【文档说明】吉林省长春市东北师范大学附属中学等六校2020届高三联合模拟考试文科数学试题【精准解析】.doc，共(23)页，2.198 MB，由小赞的店铺上传

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2020届高三联合模拟考试文科数学试题一、选择题1.集合2|60Axxx=−−，集合2|log1Bxx=，则AB=（）A.()2,3−B.(),3−C.()2,2−D.()0,2【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合A，B，再根

据交集的定义求解即可．【详解】解：由260xx−−即()()320xx−+解得23x−，则()2,3A=−，由2log1x解得02x，则()0,2B=，∴()0,2AB=，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题

．2.已知复数1izi−=（i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A.1B.-1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z，再根据虚部的定义即可求出答案．【详解】解：∵1izi−=11i+=−1i=−

−，∴复数z的虚部是1−，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．3.已知()4cos5−=，且为第三象限角，则sin2的值等于（）A.725B.725−C.2425D.2425−【答案】C【解析】【分析】先根据诱导公式得

4cos5=−，再同角的平方关系得3sin5=−，再根据二倍角的正弦公式求解即可．【详解】解：∵()4cos5−=，∴4cos5=−，又为第三象限角，∴3sin5=−，∴24sin22sincos25==，故选：C．【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导

公式以及同角的平方关系，属于基础题．4.已知向量()2,3a=r，(),5bx=，若()aab⊥−，则x=（）A.38B.1−C.12D.2【答案】B【解析】【分析】先求出ab−的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a

=r，(),5bx=，∴()2,2abx−=−−，又()aab⊥−，∴()()22320x−+−=，解得1x=−，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．5.设等差数列na的前n项和为nS，若111a=−，286aa+=−，则nS

的最小值等于（）A.-34B.-36C.-6D.6【答案】B【解析】【分析】由题意先求出数列na的公差，再根据前n项和公式求出nS，再计算最小值即可．【详解】解：设数列na的公差为d，∵286aa+=−，∴1286ad+=−，又111a=

−，∴2d=，∴nS()112nndna−=+()111nnn=−+−212nn=−()2636n=−−，∴当6n=时，nS有最小值636S=−，故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值的求法，属于基础题．6.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说

法正确是（）A.若//m，n=，则//mnB.若m⊥，//m，则⊥C.若n⊥，⊥，则//nD.若m，n，l=，且ml⊥，nl⊥，则⊥【答案】B【解析】【分析】以长

方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解．【详解】解：作一个任意长方体，A中，如图，取mAB=，=面11CCDD，=面11BBCC，1CCn==，而1ABCC⊥，即mn⊥，故A错；B中，若//

m，则根据线面平行的性质，平面内必存在直线//lm，而m⊥，则l⊥，由面面垂直的判定定理可得⊥，B对；C中，如图，取nAB=，=面11ABBA，=面11BBCC，则n⊥，⊥，而n，故C错；D中，取=面11ABCD，=面11BBCC，11BCl

==，1mAB=，1nBB=则ml⊥，nl⊥，但,不垂直，故D错；故选：B．【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．7.《孙子算经》是中国

古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数

n是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n=，则输出的结果为（）A.80B.47C.79D.48【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当0n=时，满足条件退出循环，即可得到输出的S值．【详解

】解：模拟程序的运行，可得32n=，32S=，执行循环体，24n=，56S=不满足条件0n=，执行循环体，16n=，72S=，不满足条件0n=，执行循环体，8n=，80S=，满足条件0n=，可得79S=，退出循环，输出S的值为79；故选：C．【点睛】本题主要考查循环结构

的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8.设变量x，y满足约束条件20240240xyxyxy+−−+

−−，则2zxy=+的最大值为（）A.2B.-4C.12D.13【答案】C【解析】【分析】作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案．【详解】解：变量x，y满足约束条件20240240xyxyx

y+−−+−−的可行域如图，由240240xyxy−+=−−=得()4,4A，目标函数2zxy=+变形为2yxz=−+，平移直线经过点A时，目标函数取得最大值，24412z=+

=，故选：C．【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．9.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成

的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（）A.15B.225C.25D.125【答案】A【解析】【分析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的

