【文档说明】陕西省2021届高三上学期12月联考理科数学试卷 含解析.doc，共(21)页，1.725 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本

大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合210Axx=−∣，2|90Bxx=−，则AB=（）A.［3，10］B.［-3，10］C.［-2，3］D.［-2，9］————C分析：先利用一元二次不

等式的解法化简集合B，再利用交集运算求解.解答：∵210Axx=−∣，3|3Bxx=−，∴23ABxx=−∣.故选：C2.已知复数z满足((2)55izi+=−，则z=（）A.33i−B.13i−C.13i+D.33i+————B分析：由条件可得552izi−=+，

根据复数的除法运算可得答案.解答：因为()255izi+=−.所以()()()()()()552551213222iiiziiiiii−−−===−−=−++−.故选：B3.棱长为2的正四面体的表面积是（）A.3B.23C.33D.43————D分析：求出一个面的面积乘以

4即可.解答：正四面体的各个面面积相等；一个面为边长为2的等边三角形，其面积为：122sin=323所以，棱长为2的正四面体的表面积是14241432−=．故选：D4.设双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为7，则C的渐近线方程为（）A.5yx=B.

6yx=C.55yx=D.66yx=————B分析：根据22221bcacaaa−==−，即可求解.解答：由题意，双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为7，即7cea==，所以222216bcacaaa−==−=，所以C的渐近线

方程为6yx=.故选：B.5.设0.995a=，2log3b=，0.9log4c=，则a，b，c的大小关系是（）A.acbB.cabC.bacD.cba————D分析：利用对数函数和指数函数的性质比较即可．解答：由题意：0.990551a==，220log3log21b==

，0.90.9log4log10c==，所以cba.故选：D.6.明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单

地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手

臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，

所用的牵星板为六指板，则tan2=（）A.1235B.16C.1237D.13————A分析：根据等差数列知识求出六指板的长度，再求出tan，然后根据二倍角的正切公式可求出结果.解答：设等差数列为{}na，则12a=厘米，1224a=厘米，所以公差121242212111aad−−==

=−，所以61521012aad=+=+=厘米，则121tan726==，则2122tan126tan211tan35136===−−．故选：A7.下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，

若输入a，b，i的值分别为6，9，0，则输出a和i的值分别为（）A.0，3B.3，3C.0，4D.3，4————B分析：根据给定的程序框图，逐次计算，即可求解.解答：由题意，执行给定的程序框图，可得：第1次循环：1i=，3b=；第2次循环：2i=，3a=；第3

次循环：3i=，3a=，结束循环，输出3a=，3i=.故选：B．8.已知各项均为正数且单调递减的等比数列na满足3453,,22aaa成等差数列，其前n项和为nS，且531S=，则1a=（）A.16B.8

C.4D.2————A分析：根据条件，用基本量列方程求解即可.解答：由3453,,22aaa成等差数列，得43532aaa=+.设na的公比为q则22310qq−+=，解得12q=或1q=(舍去)所以15511231112aS−==−，解得116a=

故选：A.9.设函数sin()sinxfxxx=+，则下列结论正确的有（）A.()fx的图象关于原点对称B.(1)fx+的图象关于直线1x=对称C.()0fxD.1()2fx————D分析：A：根据奇函数、偶函数的定义，判断出函数的奇偶性

，然后根据奇函数、偶函数的性质进行判断即可；B：通过上述的判断，根据奇函数、偶函数的性质和函数图象平移的性质进行判断即可；C：通过特例法进行判断即可；D：利用导数，根据由A判断出函数的奇偶性，结合函数解析式的特征进行判断即可.解答：因为()sin,0sinxfxxxx=+，所以s

in()sin()()sin()sinxxfxfxxxxx−−===−+−+，所以()fx为偶函数，则()fx的图象关于y轴对称，故A错误；因为()fx的图象关于y轴对称，所以(1)fx+的图象关于直线1x=−对称，故B错

