【文档说明】山西省2021届高三高考考前适应性测试（二模）文科数学试题 含解析.docx，共(18)页，96.425 KB，由小赞的店铺上传

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2021年山西省高考数学考前适应性试卷（文科）（二模）1.已知集合𝐴={1,2,3,4}，𝐵={𝑥∈𝑍|12<2𝑥<4}，则(∁𝑅𝐴)⋂𝐵=()A.{1,2,3,4}B.{0,1}C.{1}D.{0}2.已知复数z满足𝑧𝑖=2+√2𝑖(𝑖为虚数单位)，𝑧−为复数

z的共轭复数，则𝑧⋅𝑧−=()A.√2B.√6C.2D.63.已知p：𝑎∈(1,3)，q：𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥在(0,+∞)单调递增，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设一组样本数据𝑥1，�

�2，…，𝑥𝑛的方差为100，数据0.1𝑥1，0.1𝑥2，…，0.1𝑥𝑛的方差为()A.0.1B.1C.10D.1005.若椭圆𝑥29+𝑦2𝑚=1与双曲线𝑦22−𝑥2=1有相同的焦点，则实数m的值为()A.3B.6C.12D.156.已知𝑎=40.3，𝑏

=log0.34，𝑐=0.34，则a，b，c三者之间的关系为()A.𝑏<𝑎<𝑐B.𝑏<𝑐<𝑎C.𝑐<𝑎<𝑏D.𝑐<𝑏<𝑎7.平行四边形ABCD中，E为AD边上的中点，连接BE交AC于点G，若𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=()A.1B.56C.23D.138.如图所示，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥𝐵𝐶且𝑃𝐴=𝐵𝐶=1，𝑃𝐵=𝐴𝐶=√2，𝑃𝐶=√3，则下列命题不正确的是()A.平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PBCB.平面𝑃𝐴

𝐵⊥平面ABCC.平面𝑃𝐴𝐶⊥平面PBCD.平面𝑃𝐴𝐶⊥平面ABC9.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个

大正方形，角𝛼为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积𝑆1与大正方形面积𝑆2之比为1：25，则cos(𝛼+3𝜋4)=()A.√210B.−√210C.7√210D.−7√21010.将函数𝑦

=sin(2𝑥+𝜋3)的图象沿x轴向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度得到𝑦=cos2𝑥的图象，则𝜑的值可能为()A.11𝜋12B.5𝜋12C.5𝜋6D.11𝜋611.已知F为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，以点F为圆

心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点𝑃(4√55,𝑡)，则C的离心率为()A.√52B.32C.2D.312.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+1𝑥−1(𝑎∈𝑅)，若𝑓(𝑥)的最小值为0，则a的值为()A.1B.−1C.0D.−21

3.若x，y满足约束条件{𝑥+𝑦+1≥02𝑥−𝑦≥0𝑥≤1，则𝑧=𝑥−3𝑦的最大值为______.14.某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作A、B、C，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲、乙、丙三位同学对三种活

动方案的喜欢程度.甲说：“我不喜欢方案A，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方案𝐵.”丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”.由此可以判断乙喜欢的活动方案是______.15.若曲线𝑦=ln(3𝑥−

8)与曲线𝑦=𝑥2−3𝑥在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为______.16.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin𝐶=𝑎2+𝑏2+1+2𝑎𝑏𝑎+𝑏，则△𝐴𝐵𝐶面积的最大

值为______.17.已知等比数列{𝑎𝑛}，𝑎𝑛<𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，𝑎2=4，𝑎2+1是𝑎1与𝑎3的等差中项.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛=𝑎𝑛log2𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛.18.如图所示，在四棱

锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐷=𝐴𝐵=2，四边形ABCD为菱形，且∠𝐵𝐴𝐷=60∘.(1)求证：𝐵𝐷⊥平面PAC；(2)求三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐷的体积.19.某医药科技公司研发出一种新型疫苗，为了合理

