【文档说明】河北省张家口市2021届高三上学期12月阶段测试数学试题 【精准解析】.doc，共(22)页，2.171 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020-2021学年第一学期阶段测试卷高三数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{02}Axx=∣，22Bxx=∣，则（）A.A

B=B.ABB=C.ABA=D.ABR=【答案】C【解析】【分析】化简集合B，再由交集和并集运算得出答案.【详解】2222Bxxxx==−∣则ABA=，ABB=故选：C2.已知数列

na，nb，nc均为等差数列，且1111abc++=，2223abc++=，则202020202020abc++=（）A.4037B.4039C.4041D.4043【答案】B【解析】【分析】由等差数列的定义知数列nnnabc++仍然是等差数列，求出它的

公差后可得通项公式．【详解】数列nnnabc++是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2020202020201201924039abc++=+=.故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，数列{}na，{}nb是等差数列，则{}nnkapb+（,kp是

常数）仍然是等差数列．3.若113214log3,,2abec−===，则（）-2-A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】A【解析】【分析】通过中间量比较大小即可.【详解】113314log30,01,21,abecabc−==

故选：A.4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC的面积为23S=.且4BABC=−，则B=（）A.56B.23C.3D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意即可得出：1sin232cos4acBacB=

=−，两式相除即可得出tan3B=−，根据三角形内角的取值范围即可得到B的值.【详解】因为1sin232SacB==，cos4BABCacB==−，两式相除得tan3B=−，因为(0,)B，所以

23B=，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：（1）根据三角形的面积公式列出等量关系；（2）根据向量数量积定义式列出等量关系；（3）联立求得tan3B=−，结合三角形内角的取值范围求得结果.

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）-3-A.23B.2C.83D.43【答案】D【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，再利用柱体与锥体的体积公式即可求解.【详解】由几何体的三视图，可以得到该几何体，其中一

边为圆锥的一半，另一边为圆柱的一半，作出几何体的直观图，如下：圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为2，则几何体的体积221114121223233V=+=+=.故选：D6.图1是第七届国际数学教育大会(7ICME−)的会徽图

案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中11223781OAAAAAAA=====，则68sinAOA=（）-4-A.7222128+B.7222128−C.143128+D.143128−【答案】A【解析】【分析】由已知求出图形中各线段长后，由直角三角形得出67AOA和78A

OA的正弦、余弦值，然后可由两角和的正弦公式得出结论．【详解】∵1121OAAA==，且12OAA△是直角三角形，∴22OA=，同理得66OA=，77OA=，671sin7AOA=，676cos7AOA=，781sin8AOA=，787c

os8AOA=，∴()686778176172221sinsin287878AOAAOAAOA+=+=+=.故选：A．7.在三棱柱111ABCABC−，底面ABC为等边三角形，侧面11AACC是菱形，且13AAC=，侧面11AACC⊥底

面ABC，点D是BC的中点，则直线1AD与平面ABC所成的角为（）A.6B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】画出图形，作出线面角，根据几何关系即可获解.-5-【详解】如图，过1A作1AHAC⊥，垂足为H，连接DH.因为侧面11AACC⊥底面A

BC，且侧面11AACC底面ABCAC=，所以1AH⊥平面ABC所以1ADH为直线1AD与平面ABC所成的角，设2ABa=，因为侧面11AACC是菱形,且13AAC=所以1,3AHaAHa==则12DHABa==从而11tan3AHADHDH==故

13ADH=故选：C.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．8.设()fx是定义在()(),00,−+上的函数，()fx为其导函数，已知()()1

221fxfx−=−，()20f−=，当0x时，()()xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A.()()2,00,2−B.()(),22,−−+C.()(),20,2−−D.()()0,22,+U【答案

】B-6-【解析】【分析】由已知条件得函数()fx为偶函数，引入()()gxxfx=，利用导数可得(0,)+上()gx为增函数，结合(2)0=g可解不等式()0gx，从而得()0fx在(0,)+上的解，再由偶函数得出结论．【详解】由()()1221fxfx−=−，可知()fx为偶函数

