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姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题全书综合测评(一)全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=alnx+2,f'(e)=2,则a的值为()A.

2eB.1C.0D.e22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=21,a2=5,则公差为()A.-3B.-1C.1D.33.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),a1·a5+2a3·a5+a2·a8=25,且a3与a5的等比中项

为2,在数列{bn}中,bn=log2an,其前n项和为Sn,则当𝑆11+𝑆22+…+𝑆𝑛𝑛最大时,n=()A.8B.8或9C.16或17D.174.如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该三次函数的解析式为

()A.y=14x3+12x2-2xB.y=12x3+12x2-3xC.y=14x3-xD.y=12x3−12x2-x5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且(3n+2)Tn=(2n+1)·Sn,则𝑏5+𝑏3𝑎7=()A.3041B.30

43C.1823D.9236.如图,已知最底层正方体的棱长为a,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,若图中的正方体有无数个,则所有这些正方体的体积之和将趋近于()A.a3B.2a3C.(2+√2)a3D.8+2√27a37.设函数f(x)=ex(2x-1)

-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是()A.[-32e,1)B.[-32e,34)C.[32e,34)D.[32e,1)8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sinθ-1)

≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是()A.-π3B.4π3C.-π2D.5π6二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3n(n∈N*),其前n项和为Sn,则下列结论正确的有()A.a2022=3031B.a2n-1=3n

-1C.an+1-an=1D.S2n=3n210.关于函数f(x)=1𝑥+lnx,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极大值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(0,1)上单调递减D.设g(x)=xf(x),则g(1e)<𝑔

(√e)11.定义:在区间I上,若函数y=f(x)单调递减,且y=xf(x)单调递增,则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得()A.f(x)=1𝑥在(0,+∞)上是“弱减函数”B.f(x)=𝑥e𝑥在(1,2)上是“弱减函数”密○封○装○订○线

密○封○装○订○线密封线内不要答题C.若f(x)=ln𝑥𝑥在(m,+∞)上是“弱减函数”,则m≥eD.若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”,则23π≤k≤1π12.已知数列{an}满足a1=1,a1+𝑎22+…+�

�𝑛𝑛=𝑛𝑎𝑛+12(𝑛+1),令bn=22021·(𝑎𝑛𝑛-1),则()A.a10=100B.数列{bn}是等差数列C.b2021为整数D.数列{𝑏𝑛+2cos2(π4𝑏𝑛)}的前2022项和为4044三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共2

0分)13.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=an-𝑛3,则a21=.14.若x2≥a2+2ln𝑥𝑎(a>0)恒成立,则a=.15.已知数列{an}满足:∀n∈N*,有an∈(0,π2),且a1=π4.f(an+1)=√𝑓'(𝑎𝑛),其中f

(x)=tanx,若bn=(-1)𝑛tan𝑎𝑛+1-tan𝑎𝑛,数列{bn}的前n项和为Tn,则T120=.16.已知f(x)=x2+bx+c有极小值点-1,设bn=𝑓(𝑛)𝑛,若对于任意的n∈N*,都有bn≥b4成立,则实数c的取值范围是.四、解答题(本题共6小

题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=1(𝑎𝑛-1)(𝑎𝑛+1),求数列{bn}的前n项和Tn

.18.(12分)已知函数f(x)=x+lnx.(1)求曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程;(2)若曲线f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,求a的值.19.(12分

)在①a1=1且an+1=Sn+1,Sn为数列{an}的前n项和;②a1=1且𝑎𝑛+12=an(8an-2an+1)这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知正项数列{an}满足,bn=

11+log2𝑎𝑛.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=√3𝑏𝑛2+1−𝑏𝑛2,且{cn}的前n项和为Tn,求证:n≤Tn<n+12.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分.姓名班级考号密○封○装○订○线密○封

○装○订○线密封线内不要答题20.(12分)已知函数f(x)=13x3−12ax2+(a-1)x+1,a为实数.(1)当a≤2时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在区间[1,5]上单调递减,求a的取值范围.21.(1

2分)已知函数f(x)=ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=g(x).(1)证明:∀x∈R,f(x)≥g(x);(2)当x≥0时,f(x)≥1+𝑎𝑥1+𝑥恒成立,求实数a的取值范围.22.(12分)

已知函数f(x)=e2x-2(e+1)ex+2ex.(1)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,求a的取值范围;(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),证明:x1+x2>0.密○封○装

