【文档说明】第02讲 集合的运算（7大考点13种解题方法）（解析版）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）.docx，共(31)页，1.918 MB，由管理员店铺上传

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第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x

|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.

3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性质考点考向A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A

∩B⊆A.5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。【要点注意】1．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B()()UUABABU==

痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUUABAB痧?；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()UUUABAB痧?．1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描

述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基

本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点一：交集题型一：交集的概

念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A=，{2,3,4}B=，则AB=（）A．{1,2,3,4}B．{2,3}C．{1,2}D．【答案】B考点精讲方法技巧【分析】根据交集的定义可求AB.【详解】2,3AB=，

故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合22Axx=−，2,0,1,2B=−，则AB=（）A．1,0,1−B．0,1C．{}2,0,1,2-D．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为22Axx=−，

2,0,1,2B=−，所以{0,1}AB=，故选:B．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合2,3,4,5A=，1,Ba=，若5AB=，则=a（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】根

据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为5AB=，故可得51,a，则5a=.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合322Pxx=，非空集合2135Qxaxa=+−，则能使()QPQ成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9)B．[

1,9]C．[6,9)D．(6,9]【答案】D【分析】由()QPQ知QP，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()QPQ，∴PQQ=，QP，∴21352133522aaaa+−+−，解得69a，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021

·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,Axyyx==，(),Bxyyx==，则AB中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】联立方程解得11xy==或11xy=−=−，得到答案.【详解】1yxyx==，解得11x

y==或11xy=−=−，故AB中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合1,2,3,4AB=，1,2AB=，集合B中有3个元素，则A中元素个数为（）A．1B．2C．3D．不确定【答

案】C【分析】根据条件得到1,2,3B=或1,2,4B=，进而可得集合A中元素个数.【详解】1,2AB=，则集合B中必有元素1，2当1,2,3B=时，1,2,4A=，当1,2,4B=时，1,2,3A=，故集合A中元素个数为3

.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}Axx=，{|320}Bxx=−，则（）A．32ABxx=B．AB=C．2ABxx=D．ABR=【答案

】AC【分析】先求得集合B，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2BxxBxx=−==，所以32ABxx=，2ABxx=.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第

一中学高一阶段练习）已知集合{|2}Axx=，{|320}Bxx=−，则（）A．32ABxx=B．AB=C．ABR=D．AB2xx=【答案】AD【解析】先化简集合B，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}Axx=

，33202Bxxxx=−=，因此32ABxx=，AB2xx=.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合1,4,,1,2,3AaB==，若1

,2,3,4AB=，则a的取值可以是（）A．2B．3C．4D．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得1,4,a1,2,3,4，即可得到a的取值；【详解】解：因为1,2,3,4AB=，所以1,4,a1,2,3,4，所以2a=或3a=；故选：AB4．（多

选）（2021·湖南·高一期中）已知集合1,4,Mx=，2,3N=，若1,2,3,4MN=U，则x的可能取值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，

集合1,4,Mx=，2,3N=，且1,2,3,4MN=U根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x=或3x=．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）

若集合0,1,2,Ax=，2{1,}Bx=，ABA=则满足条件的实数x为()A．0B．1C．2−D．2【答案】CD【分析】由ABA=说明B是A的子集，然后利用子集的概念分类讨论x的取值．【详解】解：由ABA=，

所以BA．又0,1,2,Ax=，2{1,}Bx=，所以20x=，或22x=，或2xx=．20x=时，集合A违背集合元素的互异性，所以20x．22x=时，2x=−或2x=．符合题意．2xx=时，得0x=或1x=，集合A均违背集合元素互异性，所

以2xx．所以满足条件的实数x的个数有2个．故选CD．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（202

2·广东汕尾·高一期末）全集U=R，集合3Axx=−，则UA=ð______．【答案】3xx−【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U=R，集合3Axx=−，所以UA=ð3xx−，故答案为：3xx−2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S＝{2,3,4}，

集合A＝{4,3}，则SAð＝____；若全集S＝{三角形}，集合B＝{锐角三角形}，则SBð＝______；若全集S＝{1,2,4,8},A＝，则SAð＝_______；若全集U＝{1,3,a2＋2a＋1}，集合A＝{1,3}，UAð＝{4}，则a＝_______；已知U是全集，集合A＝{0