定价，公司将在A地区进行为期一个月(30天)的试预约疫苗，收录数据如下：(由于正式开始预约疫苗后，人员会大量增加，估计全市预约人数为A地区试预约人数的300倍.)表1：A地区一个月预约疫苗人数统计表预约人数(10,15](15,20](20,25](25,30]

(30,35](35,40]天数a58653(1)若将人数少于20人称为“清闲”，则A地区半年(按6×30天计算)中“清闲”的天数为多少？(将频率视为概率)(2)每支疫苗的成本约80元，疫苗前期研发、人员支出等成本约1500万元，若要在一

年内(12×30天)恰好收回成本，则每支疫苗的合理定价应为多少元？(同组数据用中值代替)(保留一位小数)(3)疫苗开始预约后，医院人流量也受到影响.从某医院收集到疫苗预约前后各30天来医院看病的人数，数据如表2.若规定人数大于30为“看病

高峰”，则通过计算判断“看病高峰”是否与疫苗开始预约有99%的相关性？表2：预约疫苗与看病人数2×2列联表看病高峰天数非看病高峰天数总计疫苗预约前8疫苗预约后3总计附：𝑃(𝐾2≥𝑘)0.150.100.

050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.82820.已知P为抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上一动点，F为C的焦点，定点𝑄(3,1)在C的内部，若|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最小值

为4.(1)求C的方程；(2)不经过原点的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线𝑦=−1上.证明：直线l与C在点A处的切线垂直.21.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−𝑎𝑥2，�

�∈𝑅.(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性；(2)若方程𝑓(𝑥)+𝑎=0有三个不同的实根，求a的取值范围.22.已知曲线𝐶1：{𝑥=2−2𝑡+1𝑦=12+1𝑡+1(𝑡为参数)，曲线𝐶2：𝜌=𝜌cos2�

�+cos𝜃.(1)求𝐶1的普通方程与𝐶2的直角坐标方程；(2)设曲线𝐶1，𝐶2的公共点为A，B，O为坐标原点，求△𝑂𝐴𝐵的面积.23.(1)证明：√𝑎2+1≥𝑎+1√2；(2)若𝑎>0，𝑏>0，求𝑎𝑏+𝑏𝑎2+𝑏2+1的最大值.答

案和解析1.【答案】D【解析】解：∵𝐵={𝑥∈𝑍|12<2𝑥<4}={𝑥∈𝑍|−1<𝑥<2}={0,1}，∵𝐴={1,2,3,4}，∴∁𝑅𝐴={𝑥|𝑥≠1,𝑥≠2,𝑥≠3,𝑥≠4}，∴(∁𝑅𝐴)⋂𝐵=

{0}，故选：𝐷.先求出集合B和A的补集，再进行集合交集的运算即可本题考查考查集合的交、补集的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：复数z满足𝑧𝑖=2+√2𝑖(𝑖为虚数单位)，∴𝑧𝑖(−𝑖)=(2+√2𝑖)(−𝑖)

，∴𝑧=−√2−2𝑖，𝑧−=−√2+2𝑖，则𝑧⋅𝑧−=(−√2−2𝑖)(−√2+2𝑖)=(−√2)2+22=6，故选：𝐷.利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力

与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵𝑞：𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥在(0,+∞)单调递增，∴𝑎>1，∵(1,3)⊊(1,+∞)，∴𝑝是q的充分不必要条件，故选：𝐴.根据对数函数单调性的性质，求出

a的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵数据𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛的方差为100，∴数据0.1𝑥1，0.1𝑥2，…，0.1�

�𝑛的方差为：0.12×100=1.故选：𝐵.根据方差性质可解决此题．本题考查方差的性质，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：双曲线𝑦22−𝑥2=1的焦点坐标(0,±√3)，椭圆𝑥29+

𝑦2𝑚=1与双曲线𝑦22−𝑥2=1有相同的焦点，所以√𝑚−9=√3，𝑚=12.故选：𝐶.求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解m即可．本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：因