○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题答案全解全析1.A2.B3.B4.D5.A6.D7.D8.D9.ABD10.BCD11.BCD12.ABD1.A易知f'(x)=𝑎𝑥,所以f'(e)=𝑎e=2,故

a=2e.故选A.2.B由S7=a1+a2+…+a7=7a4=21,得a4=3,所以公差为𝑎4-𝑎22=-1.故选B.3.B∵a1·a5+2a3·a5+a2·a8=25,∴𝑎32+2a3·a5+𝑎52=25,即(a3+a5)2=25,又an>0,∴a3+a5=5,又q∈(0,1),∴a

3>a5,由等比中项的性质得a3·a5=4,∴a3=4,a5=1,∴q=12,∴a1=16,∴an=25−n,bn=log2an=5−n,∴Sn=9𝑛-𝑛22,∴𝑆𝑛𝑛=9-𝑛2,∴当n≤8时

,𝑆𝑛𝑛>0,当n=9时,𝑆𝑛𝑛=0,当n>9时,𝑆𝑛𝑛<0,∴当𝑆11+𝑆22+…+𝑆𝑛𝑛最大时,n的值为8或9.故选B.4.D由题中函数图象知,该三次函数图象在点(0,0)处与直线y=-x相切,在点(2,0)处与直线y=3x-6相切.A中,y'=3

4x2+x-2,y'|x=0=-2,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,故A不符合题意;B中,y'=32x2+x-3,y'|x=0=-3,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛

盾,故B不符合题意;C中,y'=34x2-1,y'|x=0=-1,y'|x=2=2,与该三次函数图象在点(2,0)处的切线斜率为3矛盾,故C不符合题意;D中,y'=32x2-x-1,y'|x=0=-1,y'|x=2=3,故D符合题意.故选D.5.A因为(3n+2)Tn=(2n+

1)Sn,所以可设Sn=An(3n+2),Tn=An(2n+1),其中A为非零常数.对于Sn=An(3n+2)=3An2+2An,当n=1时,a1=S1=5A;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3An2+2An

)-[3A(n-1)2+2A(n-1)]=6An-A,n=1时上式仍成立,故an=6An-A.同理,bn=4An-A.所以𝑏5+𝑏3𝑎7=20𝐴-𝐴+12𝐴-𝐴42𝐴-𝐴=30𝐴41𝐴=3041.故选A.6.D由题意可知,最底层正方体上面第一个正方体

的棱长为√22a,其体积为(√22a)3,上面第二个正方体的棱长为12a,其体积为(12a)3,上面第三个正方体的棱长为12√2a,其体积为(12√2a)3,……所以这些正方体的体积构成首项为a3,公比为12√2的等比数列,设其前n项和为Sn,则Sn=1-(12√2)𝑛1-12√2a3=𝑎31

-12√2−(12√2)𝑛1-12√2a3=8+2√27a3−(12√2)𝑛-12√2-1a3,当n→+∞时,(12√2)𝑛-12√2-1→0,所以所有这些正方体的体积之和将趋近于8+2√27a

3.故选D.7.D令g(x)=ex(2x-1),则g'(x)=ex(2x+1).令g'(x)>0,得x>-12,令g'(x)<0,得x<-12,故函数g(x)在(-∞,-12)上单调递减,在(-12,+∞

)上单调递增.又当x<12时,g(x)<0,当x>12时,g(x)>0,所以函数g(x)的大致图象如图所示.姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题易知直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此

只能a>0.结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足{𝑓(-1)≥0,𝑓(0)<0,𝑓(1)≥0,即{-3e-1+2a≥0

,-1+𝑎<0,e≥0,解得32e≤a<1.故实数a的取值范围是[32e,1).8.D由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)(x-a),令f'(x)=0,得x=𝑎3或x=a,当a>3时,𝑎3<a,所

以f(x)在(-∞,𝑎3],[a,+∞)上单调递减,在(𝑎3,a)上单调递增,又当a>3时,𝑎3>1,所以f(x)在(-∞,1]上单调递减.又k∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ

-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得-k-sinθ-1≤k2-sin2θ,即sin2θ-sinθ-1≤k2+k=(�

�+12)2−14对任意的k∈[-1,0]恒成立,所以sin2θ-sinθ-1≤-14恒成立,所以-12≤sinθ≤1,结合选项知,θ的可能取值是5π6.故选D.9.ABD因为an+an+1=3n①,所以当n≥2,n∈N*时,有an-1+an=3(n-1)②,①-②,得an+1-an-1=3

