【文档说明】天津市部分区2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(21)页，2.475 MB，由小赞的店铺上传

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天津市部分区2023年高三质量调查试卷（二）数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.设全集1,2,3,4,5,6U=，集合1,3,5,2,3,4AB==，则()UBA=ð（）A.3B.2,4C.2,3,4D.0,1,3【答案】B【解析】【分析】由集合的运算求解.【详解】()

2,4,62,42,3,4UAB==ð.故选：B2.设xR，则“||1x”是“31x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义，结合比较法

和特例法进行判断即可.【详解】当||1x时，即11x−，32331(1)(1)0101xxxxxx−=−++−，因此由||1x能推出31x，当31x时，显然当2x=−时成立，但是||1x不成立，因此由31x不一定能推出||1x，所以“

||1x”是“31x”的充分不必要条件，故选：A3.函数()()2ln1fxxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据奇偶性，排除A,B,再取1x=，即可求解.【详解】解：函数()fx的定义域为R,又()()()()22ln1l

n1fxxxxxfx−=−−+=−+=−，故函数()fx为奇函数，排除A,B.又(1)ln20f=，故排除D，选C.故选：C.4.已知2823,log9xy==，则2xy+=（）A.3B.5

C.22log3D.32【答案】A【解析】【分析】根据指对运算化简2log3x=，再根据对数运算法则计算2xy+的值.【详解】223log3xx==，28log9y=222228822log3loglog3log8399xy+=+===.故选：A.5.设113431log4,,

33abc−===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.c<a<bC.b<c<aD.cba【答案】C【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.【详解】由题意得33log4log31a==，11133413,33bc−−=

==，由于3xy=为(,)−+上的单调增函数，故11133413313bc−−===，故b<c<a，故选：C6.红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备

分着吃.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径是为R、高为2R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若敦敦准备从中间部分的A处将红薯切成两块，则两块红薯体积差的绝对值为（）A.31π3RB.32π3RC.35π6RD.3πR【答案】A【解析】

【分析】由球和圆柱，圆锥的体积公式求解即可.【详解】由题意可知，两块红薯体积差绝对值为322214πππ(π)233RRRRRRR+−+3332πππ333RRR=−=.故选：A.的7.若函数()()π2sin06fxx=+在区间ππ,66−上具

有单调性，则的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由x的范围确定π6x+的范围，分别讨论()fx单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得的范围，进而确定最大值.【详解】

当ππ,66x−时，πππππ,66666x+−++；若()fx在ππ,66−上单调递增，则()πππ2π662πππ2π662kkk−+−+++Z，解得：()412212kkk−

+Z，又0，若不等式组有解，则41202120kk−+解得：1163k−，0k=，则02；若()fx在ππ,66−上单调递减，则()πππ2π662ππ3π2π662kkk−++++

Z，解得：212812kk−−+，又0，若不等式组有解，则21208120kk−−+，解得：2136k−−，与kZ矛盾，()fx\在ππ,66−上单调递减不成立；综上所述：(0,2，则的最大值

为2.故选：B.8.已知双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为2，抛物线24yx=的焦点为F，过F过直线l交抛物线于,AB两点，若l与双曲线的一条渐近线平行，则AB=（）A.16B.83C.8D.163【答案】D【

解析】【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.【详解】解：由题意得2212cbeaa==+=，故双曲线的渐近线方程为3byxxa==，

又l与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线l的斜率为3，又()1,0F，故l的直线方程为：33yx=−，联立直线方程和抛物线方程得：231030xx−+=，所以103ABxx+=，所以1016233ABABxxp=++=+=.故选：D.9.设函数()πsin2fxx=，()1exgx−−=.当

2023,2025x−时，()fx与()gx的图象所有交点的横坐标之和为（）A.4051B.4049C.2025D.2023【答案】B【解析】【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案

.【详解】函数()πsin2fxx=的最小正周期为2，直线1x=为其一条对称轴，()111e,1ee,1xxxxgxx−+−−−==，其图象关于直线1x=对称，故可作出函数函数()πsin2fxx=，()1exgx−−=得图象如图：由图

像可知，在直线1x=的右侧，(1,2025]包含()fx的1012个周期，()fx在(1,3],(3,5],,(2023,2025]每个周期内和()gx的图象都有2个交点，则共有2024个交点，根据对称性可知，在直线1x=的左侧，()fx和()gx的图象也有2024个交点，且

在直线1x=的两侧的交点是关于直线1x=两两对称的，故这4048个交点的横坐标之和为202424048=，而1x=也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故()fx与()gx的图象所有交点的横坐标之和为404814049+=，故选：B【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题

