【文档说明】2021人教B版数学必修第三册模块综合测评2 .docx，共(14)页，131.987 KB，由小赞的店铺上传

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模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213

B．－513C．513D．1213A[因为α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1213.]2．若|a|＝2cos75°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为()A．12B．32C．3D．23C[因为|a|＝2cos75°＝2sin15°，|b|＝

4cos15°，a与b的夹角为30°，所以a·b＝|a||b|cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝4sin30°cos30°＝2sin60°＝2×32＝3.]3．函数y＝lg(x2＋10

x＋6)的零点是x1＝tanα和x2＝tanβ，则tan(α＋β)＝()A．53B．52C．－52D．－53B[因为y＝lg(x2＋10x＋6)的零点是x1＝tanα和x2＝tanβ，所以x1，x2是方程x2＋10x＋5＝0的两根．由根与系数的关系得tanα

＋tanβ＝－10，tanα·tanβ＝5，由两角和的正切公式得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝52.]4．已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且sinθ＝35，

则sin(π＋θ)＋2sinπ2－θ2tan(π－θ)＝()A．2215B．23C．－2215D．－23C[点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ且sinθ＝35，可得θ∈π2，π，cosθ＝－45，tan

θ＝－34，则sin(π＋θ)＋2sinπ2－θ2tan(π－θ)＝－sinθ＋2cosθ－2tanθ＝－35＋2×－45－2×－34＝－2215.]5．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴――――→向左平移π8个单位

后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为()A．3π4B．π4C．0D．－π4B[y＝sin(2x＋φ)――――→向左平移π8个单位y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.当φ

＝3π4时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，为奇函数；当φ＝π4时，y＝sin2x＋π2＝cos2x，为偶函数；当φ＝0时，y＝sin2x＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，

y＝sin2x，为奇函数．故选B．]6．函数y＝xcosx＋sinx的图像大致为()D[当x＝π2时，y＝1＞0，排除C．当x＝－π2时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcosx＋sinx为奇函数，图像关于原点对称

，排除B．当x＝π时，y＝－π＜0，排除A．故选D．]7．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝()A．0B．－35C．35D．－45B[由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a,4b,5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c

|＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－35.]8．给出以下命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12

；③函数y＝sin2x－sinxsinx－1是奇函数；④函数y＝sinx－12的周期是π；⑤函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[0,2]．其中正确命题的个数为()A．3B．2C．1D．0D[对于①来说，取

α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin60°＝32，sin390°＝sin30°＝12，故sinα＜sinβ，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T＝2π|a|＝4π，得a＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x|sinx－1≠0}＝x

x≠π2＋2kπ，k∈Z，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f(x)＝sinx－12.若T＝π，则有f－π2＝fπ2，而f－π2＝－1－12＝1.5，f

π2＝1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y＝sinx＋sin|x|＝0(x＜0)2sinx(x≥0)，而当f(x)＝2sinx(x≥0)时，－2≤2sinx≤2，故函

数y＝sinx＋sin|x|的值域为[－2,2]，故⑤错误．综上可知选D．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．函数f(x)＝tan

x＋π6的图像的对称中心可以是()A．－π6，0B．π3，0C．π2，0D．π6，0AB[由正切函数的对称中心kπ2，0，(k∈Z)可以推出f(x)对称中心的横坐标满足x＋π

6＝kπ2⇒x＝－π6＋kπ2(k∈Z)，代入四个选项可知，当k＝0时，x＝－π6，当k＝1时，x＝π3.故－π6，0，π3，0是图像的对称中心．]10．下列四个选项，化简正确的是()A．cos(－15°)＝6－24B．cos15°cos105°＋sin15°s

in105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12D．sin14°cos16°

＋sin76°cos74°＝12BCD[对于A：法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24，A错误；法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝

cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.对于B：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确；对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12，C正确；对于D：原

式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12，D正确．]11．定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a||b|·sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，

则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A．a在b上的投影的数量为|a|·sin〈a，b〉B．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C．λ(a*b)＝(λa)*bD．若a*b＝0，则a与b平行BD[①对于选项A，a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，

b〉，故选项A错误，②对于选项B，(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)＝|a|2|b|2，故选项B正确，③对于选项C，λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，λa*b＝|λa|

|b|sin〈λa，b〉，当λ<0时，不成立，故选项C错误，④由a*b＝0，所以sin〈a，b〉＝0，所以〈a，b〉＝0°或180°，即a与b平行，故选项D正确．]12．已知函数f(x)＝cos2x－3s

in2x，则下列说法正确的是()A．f(x)的周期为πB．x＝π3是f(x)的一条对称轴C．－π3，π6是f(x)的一个递增区间D．－π6，π3是f(x)的一个递减区间ABD[因为f(x)＝cos2x－3sin2x＝－2sin2x－π6，所