为𝑎=40.3>40=1，𝑏=log0.34<log0.31=0，0<𝑐=0.34<0.30=1，即𝑎>1，𝑏<0，0<𝑎<1，故𝑏<𝑐<𝑎.故选：𝐵.利用指数函数与对数函数的单调性将a，b，c与特殊值0，1比较，即可

得到答案．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了运用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，∵𝐸为AD边上的中点，∴𝐴𝐸=12𝐴𝐷，∵�

�𝐷//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐸𝐺∽△𝐶𝐵𝐺，∴𝐴𝐺𝐶𝐺=𝐴𝐸𝐵𝐶=12，∴𝐴𝐺=12𝐶𝐺=13𝐴𝐶，∴𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∵𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝜆=𝜇=13，∴𝜆+𝜇=23.故选：𝐶.先判断△𝐴𝐸𝐺∽△𝐶𝐵𝐺，求出相似比，得到𝐴𝐺=13𝐴𝐶，再利用平面向量的线性运算即可求解．本题考查平行四边

形的性质和相似三角形的判定和性质，平面向量的线性运算，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由𝑃𝐴=1，𝐴𝐶=√2，𝑃𝐶=√3，即𝑃𝐴2+𝐴𝐶2=𝑃𝐶2，可得𝑃𝐴⊥𝐴𝐶，又𝑃𝐴⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶⋂𝐵𝐶=𝐶，

所以𝑃𝐴⊥平面ABC，𝑃𝐴⊂平面PAB，所以平面𝑃𝐴𝐵⊥平面ABC，故B正确；𝑃𝐴⊂平面PAC，所以平面𝑃𝐴𝐶⊥平面ABC，故D正确；由𝑃𝐴⊥平面ABC，可得𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，而𝑃𝐴=1，𝑃𝐵=√2，所以𝐴𝐵=1，又𝐵�

�=1，𝐴𝐶=√2，所以𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2，即𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，由𝑃𝐴⊥平面ABC，可得𝑃𝐴⊥𝐵𝐶，则𝐵𝐶⊥平面PAB，又𝐵𝐶⊂平面PBC，所以平面𝑃𝐵𝐶⊥平面PAB，故A正确；若平面𝑃𝐴𝐶⊥平面PBC，过A作𝐴𝐻⊥𝑃

𝐶，垂足为H，可得𝐴𝐻⊥平面PBC，则𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，又𝐵𝐶⊥𝑃𝐴，所以𝐵𝐶⊥平面PAC，则𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，与𝐵𝐶⊥𝐴𝐵矛盾，故C错误．故选：𝐶.由线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的性质和判

定，对选项一一判断，即可得到结论．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：设大正方形的边长为a，则正方形的面积𝑆1=𝑎2，直角三角形的面积为：�

�2=12×𝑎sin𝛼×𝑎cos𝛼，由题意可得：4𝑆2𝑆1=2𝑎2sin𝛼cos𝛼𝑎2=2sin𝛼cos𝛼=2425，且：(sin𝛼+cos𝛼)2=1+2sin𝛼cos𝛼=4925，∴sin𝛼+cos𝛼=75，从而：cos(𝛼+34𝜋)=cos�

�cos34𝜋−sin𝛼sin34𝜋=−√22(sin𝛼+cos𝛼)=−7√210.故选：𝐷.首先设出大正方形的边长，然后结合面积的比值和同角三角函数基本关系、两角和的余弦公式即可求得三角函数式的值．本题主要考查同角三角函数基本关系，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题

．10.【答案】A【解析】解：将函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋3)的图象沿x轴向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度，得到𝑦=sin[2(𝑥−𝜑)+𝜋3]=sin(2𝑥−2𝜑+𝜋3)=cos[𝜋2−(2𝑥−2𝜑+𝜋3)]=co

s(2𝜑+𝜋6−2𝑥)=cos(2𝑥−2𝜑−𝜋6)，若得到𝑦=cos2𝑥的图象，则−2𝜑−𝜋6=2𝑘𝜋，即𝜑=−𝑘𝜋−𝜋12，𝑘∈𝑍，∵𝜑>0，∴当𝑘=−1时，𝜑=11𝜋12，故选：𝐴.根据三角函数平移关系，结合三角函数的诱导公式建立方