，构造新函数()()gxxfx=，则()()()gxxfxfx=+，当0x时()0gx.所以()()gxxfx=在()0,+上单调递增，又()20f=，即()20g=.所以由()()0gxxfx=可得2x，此时(

)0fx又()fx为偶函数，所以()0fx在()(),00,−+上的解集为()(),22,−−+.故选：B．【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求

解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}xx上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R上的单调性，然后由单调性解不等式．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合

要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的或不选的得0分.9.若命题“xR，()()2214130kxkx−+−+”是假命题，则k的值可能为（）A.1−B.1C.4D.7【答案】BC【解析】【分析】首先写出特称命题的否定，根据命题“xR

，()()2214130kxkx−+−+”是真命题，根据恒成立，讨论k的取值，求参数k的取值.【详解】由题可知，命题“xR，()()2214130kxkx−+−+”是真命题，-7-当210k−=时，1k=或1k=−.若1k=，则原不等式为30，恒成立，

符合题意；若1k=−，则原不等式为830x+，不恒成立，不符合题意.当210k−时，依题意得()()22210,1614130kkk−−−−.即()()()()110,170,kkkk+−−−解得17k.综上所述，实数k的取值范围为17k

k.故选:BC.【点睛】本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型.10.将函数()2cos24fxx=−的图像向左平移8个单位长度，得到()

ygx=的图像，则（）A.()yfx=在3,82上是减函数B.44fxfx−=+C.()ygx=是奇函数D.()1ygx=−在[,]−上有4个零点【答案】AD【解析】【分析】根据余弦函数cosyx=在3,2

4上的单调性判断A；取4x=判断B；根据定义判断()ygx=是偶函数；由cosyX=与12y=的图象的交点个数确定()1ygx=−在[,]−上零点个数，从而判断D.【详解】当3,82x时，32,424x−，由于函数c

osyx=在3,24上单调递减，则()yfx=在3,82上是减函数，故A正确；-8-当4x=时，()02cos244fxf−==−=，2cos2cos24244fxf+==−=−

=−，故B错误；由题意可知2cos22cos24()4xygxx+−===()2co()()s22cos2xgxgxx=−==−，则函数()ygx=是偶函数，故C错误；令()10gx−=，则1cos22x=

，令22,2Xx=−函数cosyX=与12y=的图象如下图所示由图可知，函数cosyX=与12y=的图象有4个交点，即()1ygx=−在[,]−上有4个零点，故D正确；故选：AD【点睛】关键点睛：在求()1ygx=−

在[,]−上的零点个数时，关键是将零点个数问题转化为函数cosyX=与12y=的图象的交点个数.11.在长方体1111ABCDABCD−中，4ABBC==，18AA=，点P在线段11AC上，M为AB的中点，则（）A.BD⊥平面PACB.当P为11AC的中点时，四棱锥P

ABCD−外接球半径为72C.三棱锥APCD−体积为定值D.过点M作长方体1111ABCDABCD−的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项的正误；判断出四棱锥PABCD−为正四棱-9-锥，求出该四棱锥的外接球半径，可

判断B选项的正误；利用等体积法可判断C选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，因为ABBC=，所以，矩形ABCD为正方形，所以，BDAC⊥，在长方体11

11ABCDABCD−中，1AA⊥底面ABCD，BDQ平面ABCD，1BDAA⊥，1ACAAA=，AC、1AA平面PAC，所以，BD⊥平面PAC，A选项正确；对于B选项，当点P为11AC的中点时，()22221182262PAAAPA=+=+=，同理可得62PBPC

PD===，因为四边形ABCD为正方形，所以，四棱锥PABCD−为正四棱锥，取AC的中点N，则PN^平面ABCD，且四棱锥PABCD−的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R，由几何关系可得222PNRANR−+=，即2288RR−+=，解得92R=，B

选项错误；对于C选项，2114822ACDSADCD===，三棱锥PACD−的高为18AA=，因此，116433APCDPACDACDVVSAA−−===△，C选项正确；对于D选项，设长方体1111ABCDABCD−的外接球球心为E，则E为1BD的中点，连接EN、MN，则