,2,4}，UAð＝{－1,1}，UBð＝{－1,0,2}，则B＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S＝{2,3,4}，集合A＝{4,

3}，由补集的定义可得SAð＝{2}；若全集S＝{三角形}，集合B＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故SBð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S＝{1,2,4,8},A＝∅，由补集的定义SAð＝{1,2,4,8}；若全集U

＝{1,3,a2＋2a＋1}，集合A＝{1,3}，UAð＝{4}，故{1,3,4}UUAA==ð即2214aa++=，即223(1)(30aaaa+−=−+=），解得=a1或－3；已知U是全集，集合A＝{0

,2,4}，UAð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}UUAA==−ð，UBð＝{－1,0,2}，故B={1,4}。故答案为：{2}，{直角三角形或钝角三角形}，{1,2,4,8}，1或－3，{1,4}题型八：根据补

集运算确定集合或参数3．（2021·广东外语外贸大学实验中学高一期中）若全集0,1,2,3U=且2UA=ð，则集合A的真子集共有______________个．【答案】7【分析】由补集结果可确定集合A，由A

中元素个数可确定真子集个数.【详解】0,1,2,3U=且2UA=ð，0,1,3A=，共3个元素，A的真子集共有3217−=个.故答案为：7.4．（2021·全国·高一课时练习）设aR，bR，全集U=R，Axaxb=，2UAxx=−ð或3x，则ab+=_____

_.【答案】1【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果.【详解】因为U=R，Axaxb=，所以UAxxa=ð或xb.又2UAxx=−ð或3x，所以2a=−，3b=，所以1ab+=.故答案为：1.考点四：集合的交并补题型九:交并补混合运算1．（湖南省部分校20

21-2022学年高二下学期基础学科知识竞赛数学试题）已知集合|5Uxx=N，1,2,4A=，{}0,3,4B=，则()UAB=ð（）A．2,4B．2,5C．1,2D．0,2,4【答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】|50,1,2,3

,4,5Uxx==N，1,2,5UB=ð，()1,2UAB=ð，故选：C.2．（2022·浙江宁波·高二期末）已知全集1,2,3,4U=，集合1,3,1,2AB==，则()UAB=ð（）A

．2,4B．1,2,4C．1,2,3D．1,3,4【答案】B【分析】先求集合A的补集，再根据并集运算求出结果.【详解】因为1,2,3,4U=，1,3A=，所以2,4UA=ð；因为1,2B=，所以()1,2,4UA

B=ð.故选：B.3．（2020·山西大附中高二阶段练习）已知集合1,Z,1,Z22nExxnnFxxn==+==+，则()FE=Rð（）A．B．EC．FD．Z【答案】A【分析】由交集补集的定义求解即可【详解】121

,,,22nExxnnZxxnZ+==+==21,,22nnFxxnZxxnZ+==+==易知EF，所以()FE=Rð．故选：A．题型十：根据交并补混合运算确定集合或参数4．（2021·浙江·玉环中学高一阶段

练习）设全集U=R，集合{|24}Axx=−，{|13}Bxx=，{|}Cxxa=．(1)求()UAB∩ð；(2)若()UBC=Ið，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2,1][3,4)UACB=-IU，(2)3a【分析】（1）先求UBð

，再求交集即可；（2）先求UCð，再根据数轴上的关系分析()UBC=Ið时实数a的取值范围即可(1){|1UBxx=ð或3}x，故IUð(2,1][3,4)UAB=-．(2)ð{|}UCxxa=?，因为()UBC=Ið，故3

a．5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合14Axx=，12Bxaxa=+.(1)当2a=时，求AB；(2)若RBA=ð，求实数a的取值范围.【答案】(1)|14xx，(2)2

aa【分析】（1）根据并集的概念可求出结果；（2）求出RAð后，分类讨论B是否为空集，再根据交集的结果列式可求出结果.(1)当2a=时，34Bxx=，AB=|14xx.(2)A=Rð{|1xx或4x}，当B=时

，BA=Rð，此时12aa+，解得1a；当B时，若BA=Rð，则241121aaaa，＋，＋，解得12a.综上，实数a的取值范围为2aa.6．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知集合A＝123xmxm−+，．(1

)当m＝1时，求AB，(RðA)B；(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数2()4fxx=−+的定义域为集合B；②不等式2x的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)|25=−