程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象变换，利用平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意，𝐹(𝑐,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，则F到𝑦=𝑏𝑎𝑥的距离为𝑏𝑐𝑎√1+𝑏2

𝑎2=𝑏=1，直线FP所在直线方程为𝑦=−𝑎𝑏(𝑥−𝑐)，联立{𝑦=𝑏𝑎𝑥𝑦=−𝑎𝑏(𝑥−𝑐)，解得𝑥=𝑎2𝑐，∴𝑎2𝑐=𝑐2−1𝑐=4√55，得𝑐=√5，则�

�=√𝑐2−𝑏2=√5−1=2.∴𝑒=𝑐𝑎=√52.故选：𝐴.由F到一条渐近线的距离等于1求得b，写出FP所在直线方程，与已知渐近线方程联立求得P点横坐标，由横坐标的值为4√55求得c，则a可求

，离心率可求．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+1𝑥−1的定义域为(0,+∞)，∵𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−1𝑥2=𝑎𝑥−1𝑥2，当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)<0恒成立，∴𝑓(𝑥)在(0,+

∞)上单调递减，无最值；当𝑎>0时，𝑥∈(0,1𝑎)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑥∈(1𝑎,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，∴𝑓(𝑥)的单调递增区间为(1𝑎,+∞)，单调递减区间为(0,1𝑎)，此时𝑓(𝑥)min=𝑓(1𝑎)=−𝑎ln𝑎+𝑎−1=0，∴𝑎=1.故选：𝐴

.求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，即可求出a的值．本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{𝑥=1𝑥+𝑦+1=0，解得𝐴(1,−2)，化𝑧=𝑥−3�

�为𝑦=𝑥3−𝑧3，由图可知，当直线𝑦=𝑥3−𝑧3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为7.故答案为：7.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数

得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】C【解析】解：从丙的说法中推测乙肯定有喜欢的方案，从甲的说法中推测甲喜欢2种方案，不喜欢方案A，那么可以确定是B和C，再从乙的说法中可知，乙只喜欢一种方案，是方案C，故答案为：𝐶.根据三个

人所说内容，可以推断出乙只喜欢一种方案，又丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”，所以可以判断乙喜欢的活动方案．本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．15.【答案】𝑦=3𝑥−9

【解析】解：曲线𝑦=ln(3𝑥−8)与曲线𝑦=𝑥2−3𝑥的公共点为𝑃(𝑚,𝑛)，两曲线在公共点处相同的切线的斜率为k，因为𝑦′=[ln(3𝑥−8)]′=33𝑥−8，(𝑥2−3𝑥

)′=2𝑥−3，则𝑘=33𝑚−8=2𝑚−3，解得𝑚=3或𝑚=76，又3𝑚−8>0，故𝑚=3，代入𝑛=𝑚2−3𝑚得𝑛=0，所以𝑘=2×3−3=3，于是该切线的方程为𝑦−0=3(𝑥−3)，整理得，𝑦=3𝑥−9，故答案为：𝑦=3𝑥−9.设曲线𝑦=ln(3𝑥−8

)与曲线𝑦=𝑥2−3𝑥的公共点为𝑃(𝑚,𝑛)，利用导数可得两曲线的公共切线的斜率及公共点P的坐标，利用直线的点斜式方程可得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得两曲线的公共点为的坐标为(3,0)及公共切线的

斜率为3是关键，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】18【解析】解：2sin𝐶=𝑎2+𝑏2+1+2𝑎𝑏𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)2+1𝑎+𝑏=𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏≥2，所以sin𝐶≥1，当且仅当𝑎+

𝑏=1𝑎+𝑏，即𝑎+𝑏=1时取等号，所以sin𝐶=1，即𝐶=𝜋2，𝑎+𝑏=1，所以1=(𝑎+𝑏)2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏≥4𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时取等号，所以𝑎𝑏≤14，

