【文档说明】山东省菏泽市2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，993.614 KB，由小赞的店铺上传

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保密★启用前2022--2023学年度第二学期期中考试高二数学试题(A)2023.04注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上

.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、单项选择题:本大题共8小题，

每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()fx在=1x−处可导，且()13f¢-=-，则0(1)(1)lim3xffxx→−−−+=（）A.3−B.1−C.1D.3【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义可得()()()011l

1im3xfxffx→−+−−=−−=，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数()fx在=1x−处可导，且()13f¢-=-，所以()()()011l1im3xfxffx→−+−−=−

−=，所以()()()()()00111111limlim31333xxffxfxfxx→→−−−+−+−−=−=−−=.故选：C2.正弦曲线πsin6yx=+在点π3,62处的切

线斜率是（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义可求得切线的斜率.【详解】对函数πsin6yx=+求导得πcos6yx=+，所以，正弦曲线πsin6yx=+在点π3,62处的切线

斜率是ππ1cos662k=+=.故选：B.3.下列求导运算正确的是（）A.211xx=B.()1ln22=C.()()ee1xxx=−D.()2cos2sinxxxx−

=+【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断ABC选项，利用求导法则可判断D选项.【详解】211xx=−，()ln20=，()ee1exx−=，()2cos2sinxxxx−=+.ABC

均错，D对.故选：D.4.为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”、“数学建模”、“古今数学思想”、“数学探究”、“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（）A.30B.20C.15D.

10【答案】A【解析】【分析】将五门课程分为两组，每组的数量分别为1、4或2、3，然后将这两组课程分配给高一、高二两个学年，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将五门课程分为两组，每组的数量分别为1、4或2、3，然后将这两组课程分配给高一、高二两

个学年，所以，每位同学不同的选修方式种数为()122552CCA15230+==.故选：A.5.已知函数22(1)sin()1xxfxx++=+，其导函数记为()fx，则2023)2023)((f

f−−=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，变形函数()fx并求出()fx，再探讨导函数的奇偶性作答.【详解】函数22212sin2sin()111xxxxxfxxx+

+++==+++定义域为R，则222(2cos)(1)2(2sin)()(1)xxxxxfxx++−+=+，222[2cos()](1)2()[2()sin()]()()(1)xxxxxfxfxx+−+−−−+−−

==+，因此函数()fx是偶函数，所以(2023)(2023)0ff−−=.故选：B.6.已知()fx在R上是可导函数，()fx的图象如图所示，则不等式2(6)()0xxfx−−的解集为（）A.(2,0

)(2,3)−B.),20,()()(23,−−+C.(2,1)(1,3)−−D.),22(,0)()(2,−−−+【答案】C【解析】【分析】根据给定图象，求出()0fx和()0fx的解集，再求解给定不等式作答.【详解】观察函数()fx的图象知，()fx的单调递增区间为(,

1),(1,)−−+，递减区间为(1,1)−，因此不等式()0fx的解集为,1(),)1(−−+，()0fx的解集为(1,1)−，不等式2(6)()0xxfx−−化为：2()060fxxx−−或2()060fxxx−−，解2()060fxxx−−

得：1123xxx−−或，无解；解2()060fxxx−−得：1123xxx−−或，解得2<<1x−−或13x，所以所求解集为(2,1)(1,3)−−.故选：C.7.如图，用

四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A.360种B.264种C.192种D.144种【答案】B【解析】【分析】依题意，完成涂色问题，至少

用3种颜色，可分为4种颜色都用到和只用3种颜色两类.分别计算两类不同的涂色方法，可先给A、B、C三点涂色，再给D、E、F涂色，由乘法原理得结论.最后用加法原理得到不同的涂色方法.【详解】如图，若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有34A种涂法，

再给D、E、F涂色，因D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有13C种涂法，另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有23C种涂法，由乘法原理得3124336ACC21=种．为若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有34A种涂法，再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有2

种涂法，若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有1种涂法，此时E有1种涂法；若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有1种涂法，此时F有1种涂法.由乘法原理得()348A11114+=种．所以，不同的涂色方法共有21648264+=种．故选：B8.已知函数()eln3