ABxx；()|20RABxx=−ð(2)1|4,12mmm−−−或【分析】（1）利用集合的运算求解即可.（2）通过AB＝A得出AB，计算时注意讨论A为空集的情况.(1)选条件①：（1）当1m=时，|05Axx=，

2Bxx=−|25ABxx=−|0,5RAxxx=或ð()|20RABxx=−ð选条件②：此时集合2Bxx=−与①相同，其余答案与①一致；(2)若ABA=，则AB当A

=时，123mm−+，解得4m−当A时，21123232mmmm−−−++，即1412mmm−−−，解得112m−−综上，实数m的取值范围为1|412mmm−−−或考点五：Venn图题型十一：Venn图1．（湖北省武

汉市四校联合体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知MR，NR，RNMð，则()RMN=Ið（）A．B．NC．RD．M【答案】D【分析】根据Venn图判断即可【详解】因为MR，NR，RNMð，故MN=，故()RM

NM=ð故选：D2．（2022·河南河南·高一期末）集合0,1,2,4,8A=，2xBxA=，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先求出集合B，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；【详解】

解：∵0,1,2,4,8A=，2xBxA=，∴0,1,2,3B=，则0,1,2AB=，0,1,2,3,4,8AB=，选项A中阴影部分表示的集合为AB，即0,1,2，故A错误；选项B中阴影部分

表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即R4,8AB=ð，故B正确；选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即R3BA=ð，有1个元素，故C错误；选项D中阴影部分表示的集合由属于AB但不属于AB的元素构成，即3,4,8，故D错误

．故选：B．3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知{33}Uxx=−∣，{23}Axx=−∣，则图中阴影表示的集合是（）A．{32}xx−−∣B．{3xx−∣或3}xC．{0}xx∣D．{32}xx−

−∣【答案】D【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案.【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是UAð，所以{32}UAxx=−−∣ð.故选：D4．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合A，B，C，全集为I，则

图中阴影部分的区域表示（）A．ABCB．()IACBðC．()IABCðD．()IBCAð【答案】B【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A.ABC对应的是区域1；B.()

IACBð对应的是区域2；C.()IABCð对应的是区域3；D.()IBCAð对应的是区域4.故选：B考点六：集合的应用一、单选题1．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35

名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A．8B．10C．12D．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解

：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+−=.故选：A.2．（2021·全国·高一期中）学校对高一学生进行体质检测，检测项目包括跑步和立定跳远，某班65名学生中有15的学生两项检测都未达标，跑步达标的有35人，立定跳

远达标的有42人，则该班两项检测都达标的学生人数为（）A．13B．23C．25D．30【答案】C【分析】求出至少有一项检测达标的学生人数即可得出.【详解】两项检测都未达标的学生人数为165135=，所以至少有一项检测达标的学生人数为651352−=，所以两项检测

都达标的学生人数为35425225+−=．故选：C.3．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23

C．18D．16【答案】C【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解.【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，

所以参加本次运动会的人数共有18人.故选：C4．（2021·江苏·高一期中）某班有30人参加了“第十四个五年规划的知识竞赛”若答对第一题的有18人，答对第二题的有16人，两题都答对的有8人，则一、二两题都没答对的有（）A．

3人B．4人C．5人D．6人【答案】B【分析】结合交并补集的概念，结合题意即可求出结果.【详解】设全班的同学组成全集U，答对第一题的同学组成集合A，答对第二题的同学组成集合B，由题意可得A中元素有18个，B中

元素有16个，AB中元素有8个，所以AB中元素的个数为1816826+−=个，所以()UABð中元素的个数为30264−=个，故一、二两题都没答对的有4人，故选：B.二、填空题5．（2021·湖南·高一期中）某学校开设校本课程，高一（2110）

班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课

程都选择参加的有___________人.【答案】5【分析】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得()()()83711840xxxx+−+−+−+=，解方程可求得结果【详解】设三类课程都选择参加的学生有x人，由

题意得()()()83711840xxxx+−+−+−+=，解得5x=.故答案为：56．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一阶段练习）某校高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有24人，参加物理小组的有30人，至少参加一个小组的有43人，则既参加数学小组又参加物理小组的人数

为____________.【答案】11【分析】根据集合的交集并集的定义得到答案.【详解】既参加数学小组又参加物理小组的人数为24304311+−=.故答案为：11.7．（2021·湖北黄石·高一阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要