则△𝐴𝐵𝐶面积𝑆=12𝑎𝑏≤18，即面积的最大值18.故答案为：18.由已知结合基本不等式可求sin𝐶的范围，结合正弦函数的有界性可求sin𝐶，进而可求C，然后结合基本不等式可求ab的范围，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了三

角形面积公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)设公比为q的等比数列{𝑎𝑛}，𝑎𝑛<𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，所以该数列单调递增，由于𝑎2=4，𝑎2+1是𝑎1与𝑎3的等差中项．所以2(𝑎2+1)=𝑎1+

𝑎3，故5=2𝑞+2𝑞，解得：𝑞=2或12(舍去)，故𝑎𝑛=2𝑛.(2)由𝑏𝑛=𝑎𝑛log2𝑎𝑛=𝑛⋅2𝑛，所以𝑆𝑛=1×21+2×22+...+𝑛⋅2𝑛①，2𝑆�

�=1×22+2×23+...+𝑛⋅2𝑛+1②，①-②得：−𝑆𝑛=(21+22+...+2𝑛)−𝑛⋅2𝑛+1=2×(2𝑛−1)2−1−𝑛⋅2𝑛+1.整理得：𝑆𝑛=(𝑛−1)⋅2𝑛+1+2.【解析】(1)首先建立方程组求出数

列的通项公式，(2)进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，设AC与BD交于点F，连接PF，

如图所示，∵𝑃𝐷=𝑃𝐵，∴𝑃𝐹⊥𝐵𝐷，又∵𝑃𝐹⋂𝐴𝐶=𝐹，PF、𝐴𝐶⊂平面PAC，∴𝐵𝐷⊥平面PAC；(2)解：由𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐷=2，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，得三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐷为

正四面体，过P作底面垂线，垂足为O，则O在AF上，得𝐴𝑂=23√22−12=2√33，∴𝑃𝑂=√𝑃𝐴2−𝐴𝑂2=√22−(2√33)2=2√63，∴𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷=13𝑆△𝐴𝐵𝐷

×𝑃𝑂=13×12×2×2×√32×2√63=2√23.【解析】(1)由已知可得𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，设AC与BD交于点F，连接PF，得𝑃𝐹⊥𝐵𝐷，再由直线与平面垂直的判定可得𝐵𝐷⊥平面PAC；(2)由已知可得三棱锥𝑃−𝐴𝐵

𝐷为正四面体，求其高，再由𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)由表知，𝑎=30−5−8−6−5−3=3天，∴𝐴地区半年中“

清闲”的天数为3+530×180=48天．(2)试预约人数每月平均数为𝑥−=12.5×3+17.5×5+22.5×8+27.5×6+32.5×5+37.5×3=745人，∵全市预约人数为A地区试预约人数的300倍，∴正式预约后一年内人数为745×300

×12=2682000人=268.2万人，设每支疫苗定价为m元，则268.2(𝑚−80)=1500，解得𝑚≈85.6元，∴每支疫苗的合理定价应为85.6元．(3)预约疫苗与看病人数2×2列联表如下：看病高峰

天数非看病高峰天数总计疫苗预约前82230疫苗预约后27330总计352560∴𝐾2=60×(8×3−22×27)230×30×35×25≈24.754>6.635，故有99%的把握认为“看病高峰”与疫苗开始预约有关

．【解析】(1)由表知，𝑎=3，再以频率估计概率，即可得解；(2)先计算试预约人数每月平均数𝑥−，从而得正式预约后一年内人数，设每支疫苗定价为m元，由数量×(单价-单位成本)=总成本，列得关于m的方程

，解之即可；(3)先填写2×2列联表，再根据𝐾2的公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断．本题考查独立性检验，频数分布表，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)过P作C的准线𝑥=−1的垂线，垂足为N，连接NQ，由

抛物线的定义，可得|𝑃𝑁|=|𝑃𝐹|，则|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝑄|+|𝑃𝑁|≥|𝑁𝑄|，当N，P，Q三点共线时，|𝑁𝑄|取得最小值，所以3+𝑝2=4，解得𝑝=2，则抛物线的方程为𝑦2=4𝑥；(2)证明