1142ENDD==，122MNAD==，E、N分别为1BD、BD的中点，则1//ENDD，1DD⊥Q平面ABCD，EN⊥平面ABCD，MN平面ABCD，ENMN⊥，2225EMENMN=+=.过点M作长方体1111ABCDABCD−的外接球截面为平面，

点E到平面的距离为d，直线EM与平面所成的角为，则sin25sin25dEM==，当且仅当2=时，等号成立，长方体1111ABCDABCD−的外接球半径为2221262ABADAAR++==，-10-所以，截面圆的半径()()22222625

2rRd=−−=，因此，截面圆面积的最小值为4，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到

正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可

.12.已知函数()2xxfxeex−=−−的定义域为R，e为自然底数，给出下列结论：①()fx是奇函数；②()fx是R上的增函数；③()fx在[0,1]上的值域是2210,eee−−；④7()3fxe=−在[1,1]−上有实根，其中正确的结论是（）A.①B.②C.③D.④【答案

】ABC【解析】【分析】根据奇函数的定义可知①正确；根据导数知识可知②正确；根据单调性求出值域，可知③正确；构造函数根据函数的单调性以及区间端点的函数值的符号可知④错误.-11-【详解】因为()2()xxfxeexfx−−=−+=−，所以①正确；因为

()2220xxxxfxeeee−−=−−=+，当且仅当0x=时等号成立，所以()fx是R上的增函数；所以②正确；为()fx在[0,1]上是增函数，所以(0)0f=()fx221(1)eefe−−=，所以()fx在

[0,1]上的值域是2210,eee−−，所以③正确；令77()()233xxgxfxeeexe−=+−=−−+−，显然()gx是R上的增函数，因为17(1)23geee−−=−++−1103e=−，1717(1)22033geeeee−=−−+−

=−−，所以()gx在[1,1]−上没有零点，即7()3fxe=−在[1,1]−上没有实数根，④错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：掌握函数的奇偶性、单调性、值域的求法是解题关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.13.已知集合2230Mxxx=−−，2322Nxaxa=−+，若MN，则实数a的取值范围是______．【答案】1,12【解析】【分析】先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可

求出.【详解】可得223013Mxxxxx=−−=−，MN，231223aa−−+，解得112a≤≤.故答案为：1,12.-12-14.在四面体ABCD中，25ABAD==，22B

CCD==，4ACBD==，则点A到平面BCD的距离是__________.【答案】15【解析】【分析】取BD的中点E，连接,AECE，证得BD⊥平面ACE，进而得到ACE⊥平面BCD，过A作AOCE⊥，证得AO⊥平面

BCD，得到AO为点A到平面BCD的距离，进而求得点A到平面BCD的距离.【详解】如图所示，取BD的中点E，连接,AECE，在ABD△中，因为25ABAD==，所以AEBD⊥，在ABD△中，因为22BCC

D==，所以CEBD⊥，因为AECEE=I且,AECD平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又由BD平面BCD，所以ACE⊥平面BCD，过A作AOCE⊥，垂足为O，可得AO⊥平面BCD，所以AO为点A到平面BCD的距离，在直角ABE△中，125,22ABBEBD===，可得224AEABBE=−

=，又由4AC=，所以ACE△为等腰三角形，所以O为CE的中点，在直角BCE中，22,2BCBE==，可得222CEBCCE=−=，在直角AOE△中，14,12AEOECE===，所以2215AOAEOE=−=，所以点A到平面BCD的距离

15.故答案为：15.-13-15.已知正数m，n满足482mn=，则32mn+的最小值为________.【答案】24【解析】【分析】结合指数幂的运算性质化简得231mn+=，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解【详解】由482mn=可得2

322mn+=，所以231mn+=，()23493232661223624nmmnmnmnmn+=++=++++=，当且仅当4m=，6n=时取等号.故答案为：24【点睛】本题考查指数运算

及基本不等式，属于基础题16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22122sinababCab+++=+，则ABC外接圆面积的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】化简()22211212ababababababab+++++==++++