误；当32x=时，sin10x=−，所以sin0xx+，则()0fx，故C错误；设()sin(0)gxxxx=−，则()1cos0gxx=−≥，从而()gx在(0,)+上单调递增.因为(0)0g=，所以()0

gx，即sinxx，所以sin2sinxxx+.当0x时，sin0xx+，所以sin1sin2xxx+.因为()fx是偶函数，所以1()2fx，所以D正确故选：D10.已知等差数列na和

nb的前n项和分别为nS和nT，且6381nnSnTn+=+，则使得kkab为整数的正整数k的个数是（）A.3B.4C.5D.6————C分析：由等差数列的求和公式，得到2121kkSak−=−，2121kkTbk−=−，求得166kkabk=+，即可求解.解答：因为1212kk

aaa−+=，所以2121kkSak−=−，同理可得2121kkTbk−=−，则()()212162138166211kkkkkaSbTkk−−−+===+−+，当1,2,4,8,16k=时，kkab为整数，即满足条件的k的

个数为5.故选：C.11.自然对数是以常数e为底数的对数，记作()ln0NN，在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学和物理学家LeonhardEuler命名的，取的正是Euler

的首字母e，2.7182818e.某教师为帮助同学们了解e，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分2的位置不变，那么可以得到大于2.72的不同数字的种数为（）A.216B.220C.340D.460————B分析：分小数点后

第一个数字为8和小数点后第一个数字为7两种情况讨论，结合排排列数公式及分类计数原理，即可求解.解答：由题意，当小数点后第一个数字为8时，共有662222180AAA=种；当小数点后第一个数字为7时，共有6

56532332340AAAAA−=种，则可以得到大于2.72的不同数字共有18040220+=种.故选：B.12.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，其导函数为()fx，且对任意实数x都有()()1fxfx+，则不等式()1xx

efxe−的解集为（）A.(,0)−B.(0,)+C.(,1)−D.(1,)+————B分析：构造函数()[()1]xgxefx=−，利用导数判断其单调性，利用单调性可解得结果.解答：设()[()1]xgxefx

=−，则()()1]()[xxgxefxefx=−+(()()1)xefxfx=+−．因为()()1fxfx+，所以()()10fxfx+−，所以()0gx,故()gx在R上单调递增．因为()fx是定义在R上的奇

函数，所以(0)0f=，所以(0)1g=−，所以不等式()1xxefxe−可化为[()1]1xefx−−，即()(0)gxg，又()gx在R上单调递增．所以0x，所以不等式()1xxefxe−的解集为(0,)+

.故选：B.点拨：关键点点睛：构造函数()[()1]xgxefx=−并利用导数判断其单调性是解题关键.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知向量(,3),(1,2)amb==−，且()abb

+⊥，则m=___________．————1分析：根据题意，由向量坐标的加法运算可得(1,1)abm+=+，再利用向量垂直与向量数量积的关系可解得m的值．解答：由题意可得(1,1)abm+=+．因为()abb+⊥，所以()12

0abbm+=+−=，解得1m=．故答案为：1.点拨：本题考查向量坐标的加法运算，数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题.14.已知实数x，y满足条件20220230xyxyxy+−−−+−，则22zxy=+的

最大值为______．————225【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入即可求解.解答：作出不等式组20220230xyxyxy+−−−+−表示的可行域，如图所示，目标函数22zxy=+，可化为直线2zyx=−+，当直线2zy

x=−+过点A时，直线2zyx=−+在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由220230xyxy−−=+−=，解得74,55A，代入可得目标函数的最大值为max742222555z=+=.

故答案为：225.点拨：根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如zaxby=+.求这类目标函数的最值常将函数zaxby=+转化为直线的斜截式：azyxbb=−+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形

如()()22zxayb=−+−，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如ybzxa−=−，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解．15.

定义在R上的奇函数()fx在)0,+上是减函数，若()()()320fmfmf+−，则m的取值范围为______.————()3,+分析：根据题意，得到()fx在R上单调递减，且()00f=，把不等式转化为()()23fmfm−，结合单调性，即可求解.