从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只

选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.【答案】9【分析】根据题意，设学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C，选择物理

与化学但未选生物的人组成集合D，结合Venn图可知，要使区域D的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.【详解】把学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D.要使选

择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.考点七：集合新定义1．（2022·贵州

·凯里一中高一期中）已知{|MxxA=且}xB，若集合1,2,3,4,5A=，2,4,6B=，则M=（）A．1,3,5,6B．1,3,5C．2,4D．6【答案】B【分析】直接利用集合M的含义解答.【详解】解：由题得{}1,3,5M=.故选：B2．（2022·全国·高

一）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合{}1,2A=-，2|2,0Bxaxa==，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的取值为____________．【答案】0【分析】根据题中定义，结合子集的定义

进行求解即可.【详解】当0a=时，B=，显然BA，符合题意；当0a时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合B、A之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为：03．（2022·北

京一七一中高一阶段练习）已知集合()1234,,,,N,1,2,3,4iAxxxxxi===.对集合A中的任意元素()1234,,,xxxx=，定义()()12233441,,,xxxxxxxxT−−=−−，当正整数2n时，

定义()1()()−=nnTTT（约定1()()=TT）.(1)若()2,0,2,1=，()2,0,2,2=，求()4T和()4T；(2)若()1234,,,xxxx=满足()0

,11,2,3,4ixi=且()2()1,1,1,1T=，求的所有可能结果.【答案】(1)4()(0,0,0,0)T=和4()(0,0,0,0)T=(2)的所有可能结果为(0,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,1),

(1,1,0,0)【分析】（1）代入(2,0,2,1)=和(2,0,2,2)=，逐个计算出()T，2()T，3()T，4()T和()T，2()T，3()T，4()T，即可得到答案.（2）根据()1234,,,xxxx=，得到()()12233441

,,,xxxxxxxxT−−=−−，利用2()(1,1,1,1)=T，得到12232334344141121111xxxxxxxxxxxxxxxx−−−=−−−=−−−=−−−=，然后，分类讨论，即可

得到，①120,0==xx；②120,1xx==；③121,0xx==；④121,1xx==；四种情况下的所有可能结果.(1)当(2,0,2,1)=时，()(2,2,1,1)T=，2()(0,1

,0,1)T=，3()(1,1,1,1)T=，4()(0,0,0,0)T=；当(2,0,2,2)=时，()(2,2,0,0)T=，2()(0,2,0,2)T=，3()(2,2,2,2)T=，4()(0,

0,0,0)T=；(2)因为()1234,,,xxxx=，所以，()()12233441,,,xxxxxxxxT−−=−−，又因为2()(1,1,1,1)=T，所以，1223233434414112

1111xxxxxxxxxxxxxxxx−−−=−−−=−−−=−−−=，因为{0,1}(1,2,3,4)ixi=，当12xx=时，2341431|0xxxxxx−=−=−=，∣，当121xx−=｜｜时，234100xxxx−=−=，，所

以，当120,0==xx时，经检验(0,0,1,1)=符合题意，当120,1xx==时，经检验(0,1,1,0)=符合题意，当121,0xx==时，经检验(1,0,0,1)=符合题意，当121,1xx==时，经检验(1,1,0

,0)=符合题意.所以，的所有可能结果为(0,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,1),(1,1,0,0).4．（2022·北京二中高一阶段练习）对于正整数集合()*12,,,,3nAaaann=N，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,iain=L之后，剩余的所有元素

组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.(1)判断集合1,2,3,4,5与1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若

集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；(3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.【答案】(1)1,2,3,4,5不是“和谐集”，1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析，(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元

素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n为奇数，根据n的取值讨论后求解(1)对于1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故1,2,3,4,5不是“和谐集”，对于1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，1,3,5,

7,9不是“和谐集”(2)设12,,,nAaaa=中所有元素之和为M，由题意得iMa-均为偶数，故()1,2,,iain=L的奇偶性相同①若ia为奇数，则M为奇数，易得n为奇数，②若ia为偶数，此时取2iiab

=，可得12,,,nBbbb=仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，若ib仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n为奇数综上，集合A中元素个数为奇数(3)由（2）知集合A中元素个数为奇数，显然3n=时，集合不是“和谐集”，当5n=时，不妨设12