：设直线l的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑛(𝑛≠0)，且直线l与抛物线C交于𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，由{𝑥=𝑚𝑦+𝑛𝑦2=4𝑥可得𝑦2−4𝑚𝑦−4𝑛=0，则△=16𝑚2+16𝑛>0，即𝑚2+𝑛>0，又𝑦1+𝑦2=4

𝑚，𝑦1𝑦2=−4𝑛，可得𝑥1+𝑥2=𝑚(𝑦1+𝑦2)+2𝑛=4𝑚2+2𝑛，𝑥1𝑥2=(𝑦1𝑦2)216=𝑛2，所以圆心坐标为(2𝑚2+𝑛,2𝑚)，因为圆心在直线𝑦=−1上，所以2𝑚=−1，即𝑚=−12.又因为以线段AB为直径的圆经

过点𝐹(1,0)，所以𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1−1)(𝑥2−1)+𝑦1𝑦2=𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1+𝑦1𝑦2=𝑛2−(4𝑚2+2𝑛)+1−4𝑛=0，化简可得𝑛2−6𝑛=0，可得𝑛=6(0舍去)，所以直线l的方程为𝑥=−12𝑦

+6，即2𝑥+𝑦−12=0，且直线l的斜率为𝑘1=−2，由{𝑥=−12𝑦+6𝑦2=4𝑥解得𝐴(4,4)，因为当𝑦>0时，抛物线𝑦2=4𝑥在x轴上方曲线方程为𝑦=2√𝑥，所以𝑦′=1√𝑥，则抛物线𝑦2=4𝑥在A处的切线的斜率为𝑘=1√

4=12，因为直线l与切线的斜率的乘积为−2×12=−1，所以直线l与抛物线在A处的切线垂直．【解析】(1)由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可得所求方程；(2)设直线l的方程为𝑥=𝑚𝑦+

𝑛(𝑛≠0)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，中点坐标公式，求得以AB为直径的圆心的坐标，可得m，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，可得n，进而得到直线l的方程和斜率，求得A的坐标和A处的切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得证．本题考查抛物线的定义、方程和

性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−𝑎𝑥2，则𝑓′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−2𝑎𝑥=𝑥(𝑒𝑥−2𝑎)，(𝑖)当𝑎≤0时，𝑒𝑥−2

𝑎>0，所以𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(𝑖𝑖)当0<𝑎<12时，由𝑒𝑥−2𝑎=0，可得𝑥=ln(2𝑎)<0，所以𝑓(𝑥)在(−∞,ln(2𝑎))上单调递增，在(ln(2𝑎),0)上单调递减，在(0,+∞)

上单调递增；(𝑖𝑖𝑖)当𝑎=12时，由𝑒𝑥−2𝑎=0，可得𝑥=ln(2𝑎)=0，所以𝑓(𝑥)在R上单调递增；(𝑖𝑣)当𝑎>12时，由𝑒𝑥−2𝑎=0，可得𝑥=ln(2𝑎)>0，所以𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递增，在(0,ln(2𝑎))上单调递

减，在(ln(2𝑎),+∞)上单调递增．综上所述，当𝑎≤0时，𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；当0<𝑎<12时，所以𝑓(𝑥)在(−∞,ln(2𝑎))和(0,+∞)上单调递增，在(ln(2𝑎),0

)上单调递减；当𝑎=12时，𝑓(𝑥)在R上单调递增；当𝑎>12时，所以𝑓(𝑥)在(−∞,0)和(ln(2𝑎),+∞)上单调递增，在(0,ln(2𝑎))上单调递减．(2)𝑓(𝑥)+𝑎=(𝑥−1)[𝑒�

�−𝑎(𝑥+1)]，所以𝑥=1为𝑓(𝑥)+𝑎=0的一个根，故𝑒𝑥−𝑎(𝑥+1)=0有两个不同于1的实根，令𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎(𝑥+1)，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎，(𝑖)当𝑎≤0时，𝑔′(𝑥)>0，故

