【文档说明】上海市松江一中2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题 含答案.docx，共(16)页，2.418 MB，由小赞的店铺上传

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2023届松江一中高三（下）3月月考数学试卷2023.03一､填空题1.已知集合{1,},1,0,1,6AxxxZBx==−∣∣，则AB=__________.2.不等式301xx+−的解集为__________.3.复数12i3iz

−=+的模为__________.4.已知幂函数()yfx=的图像过点1,82，则()2f−=__________.5.已知函数()2sin223cosfxxx=+，则函数()fx的最小正周期是_____

_____.6.已知0,0,44abab+=，则49ab+的最小值为__________.7.二项式81xx−的展开式中含x项的系数为__________.8.有身高全不相同的6位同学一起拍

毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是__________（结果用最简分数表示）.9.已知()22lnfxxaxx=−+在区间()1,+上单调递增，则实数a的取值范围是_______

___.10.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，过F且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,Axy，交双曲线的渐近线于点()22,Bxy且120xx.若3FBFA=，则双曲线的离心率是__________.11.已知平面向量

a，b，且||||2,2abab===，向量c满足22cabab−−=−，则()cbR−的最小值为__________.12.已知()()1fxxaaRx=+−，若存在1231,,,,,22nxxxx

，使得()()()()121nnfxfxfxfx−+++=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为__________.二､单选题13.设R，则“1=”是“直线()311xy+−=与直线()12xy+−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分

条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.圆台上､下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上､下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）A.61B.62C.63D.6415.下列说法正确的是（）A.随机变量服从正态分布()3,4N，若(23)(2)P

aPa−=+，则a的值等于3.B.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD､､､四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD､､､四校人数之比为7:4:3:6，则应从B校中抽取的样本数量为

70C.已知变量xy､线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4ˆˆyxa=+，且由样本数据算得4x=，3.7y=，则ˆ2.1a=D.箱子中有4个红球､2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件{M=第一次

取到红球}，{N=第二次取到白球}，则MN､为相互独立事件16.已知数列na满足111,1(0),1,01nnnnnaaammaaa+−==，则下列结论中错误的个数为（）①若34a=，则m可以取3个不同的值；②若2m=，则数列na是周期为3的数列；③对于任意

的*TN且2T，存在1m，使得na是周期为T的数列④存在mQ且2m，使得数列na是周期数列A.4B.3C.2D.1三､解答题17.在斜三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，满足2sin

4sincossinsinaAbCAbBcC+=+.（1）求角A的大小；（2）当3a=时，求bc+的取值范围.18.如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，,90ABCDADC=∥，222.PDCDADAB====（1）求证：平面BDP⊥平面PBC；（2）求二面角BPCD−−的余

弦值；19.2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”､“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩､雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有13的人只能赢取冰墩墩挂件，另外23的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件

，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率.（1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从顾客中随机抽取n人()*N

n，记这n人的合计得分恰为1n+分的概率为nP，求1niip=20.已知椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=的左､右焦点分别为12FF､，离心率为12，且经过点31,2.（1）求椭圆Γ的方程；

（2）动直线:lyxm=+与椭圆Γ相切，点,MN是直线l上的两点，且12,FMlFNl⊥⊥.求四边形12FMNF面积；（3）过椭圆Γ内一点(),0Tt作两条直线分别交椭圆Γ于点,AC和,BD，设直线AC与BD的斜率分别为12,kk，若ATTCBTTD=，试

问12kk+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.21.已知函数()()2ln1fxaxx=++.（1）当14a=−时，求函数()fx的单调区间；（2）当)0,x+时，不等式()fxx恒成

立，求实数a的取值范围.（3）求证：()()1341248211112335592121nnne−++++++（*,nNe是自然对数的底

数）.2023届松江一中高三（下）3月月考数学试卷2023.03一､填空题1.【答案】1,0,1−【解析】11,1,0,1,1,0,1AxxxZAB=−=−=−∣.2.【答案】()(),31,−−+【解析】由301xx+−可得，()()310xx+

−，故()(),31,x−−+.3.【答案】22【解析】思路一：()()()()2212i3i12i17i172,3i3i3i1010102zz−−−−====+−=++−.思路二：12i12i523i3i210z−−====++.4.【答案】18−【解

析】由题意可设函数()fxx=，把1,82代入解析式，可解得3=−，故()()31,28fxxf−=−=−.5.【答案】【解析】()2sin223cossin23cos232sin233fxxxxxx=+=++=++，

故22T==.6.【答案】16【解析】()49149116944361644baabababab+=++=+++，当且仅当169baab=，即31,4ab==时取等号.7.【答案】-8【解析】由二项式展开式特点，通项为83821

881()(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令3812r−=，故6r=，则78Tx=−，即含x项的系数为-8.8.【答案】120【解析】试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66P种结果，满足后排每人都比前排任意一位同学高，则要从6个人中3个个子高的站后排，3个