,因为a1=2,a1+a2=3,所以a2=1,由an+1-an-1=3可知该数列的奇数项是以2为首项,3为公差的等差数列,该数列的偶数项是以1为首项,3为公差的等差数列,故a2022=a2×1011=1+(1011-1)×3=3031,故A正确;a2n-1=2+(2𝑛-1+12-1)×3=3

n-1,故B正确;a2-a1=-1,故C不正确;S2n=𝑛[2+2+(2𝑛2-1)×3]2+𝑛[1+1+(2𝑛2-1)×3]2=3n2,故D正确.故选ABD.10.BCD函数f(x)=1𝑥+lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1𝑥2+1𝑥=𝑥-1𝑥

2,当0<x<1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(0,1)上单调递减,当x>1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为f(1)=1,故A错误,C正确;对于B,函数y=f

(x)-x=1𝑥+lnx-x,其定义域为(0,+∞),则y'=-1𝑥2+1𝑥−1=-(𝑥-12)2-34𝑥2<0,故函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减,又当x=1时,f(1)-1=0,所以函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确;对于D,g(x)=xf(x)=

1+xlnx,其定义域为(0,+∞),则g'(x)=lnx+1,令g'(x)=0,得x=1e,当0<x<1e时,g'(x)<0,则函数g(x)在(0,1e)上单调递减,当x>1e时,g'(x)>0,则函

数g(x)在(1e,+∞)上单调递增,所以当x=1e时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g(1e),所以g(1e)<𝑔(√e),故D正确.故选BCD.11.BCD对于A,f(x)=1𝑥在(0,+∞)上单调递减,y=xf(x)=1,是常数函数,不具有单调性,故A错误.密

○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题对于B,f(x)=𝑥e𝑥,则f'(x)=1-𝑥e𝑥,易知当x∈(1,2)时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(1,2)上单调递减,y=xf(x)=�

�2e𝑥,则y'=2𝑥-𝑥2e𝑥=𝑥(2-𝑥)e𝑥,易知当x∈(1,2)时,y'=𝑥(2-𝑥)e𝑥>0,∴y=xf(x)在(1,2)上单调递增,故B正确.对于C,易知f(x)=ln𝑥𝑥在(m,+∞)上单调递减,f'(x)=1-l

n𝑥𝑥2,令f'(x)=0,得x=e,∴m≥e,又y=xf(x)=lnx在(e,+∞)上单调递增,满足题意,故C正确.对于D,由已知得f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上单调递减,∴f'(x)=-sinx+2kx≤0在x∈(0,π2)上恒成立,即2k≤

sin𝑥𝑥在(0,π2)上恒成立,即2k≤(sin𝑥𝑥)min,x∈(0,π2).令h(x)=sin𝑥𝑥,则h'(x)=𝑥cos𝑥-sin𝑥𝑥2,令φ(x)=xcosx-sinx,则φ'(x)=cosx-xsinx-

cosx=-xsinx<0,x∈(0,π2),∴φ(x)在(0,π2)上单调递减,∴φ(x)<φ(0)=0,∴h'(x)<0,∴h(x)在(0,π2)上单调递减,∴h(x)>h(π2)=2π,∴2k≤2π,∴k≤1π.令g(x)=xf(x)=xcosx+kx3,则g(x)在(0,π2)上单调递增,

∴g'(x)=cosx-xsinx+3kx2≥0在x∈(0,π2)上恒成立,即3k≥𝑥sin𝑥-cos𝑥𝑥2在(0,π2)上恒成立,即3k≥(𝑥sin𝑥-cos𝑥𝑥2)max,x∈(0,π2),令F(x)=𝑥sin𝑥-cos𝑥𝑥2,则F'(x)=𝑥2cos𝑥+2cos

𝑥𝑥3,易知当x∈(0,π2)时,F'(x)>0,∴F(x)在(0,π2)上单调递增,∴F(x)<F(π2)=2π,∴3k≥2π,∴k≥23π,综上,k的取值范围是[23π,1π],故D正确.故选BCD.12.ABD因为a1+𝑎22+…+𝑎𝑛𝑛=𝑛𝑎𝑛+12(𝑛+1),所