=−−−xfxxxxm有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A.1,3−B.2,3−C.1,3+D.1,3−+【答案】C【解析】【分析】将函数的零点转化成方程eln3xxxxm−−=的根，构造函数

l(n)exxxxhx−−=，再通过同构，构造函数etyt=−，利用单调性求出y的值域，进而得出()hx的值域，从而求出结果.【详解】因为()eln3=−−−xfxxxxm，由()0fx=，得到eln30xxxxm−−−=，所以eln3xxxxm−−=，令lnelne(ln)()xx

xhxxxxxx+−−==−+，令lntxx=+，则110tx=+在区间(0,)+上恒成立，即函数t在区间(0,)+上单调递增，又0x→时，t→−，x→+时，t→+，即(,)t−+，所以etyt=−，所以e1ty=−，当(,0)t−时，0y，当(0,)t+时，0

y，即etyt=−在区间(,0)−上单调递减，在区间(0,)+上单调递增，所以0ee01tyt=−−=，且当t→−时，y→+，当t→+时，y→+，又因函数()eln3=−−−xfxxxxm有两个不同的零点，

所以31m，即13m.故选：.C二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()exxfx=，则下列说法正确的是（）A.(

0)1f=B.()fx的最大值是eC.21()e=fx有两个不等实根D.433e4e【答案】AC【解析】【分析】对于选项A，先求()fx，再把0x=代入即可计算；对于选项B，由导数讨论()fx的单调性，即可知()fx在1x=处有最大值1e；对于选项C，把方程21()e=fx变形为2l

n0xx+−=，构造函数()g=2lnxxx+−，讨论()gx的单调性和最值，从而得到()0gx=有两个不等实根；对于选项D，把433e4e、转化为343e4e、，即(3)(4)ff、,再由函数()fx的单调性得(3)(4)ff，从而得到结论.【详解】对于选项A，因为

()exxfx=，所以()2ee1()eexxxxxxfx−−==,所以(0)1f=故选项A正确.对于选项B，因为1()exxfx−=，当1x时，()0fx，所以()fx在(),1−单调递增

，当1x时，()0fx，所以()fx在()1,+单调递减，所以()fx在1x=处有最大值1(1)ef=，故选项B错误.对于选项C，由21()e=fx得2ee1xx=，易知0x.方程化为2eexx=，即()()2lneelnxx=，即()

()2lnelnelnxx+=，即2lnxx+=，即2ln0xx+−=，令()g=2lnxxx+−，则()11g=1xxxx−−=，当01x时，()0gx，所以()gx在()0,1单调递增，当1x时，()0gx，所以()gx在

()1,+单调递减，所以()gx在1x=处有最大值(1)10g=，所以存在()11,x+，使1()0gx=.又因为()()2222222111111()e02eee2ee=2elnln2g−−===+−+−−−+，所以存在221,1ex

，使2()0gx=.所以方程21()e=fx有两个不等实根12,xx.故选项C正确.对于选项D，因为()fx在()1,+单调递减，所以(3)(4)ff，即343e4e，所以433e4e故选项D错误.故选：AC10.在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a，b，则（）A

.ab+被3整除的概率为13B.ab+被3整除的概率为29C.2ab+被3整除的概率为415D.2ab+被3整除的概率为310【答案】AC【解析】【分析】在1，2，3，…，10中，把数分成被3整除、被3除余1和被3除余2三个类型，由a

b+被3整除和2ab+被3整除，分类讨论,ab取值的类型，利用古典概型的概率公式计算.【详解】在1，2，3，…，10中，被3整除的有3个，被3除余1的有4个，被3除余2的有3个，在1，2，3，…，10中随

机选出两个不同的数字a，b，基本事件总数021A90n==种，ab+被3整除，则,ab都能被3整除或一个被3除余1一个被3除余2，共33221142ACCA30+=种选法，ab+被3整除的概率为301903=，故A选项正确，B选项错

误；在1，2，3，…，10中选出数字a，当a被3整除，有2a被3整除，其余情况2a被被3除余1，则2a中，被3整除的3个，被3除余1的有7个，2ab+被3整除，则2,ab都能被3整除或2a被3除余1且b被3除余2，共111134

3322ACCCC24=++种选法，2ab+被3整除的概率为2449015=，故C选项正确，D选项错误；故选：AC11.已知函数()32fxxmxnxp=−+++在(,0−上是减函数，在0,1上是增函数，则下列

说法正确的是（）A.0n=B.若()11f=，则()522f−C.若函数()fx的图象关于点()()1,1f中心对称，则3m=−D.当0p=时，曲线()yfx=过原点的切线有且仅有两条【答案】ABD【解析】【分析】利用极值点与导数的关系可判断A选项；由已知条件得出2pm=−，结合m的取