，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.i是虚数单位，复数3i2i+=−_______________.【答案】1i+##i1+【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求得答案.【详解】复数3i(3i)(2i)55i1i2i55++++===+−，故答案为：1i+11.在1022xx+的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）【答案】180【解析

】【分析】根据二项展开式通项，令2r=即可求得常数项.【详解】1022xx+展开式通项为：()1051021101022C2CrrrrrrrTxxx−−+==，令10502r−=，解得：2r=，223102C445180T=

==，即常数项为180.故答案为：180.12.经过点()()()0,0,0,4,3,3的圆的方程为___________.【答案】22240xyxy+−−=【解析】【分析】设圆的一般方程为220xy

DxEyF++++=，代入点坐标，待定系数求解即可.【详解】设圆的一般方程为，代入点()()()0,0,0,4,3,3可得：0164018330FEFDEF=++=+++=，解得024FDE==−=−故圆的一般

方程为：22240xyxy+−−=故答案为：22240xyxy+−−=13.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响

，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数X的期望是_____________.【答案】①.0.84##2125②.4.2##215【解析】【分析】由独立事件的乘法公式得出甲第一轮通过的概率，再由X服从二项分布得出甲5个轮

次通过的次数X的期望.详解】=iA“第i次投中”，1,2i=，则甲第一轮通过的概率为12121()1()()10.40.40.84PPAAPAPA=−=−=−=.X的可能取值为0,1,2,3,4,5，X服从二项分布~(5,0.84)XB，则甲5

个轮次通过的次数X的期望是()50.844.2EX==.故答案为：0.84；4.2.14.已知实数x、y满足224473xxyy++=，则22xy+的最小值为________.【答案】38##0.375【解析】【分析】由已知可得

出2244xyxy+，再结合基本不等式可求得22xy+的最小值.【【详解】因为()2224420xyxyxy+−=−，即2244xyxy+，所以，()2222222234744748xyxyxyxyxy=+++++=+，所以，2

238xy+，当且仅当30203010xy==或30203010xy=−=−时，等号成立，故22xy+的最小值为38.故答案为：38.15.在ABC中，32AB=，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则A=________；若6AC=，则函数()

()11R32fxxABACxABACx=−+−的最小值为_______________.【答案】①.π4##45②.13【解析】【分析】根据投影向量的定义求出cosA，即可求出A，以点A为原点，建立平面直角坐标系，在AC上取,DE，使得11,23AD

ACAEAC==，在AB上取点P使得APxAB=，求出点E关于直线AC的对称点F的坐标，再结合图象即可得解.【详解】由向量AB在向量AC上的投影向量为cosACABAAC，得向量AB在向量AC上的投影向量的模为cos3ABA=，所以2cos2A=，

又因角A为锐角，所以π4A=，如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,3,3,6,0ABC，在AC上取,DE，使得11,23ADACAEAC==，则()()2,0,3,0ED，在AB上取点P使得APx

AB=，则()1132fxxABACxABACEPDP=−+−=+，直线AC的方程为yx=，设点()2,0E关于直线AC的对称点(),Fab，则12222baba=−−+=，解得02ab==，所以()0,2F，则13EPDPFPDPDF+=+=，当且仅当,,DPF三点共

线时取等号，所以()()11R32fxxABACxABACx=−+−的最小值为13.故答案为：13.【点睛】关键点点睛：以点A为原点，建立平面直角坐标系，在AC上取,DE，使得11,23ADACAEAC==，在AB上取点P使得APxAB=，求出点E关于直线AC对

称点F的坐标，则()fxEPDPFPDPDF=+=+是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2c=，3c

os4C=，2sinsincAbC=.（1）求b的值；（2）求sinA的值；（3）求πsin23A+的值.【答案】（1）2b=（2）14sin8A=的（3）2πs5793in233A+=

+【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2ba=，利用余弦定理可求得a的值，进而可求得b的值；（2）分析可知角C为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，再利用正弦定理可求得sinA的值；（3）利用二倍角公式以

及两角和的正弦公式可求得πsin23A+的值.【小问1详解】解：由正弦定理sinsinacAC=及2sinsincAbC=可得2bcac=，则2ba=，由余弦定理22222232cos54224cababCaaa=+−=−==，可得1a=，故22ba==.【小

