项为0，项数为1(2)mm+≥的

数列{}na满足：①对任意1nm≤≤且*nN，有1{1,0,1}nnaa+−−；②*mmSa=.求所有满足条件的数列{}na的个数.