【文档说明】【七年级数学】专题2.4 有理数的乘除与乘方（解析版）.doc，共(15)页，540.500 KB，由管理员店铺上传

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1《讲亮点》2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题2.4有理数的乘除与乘方【教学目标】1、有理数的乘法法则；2、有理数的除法法则；3、有理数的乘方【教学重难点】1、有理数的乘法运算律和倒数；2、有理数的乘除混合运算法则；3、有理数的乘方的计算法则【知识亮解

】亮题一：有理数的乘除1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.说明：进行有理数的乘法时，先确定积的符号，再确定积的绝对值.2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。（数a（a≠0）的倒数是什么？a（a≠0）

的倒数是a1，0没倒数。注：（1）当a（a≠0）为整数时，倒数为a1；(2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求；(3)正数倒数为正，负数倒数为负；(4)倒数等于本身的数是1，-1；(5)相反数等于本身的数是0；(6)绝对值等于本身的数是非负数3.多个有理数相乘的符号法则

：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．24.有理数乘法运算律:(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．式子表

达为：ab=ba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．式子表达：(ab)c=a(bc)．(3）分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。式子表示为：

a(b+c)=ab+ac(a,b,c为任意有理数)5.有理数的除法法则：（1）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数)0(1=bbaba(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数,都得0。【例1】★

（-3）×3的结果是（）A．-9B．0C．9D．-6【答案】A【解析】原式=-3×3=-9，故选：A．【例2】★a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A．0a，b、c同号B．0b，a、c异号C．0c，a、b异号D．a、b、c同号【

答案】A【解析】B：∵a、c异号，∴0ac，又0b，∴0abc；C：a、b异号，所以0ab，又0c，∴0abc；D：若a、b、c同时为正，则0abc，若a、b、c同时为负，则0abc．【例3】★两个互为相反数的有理数相乘，积为（）A．正数B

．负数C．零D．负数或零【答案】D【解析】该题考查的是有理数的乘法．除0以外的互为相反数的两个数异号，相乘为负数；而0的相反数为0，乘积为0．故该题的答案是D．【例4】★计算：21452−−−【答案】115−【解析】2122111452525

−−−=−=−．【例5】★计算：111111112345−−−−【答案】3【解析】1111345611113234523

45−−−−=+=．3【例6】★与2÷3÷4运算结果相同的是（）A．2÷（3÷4）B．2÷（3×4）C．2÷（4÷3）D．3÷2÷4【答案】B【解析】本题主要考

查了有理数的除法运算，熟练掌握连除的性质是解题的关键．根据连除的性质整理，然后选择答案即可．由连除的性质可得：2÷3÷4=2÷（3×4）．故选B．【例7】★如果囗×(-23)=1，则“囗”内应填的实数是（）A．-23B．-3

2C．23D．32【答案】B【解析】∵（-32）×（-23）=1，∴“囗”内应填的实数-32．故选B．【例8】★计算：15313211442−−−【答案】5【解析】该题考查有理数的除法．原式()1534232114=−−−()()()1534242423

2142=−−−−−14109=−++5=【例9】★计算()115555−−结果正确的是（）A．25B．-25C．-1D．1【答案】A【解析】该题考查的是混合运算．()()25555511551515==−−=−−，所以该题的答案是A．【

例10】★(1)()()38()424−−−(2)()56.56−−（3）2207−4【答案】解：原式=()()38()424−−−=38424−=48−解：原式=13526=5512解

：原式=0【例11】★绝对值大于2而小于5的所有整数的积是．【答案】144【分析】先求出符合的整数，再求出所有数的积即可．【解答】解：绝对值大于2而小于5的所有整数为±3，±4，所以3×（﹣3）×4×（﹣4）＝144

．故答案为：144．【知识点】有理数大小比较、有理数的乘法、绝对值【例12】★★如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个数，并且a与相对面的数互为相反数；b与相对面的数互为倒数；c与相

对面的数和为33．那么a+b+c＝．【分析】根据正方体表面展开图的特征，可得出a、b、c的对面，再根据“a与相对面的数互为相反数；b与相对面的数互为倒数；c与相对面的数和为33”，求出a、b、c的值，

代入计算即可．【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可得，“a”与“8”相对，“b”与“4”相对，“c”与“25”相对，∵a与相对面的数互为相反数；b与相对面的数互为倒数；c与相对面的数和为33．∴a＝﹣8，b＝，c＝8∴a+b+c＝，故答案为：．【知识点】专

题：正方体相对两个面上的文字、相反数、倒数【例13】★计算：（1）；（2）．5【分析】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可．【解答】解：（1）原式＝××＝；（2）原式＝×（﹣）×＝﹣．【知识点】有理数