值范围可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为函数()32fxxmxnxp=−+++在(,0−上是减函数，在0,1上是增函数，则0x=为函数()fx的极小值点，且()2

32fxxmxn=−++，所以，()00fn==，则()232fxxmx=−+，由()0fx=可得0x=或23xm=，由题意可知，()0fx在0,1上恒成立，所以，213m，则32m，A对；对

于B选项，因为()32fxxmxp=−++，则()111fmp=+−=，可得2pm=−，所以，()935248428366222fmpmmm=+−=+−−=−−=−−，B对；对于C选项，若函数()fx的图象关

于点()()1,1f对称，则()()()1121fxfxf−++=，且()()()()()()3232111111fxfxxmxpxmxp−++=−−+−+−++++()226222mxmp=−++−，又因为()11fm

p=+−，所以，()226222222mxmpmp−++−=+−，解得3m=，C错；对于D选项，当0p=时，()32fxxmx=−+，则()232fxxmx=−+，设切点坐标为()32,ttmt−+，故切线方程为()()322

23ytmtmttxt+−=−−，将原点坐标代入切线方程可得323232tmttmt−=−，即3220tmt−=，解得0=t或2mt=，故当0p=时，曲线()yfx=过原点的切线有且仅有两条，D对.故选：ABD.12.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（）A.若6个相同的小球放入编号为1、

2、3、4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法B.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种C.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种D.若6个不同小球放入编号为1、2、3、4的盒子

，且恰有两个空盒的放法共有384种【答案】BC【解析】【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项.【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，每个盒子都不空，只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中

插入3块板即可，所以，不同的放法种数为35C10=种，A错；对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即

可，所以，不同放法种数为254C40=种，B对；对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1、2、3或4、1、1或2、2、2，然后再将这三组小球放入剩余的

三个盒子中，所以，不同的放法种数为222123436426536333CCC4CCCCA2160A++=种，C对；对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有两个空盒，先要指定空盒的编号，有24C6=种情况，然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为

1、5或2、4或3、3，然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，所以，不同的放法种数为33212263466222CCCCCA372A++=种，D错.故选：BC.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.的的13.曲线2()2fxxx=−+在点(0,0)处的切线方程为___

_______.【答案】2yx=【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数2()2fxxx=−+，求导得()22fxx=−+，则有(0)2f=，所以曲

线2()2fxxx=−+在点(0,0)处的切线方程为2yx=.故答案为：2yx=14.若()fx是函数()fx的导函数，且()()22()()1fxfx+=，那么()fx=_____________.(写出一个即可)【答案】sinx##cosx(答案不唯一)【解析】【分析】由()

()22()()1fxfx+=可知，同角的平方关系可以满足题目的条件，所以()fx可以是sinx或cosx.【详解】答案一：因为()()22cossin1xx+=，且()sincosxx=，所以()sinfxx=.答案二：

因为()()22sincos1xx−+=，且()cossinxx=−，所以()cosfxx=.故答案为：sinx或cosx(答案不唯一)15.函数2yx=(x>0)的图像在点2(,)nnaa处的切线与x轴交

点的横坐标为()*1nan+N，且132a=，则246aaa++=___________.【答案】21【解析】【分析】利用导数求出切线方程，进而求出数列{}na的通项作答.【详解】函数2(0)yxx=，求导得2yx=，于是函数2(0)yxx=的图像在点

2(,)nnaa处的切线斜率为2na，切线方程为22()nnnyaaxa−=−，而0na，令0y=，得112nnaa+=，又132a=，因此数列{}na是等比数列，公比为12，1611()22nnnaa−−==，所以4224622121

aaa++=++=.故答案为：21.16.全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成55方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有___________种（用数字作答）.【答案】600【解析】【分析】先从5列中选择3

列，从某一列中任选一个人甲，从另一列中选一个与甲不同行的人，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】从5列中选择3列的选法种数为35C10=种，从某一列中任选一个人甲有5种结果，从

另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙有3种结果，根据分步乘法计数原理可知，共有10543600=种.故答案为：600.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）解不等式：3221212A3A6Axxx++++，xN；（2）已知567117CC10Cmmm−=，求m的值.【答案】（1）2,3,4,5,6；（2）2m=【解析】【分析】（1）根据排列数公