概率计算公式求出概率．【详解】解：由题意可求出大正方形的边长为22125+=，则其面积为5，小正方形的边长为1，其面积为1，则质点落在小正方形内的概率15P=，故选：A．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题．10.已知函数()si

n6fxx=+（0）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（）A.77,126B.77,126C.27,36

D.27,36【答案】C【解析】【分析】根据函数()fx的解析式，利用x的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出的取值范围．【详解】解：∵02x，∴2666x++，又函数()fx在(0,2]上

恰有一个最大值1和一个最小值1−，∴352262+，解得2736，故选：C．【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．11.已知12,FF是双曲线()2222:10,0xyEabab−=

的左、右焦点，若点1F关于双曲线渐近线的对称点P满足22OPFPOF=（O为坐标原点），则E的离心率为（）A.5B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知2PFc=，利用两点间距离

公式可求得离心率.【详解】设00(,)Pxy是1F关于渐近线byxa=−的对称点，则有000022yaxcbyxcba=+−=−；解得222(,)baabPcc−；因为∠OPF2＝∠POF2，

所以2PFc=，222222()()baabcccc−−+=；化简可得2e=，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,abc之间的关系式.12.已知函数()12afxxx=+与函数()2ln3

xgxx=−的图象在区间1,4上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a取值范围是（）A.5[,42ln2)2−B.5[44ln2,]2−C.[44ln2,42ln2)−−D.(44ln2,42ln2)−−【答案】A【解析】【分析】由题意可得

()()fxgx=−在1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln2axxx=−−，令()2132ln2hxxxx=−−，利用导数求出函数()hx在1,4上的函数值变化，由此可得答案．【详解】解：由题意可得()

()fxgx=−在1,4上恰有两个解，即12ln32axxxx+=−在1,4上恰有两个解，即2132ln2axxx=−−在1,4上恰有两个解，令()2132ln2hxxxx=−−，则()23h'xxx=−−()(

)12xxx−−=−，∴函数()hx在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，又()512h=，()242ln2h=−，()5444ln22h=−，∴542ln22a−，故选：A．【点睛】本题

主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．二、填空题13.已知()()22,02,0xxxfxfxx+=+，则()5f−=__________．【答案】3【解析】【分析】利用分段函数的解析式，转化求解即可．【详解】解：

∵()()22,02,0xxxfxfxx+=+，∴()()53ff−=−()()11ff=−=213=+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．14.正三棱柱111ABCABC−的所有棱长都相等，M是

棱11AB的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为__________．【答案】510【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD∠为异面直线AM与BC所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三

棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCDABCD−，其中//ABCD，//ADBC，连接MD，1MD，因为//ADBC，所以MAD∠为异面直线AM与BC所成角（或其补角），设12ABBCAAx===，则1AMx=，5AMx=，∵111ABC为正三角形，∴111=120BAD，由余弦定理得22

21111DMADAM=+1112cos120ADAM−2214222xxxx=++，∴17DMx=，则11DMx=，∴222cos2AMADDMMADAMAD+−=2225411510252xxxxx+−==−，∴异面直线AM与BC所成

角的余弦值为510，故答案为：510．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．15.已知各项都为正数的数列na的前n项和为nS，并且12nnaS+=，则na=__________．【答案】

21n−【解析】【分析】由题意得()214nnaS+=，当1n=时，解得11a=；当2n时，()21114nnaS−−+=，从而推出()()1120nnnnaaaa−−+−−=，则12nnaa−−=，再根据等差数列的通项公式求解即

可．【详解】解：∵12nnaS+=，0na，∴()214nnaS+=，当1n=时，()2111144aSa+==，解得11a=；当2n时，()21114nnaS−−+=，则()()221111444nnnnnaaSSa−

−+−+=−=，∴()()1120nnnnaaaa−−+−−=，∴12nnaa−−=，或10nnaa−+=（舍去），∴数列na是以1为首项，2为公差的等差数列，∴()12121nann=+−=−，故答案为