解答：由题意，函数()fx是在R上的奇函数，且在)0,+上是减函数，可得函数()fx在R上单调递减，且()00f=，又由不等式()()()320fmfmf+−，可化为()()23fmfm−，即23mm−，解得3m，即m

的取值范围为()3,+.故答案为：()3,+.16.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以A为球心，22为半径的球面与平面1111DCBA的交线长为________.————4分析：在平面1111DC

BA内任取一点P，使12AP=，求出22AP=，所以交线是以1A为圆心，以2为半径的圆，即得解.解答：由题意知22112222ABAD==+=.如图，在平面1111DCBA内任取一点P，使12AP=，则221122APAAAP=+=，故以A为球心，22为半径的球面与平面1111DCBA的交线是以1

A为圆心，以2为半径的圆，故该交线长为4.故答案为：4点拨：关键点睛：解答本题的关键是找到动点P的轨迹，立体几何中的轨迹的研究方法常用的是定义法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～

21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知3B=.（1）若4,3ac==，求sinA的值（2）若ABC的面积为43，求ABC周长的最小值.———

—（1）23913；（2）12分析：（1）由余弦定理得13b=，再根据正弦定理得239sin13A=；（2）由题知16ac=，进而由余弦定理得222bacac=+−，再结合基本不等式得4b，由于()223464acbacac+=+=，进而得8ac+，故1

2abc++，当且仅当ac=是等号成立，进而得周长的最小值.解答：解：（1）由余弦定理可得22212cos169243132bacacB=+−=+−=，则13b=.由正弦定理可得sinsinabAB=，则34sin2392sin1313aBAb===.（2

）因为ABC的面积为43，所以13sin4324acBac==，则16ac=.由余弦定理可得222222cosbacacBacac=+−=+−，则216bac=（当且仅当ac=时，等号成立），即4b

.因为()22223bacacacac=+−=+−，所以()223464acbacac+=+=，所以8ac+（当且仅当ac=时，等号成立），故12abc++，即ABC周长的最小值为12.点拨：本题第二问解题的关键在于根据余弦

定理，结合基本不等式得22216bacacac=+−=，()223464acbacac+=+=，当且仅当ac=时，等号成立，进而求得答案.18.某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜

出的概率分别为45，34，23；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为12，23，56.甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.————（1）派丙参赛赢

得比赛的可能性最大；（2）1130.分析：（1）设“甲赢得比赛”为事件A，“乙赢得比赛”为事件B，“丙赢得比赛”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派丙参赛赢得比赛的可能性最大．（2）设“三人比赛后

恰有两人赢得比赛”为事件D，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰有两人赢得比赛的概率．解答：设“甲赢得比赛”为事件A，“乙赢得比赛”为事件B，“丙赢得比赛”为事件C，则()412525PA==，()321432PB==，()255369

PC==.因为()()()PCPBPA，所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大.（2）设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，则()()()()2142153151152952952930PDPABCPABCPABC=++=++=.点拨：方法点睛：相互独立事件的概

率用乘法公式，互斥事件的概率用加法公式．19.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，ACD是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD⊥B1D；（2）若BC=3，求二面角B—C1D—B1的大小.————（

1）证明见解析；（2）6分析：（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CDDC⊥;根据B1C1⊥平面AA1C1C，得11CDBC⊥,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.解答：（1）因为ACD是边长为1的等

边三角形，所以11111121,1,33CDADACDACCD=====22211112CCCCCDCDCDDC==+⊥因为B1C1⊥平面AA1C1C，CD平面AA1C1C，所以11CDBC⊥因为111,DCBC为平面B1C1D内两相交

直线，所以CD⊥平面B1C1D因为1BD平面B1C1D,所以CD⊥B1D；（2）以D为坐标原点，1,,DCDC过D平行BC直线为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,1,3),DCBB设平面BC1D的一个法向量为1(,,

)nxyz=，平面C1DB1的一个法向量为2111(,,)nxyz=由11100nDCnDB==得300,30xxyz==+=令1,3zy==−1(0,3,1)n=−由212100nDCn