的乘法、有理数的除法【例14】★若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，求a﹣（﹣b）﹣的值．【分析】根据互为相反数的两数相加得零可知a+b＝0，由倒数的定义可知cd＝1，由绝对值的性质可知m＝±2，然后代入计算即可．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0．∵c

，d互为倒数，∴cd＝1．∵|m|＝2，∴m＝±2．整理得：原式＝a+b﹣＝﹣m．当m＝2时原式＝﹣2，；当m＝﹣2原式＝2．∴代数式的值2或﹣2．【知识点】代数式求值、绝对值、相反数、倒数【例15】★★如果a、b、c为非零的有理数，

当x＝++﹣，求3x2﹣2x+5的值．【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：当a、b、c都是正数时，x＝1+1+1﹣1＝2，3x2﹣2x+5＝3×22﹣2×2+5＝13；当a、b、c两正一负时，x＝1+1﹣1+1＝2，3

x2﹣2x+5＝3×22﹣2×2+5＝13；当a、b、c一正两负时，x＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2，3x2﹣2x+5＝3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+5＝21；当a、b、c都是负数时，x＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2，3x2﹣2x+5＝

3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+5＝21；由上可得，3x2﹣2x+5的值是13或21．【知识点】有理数的乘法、绝对值6亮题二：有理数的乘方1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作na，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算

，叫做乘方。2.乘方的结果叫做幂（power）；在na中，a叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。【例1】★据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云

开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（）A.B.C.D.【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：，故答案为：B．【分析】把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可．【例2】★5月22日晚，中国自贡第2

6届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】

由题意，得700000=，故答案为：C.【分析】根据科学记数法规定，要求，即可得解.【例3】★2020年南充市各级各类学校学生人数约为1150000人，将1150000用科学计数法表示为（）A.1.15×106B.1.15×107C.11.5×105D.0.115×107【答案】A【考点】

科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：1150000用科学计数法表示为：1.15×106，故答案为：A．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞

10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【例4】★2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数

据4000亿元用科学记数法表示为（）7A.元B.元C.元D.元【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】4000亿=400000000000=．故答案为：C．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n的

值为这个数的整数位数减1，由此即可解答．【例5】★计算：【答案】解：原式【考点】含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】原式先计算乘方运算、括号里的，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值.【例6】★计算：（1）（2

）【答案】（1）解：===6（2）解：===-5【考点】含乘方的有理数混合运算8【解析】【分析】（1）先根据指数幂的性质化简得到，再进行乘除运算得到，再进行加减运算即可得到答案；（2）先根据指数幂和绝对值的性质进行化简得到，再进行乘法计

算得到，再进行加减运算即可得到答案.【例7】★计算：－32－（－8）×（－1）5÷（－1）4【答案】解：－32－（－8）×（－1）5÷（－1）4=-9-（-8）×（-1）÷1=-9-8=-17【考点】含乘方的有理数混合运算【解

析】【分析】先算乘方，再算乘除，同级运算从左向右的顺序依次计算.【例8】★计算：(－1)3－2×[6－(－3)2]【答案】解：原式＝－1－2×(6－9)＝－1－2×(－3)＝－1＋6＝5.【考点】含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】先算乘方和括号内的运算，然后

计算乘法，最后算减法即可.【例9】★计算：【答案】解：原式【考点】含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】有理数的混合运算，先做乘方，然后做乘除，最后做加减，有小括号先做小括号里面的.【例10】★计算：（1）－21＋17－(一13)（2）－14－6÷(

－2)×(－)2【答案】（1）解：原式（2）解：原式【考点】有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】（1）先去括号，再从左到右依次计算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；9【例11】★计算（1）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4（

2）﹣14﹣（﹣2）××[2﹣（﹣3）2].【答案】（1）解：原式＝2﹣8÷4，＝2﹣2，＝0；（2）解：原式＝﹣1+×（﹣7），＝﹣1﹣，＝-.【考点】含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法；（2）先计算乘方，再计算乘法，最后算减法.【例12】★

★某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：，则6的所有正约数之和为；，则12的所有正约数之和为，则36的所有正约数之和为参照上述方法，那么144的所有正约数之和为________.【答案】403【考点】有理数的加法，有理数的

乘方【解析】【解答】,则144的所有正约数之和为【分析】参照上述方法可得，，然后类比后续方法求出正约数之和.【亮点训练】10【变式1】★已知光速为300000千米秒，光经过t秒（）传播的距离用科学记数法表示为千米，则n可能为（）A.5B