以f(x)的周期为π，故A正确；因为fπ3＝－2sin2π3－π6＝－2，所以x＝π3是f(x)的一条对称轴，故B正确；当x∈－π3，π6时，2x－π6∈－5π6，π6，函

数f(x)在－π3，π6上不单调，故C错误；当x∈－π6，π3时，2x－π6∈－π2，π2，函数f(x)在－π6，π3上单调递减，故D正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在平面直角坐标

系xOy中，已知OA→＝(－1，t)，OB→＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．5[因为∠ABO＝90°，所以AB→⊥OB→，所以OB→·AB→＝0.又AB→＝OB→－OA→＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，所以(2,2)·(3,2－t)＝6＋2

(2－t)＝0，所以t＝5.]14．函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为__________．3[因为f(x)＝cos3x＋π6＝0，所以3x＋π6＝π2＋kπ

，k∈Z，所以x＝π9＋13kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝49π；当k＝2时，x＝79π；当k＝3时，x＝109π.因为x∈[0，π]，所以x＝π9或x＝49π或x＝79π，故零点的个

数为3.]15．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)21[因为2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π

4＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝2，b＝1.]16．若函数f(x)＝sinx＋π6＋sinx－π6＋cosx＋a的最大值是0，则实数a的值是________．－2[f(x)＝sinxcosπ6＋cosxsinπ6＋sinxcosπ6－cosxsin

π6＋cosx＋a＝3sinx＋cosx＋a＝2sinx＋π6＋a，当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，f(x)max＝a＋2＝0，故a＝－2.]四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|

a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b与a垂直，求θ.[解](1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°，所以a·b＝|a||b|cosθ＝±2.(2)因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2c

osθ＝0，所以cosθ＝22.又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tan

x的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．[解](1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得22sinx－22cosx＝0，所以tanx＝1.(2)因为m与n的夹角为π3，所以m·n＝|m|·|n|cosπ3，即22sinx－22co

sx＝12，所以sinx－π4＝12.又因为x∈0，π2，所以x－π4∈－π4，π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.19．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝

－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此cos2α＝2cos

2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此，tan(α－β

)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan(α＋β)1＋tan2αtan(α＋β)＝－211.20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－sin3π2－xsinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和对称

中心；(2)若函数g(x)＝fx＋π4，求函数g(x)在区间－π6，π3上的最值．[解](1)由已知，有f(x)＝cosx12sinx＋32cosx－3cos2x＋34＝12sinxcosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2

x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin2x－π3.所以最小正周期为T＝π，由2x－π3＝kπ，得x＝kπ2＋π6，k∈Z.所以对称中心为kπ2＋π6，0k∈Z.(2)由g(x)＝fx＋π

4，得g(x)＝12sin2x＋π6，当x∈－π6，π6时，2x＋π6∈－π6，π2，可得g(x)在区间－π6，π6上单调递增，当x∈π6，π3时

，2x＋π6∈π2，5π6，可得g(x)在区间π6，π3上单调递减．所以g(x)max＝gπ6＝12.又g－π6＝－14＜gπ3＝14，所以g(x)min＝－14.

21．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α，β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A45，35.(1)若点B513，1213，求cos(α＋β)的值；(2)若OA→·OB→＝3

1010，求sinβ.[解](1)因为α是锐角，且A45，35，B513，1213在单位圆上，所以sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1213，cosβ＝513，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×513－3

5×1213＝－1665.(2)因为OA→·OB→＝31010，所以|OA→|·|OB→|cos(β－α)＝31010，且|OA→|＝|OB→|＝1，所以cos(β－α)＝31010，可得sin(β－α)＝1010(β>α)

，且cosα＝45，sinα＝35，故sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝35×31010＋45×1010＝131050.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的

一系列对应值如下表：x－π6π35π64π311π67π317π6y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为2π3，当x∈0，π3时，方程f(kx)＝m恰好有两个不同的解，求实

数m的取值范围．[解](1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝11π6－－π6＝2π，由T＝2πω，得ω＝1.又B＋A＝3，B－A＝－1，解得A＝2，B＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f(x)＝2

sinx－π3＋1.(2)因为函数y＝f(kx)＝2sinkx－π3＋1的最小正周期为2π3，又k＞0，所以k＝3，令t＝3x－π3，因为x∈0，π3，t∈－π3，2π3，若sint＝s在t∈－π3

，2π3上有两个不同的解，则s∈32，1，所以方程f(kx)＝m在x∈0，π3上恰好有两个不同的解，则m∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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