以当n=1时,a1=𝑎24=1,故a2=4,当n≥2时,由a1+𝑎22+…+𝑎𝑛𝑛=𝑛𝑎𝑛+12(𝑛+1),得a1+𝑎22+…+𝑎𝑛-1𝑛-1=(𝑛-1)𝑎𝑛2𝑛,所以𝑎𝑛𝑛=𝑛�

�𝑛+12(𝑛+1)−(𝑛-1)𝑎𝑛2𝑛,整理得𝑎𝑛+1(𝑛+1)2=𝑎𝑛𝑛2,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=(𝑛+1)2𝑛2,所以当n≥2时,𝑎2𝑎1·𝑎3𝑎2·…·𝑎𝑛𝑎𝑛-1=

2212×3222×…×𝑛2(𝑛-1)2,所以当n≥2时,an=n2,又a1=1满足an=n2,所以an=n2,所以a10=100,A正确;bn=22021(𝑎𝑛𝑛-1)=2𝑛-22021,所以bn+1-

bn=2(𝑛+1)-22021−2𝑛-22021=22021,所以{bn}为等差数列,B正确;b2021=2×2021-22021=2−22021,不是整数,C错误;bn+2cos2(π4𝑏𝑛)=bn+1+cosπ2bn=2𝑛-

22021+1+cos(𝑛-1)π2021,设数列{𝑏𝑛+2cos2(π4𝑏𝑛)}的前n项和为Sn,则S2022=22021×(0+1+2+…+2021)+2022+cos0×π2021+cosπ2021+…+cos2021π2021=4044+cos0×π2021+cosπ2021+…

+cos2021π2021,因为cosα+cos(π-α)=0,所以cos0×π2021+cosπ2021+…+cos2021π2021=0,故S2022=4044,D正确.故选ABD.13.答案-69解析当n≥2时,a2-a1=-13,a3−a2=−23

,a4−a3=−33,……,an-an-1=-𝑛-13,累加可得an-a1=-13−23-…-𝑛-13=−(1+𝑛-1)(𝑛-1)6=−𝑛(𝑛-1)6,所以an=a1-𝑛(𝑛-1)6=1−𝑛(𝑛-1)6,n≥2,经检验,上式

对n=1也成立.∴an=1-𝑛(𝑛-1)6,∴a21=1−21×206=-69.14.答案1姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题解析令f(x)=x2-a2-2ln𝑥𝑎,x>0,a>0,

则f'(x)=2(𝑥-1𝑥),x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(1)=1-a2+2lna,即1-a2+2lna≥0在a∈(0,+∞)上恒成立,

令g(a)=1-a2+2lna,则g'(a)=2(1𝑎-a),当a∈(0,1)时,g'(a)>0,g(a)单调递增;当a∈(1,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,所以g(a)≤g(1)=0

⇒1-a2+2lna≤0.综上,1-a2+2lna=0⇒a=1.15.答案10解析由f(x)=tanx,得f'(x)=(sin𝑥cos𝑥)′=cos2x+sin2xcos2x=1+tan2x,又f(an+1)=√𝑓'(𝑎�

�),所以f2(an+1)=f'(an),即tan2an+1=1+tan2an⇒tan2an+1-tan2an=1.又a1=π4,所以tana1=1,所以数列{tan2an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以tan2an=n,tanan=√𝑛(负值舍去).所以bn=(-1)𝑛tan𝑎

𝑛+1-tan𝑎𝑛=(-1)𝑛√𝑛+1-√𝑛=(−1)n(√𝑛+1+√𝑛).所以T120=b1+b2+b3+…+b120=-(√2+1)+(√3+√2)−(√4+√3)+…+(√121+√120)=-1+11=10.16.答案[12,20]解

析因为f(x)=x2+bx+c有极小值点-1,所以-𝑏2=-1,解得b=2,故bn=𝑛2+2n+c𝑛=n+𝑐𝑛+2,令g(x)=x+𝑐𝑥+2(x≥1),则g'(x)=1-𝑐𝑥2=𝑥2-c𝑥2,当c≤1时

,g'(x)≥0,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,此时{bn}是递增数列,不满足题意,故c>1.当1<x<√𝑐时,g'(x)<0,当x>√𝑐时,g'(x)>0,即函数g(x)在(1,√𝑐)上单调递减