𝑔(𝑥)在R上单调递增，不符合题意；(𝑖𝑖)当𝑎>0时，当𝑥>ln𝑎时，𝑔′(𝑥)>0，故𝑔(𝑥)单调递增，当𝑥<ln𝑎时，𝑔′(𝑥)<0，故𝑔(𝑥)单调递减，并且当𝑥→−∞时，𝑔(𝑥)→+∞；当𝑥→+∞时，𝑔(𝑥)→

+∞，所以若要满足题意，只需𝑔(ln𝑎)<0且𝑔(1)≠0，因为𝑔(ln𝑎)=𝑒ln𝑎−𝑎(ln𝑎+1)=−𝑎ln𝑎<0，所以𝑎>1，又𝑔(1)=𝑒−2𝑎≠0，所以𝑎≠𝑒2，即𝑎>1且𝑎≠𝑒2，所以实数

a的取值范围为(1,𝑒2)⋃(𝑒2,+∞).【解析】(1)求出𝑓′(𝑥)，然后分𝑎≤0，0<𝑎<12，𝑎=12，𝑎>12四种情况，分别研究导数的正负，从而判断函数的单调性；(2)将方程进行化简变形

，得到𝑥=1为𝑓(𝑥)+𝑎=0的一个根，则𝑒𝑥−𝑎(𝑥+1)=0有两个不同于1的实根，构造函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎(𝑥+1)，利用导数研究其单调性，确定函数值的变化情况，列出关于a的不等关系，求解即可．

本题考查了利用导数研究函数的性质，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程

+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线𝐶1：{𝑥=2−2𝑡+1𝑦=12+1𝑡+1(𝑡为参数)，消去参数转换为普通方程为𝑥+2𝑦−3=0(𝑥≠2).曲线�

�2：𝜌=𝜌cos2𝜃+cos𝜃，根据{𝑥=𝜌cos𝜃𝑦=𝜌sin𝜃𝑥2+𝑦2=𝜌2，转换为直角坐标方程为𝑦2=𝑥.(2)由{𝑥+2𝑦−3=0𝑦2=𝑥，化简为𝑦2+2𝑦−3=0，解得{𝑥=1𝑦=1或{𝑥=9𝑦=−3.故|𝐴𝐵|=√82+42=

4√5，则：点O到直线AB的距离𝑑=3√12+22=3√5，所以𝑆△𝑂𝐴𝐵=12×4√5×3√5=6.【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离

公式和三三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)证明：∵

√𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2，当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立，∴令𝑏=1，则有√𝑎2+12≥𝑎+12，当且仅当𝑎=1时，等号成立，即√𝑎2+1≥𝑎+1√2；(2)解：由(1)得√𝑎2+1≥𝑎+1√2，即𝑎2+

1≥(𝑎+1)22，当且仅当𝑎=1时，等号成立，∴𝑎𝑏+𝑏𝑎2+𝑏2+1=(𝑎+1)𝑏(𝑎2+1)+𝑏2≤(𝑎+1)𝑏(𝑎+1)22+𝑏2，又∵(𝑎+1)22+𝑏2≥2√(

𝑎+1)22⋅𝑏2=√2(𝑎+1)⋅𝑏，当且仅当√(𝑎+1)22=𝑏时，等号成立，即𝑎+1=√2𝑏，即{𝑎=1𝑏=√2时，等号成立，∴(𝑎+1)𝑏(𝑎+1)22+𝑏2≤(𝑎+1)𝑏√2(𝑎+1)𝑏=√22，即𝑎

𝑏+𝑏𝑎2+𝑏2+1≤√22，∴当{𝑎=1𝑏=√2时，𝑎𝑏+𝑏𝑎2+𝑏2+1取得最大值，且最大值为√22.【解析】(1)由√𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2，令𝑏=1即可得证；(2)利

用(1)的结论可得𝑎𝑏+𝑏𝑎2+𝑏2+1≤√22，由此求得最大值．本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题．