问2详解】解：因为0πC，3cos4C=，则2237sin1cos144CC=−=−=，由正弦定理sinsinacAC=可得71sin144sin82aCAc===.【小问3详解】解：由（1）可知ab，则AB，故A为锐角，所以，221452co

s1sin188AA=−=−=，所以，145257sin22sincos28816AAA===，22529cos22cos121816AA=−=−=，所以，πππ571935793sin2si

n2coscos2sin33316216232AAA++=+=+=.17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DEBF∥，2ADDE==，12BF=.（1）求证：

ACEF⊥；（2）求直线EC与平面ACF所成角的正弦值；（3）在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23，若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）56（3）2【解析】【分析】(1)建立适

当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直.(2)求出平面ACF的法向量，以及EC的坐标，即可求解.(3)假设线段DE上存在一点()0,0,Gh，再根据条件求出h，再利用向量的投影即可求出点G到平面ACF的距离.【小问1详解】依题意，以D为原点，

分别以,，DADCDE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得()0,0,0D,()2,0,0A,()2,2,0B,()0,2,0C,()0,0,2E,12,2,2F.依题意，()2,2,0AC=−,32,2,2=−EF,

从而222200=−++=ACEF,所以⊥ACEF，即ACEF⊥【小问2详解】依题意，()2,2,0AC=−,10,2,2=AF,设(),,nxyz=为平面ACF的法向量，则2201202xyyz−+=+=，不妨设

1.x=可得()1,1,4n=−r，因为()0,2,2EC=−,设直线EC与平面ACF所成角为，则105sincos,62232===ECn，所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为56.【小问3详解】假设线段DE

上存在一点()0,0,Gh，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23，则()2,2,=−−BGh.依题意()2,0,0AD=−则，242cos,382==+BGADh，解得1h=.所有存在点()0,0,1G满足条件，所以可得()2,0,

1=−AG,由（2）可知平面ACF的一个法向量为()1,1,4n=−r，所以点G到平面ACF的距离为()()2,0,11,1,4232−−==AGnn18.已知椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，且3AF=.（1

）求椭圆的方程；（2）过点A作斜率为()0kk的直线与椭圆交于另一点B，C是y轴上一点，且满足FCAB⊥，若直线BC的斜率为310k−，求直线AB的方程.【答案】（1）22143xy+=（2）32333yx=−+或15152yx=−+【解析】【分析】（1）根据已

知条件可得出关于a、c的值，求出这两个量的值，可求得b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）求出点B、C的坐标，根据310BCkk=−可得出关于k的方程，结合0k可求得k的值，进而可得出直线AB的方程.【小问1详解】解：由题意可得123caca=+=，解得2a=，1c=，所以，2

23bac=−=，所以，椭圆的方程为22143xy+=.小问2详解】【解：设直线AB的方程为()2ykx=−，设点()00,Bxy，联立()2223412ykxxy=−+=可得()22224316161

20kxkxk+−+−=，则2x=为方程()2222431616120kxkxk+−+−=的一根，所以，2021612243kxk−=+，可得2028643kxk−=+，则2022861224343kkykkk−=−=−++，即点2228612,4343

kkBkk−−++，由FCAB⊥，得1FCkk=−，所以，直线FC的方程为()11yxk=−+，在直线FC的方程中，令0x=可得1yk=−，即点10,Ck−，所以，222121343861043BCkkkkkkk−

++==−−+，即421249150kk−+=，解得213k=或2154k=，因为0k，解得33k=−或152k=−，所以，直线AB的方程为32333yx=−+或15152yx=−+.19.已知na为等差数列，数列nb满足()12nnbbn+=

N，且114ab+=，24b=，35a=.（1）求na和nb的通项公式；（2）若,,nnnnancanb=为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和；（3）设na的前n项和为nS，证

明：()111724niiinbS=N.【答案】（1）3122nna=+，2nnb=（2）23323224nnnn+++−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知nb为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列nb的通项公式；（2）求出数列nc的通

项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列nc的前2n项和；（3）先证明柯西不等式()()()222222212121122nnnnssstttststst+++++++++，求出nS，然后利用柯西不等式可证得

结论成立.【小问1详解】解：由()12nnbbn+=N及24b=可知，数列nb是以2为公比的等比数列，所以，2122bb==，故1222nnnb−==，设等差数列na的公差为d，由111312425abaaad+=+==+=，可得12a=，32d=，所以，()33

121222nnan=+−=+.【小问2详解】解：131,2231,2nnnncnn++=+为奇数为偶数，设数列nc的前n项和为nT，()()21221321242nnnnTccccc

cccc−=+++=+++++++，记1321nnAccc−=+++，242nnBccc=+++，所以，()()213212313253122nnnnnnAcccn−+−+=+++=+++−==，2423572171319