式可得出关于x的不等式组，结合xN可求得原不等式的解集；（2）根据组合数公式结合题干条件可得出关于m的等式，结合m的范围可求得m的值.【详解】解：（1）因为3221212A3A6Axxx++++，则()()()()()21132161xx

xxxxx+−++++，由题意可知13x+，所以，()()21326xxxx−++，即221160xx−−，解得162x-＃，又因为132212xxx+++，解得2x，所以26x，又因为x

N，所以原不等式的解集为2,3,4,5,6；（2）因为567117CC10Cmmm−=，所以，()()()()!5!6!!7!705,56!107!mmmmmmmm−−−−=N！！，所以，()()()()!5!6!!7!105,56!106!mmmmmmmm

−−−−=N！！，所以()()()1667610mmm−−=−−，所以223420mm−+=，解得2m=或21m=（舍），所以2m=18.已知函数()fx，而且21()22fxxxf=+.（1）求12f；（2）若l是曲线()yfx=的

切线，且经过点(2,1)−，求l的方程.【答案】（1）112f=−（2）10y+=或490xy−−=【解析】【分析】（1）由()fx求()fx，令12x=可求12f；（2）设切点坐标，利用导数

求出切线方程，代入点(2,1)−求出未知系数，可得切线方程.【小问1详解】21()22fxxxf=+，则()1222fxxf=+，所以11122222ff=+，得112f=−

.【小问2详解】由(1)可得，()22fxxx=−，()22xfx=−设切点为()()00,xfx，所以切线的斜率为()0022fxx=−，又因为()20002fxxx=−，.所以直线l的方程为：()()

()20000222yxxxxx−−=−−将(2,1)−代入上式并整理，可得200430xx−+=，由此可解得01x=或03x=，因此，切点为(1,1)−或(3,3)，切线方程为10y+=或()343yx−=−，即l的方程为10y+=或490xy−−=.19.某活动主办方要从七名

志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作.（1）若七名志愿者站成一排合影，甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有多少种?（2）若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余五人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种?【答案】（1）1680种（2

）620种【解析】【分析】（1）先安排除甲乙丙之外的4人，然后再安排甲乙丙3人，丙在中间，甲乙在两边，分步计数结合排列数公式计算.（2）分甲乙没入选、甲乙有1人入选和甲乙都入选三个情况讨论，特殊元素优先排，结合分类分步和排列组合数公式计算.【小问1详解】合影的7个位置先安排除甲乙丙之外的4人，然

后再安排甲乙丙3人，丙在中间，甲乙在两边，共有4272AA1680=种不同的排法.【小问2详解】根据题意，分三种情况讨论:1°若选派的四人中既有甲又有乙，分为甲从事导游和不从事导游两类，此时的选派方法共有:()2311253222CACCA140+=.2°若选派的四人中恰有甲乙中的1人，此时的选

派方法有:35312CA360=.3°若选派的四人中既没有甲又没有乙，此时的选派方法有:45A120=.综上，不同的选派方法共有140360120620++=种.20.已知函数()3233fxxax=−+.（1）讨论()fx的单调性；（2）是否存在正

实数a，使得函数()fx在区间0,1上的最小值为1−?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）存在，53a=【解析】【分析】（1）由题意可得()236fxxax=−，按0a=，a<0和0a分类讨论导函数的正负即可得()fx的单调性；（

2）利用（1）中单调性，按21a和021a分情况讨论即可求解.【小问1详解】由题意可得()236fxxax=−，当0a=时，()230fxx=≥恒成立，所以()fx在R上单调递增；当a<0时，20a，令()()320fxxxa=−解得0x

或2xa，令()0fx解得20ax，所以()fx在()(),2,0,a−+上单调递增，在()2,0a上单调递减；当0a时，20a，令()0fx¢>解得2xa或0x，令()0fx解得02xa，所以()fx在()(),0,2,a−+上单调递增，在()0,2a上

单调递减.【小问2详解】存在正实数a，使得函数()fx在区间0,1上的最小值为1−.由（1）知，当0a时，函数()fx在()2,a+上单调递增，在()0,2a上单调递减，①当21a，即12a时，()fx在区间0,1上单调递减，所以()()min11331fxfa=

=−+=−，解得53a=，②当021a，即102a时，()fx在)0,2a上单调递减，在2,1a上单调递增，所以()()33min281231fxfaaa==−+=−，解得1a=，与102a矛盾，舍去，综上可知存在正实数53a=，使得函数()fx在区间0,1上的最小值为1

−.21.经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生产该产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本P(x)万元当年产量小于9万件时，()2124=+Pxxx(万元)；当年产量不小于9万件时，()3e