,在(√𝑐,+∞)上单调递增,即数列{bn}先减后增,因为对于任意的n∈N*,都有bn≥b4成立,所以只需b3≥b4且b4≤b5,即{5+𝑐3≥6+𝑐4,6+𝑐4≤7+𝑐5,解得12≤c≤20.故c的取值

范围为[12,20].17.解析(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由题意得{𝑎22=𝑎1𝑎4,𝑆10=110⇒{(𝑎1+d)2=𝑎1(𝑎1+3d),10𝑎1+45d=110,(2分)解得a1=d

=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.(4分)(2)由(1)得bn=1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=12(12𝑛-1-12𝑛+1),(7分)所以Tn=12[(11-13)+(13-15)+…+(12𝑛-1-12𝑛+1)]=12(1-12𝑛+1)=𝑛2𝑛+1

.(10分)18.解析(1)f'(x)=1+1𝑥,则f'(1)=1+11=2,(3分)所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(5分)(2)当a=0时,曲线y=ax2+(2a+3)x+1的方程为y=3x+1,由{2𝑥-𝑦-1=0,�

�=3𝑥+1得{𝑥=-2,𝑦=-5,故直线2x-y-1=0与直线y=3x+1只有一个交点,符合题意;(8分)当a≠0时,由{𝑦=𝑎𝑥2+(2a+3)x+1,2𝑥-𝑦-1=0得ax2+(2a+1)x+2=0,要想曲线f(x)在点(1,1)处的切线与

曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,只需Δ=(2a+1)2-8a=0,所以a=12.(11分)综上所述,a的值为0或12.(12分)19.解析(1)若选①:因为an+1=Sn+1,所以Sn+1-Sn=Sn+1,所以1+Sn+1=2(1+Sn),又1+S1=1+a1=2

,所以数列{1+Sn}是首项为2,公比为2的等比数列,(2分)所以1+Sn=2n,所以Sn=2n-1.当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,经检验,a1=1也符合该式,所以an=2n-1.(4分)密○封○装○订○线密○封○装○订

○线密封线内不要答题所以bn=11+log22𝑛-1=1𝑛.(5分)若选②:由𝑎𝑛+12=an(8an-2an+1),得𝑎𝑛+12+2anan+1−8𝑎𝑛2=0,an>0,所以(𝑎𝑛+1𝑎𝑛)2+2×𝑎𝑛+1𝑎𝑛-8=0,所以𝑎𝑛+1�

�𝑛=2或𝑎𝑛+1𝑎𝑛=-4(舍去).(2分)又a1=1,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=1×2n-1=2n-1,(4分)所以bn=11+log22𝑛-1=1𝑛.(5分)(2)证明:由

(1)得cn=√1+3𝑛2−1𝑛2,(6分)因为当n∈N*时,1𝑛2≥1𝑛4,所以cn=√1+3𝑛2−1𝑛2≥√1+2𝑛2+1𝑛4−1𝑛2=1,所以Tn=c1+c2+…+cn≥1+1+…+1=n.(8分)当n

=1时,T1=c1=1<1+12,当n≥2时,因为cn=√1+3𝑛2−1𝑛2=√1×(1+3𝑛2)−1𝑛2<1+1+3𝑛22−1𝑛2=1+12·1𝑛2<1+12·1(𝑛-1)𝑛=1+12(1𝑛-1-1𝑛),所以Tn=c1+c2+c3+…+cn<1

+1+12×(1-12)+1+12×(12-13)+…+1+12×(1𝑛-1-1𝑛)=n+12×(1-12+12-13+…+1𝑛-1-1𝑛)=n+12×(1-1𝑛)=n+12−12𝑛<𝑛+

12.所以对于任意的n∈N*,Tn<n+12.(11分)综上,对于任意的n∈N*,n≤Tn<n+12.(12分)20.解析(1)f'(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],(1分)当a-1=1,即a=2时,f'(x)=(x-1)2≥0,f(x

)在R上单调递增,(3分)当a-1<1,即a<2时,令f'(x)>0,得x>1或x<a-1,令f'(x)<0,得a-1<x<1,∴f(x)在(-∞,a-1),(1,+∞)上单调递增,在(a-1,1)上单调递减.(5分)综上所述,当a=2时,f(x)在R上单调递增;当a<2时,f(x

)在(-∞,a-1),(1,+∞)上单调递增,在(a-1,1)上单调递减.(6分)(2)由已知得f'(x)=x2-ax+a-1≤0在区间[1,5]上恒成立,∴a(x-1)≥x2-1在区间[1,5]上恒成立,(8分)当x=1时,a∈R;当1<x≤5时