DB==得300,330xxzxz===+=令1,y=2(0,1,0)n=12121212335cos,,2126||||nnnnnnnn−===−=因为二面角B—C1D—B1为锐二面角，所以二面角B—

C1D—B1为6点拨：本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为12,FF，点31,2P在椭圆C上，且12PFF△的面积为3

2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线1xmy=+对称，求m的取值范围．————（1）2214xy+=；（2）55,,55−−+.分析：（1）由于点31,2P在椭圆上，则有22

1314ab+=，再由12PFF△的面积为32，可得3322c=，再结合222abc=+，可求出,ab的值，从而可得椭圆方程；（2）设()()1122,,,AxyBxy，线段AB的中点为()00,Mxy，由于直线1xmy=+是线段AB的中垂

线，且直线过点(1,0)，则有()()2222112211xyxy−+=−+，再将,AB两点的坐标分别代入椭圆方程中，两式相减化简，结合前面的式子可得043x=，从而可得013ym=，再将043x=代入椭圆方程中可得53y=，从而可得51033m−或15033m，进而可求出m的

取值范围解答：解：（1）由题意可得22222131,433,22,abccab+===−解得2,1ab==，故椭圆C的标准方程为2214xy+=．（2）设()()1122,,,AxyBxy，线段AB的中点为()00,Mxy．因为直线1xmy=+过定点(1,0)，所以()()22

22112211xyxy−+=−+．因为A，B在椭圆上，所以222212121,144xxyy+=+=，所以()()22221212111144xxxx−+−=−+−，整理得()()2212121224xxxxxx−=−+−，所以1283xx+=，所以043x=．因为点M在直线1xmy=+上，所

以001xmy=+，则013ym=．由221,44,3xyx+==得53y=，则51033m−或15033m，解得55m−或55m．故m的取值范围为55,,55−−+

．点拨：关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点差法将线段AB的中点()00,Mxy的纵坐标用含m的式子表示出来，即013ym=，而横坐标043x=代入椭圆方程中，求出53y=

，再由椭圆的性质可得0y的取值范围，从而可得m的取值范围，考查计算能力，属于中档题21.已知函数()22axfxexx=−−的图象在点()0,1处的切线方程为1y=.（1）证明：()21fxx+.（2）若0x是()fx的极值点，且00x.若()()12fxfx=，且210xx.

证明：()120ln2ln22xxx+++.————（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）求得导数()fx，利用()00f=，求得2a=，根据导数的符号求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.（2）由（1）得到()2222xfxex

=−−，令()()hxfx=，结合函数的单调性和最值，得到0ln21,2x−−，使得()00fx=，设()()()02xfxxfx=−−，求得()x的解析式，令()()02

4202244xxxmxxeex−+==−−++，进而得到()mx的单调性，得到()fx在()0,x−上单调递增，结合单调性，得出0122xxx+，即可求解.解答：（1）由题意，函数()22a

xfxexx=−−，所以()22axfxaex=−−，则()020fa=−=，解得2a=，故()222xfxexx=−−.令()()222xgxfxxex=+=−，则()222xgxe=−.由()0gx，解得1x；由()

0gx，解得1x，所以()gx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故()()01gxg=，即()21fxx+.（2）由（1）可知()222xfxexx=−−，则()2222xfxex=−−，设()()2222xhxfxex==−−，则()242xhxe

=−，由()0hx，得ln22x−；由()0hx，得ln22x−，()hx在ln2,2−−上单调递减，在ln2,2−+上单调递增，即()fx在ln2,2−−上单调递减，在ln2,2

−+上单调递增，()minln2ln212fxf=−=−，因为()2210fe−=，ln2ln2102f−=−，所以0ln21,2x−−，使得()00fx=，即020

1xex=+，因为()00f=，所以由()0fx，得00xx，则()fx在()0,0x上单调递减.设()()()02422000024444xxxxfxxfxeexxxxx−+=−−=−++−−，则