个子矮的站前排，共有3333PP种结果根据古典概型概率公式得到333366120PPPP==.9.【答案】(,5−【解析】由题意，()()21414,1,xaxfxxaxxx−+=−+=+令()0fx，则14axx+，即5a

.10.【答案】364【解析】过F且斜率为4ba的直线():4bAByxca=+，渐近线2:blyxa=，联立()4byxcabyxa=+=，得,33cbcBa，由3FBFA=，得5,99

cbcAa−，而点A在双曲线上，于是2222222518181cbcaab−=，解得：228124ca=，所以离心率364e=.11.【答案】232−【解析】因为||||2,2abab===，所以1

cos,2ababab==，因为,0,ab，所以,3ab=，如图，令,OAaOBb==，则(),2ODabOCab=+=+，所以23,43ODOC==，因为22||242242,|22|||abaabbcabab−=−+=−+=−

−=−，所以222cab−−=，即()22cab−+=，设OPc=，则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，令OQb=，则cbOPOQQP−=−=，所以当CQOQ⊥，且,,CPQ三点共线时，()cbR−取最小值，则min||si

n302232cbOC−=−=−.12.【答案】15191321,,81058【解析】原问题等价于minmaxminmax5()()6()()fxfxfxfx，当2a时，函数图象如图：此时minmax5()2,()2

fxafxa=−=−，则()()55225622aaaa−−−−，解得：1519810a；当924a时，函数图象如图：此时minmax5()0,()2fxfxa==−，则550256

02aa−−，解得：;a当9542a时，函数图象如图：此时minmax()0,()2fxfxa==−，则502602aa−−，解得：;a当52a时，函

数图象如图：此时minmax5(),()22fxafxa=−=−，则55225622aaaa−−−−，解得：132158a；综上，满足条件a的取值范围为15191321,,81058.二､单选题13.【答案】A【解析】若

直线()311xy+−=与直线()12xy+−=平行，则()()3110−−−=，解得1=或3=−，经检验1=或3=−时两直线平行.故“1=”能得到“直线()311xy+−=与直线()12xy+−=平行”，但是“直线()311xy+−=与直

线()12xy+−=平行”不能得到“1=”，故选：A14.【答案】A【解析】求得直径为10，半径为5，圆台的下底面半径为5，所以圆台的高为22543−=，所以圆台的体积为()22144553613++=，故选：A15.【答案】C【解析】A.由正态分布的性质可得：2326aa−++

=，解得：73a=，故选项A错误；B.由分层抽样的性质可得：应抽取人数为44000807436=+++，故B错误；C.因为回归直线必过样本中心()4,3.7，所以ˆ0.443.7a+=，即ˆ2.1a=，故C正确；D.由于第一次取到球不

放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此MN､不是相互独立事件，故D错误，故选C.16.【答案】D【解析】①若34a=，因为11,11,01nnnnnaaaaa+−=，当21a时，2314aa−==，解得25a=，当11a时，1215aa−==，解得16a=，当101a

时，2115aa==，解得115a=，当201a时，3214aa==，解得214a=，当11a时，12114aa−==，解得154a=，当101a时，21114aa==，解得14a=，不合题意，故m可以取3个不同的值，故正确；②若2m=，则213432112

1,21,12,aaaaaa=−=−==+=−=，所以3nnaa+=，则数列na是周期为3的数列，故正确；③对于任意的*TN且2T，存在1m，使得na是周期为T的数列，其否定为：对于任意的*TN且2T，不存在1m，使得na是周期为T的数

列，由B知原命题正确；④假设存在mQ且2m，使得数列na是周期数列，当2m=时，()2132111,12naaaana=−=====，此时，数列na不是周期数列，当2m时，当01mk−时，112111,1kkkaakmka

amk+++=−=−==−，若2,11kiaaik+=+，则()11mimk=−−−，即()2110mmkikik−+−+−−=，而()2Δ(1)41kikik=+−−−−不为平方数，因此假设不正确，故数列na不是周期数列，故错误.综上，只有④错误，故选D三､解答题17.【答案】（1

）;3（2）(3,6【解析】（1）因为2sin4sincossinsinaAbCAbBcC+=+，所以由正弦定理，得22224cosabcAbc+=+.所以22222coscos2bcaAAbc+−==，解得cos0A=或1co

s2A=.因为()0,A，所以3A=或2A=.又因为ABC为斜三角形，所以3A=.（2）思路一：由（1）可知3A=，当3a=时，由正弦定理，得323sinsinsin32bcaBCA====，

所以23sin23sinbcBC+=+223sin23sin3BB=+−23sin3cos3sin6sin6BBBB=++=+.因为20,,223B，所以225,,66336B

+.所以1sin,162B+.所以(3,6bc+.思路二：由余弦定理得，2222cosabcbcA=+−，即222229()3()32bcb

cbcbcbcbc+=+−=+−+−，解得，6bc+，当且仅当3bc==时，等号成立.另一方面，3bca+=，故(3,6bc+.18.【答案】（1）见解析；（2）33.【解析】（1）在BDC中，22,2,4BDABCDBDC====，所以2222cos242