345aaaaa，若A为“和谐集”，去掉1a后，得2534aaaa+=+，去掉2a后，得1534aaaa+=+，两式矛盾，故5n=时，集合不是“和谐集”当7n=，设{1,3,5,7,9,11,13}A=，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711+

+=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,

5,7,9,11,13}A=是“和谐集”，元素个数的最小值为7一、单选题巩固提升1．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知全集U=R，集合2Axx=，23Bxx=−，则图中阴影部分表示的集合为（）A．22−,B．(2,2−C．()2,2−D．)2,2−【答

案】C【分析】依题意图中阴影部分表示()BABð，再根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为2Axx=，23Bxx=−，所以23ABxx=，所以()22BABxx=−

ð.故选：C2．（2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知集合2Ayyx==，(,)Bxyyx==，则AB的子集个数为（）A．0B．1C．2D．4【答案】B【分析】由交集运算与子集的定义求解即可

【详解】因为2Ayyx==，(,)Bxyyx==，所以AB=，所以AB的子集为，所以AB的子集个数为1，故选：B3．（2022·江苏·高一）已知集合{|24},{|3AxxBxx==或5x，则AB=

（）A．{|2<<5}xxB．{|<4xx或5xC．{|2<<3}xxD．{|<2xx或5}x【答案】C【分析】根据交集的概念及运算法则求出交集.【详解】由题意得：(2,3)AB=，故选：C．4．（2021·新

疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U=，集合2,3,5,6A=，集合1,3,4,6,7B=，则集合()UABð的真子集的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．7个【答案】B【分析】先求出()UAB∩ð，再计

算真子集个数即可.【详解】由题意知：2,5,8UB=ð，则()2,5UAB=ð，则()UABð的真子集的个数为2213−=.故选：B.5．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{|33}Axx=−，{2,0,1,2,3}B=−，则AB=（）A．{2,0,1,2}−B．{2,0,1}

−C．{0,1,2}D．{0,1}【答案】A【分析】根据交集的计算即可求解.【详解】解：因为{|33}Axx=−，{2,0,1,2,3}B=−，所以2,0,1,2AB=−；故选：A6．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知集合10,2AxxBxx=+=−，则A

B=（）A．1xx−B．21xx−−C．2xx−D．R【答案】D【分析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.【详解】依题意，1Axx=−，而2Bxx=−，所以AB=R

．故选：D7．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,2,4}A=，{2,3}B=，则()()UUAB=痧（）A．{2}B．{5}C．{1,3,4,5}D．{1,2,3,4}【答案】B【分析】先求解集

合A与集合B的补集，利用交集运算求解即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,2,4}A=，{2,3}B=，则3,5UA=ð，1,4,5UB=ð，故()()5UUAB=痧.故选：B.

二、多选题8．（2022·全国·高一）若集合1,0,1,2M=−，集合1,0,1N=−，则正确的是（）A．,xMxNB．,xNxMC．1,0,1MN=−D．1,0,1,2MN=−【答案】ABCD【分析】根据2M，且2N可

判断A选项；利用集合的包含关系可判断B选项；利用集合的运算可判断CD选项.【详解】对于A选项，2M，且2N，A对；对于B选项，NQM，所以，xN，xM，B对；对于C选项，1,0,1MN=−，C对；

对于D选项，1,0,1,2MN=−，D对.故选：ABCD.9．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）下列关系中正确的有（）A．9ZB．*0NC．14QD．RQð【答案】ACD【分析】根据常用集合的专用符号，结合元素与集合的关系，以及集合的补运算，对每个选项进行逐

一分析，即可判断和选择.【详解】对A：Z表示整数集，93=是整数，故A正确；对B：*N表示正整数集，0不是正整数，故B错误；对C：Q表示有理数集，14是有理数，故C正确；对D：RQð表示无理数构成的集合，是无理数，故D正确；故选：ACD

.10．（2022·全国·高一）已知集合A，B均为R的子集，若AB=，则（）A．RABðB．RABðC．ABR=D．()()RRABR=痧【答案】AD【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图

所示根据图像可得RABð,故A正确；由于RBAð，故B错误；ABR,故C错误()()()RRRABABR==痧?故选：AD11．（2022·全国·高一专题练习）对于集合A，B，定义{|,}ABxxAxB−=

，()()=−−ABABBA．设1,2,3,4,5,6M=，4,5,6,7,8,9,10N=，则MN中可能含有下列元素（）．A．5B．6C．7D．8【答案】CD【分析】根据所给定义求出MN−，NM−，即可求出MN，从而判断即可