6ln22Pxxxx=++−(万元)每件产品售价为6元，假若该企业生产的电子产品当年能全部售完（1）写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注:年利润=年销售收入−固定成本−流动成本)（2）当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润

最大?最大年利润是多少?(参考数据:3e20=)【答案】（1）()23142,094e20ln,9xxxQxxxx−+−=−−（2）20万件，16万元【解析】【分析】（1）因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x，根据年利润=年销售收入−固定成本−流

动成本可得答案；（2）当09x时，利用配方法可得()Qx的最大值；当9x时，利用导数可得最大值，从而得到答案.【小问1详解】因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x，由题意可得，当09x时，()(

)2211626224244QxxPxxxxxx=−−=−−+=−+−，当9x时，()()33ee62626ln2220lnQxxPxxxxxxx=−−=−−++−=−−，()23142,094e20ln,

9xxxQxxxx−+−=−−；【小问2详解】由（1）可知，当09x时，()()2211428141444Qxxxx=−+−=−−+，当且仅当8x=时，等号成立，当9x时，()3e20ln=−−Qxxx，则()33221ee−=−+=xQxxxx，所以，当39ex

时，()0Qx，函数()Qx单调递增；当3ex时，()0Qx，函数()Qx单调递减；所以当3ex=时，()Qx取得最大值()3333ee20lne16e=−−=Q，综上，当3e20x=时，()Qx取得最大值16万元；即当年产量约为20万件时，该小微企业的这一产品所获年利润最大

，最大年利润是16万元.22.已知函数2()ln11fxaxx=+−+.（1）当38a=时，求函数()fx的极值；（2）若22()(1)ln(1)(0)gxaxxxa=−−−有三个零点123,,xxx，其中123xxx.(i)求实数a的取值范围；(ii)求证：()()1311axx

−+.【答案】（1）极大值为13ln328−,极小值为31ln382−.（2）(i)10,2；(ii)证明见解析.【解析】【分析】(1)先求()fx导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.(2)(i)先把()gx化为()()2

1xfx−，则()fx除1外还有两个零点，通过求导讨论()fx的单调性，当0a时，()fx在()0,+单调递减，不满足，舍去.当0a时，()fx除1外还有两个零点，则()fx不单调，可求出实数a满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，

从而说明所求的不等式为符合题意的实数a的取值范围；(ii)由题意得()1ffxx=−，结合(i)可知131xx=，再用基本不等式证明结论.的【小问1详解】当38a=时，()32ln181fxxx=+−+，定义域为()0,+.()()()(

)()()2222331323103818181xxxxfxxxxxxx−−−+=−==+++，令()0fx¢>，得103x或3x；令()0fx，得133x；所以函数()fx的单调递增区间为10,3，()3,+，单调递减区间为1,33.因此，当13x=时

，()fx有极大值，并且极大值为113ln3328f=−,当3x=时，()fx有极小值，并且极小值为()313ln382f=−,【小问2详解】(i)()()()()()()222221ln11ln111gxaxxxxaxxfxx=−−−=−+−=−+

，()10g=，()10f=，则()fx除1外还有两个零点，()()()()22222211axaxaafxxxxx+−+=−=++，令()()222(0)hxaxaxax=+−+，当0a时，()0hx在()0,+恒成立，则()0fx，所以()fx在(

)0,+单调递减，不满足，舍去.当0a时，()fx除1外还有两个零点，则()fx不单调，所以()hx存在两个零点，所以()222240aa=−−，解得102a，当102a时，设()hx的两个零点为(),mnmn，则

220mna+=−，1mn=，所以01mn，当0xm或xn时，()0hx，()0fx¢>，函数()fx单调递增；当mxn时，()0hx，()0fx，函数()fx单调递减；又()10f=，所以()0fm，()0fn，而11111e12ee10e1e1aaaaaf−−

−−−−=−−=−++，且1e1a−，1111e12e10e1e1aaaaf−=−=++，且1e1a，所以存在11e,axm−，13,eaxn，使得()()130fxfx==，即()()()()22ln110gxa

xxxa=−−−有3个零点312,1,xxx=,综上，实数a的取值范围为10,2.(ii)证明:因为()11111lnlnln1111xxxfaxaxaxfxxxxx−−−=−−=−−=−+=−+++，所以若()0fx=，则10fx=

，所以131xx=，131xx=，又102a，所以112a−，311322xxxx+=，当且仅当13xx=时不等式取等号.所以()()1311axx−+.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0fx=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在

性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的

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