+，得到2sin2C，然后，利用基本不等式成立得条件，求出此时的sin1C=，得到ABC外接圆的半径为2c，进而判断c的范-14-围即可求解【详解】因为()22211212ababababababa

b+++++==+++++，2sin2C，所以当且仅当1ab+=，sin1C=时，此时，2C=，ABC外接圆的半径等于2c，22122sinababCab+++=+，又因为22222abab++，所以2212ab+，则212c，

ABC外接圆的面积为228c故答案为：8【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在①212ABBD==，②sin2sinBADABD=

，D为BC的中点，③6DAB=，103AB=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，在ABC中，4ACB=，点D在线

段BC上，10AD=，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】选择条件①：由余弦定理可得5cos9B=，进而可得214sin9B=，再由正弦定理即可得解；选择条件②：由正弦定理可得

2BDDA=，进而可得102CD=，再由余弦定理即可得解；选择条件③：由余弦定理得10BD=，进而可得3ADC=，再由正弦定理即可得解.【详解】选择条件①：212ABBD==，10AD=，-15-在ABD△中，由余弦定理可得2225cos29ABBDADBABBD+

−==，又()0,B，∴2214sin1cos9BB=−=，在ABC中，由正弦定理得sinsinABACCB=，∴21412sin1679sin322ABBACC===；选择条件②：在ABD△中，由sin2sinBADABD=可得2

102BDAD==，又D为BC的中点，∴102CD=，在ADC中，由余弦定理得2222cosADCDACCDACACB=+−，∴210020020ACAC=+−，∴10AC=；选择条件③：在ABD△中，由余弦定理可得2222cos100B

DADABADABDAB=+−=，即10BD=，则10ADBD==，23ADB=，3ADC=，在ADC中，由正弦定理得sinsinADACCADC=，可得sin56sinADADCACC==.18.已知na是各项均为正数的等比数列，2

3a为3a，4a的等差中项.且135aa+=.（1）求na的通项公式；（2）设21222logloglognnbaaa=+++，求11nb+的前n项和.【答案】（1）12nna-=；（2）21nnSn=+.【解析】

【分析】（1）由等差中项的性质列出关系式，解出q的值，再代入135aa+=，解出1a的值，-16-可求出数列na的通项公式；（2）由对数的运算性质和等差数列前n项和计算nb，代入1n+可得111121nbnn+=−+，裂项相消法求

前n项和即可.【详解】（1）∵23a为3a、4a的等差中项，∴2346aaa=+，即222226,60aaqaqqq=++−=(3)(2)0qq+−=，且0na，2q=，又2113111155,1,2nnaaaaqaaa−+=+====；（2）1222(1)lo

g1log22012..(1)2nnnnblogn−−=+++=++++−=1(1)2nnnb++=112112(1)1nbnnnn+==−++，23411111111111121223341nnSbbbbnn+=+++

+=−+−+−+−+122111nnn=−=++.【点睛】本题考查数列基本量的计算和裂项相消法求和，属于基础题.易错点睛：裂项相消求和需要注意裂项时常数的配凑和消项时前后项剩余的项数.19.已知

函数()2sincossincos233fxxxx=+−.（1）求函数()fx的最小正周期T及1003f的值；（2）若关于x的方程3122fxa++=，在30

,4上有3个解，求实数a的取值范围.【答案】（1）T=，34−；（2）13,44.【解析】【分析】（1）展开即可化简；-17-（2）方程解的个数问题转化为图像的交点问题即可.【详

解】（1）313()2sincossincos2sincossin233222fxxxxxxx=+−=−=−，所以()fx的最小正周期T=；100123333sin3332324fff=+==−=−；（

2）因为31331sin2sin21222122226fxxx++=+−+=+，所以3122fxa++=，即sin226xa+=，当30,4x时52,663x+

，由图像可知，13222a，解得1344a，即a的取值范围为13,44.20.如图，四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，45BAD=，5PDAD==，点E，F分别在棱

AB，PC上，且::2:3AEABPFFC==.（1）证明//PA平面DEF；（2）求四棱锥FBCDE−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2523.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行；-18-