；【详解】解：因为1,2,3,4,5,6M=，4,5,6,7,8,9,10N=，所以1,2,3,7,8,9,10MNNM−=−=，∴()(){1,2,3,7,8,9,10}MNMNNM=−−=．故选：CD三、填空

题12．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合0,1,2,1PQxx==∣…，则PQ的非空真子集的个数为__________.【答案】2【分析】先求PQ后再计算即可.【详解】1,2,PQPQ=的非空真子集的个数为2222−=.故

答案为：213．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}AxxBxx==ZZ，则AB的子集的个数为___________.【答案】8【分析】先求得AB，然后求得AB的子集的个数.【详解】2,3,

3,4AB==，{2,3,4}AB=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：814．（2020·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知12Axx=−，1Bxx=则AB=_________【答案】

)1,1−【分析】利用交集的运算解题即可.【详解】交集即为共同的部分，即|11ABxx=−.故答案为：)1,1−15．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）若A=(,)21xyyx=−，B=2(,)xyyx=，则AB=____

________【答案】{(1,1)}【分析】由集合中的条件组成方程组求解可得.【详解】将21yx=−代入2yx=，得2210xx−+=，解得1x=，则211y=−=，所以{(1,1)}AB=.故答案

为：{(1,1)}16．（2022·全国·高一）满足11,2,3A的所有集合A是______.【答案】1或1,2或1,3或1,2,3【分析】根据子集的定义和交集的定义求解即可.【详解】∵11,2,3A，∴1

为1,2,3A的子集，∴1,2,3=1A或1,2,3=12A，或1,2,3=1,3A，1,2,3=1,23A，∴1A=或=1,2A或=1,3A或1,2,3A=，故答案为：1或1,2或1,3或1,2,3.17．（2021

·江西·丰城九中高一阶段练习）某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．【答案】23【分析】利用容斥原理判断参加田赛和径赛

的同学人数，进而可得没有参加比赛的人数.【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723−=

人.故答案为：2318．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知集合35,10AxZxByy=−=+∣∣，则AB的元素个数为___________.【答案】5【分析】直接求出集合A、B，再求出AB，即可得到答案.【详解】因为集合352,1,0,1,2,3,4AxZx=−

=−−∣，集合101Byyyy=+=−∣∣，所以0,1,2,3,4AB=，所以AB的元素个数为5.故答案为：5.19．（2022·湖南·高一课时练习）已知A，B为非空集，I为全集，且AB，用适当的符号填空：（1）AB______AB；（2）A______()IAAð

；（3）AB______A；（4）______AB；（5）AA______AA；（6）A______A；（7）A____()IAAð____；（8）AB____A____AB．【答案】====【分析】根据集合的交集，并集，补集的性质及子集、集合相

等的概念求解.【详解】由交集，并集，补集的运算及性质，结合子集、集合相等求解，直接写出答案即可.故答案为：，，，，=，=，=，=，，20．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素1,0,1−；②若aM，则11aMa+

−，则下列结论不正确的个数是__________个.（1）集合M中至多有2个元素；（2）集合M中至少有4个元素；（3）集合M中有且仅有4个元素；（4）集合M中至多有4个元素.【答案】3【分析】由题意可求出11,,11,1a

aaaaa−+−−+都在M中，然后计算这些元素是否相等，继而判断M的元素个数的特点.【详解】因为若aM，则11aMa+−，所以1111111aaMaaa++−=−+−−，111111aaMaa−−=++，则11211211aaaaMaa−++==−−+；当1,0,1

a−时，4个元素11,,11,1aaaaaa−+−−+中，任意两个元素都不相等，所以集合M中至少有4个元素．故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，故答案为：3.四、解答题21．（2022·全国·高一）已知集合{|32}Axx=−，集合{|131}Bxmxm=−−

．(1)当3m=时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围【答案】(1)|22ABxx=−；(2)|4mm.【分析】（1）由题意可得{|28}Bxx=−，利用交集的定义运算即得；（2）由

题可得13312mm−−−，即得．(1)当3m=时，{|28}Bxx=−，{|32}{|28}{|22}ABxxxxxx=−−=−；(2)由AB，则有：13312mm−−−，解得：41mm，即4m≥，实数m的取值范