：21n−．【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．16.已知抛物线216yx=的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线和圆()2244xy−+=于A，B，C，D四个点，设()11,A

xy，()22,Dxy，则12xx=__________；4||9||ABCD+的最小值为_______．【答案】(1).16(2).74【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l的方程为4x

my=+，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案．【详解】解：由题意得()4,0F，准线方程为4x=−，圆()2244xy−+=的圆心为()4,0F，半径2r=，由题意设直线l的方程为4xm

y=+，联立2164yxxmy==+消元得216640ymy−−=，∴1216yym+=，1264yy=−，∴()()121244xxmymy=++()21212416myymyy=+++16=，121244xxmymy+=+++()128m

yy=++2168m=+，由抛物线定义可得4||9||ABCD+()()4292AFDF=−+−4926AFDF=+−()()12449426xx=+++−124926xx=++1224926xx+121226

74xx=+=，当且仅当1249xx=且1216xx=即16x=，283x=时等号成立，故答案为：16，74．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

知向量()coscos,mABab=+，()sinsin,nABab=−，若1(,)2mna−=.（1）求角C的弧度数；（2）若47c=，求ABC的面积.【答案】（1）23；（2）83【解析】【分析】（1）由题意

可得1coscossinsin2ABAB−=，2ab=，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2ab=可得8a=，4b=，再根据面积公式即可求解．【详解】解：（1）由题意，()1coscossinsin,2(,)2mnABABba−=−=，∴2

ab=，1coscossinsin2ABAB−=，∴1cos()cos2ABC+=−=，∵0C，∴23C=；（2）由余弦定理2222coscababC=+−，且2ab=，∴222111244()2bb

b=+−−，∴8a=，4b=，∴113sin8483222ABCSabC===．【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．18.2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年

，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她

)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在0,6内）活动时间[0,1)[1,2)[23)，[3,4)[45)，

[56]，频数8107942（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【

解析】【分析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论；（2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生，理由如下：列出女生周日活动时间

频数表活动时间[1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数6712104对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人；活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人数多于男生人数

，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80学生中周日活动时间在[56]，内的男生有2人，分别记为A，B，女生有4，分别记为a，b，c，d，从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：AB，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd

，ab，ac，ad，bc，bd，cd；其中恰为1男1女的共有8种情形，所以所求概率815P=．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．19.在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，M在棱PD上，且35PMPD=，在底面ABCD中，10BABC==，5DADC==

，2AC=，O为对角线AC，BD的交点.（1）证明：OM平面PBC；（2）若2PA=，求三棱锥MPBC−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）由题意BAC，DAC都为等腰三角形，故对角线ACBD⊥，从而可证出23DMDOMPOB==，借助线面平行的判定定理即

可得出结论；（2）由（1）可知：点M到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离，所以三棱锥MPBC−的体积等于三棱锥OPBC−的体积，由此即可求出答案．【详解】（1）证：在底面ABCD中，BAC，DAC都为等腰三角形，故对角线ACBD⊥，所

以223BOABAO=−=，222ODADAO=−=，由M在棱PD上，且35PMPD=知：23DMMP=，所以在PBD中有23DMDOMPOB==，所以//OMPB，又OM平面PBC，PB平面PBC，所以OM平面PBC；（2）解：由

（1）可知：点M到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离，所以三棱锥MPBC−的体积等于三棱锥OPBC−的体积，而PA⊥平面ABCD，所以三棱锥OPBC−的高2hPA==，所以11321132MPBCPBOCVV−−===，故

三棱锥MPBC−的体积为1．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左焦点为F，P是C上一点，且PF与x轴垂直，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且ABOP，且POB的面积是12，其中

O是坐标原点.（1）求椭圆C的方程.（2）若过点F的直线1l，2l互相垂直，且分别与椭圆C交于点M，N，S，T四点，求四边形MSNT的面积S的最小值.【答案】（1）2212xy+=；（2）169【解析】【分析】（1）依题意可设2(,)bPca−，则有22221122OPAB

POBbbkkacaSbcbca−===−==+=，解出即可；（2）分类讨论，当1lx⊥，2//lx时，22122222MSNTbSaba===；当1l，2l斜率存在时，设1l：1xky=−，2l：11xyk

=−，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN，ST，再根据面积公式12SMNST=以及基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）依题意画出下图可设2(,)bPca−，(,0)Aa，(0,)Bb，则有：22221122OPABPOBbbkkac

aSbcbca−===−==+=，解得211abc===，∴椭圆C的标准方程为2212xy+=；（2）①当1lx⊥，2//lx时，22122222MSNTbSaba===；②当1l，2l