（2）由13FBCDEBCDEVSh−=计算可得；【详解】（1）证明：以D为坐标原点，过D垂直于CD的直线为y轴DP所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系5ABAD==210,33AEAEEB==23PFFC=，22522232PC

PDCDPFFC=+===，52525252(0,0,5),,,0,,52222PAPA−=−−105252(0,0,0),,,0,(2,0,3)322DEF−−

105252,,0,(2,0,3)322DEDF=−−=，设平面DEF的法向量为()111,,nxyz=∴11111052520322230xyxz−+=+=，取132x=，则122z=−，1324y=−(32,324,22)n=−−，5252

32(324)5(22)022nPA=−+−−−=，∴//PA平面DEF；-19-（2）13FBCDEBCDEVSh−=，由（1）知，3h=11552252()522323BCDESBECDh=+=+=21332525233FB

CDEV−==21.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，E为SB的中点，且1SAABBC===，12AD=.（1）求证：AE⊥平面SBC；（2）求四棱锥SABCD−体积；（3）求面

SCD与面SAB所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）63.【解析】-20-【分析】（1）结合线面垂直的定义和线面垂直的判定定理可证明；（2）利用棱锥的体积公式可求出体积；（3）建立平面直角坐标

系，求得平面SDC的法向量，又由图形可知平面SAB的法向量为AD，利用向量的余弦公式可求出二面角的余弦值.【详解】（1）∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC，又CBAB⊥，SAABA=，所以CB⊥平面SAB，又AE平面SAB，AEBC⊥ASAB=，E为SB中

点AESB⊥SBBCB=，∴AE⊥平面SBC；（2）11111S11133224SABCDABCDVSA−==+=；（3）以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),,0,0

,(0,0,1)2ABCDS，设平面SDC的法向量为(,,1)xny=则00nSCnSD==，得2,1xy==−(2,1,1)n=−，6cos,3||nADnADnAD==∣令平面SAB和平面SCD所成的二面角为6cos3=.-21-【点睛】本题考查

线面垂直的证明以及求二面角的平面角的余弦值，属于基础题.方法点睛：（1）线面垂直可以用线面垂直的判定定理，证明一条直线和平面内的两条相交直线垂直；（2）线面垂直也可以用面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直交线的直线和另一个平面垂

直.22.已知函数()()()1ln0axfxexa=−.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在()()1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程()2fxaxax=−在)1,+上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围.【答案】（1）1

2e−；（2）10,ae.【解析】【分析】（1）求导()1lnxxefxexx−=+，然后求得()()1,1ff，再由点斜式写出切线方程.（2）显然1x=是方程()2fxaxax=−的根，当0x且1x时，将方程()2fxaxax=−的

根转化为11lnaxexaxx−−=的交点，即ln11lnaxxeeaxx−−=，令()()10xegxxx−=，转化为()()lngaxgx=，则lnaxx=在()1,+上有两个不同的根求解.【详解】（1）当1a=时，()()1lnxf

xex=−，所以()10f=.又()1lnxxefxexx−=+，-22-所以切线的斜率()11kfe==−，则切线方程为()()11yex=−−.该切线与x轴交于点()1,0A，与y轴交于点()0,1Be−，所以围成的三角形的面积为()111122

ee−−=.（2）显然1x=是方程()2fxaxax=−的根，当0x且1x时，方程()2fxaxax=−等价于11lnaxexaxx−−=，则ln11lnaxxeeaxx−−=.记()()10xegx

xx−=，则()()()22111xxxxeexegxxx−−−+==，令()()()110xhxxex=−+，则()0xhxxe=，故()hx在()0,+上单调递增，故()()00hxh=，即()0gx，所以()gx在()0,+上单调递增

，又方程等价于()()lngaxgx=，故只需lnaxx=在()1,+上有两个不同的根.lnxax=，令()lnxkxx=，则()21lnxkxx−=，当()1,xe时，()0kx；当(),xe+时，()0kx.所以()kx在()1,e上单调递增，在(),e+上单调递减，

故()()max1kxkee==.又()10k=，可得10,ae.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点与方程的根，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.