612222nnnnBccc++=+++=++++，①5721231713656142222nnnnnB++−+=++++，②①−②可得157212323311376666176116414822228214nnnnnnnB−+++−++=++++−=

+−−117116196984424824nnnnn++++=+−−=−，所以，323224nnnB+=−，因此，223323224nnnnnnnTAB+++=+=−.【小问3详解】证明：先证明柯西不等式()()()2222222121

21122nnnnssstttststst+++++++++，构造函数()()()()()2221122nnfxsxtsxtsxtn=−+−++−N，显然()0fx且()()()()2222222121122122n

nnnfxsssxstststxttt=+++−+++++++，所以，()()()222222211221212440nnnnstststsssttt=+++−++++++，即()()()222222212121122n

nnnssstttststst+++++++++，当且仅当(),1,2,,ijjiststijn=时，等号成立，本题中，由（1）可得()21312352224nnnnnaannS++++

===，所以，2111352nnnbSnn−=+，且()211111353131nnnnnn=−+++，所以，211111111111113532231313niiinnn=−+−++−=−

+++，221111111114144111244434314nnnini−−=−=++++==−−，所以，222111111711144243

52339nnniiiiiiiibS−====+，但23522nnnnnSb+=不恒为常数，所以等号不成立，则()11217324niiinbS=N.【点睛】方法点

睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab+结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa+

结构，其中na是等差数列，公差为()0dd，则111111nnnnaadaa++=−，利用裂项相消法求和.20.已知,Rab，函数()sinlnfxxaxbx=++.（1）当0,1ab==−时，求()fx的单调区间；（2）当1,02ab=−时，设

()fx的导函数为()fx，若()0fx¢>恒成立，求证：存在0x，使得()01fx−；（3）设01,0ab，若存在()12,0,xx+，使得()()()1212fxfxxx=，证明：1

221bxxa−++.【答案】（1）()fx的递增区间为()1,+，递减区间()0,1.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当0,1ab==−时，求得()1xfxx−=，结合导数的符号，即可求解；（2）当1,02ab=−时，求得()11cos2bfxxx=−+，

根据题意11cos02bxx−+恒成立，取30ebx−=，得到()01fx−，即可求解；（3）设12xx，得到212121()(sinsin)(lnln)xxaxxbxx−+=−−，转化为2211ln(1)()xbaxxx−+−，设()1ln21xhxxx−=−+，求

得()()22(1)01xhxxx−=+，根据()()10hxh=，得到1ln21xxx−+，进而得到212121ln4xxxxxx−+，进而证得结论.【小问1详解】解：由函数()sinlnfxxaxbx=++，可得其定义域为()0,+，当0,1ab==−时，可得()lnf

xxx=−，则()111xfxxx−=−=，当()0,1x时，可得()0fx，()fx单调递减；当()1,x+时，可得()0fx¢>，()fx单调递增，所以函数()fx的单调递增区间为()1,+，单调递减

区间()0,1.【小问2详解】解：当1,02ab=−时，可得()1sinln2fxxxbx=−+，则()11cos2bfxxx=−+，因为()0fx¢>恒成立，即11cos02bxx−+恒成立，

令()11cos,02bhxxxx=−+，若0b，则0bx，存在2bx=−，使得1()1cos()0222bbh−=−−−，即()0fx，不符合题意，所以0b，取30ebx−=，则001x，可得()3333301esinelneesine312bb

bbbfxab−−−−−=++=−−−，即存在0x，使得()01fx−.【小问3详解】解：由函数()sinlnfxxaxbx=++，可得()1cosbfxaxx=++，设12xx，因为()()12fxfx=，可得111222sinlnsinlnxaxbxxax

bx++=++则212121()(sinsin)(lnln)xxaxxbxx−+=−−又由sinyxx=−，可得1cos0yx=−，所以函数sinyxx=−为单调递增函数，所以2211sinsinx

xxx−−，即2121sinsinxxxx−−，所以2121(lnln)(1)()bxxaxx−−+−，即2211ln(1)()xbaxxx−+−，设()1ln21xhxxx−=−+，可得()()()22214(1)011xhxxxxx−=−

=++，所以当1x时，()()10hxh=，即1ln21xxx−+，所以1ln21xxx−+，即1ln41xxx−+，所以21212122111ln441xxxxxxxxxx−−=++，代入可得：()21212121214(1)()(1)

()()xxbaxxaxxxxxx−−+−=+−++，则2214()1bxxa−++，所以1221bxxa−++.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求

出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不

易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com