斜率存在时，设1l：1xky=−，2l：11xyk=−，分别联立椭圆方程2212xy+=，联立22112xkyxy=−+=得()222210kyky+−−=，∴12222kyyk+=+，12212yyk−=+，∴()22121214MNky

yyy=++−222224122kkkk=++++()222212kk+=+，同理()222212212211122kkSTkk++==++，∴12SMNST=()()()222

28112221kkk+=++()()()222241221kkk+=++()2222241221()2kkk++++()22224(1)169914kk+==+，当且仅当22221kk+=+即21k=即1k=时等号成立，故四边形MSNT的

面积S的最小值min169S=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数()222lnfxxkxx=−+（kR+）.（1）当5k=时，讨论函数()fx单调性；（2）若()()11221()(

)4xHfxfxHx=−，（1x，2x为()'fx的两个零点，且12xx）求k的取值范围.【答案】（1）()fx在51(0,)2−和51(,)2++上单调递增，在5151()22−+，上单调递减；（2）5[,)2+【解析】【分析】（1）当5k=时，求导后根据

导数研究函数的单调性即可；（2）求导得()22222'22xkxfxxkxx−+=−+=，由题意知方程22220xkx−+=在(0,)+上有两个不等的实根1x，2x（12xx），由此可得2k，根据韦达定理化简变形得12112122()2lnxxxxHxxxx

=−+，令12(0,1)xtx=，则()12lnHtttt=−+，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t≤，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）当5k=时，()222252'225xxfx

xxx−+=−+=，令()'0fx，解得5102x−或512x+，令()'0fx，解得515122x−+，所以()fx在51(0,)2−和51(,)2++上单调递增，在5151()22−+，上单调递减；（2）()22222'22xkxfxxkxx−+=−+=，由题意知方程222

20xkx−+=在(0,)+上有两个不等的实根1x，2x（12xx），所以2121240010kxxkxx=−+==，解得2k，()()1122()xHfxfxx=−()()()2212121222lnlnxxkxxxx=−−−+−()()()()22121212

1222lnlnxxxxxxxx=−−+−+−()2221122lnlnxxxx=−+−222111222lnxxxxxx−=+2111222lnxxxxxx=−+，令12(0,1)xtx=，则()12lnHtttt=−+，()212'1Httt=−−+22

21ttt−+=−()2210tt−=−，所以()Ht在(0,1)上单调递减，又()1()4HtH，所以104t≤，而221212()xxkxx+=12212xxxx=++12524tt=++，当且仅当14t=等号成立即52

k，综上：实数k的取值范围为5[,)2+．【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=

+（t为参数，为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin=.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求23=时直线l的普通方程；（2）直线l和曲线C交于A、B两点，点P的直角坐标为()1,2，求||||PAPB

+的最大值.【答案】（1）C：2220xyy+−=，l：3320xy+−−=；（2）22【解析】【分析】（1）把2sin=两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方

程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解．【详解】解：（1）∵2sin=，∴22sin=，∴曲线C的直角坐标方程为2220xyy+−=，当23=时，

直线l的普通方程为3320xy+−−=；（2）把直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+代入2220xyy+−=，得()22sin2cos10tt+++=，()122sin2costt+=−+，121tt=，则1t与2t

同号且小于0，由()22sin2cos40=+−得：2sin2cos2+−或2sin2cos2+，∴()12||||PAPBtt+=−+2sin2cos=+22sin()4=+，∴||||PAPB+的最大值为22．【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方

程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于中档题．23.已知函数()|1|||fxxxa=−++，()|2|1gxx=−+.（1）当2a=时，解不等式()5fx；（2）若对任意1xR，都存在2xR，使得()

()21gxfx=成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(),32,−−+；（2）(),20,−−+．【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意()1fx的值域为[|1|,)a++，()2gx的值

域为[1,)+，根据[|1|,)a++[1,)+解出即可．【详解】解：（1）当2a=时，|1||2|5xx−++，由绝对值的几何意义得3x−，或2x，∴()5fx的解集为(),32,−−+；（2）由题意可知

：()1fx的值域是()2gx值域的子集，()1fx的值域是：[|1|,)a++，()2gx的值域为：[1,)+，∴|1|1a+，解得：0a或2a−，∴实数a的取值范围是(),20,−−+．【点睛】本题主要考查绝对

值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．