()024202244xxxxeex−+=−−++.设()()024202244xxxmxxeex−+==−−++，则()024244xxxmxee−+=−.因为()00mx=，且()mx是减函数，所以当0xx时，()0mx，当0

xx时，()0mx，所以()mx在()0,x−上单调递增，在()0,0x上单调递减，即()x在()0,x−上单调递增，在()0,0x上单调递减.因为()()02000044441440xxexxx=−++=−+++=，所以()0x，则()x在(),0−上单调递减

.因为()0x=，所以()10x，即()()01120fxxfx−−，即()()0112fxxfx−.因为()()12fxfx=，所以()()0122fxxfx−.因为2010xxx，所以0102xxx−，20xx，

且()fx在()0,x−上单调递增，所以0122xxx−，即0122xxx+.因为()02002220xfxex=−−=，所以020222xex=+，所以021222xexx++，所以()120ln2ln22xxx+++.点拨：利用导数证明不等

式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()()()()fxgxfxgx转化为证明()()0fxgx−()()(0)fxgx−，进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：

一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22

.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：sin3=（R，)0,2）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线1l，2l的极坐标方程分别为0=，02=+（)00,2，0）

，1l，2l分别交曲线C于点M，N两点，求2211OMON+的最小值．————（1）1,6A，51,6B，31,2C；（2）4.分析：（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin31==，解得

sin31=，求得的值，进而求得单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）代入极坐标方程，求得点,MN所对应的极径分别为1，2，得到22,OMON，即可求得2211||||OMON+的最小值.解答：（1）将单位圆与三叶玫

瑰线联立sin31==，解得sin31=，所以32()2kk=+Z，2()63kk=+Z，因为)0,2，取k=0，1，2，得6=，56，32，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为1,6A，51,6B，31,2C

．（2）将0=，02=+代入C：)()sin3,0,2R=，点M，N所对应的极径分别为1，2，所以10sin3=，20cos3=−，即220sin3OM=，220cos3ON=，

2222001111||||sin3cos3OMON+=+()2222000022220000sin3cos311sin3cos324sin3cos3cos3sin3=++=++当且仅当20tan31=

时，取得最小值4．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()5fxxa=+−．（1）证明()5fxxa+−；（2）已知0a，若不等式()210fxx+−的解集为(),mn，且43nm−=，求a的值．————（1）证明见解析；（2）3a=.分析：（1）由()|5||||5

|5fxxaxaxa−+−=+−+−−，利用绝对值的几何意义知即可证明()5fxxa+−；（2）将原函数不等式转化为||2|1|5xax++−，令()21gxxax=++−，即()5gx的解集为(),mn，结合

分段函数的性质有1n且(1)5,()()5ggmgn==，讨论边界值()ga−与5的大小关系，从而确定m的所在区间，结合43nm−=即可求a值．解答：（1）证明：()|5||||5|5fxxaxaxa−+−=+−+−−．由绝对值三角不等式知：|||5||()(5)|5x

axaxaxa+−+−+−+−=，∴()|5|550fxxa−+−−=，即()5fxxa+−得证.（2）解：()2|1|0fxx+−，则||2|1|5xax++−，令32,()212,132,1xaxa

gxxaxxaaxxax−+−−=++−=−++−+−，min()(1)15()325gxgagnna==+=+−=，则0473aan−=，而()1g左侧有：①当()225gaa−=+时，有1am−，所以()25gmma=−++=，得

3ma=−，即34274333aaa−−+=，得3a=．②当()225gaa−=+时，有ma−，所以()325gmma=−+−=，得33am−−=，即302731043333aaa−−−−=，故此时a无解．综上，3a=．点拨：关键

点点睛：（1）将被证不等式转化为|||5|5xaxa+−+−，利用||||||abab−−即可证不等式；（2）令()21gxxax=++−，则原不等式等价于()5gx且(),mn为解集，根据分段函数的性质有(1)5()()51ggmgnn==，讨论()ga

−与5的大小确定m的所在区间，求参数值.