.6C.5或6D.5或6或7【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：当t=1时，传播的距离为300000千米，写成科学记数法为：千米，当t=10时，传播的距离为3000000千米，写成科学记数法为：千米，∴n的值为5或6，故答案为：C．【分析】科学记

数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【变式2】★2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数

法表示12000是________.【答案】【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：∵12000=，故答案为：.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.【变式3】★计算（1）（2）【答案】（1）解：原式（2）解：原式【考点】含乘方的有理数混合运算【解析】【分析】（1）先算乘方，后算

乘除，最后算加减即可；（2）先算乘方、乘法，接着去绝对值，最后计算加减即得.【变式4】★计算-13-3×(-2)2÷()【答案】解：原式=-1-12×(-3)=35【考点】含乘方的有理数混合运算11【解析】【分析】此题的运算顺序

：先算乘方运算（-13≠-3），同时将除法运算转化为乘法运算，再短乘法运算，然后算加减法。【变式5】★下列等式成立的是（）A．()()111007100777−=−B．()()11007100777−=−C．()111007100777−=D

．()11007100777−=【答案】B【解析】除法不具有结合律．A：()()111007100777−=−；C：()()11007100777−=−．【变式6】★计算：16121472−−【答案】97【变式7】★下列说法中错

误的是()A．同号两数相乘，符号不变B．一个数同1相乘，仍得原数C．一个数同－1相乘，得这个数的相反数D．一个数同0相乘得0【答案】D【变式8】★★下列说法：①最小的正整数是1；②倒数是它本身的数是1；③多项式ax2+bx+c

是三次三项式，其中错误的有．（填序号）【答案】②【分析】根据正整数、倒数、多项式的定义分别分析得出答案．【解答】解：①最小的正整数是1，原说法正确；②倒数是它本身的数是±1，原说法错误；③多项式ax2+bx+c是三次三

项式，原说法正确；故答案为：②．【知识点】倒数、有理数、多项式【变式9】★★已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为．【答案】2【分析】依据相反数和倒数的定义可求得a、x的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解

：由a与2互为相反数，x与3互为倒数，可得a＝﹣2，x＝，12∴a+2+|﹣6x|＝﹣2+2+|﹣6×|＝|﹣2|＝2．故答案为：2．【知识点】相反数、绝对值、倒数【变式10】★已知：a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是

1，求：3x—［(a＋b)＋cd］x的值【答案】2或-4【变式11】★小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．(1)若输入的数是－4，那么执行了程序后，输出的数是多少?(2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少?【答案】(1)－108(2)－55816．112

0－110【变式12】★★若x是不等于1的数．我们把称为x的差倒数．如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数为．现已知，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2018＝．【分析】先依据定义进行计算，然后找出其中的规律即可．【解答】

解：根据差倒数的定义可得出：x1＝﹣，x2＝＝，x3＝＝4，x4＝＝﹣，…由此发现该组数每3个一循环．∵2018÷3＝672…2，13∴x2018＝x2＝．故答案为：．【知识点】规律型：数字的变化类、倒数【亮点检测】1★

计算-4×（-2）的结果是（）A．8B．-8C．6D．-2【答案】A【解析】-4×（-2），=4×2，=8．故选：A．2★计算：34579−【答案】73−【解析】343497579793−=−

=−3★计算：()4113311559211−−−+【答案】9−【解析】()41139101133115395921159211−−−+=−=−

．4★512.5(4)168−−−【答案】14−【解析】该题考查有理数的乘除法．()512.54168−−−516112584=−1414=−5.★（2020·山西）计算的结果是（）A.B.C.D.【

答案】C【考点】有理数的除法【解析】【解答】解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．故答案为：C．【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．6.★（2020·通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的

是()A.B.C.D.3万【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故答案为：B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1

≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．7.★（2020·呼和浩特）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为

正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：，0，，，，则这5天他共背诵汉语成语（）A.38个B.36个C.34个D.30个【答案】A【考点】有理数的加法，有理数的乘法【解析】【解答】解：（+4+0+

5-3+2）+5×6=38个，∴这5天他共背诵汉语成语38个，故答案为：A.【分析】总成语数=5天数据记录结果的和+6×5，即可求解．8.★（2020·深圳）2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节

”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（）A.0.15×108B.1.5×107C.15×107D.1.5×108【答案】D【考点】科学记数法—表示绝对值较大的

数【解析】【解答】解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．故答案为：D．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．9.★（2020·广州）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达1523300

0人次.将15233000用科学记数法表示应为（）15A.B.C.D.【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】15233000=,故答案为：C．【分析】根据科学记数法的表示方法表

示即可．