22242BCBDCDBDCD=+−=+−=，所以222BDBCCD+=，所以BDBC⊥，因为PD⊥平面,ABCDBC平面ABCD，所以PDBC⊥，因为PDBDD=，所以BC⊥平面BDP，因为BC平面PBC，所以平面BDP

⊥平面PBC.（2）因为PD⊥平面ABCD，所以,PDADPDDC⊥⊥，又ADDC⊥，所以以D为原点，,,DADCDP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2DABCP，则()

()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PCBCDPPA=−=−==−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=，则2200nPCyznBCxy=−==−+=，取1x=，得1,1yz==，得()1,1,1n=，

取平面PDC的法向量为()1,0,0DA=，设二面角BPCD−−的大小为，由图形知，为锐角，所以13cos331nDAnDA===，所以二面角BPCD−−的余弦值为33.19.【答案】（1）分布列

见解析，()5EX=；（2）1323123nn++−【解析】（1）X的取值为3,4,5,6所以()()3213112123,4327339PXPXC======，()()2323214285C,6339327PXPX======

.所以X的分布列为：X3456P1272949827所以()124834565279927EX=+++=.（2）因为这n人的合计得分恰为1n+分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取

雪容融挂件，所以11212C333nnnnnP−==，设122324623333nnnnSPPP=+++=++++，23411246233333nnnS+=++++，两式相减得23111111222222223332113333333313nnnnnnnnnS+++

−+=++++−=−=−−，所以1231323123nnnnSPPPP++=++++=−，所以121323123nnnPPP+++++=−.20.【答案】（1）22143xy+=；（2）7（3）120kk+=为定值【解

析】（1）依题意，设椭圆Γ的方程为22221(0)xyabab+=，离心率12cea==，又222abc=+，所以2234ba=，又点31,2在该椭圆Γ上，所以229141ab+=，解得224,3

ab==.所以椭圆Γ的方程为22143xy+=.（2）将直线的方程yxm=+代入椭圆Γ的方程223412xy+=中，得22784120xmxm++−=.由直线与椭圆Γ仅有一个公共点知，()22Δ64284120m

m=−−=，化简得：27m=.设112211,22mmdFMdFN−++====，又因为12ddMN−=，所以()221212121722ddSddddm−=−+===；（3）由(),0Tt，则直线AC的方

程()1ykxt=−，设()()1122,,,AxyCxy，联立直线与椭圆方程得()222221113484120kxktxkt+−+−=，则22211121222118412,3434ktktxxxxkk−+==++，则()22211111ATxty

kxt=−+=+−，所以()()()21121ATTCkxtxt=+−−，()()22112121kxxtxxt=+−++，()2222221112211412813434ktktktkk−=+−+++，()22121312134tkk−=+

+，又(),0Tt为椭圆Γ内一点，所以214t，即24t，所以23120t−，所以()()22121112334ktATTCk+−=+；同理()()22222112334ktATTDk+−=+，所以2212

2212113434kkkk++=++，解得2212kk=，又直线AC与BD不重合，所以120kk+=为定值.21.【答案】（1）单调递增区间为()1,1−，单调递减区间为()1,;+（2）(,0;

−（3）见解析.【解析】（1）当14a=−时，()()21ln1(1)4fxxxx=−++−，()()()()2111(1)2121xxfxxxxx+−=−+=−−++.由()0fx解得11x−，由()0fx解得1x，故函数(

)fx的单调递增区间为()1,1−，单调递减区间为()1,+（2）因当)0,x+时，不等式()fxx恒成立，即()2ln10axxx++−恒成立.设()()()2ln10gxaxxxx=++−，

只需max()0gx即可.由()()22112111xaxagxaxxx+−=+−=++，（i）当0a=时，()1xgxx−=+，当0x时，()0gx，函数()gx在()0,+上单调递减，故()()00gxg=

成立；（ii）当0a时，由()()22101xaxagxx+−+==，因)0,x+，所以112xa=−，①若1102a−，即12a时，在区间()0,+上，()0gx，则函数()gx在()0,+上单调递增，()gx在)0,+上无最大值；②若1102a−，即

102a时，函数()gx在10,12a−上单调递减，在区间11,2a−+上单调递增，同样()gx在)0,+上无最大值，不满足条件；（iii）当0a时，由()())()2

21,0,,22101xaxagxxaxax+−=++−+，()0gx，故函数()gx在)0,+上单调递减，故()()00gxg=成立.综上所述，实数a的取值范围是(,0−.（3）据（2）知当0a=时，

()ln1xx+在)0,+上恒成立，令()()122121nnnx−=++，则()()()()1111122112ln1212221212121nnnnnnnnn−−−−−+=

+++++，当2n时，()()11122122223213ln11,2242121212nknkkk−−=−+++++−()()1341248211112335592121nnne−

++++++