,a≥x+1在区间(1,5]上恒成立.(10分)而y=x+1在x∈(1,5]上单调递增,∴x=5时,ymax=6,则a≥6.综上,a≥6.(12分)21.解析(1)证明:易得f'(x)=ex,∴f'(x0)=e

𝑥0,又y0=e𝑥0,∴切线方程为y-e𝑥0=e𝑥0(x-x0),即y=e𝑥0x+(1−x0)e𝑥0,即g(x)=e𝑥0x+(1−x0)e𝑥0.(2分)设F(x)=f(x)-g(x)=ex-e𝑥0x−(1−x0)e𝑥0,则F'(x)=ex-e𝑥0,当x∈(-∞,x0

)时,F'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,F'(x)>0,∴F(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,∴F(x)min=F(x0)=0,即F(x)≥0,∴∀x∈R,f(x)≥g(x).(5分)(2

)当x≥0时,f(x)≥1+𝑎𝑥1+𝑥恒成立,即(1+x)f(x)-(1+x)-ax≥0恒成立.令h(x)=(1+x)f(x)-(1+x)-ax=(1+x)ex-(1+x)-ax,x≥0,则h'(x)=(x+2)e

x-1-a,令φ(x)=h'(x),x≥0,则φ'(x)=(x+3)ex>0,∴h'(x)在[0,+∞)上单调递增,∴h'(x)≥h'(0)=1-a.(8分)①当1-a≥0,即a≤1时,h'(x)≥0,∴h(x)在[0,+∞)上单调递

增,∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1+𝑎𝑥1+𝑥在[0,+∞)上恒成立.姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题②当1-a<0,即a>1时,h'(0)<0,x→+∞时,h'(x)>0,∴∃m∈(0,+∞),使得h'(m)=0,(10

分)∴当x∈(0,m)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0,不合题意.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].(12分)22.解析(1)令ex=t,则x=lnt,记h(t)=t2-2(e+1)t+2elnt

,t>0.则h'(t)=2t-2(e+1)+2e𝑡=2(𝑡-1)(𝑡-e)𝑡,令h'(t)=0,得t=1或t=e.(2分)当0<t<1时,h'(t)>0;当1<t<e时,h'(t)<0;当t>e时,h'(t)>0,所以当t=1时,

h(t)取得极大值,为h(1)=-2e-1,当t=e时,h(t)取得极小值,为h(e)=-e2,(4分)因为函数g(x)=f(x)-a有三个零点,所以曲线y=h(t)与直线y=a有三个交点,所以-e2<a<-2e-1,即

a的取值范围为(-e2,-2e-1).(5分)(2)证明:记m(t)=h(t)-h(1𝑡)=t2-2(e+1)t+2elnt-1𝑡2+2(e+1)1𝑡-2eln1𝑡=t2-2(e+1)t+4elnt-

1𝑡2+2(e+1)𝑡,则m'(t)=2t-2(e+1)+4e𝑡+2𝑡3−2(e+1)𝑡2=2𝑡4-2(e+1)𝑡3+4e𝑡2-2(e+1)𝑡+2𝑡3,(6分)记n(t)=2t4-2(e+

1)t3+4et2-2(e+1)t+2,则n'(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),记s(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),则s'(t)=24t2-12(e+1)t+8e.易知s'(t)在区

间(1,e)上单调递增,所以s'(t)>s'(1)=12-4e>0,所以s(t)在区间(1,e)上单调递增,所以s(t)>s(1)=0,所以n(t)在区间(1,e)上单调递增,所以n(t)>n(1)=0,所以m(t)在区间(1,e)上单调递增,(8分)记e𝑥1=t1,e𝑥2=t2,e�

�3=t3,因为f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),所以h(t1)=h(t2)=h(t3)(t1<t2<t3),由(1)可知,0<t1<1<t2<e<t3,(10分)所以m(t2)=h(t2)-h(1𝑡2)>m

(1)=0,即h(t2)>h(1𝑡2).又h(t1)=h(t2),所以h(t1)>h(1𝑡2),因为1<t2<e,所以1e<1𝑡2<1,由(1)知h(t)在区间(0,1)上单调递增,所以t1>1𝑡2,即t1t2>1,即e

𝑥1+𝑥2>1,所以x1+x2>0.(12分)