围为{|4}mm．22．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知集合{1,0,1},{0,2},{1,0,1,2,3}ABU=−==−．(1)求AB；(2)求()UABð．【答案】(1){1,0,1,2}AB=−，(

2)(){1,1,2,3}UAB=−ð【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集、补集的定义计算可得；(1)解：因为{1,0,1}A=−，{0,2}B=，所以{1,0,1,2}AB=−．(2)解：因为1,0,1,2,3U=−，{1,0,1}A=−，{0,2}B=，所以{0}A

B=，所以(){1,1,2,3}UAB=−ð．23．（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）设全集为R，集合37Axx=，26Bxx=，求()RABð，()RABð．【答案】()R{2ABxx=ð或7}x；()R{3ABxx

=ð或6}x【分析】根据交集、并集的概念，先求得AB、AB，根据补集运算的概念，即可得答案。【详解】因为37Axx=，26Bxx=，所以{27}ABxx=，则()R{2ABxx=ð或7}x，又{36}ABxx=，所以()R{3ABxx=

ð或6}x24．（2016·天津市红桥区教师发展中心高一期中）（1）已知全集|510,ZUxxx=−，集合M={|07,Zxxx}，N={|24,Zxxx−≤}，求()UNMð（分别用描述法和列举法表示结果）；（2）已知全集0,1,2

,3,4,5,6,7,8,9,10UAB==，若集合2,4,6,8UAB=ð，求集合B；（3）已知集合2{|210,R,R}Pxaxaxax=++=，当集合P只有一个元素时，求实数a的值，并求出这个元素.【答案】（1）|47,Zxxx，4,5,6,7

；（2）0,1,3,5,7,9,10；（3）1a=，元素为1−.【分析】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答.（2）利用补集的定义直接计算作答.（3）利用元素与集合的关系推理计算作答.【详解】（1）由|510,ZUxxx=−，N={|24,Zxxx−≤}，得：{|52U

Nxx=−−ð或410,Z}xx，而{|07,Z}Mxxx=，所以()|47,ZUNMxxx=ð4,5,6,7=.（2）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10UAB==，2,4,6,8UAB=ð，得{2,4,6,8}UB=ð，所以

()0,1,3,5,7,9,10UUBB==痧.（3）当0a=时，P=，不符合题意，当0a时，因集合P只有一个元素，则方程2210axax++=有等根，2440aa=−=，此时1a=，集合P中的元素为1−，所以1a=，这个元素是1−.25．（2022·江苏·高一单元

测试）已知集合|20Mxx=−，{|53}Nxtxt=+.(1)当1t=−时，求MN；(2)若MN，求实数t的取值范围.【答案】(1)|20MNxx=−，(2)235−−

，【分析】（1）根据交集的概念进行运算可得结果；（2）根据子集关系列式可求出结果.(1)当1t=−时，52Nxx=−，因此|20MNxx=−.(2)因|20Mxx=−，53Nxtxt=+，MN

，所以355230tttt+−+，经计算得235t−−，故实数t的取值范围是23.5−−，26．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集U=R，集合|34Axx=−，|132Bxmxm=−−.(1)当3m=时，求A∩

B与A∪B；(2)若UBAð，求实数m的取值范围.【答案】(1)|24ABxx=，|37ABxx=−；(2)()1,5,2−+．【分析】（1）根据集合的交集和并集运算即可解出；（2）根据集合的包含关系列出不等式组

即可解出．(1)当3m=时，|132|27Bxmxmxx=−−=，而|34Axx=−，所以|24ABxx=，|37ABxx=−．(2)因为()(),34,UA=−−+ð，而|132Bxmxm=−−，所以，当132mm−−即12

m时，B=，显然符合；当12m时，B，要UBAð，所以323m−−或14m−，解得：5m．综上，实数m的取值范围为()1,5,2−+．27．（2022·北京·清华附中

朝阳学校高一阶段练习）对于任意的*nN，记集合{1,2,3,,}nEn=，,,nnnaPxxaEbEb==，若集合A满足下列条件：①nAP；②12,xxA，且12xx，不存在*Nk，使212xxk+=，则称A具有性质Ω.如当2

n=时，2{1,2}E=，2121,2,,22P=，112,xxP，且12xx，不存在*Nk，使212xxk+=，所以2P具有性质Ω.(1)写出集合3P，4P中的元素个数，并判断3P是否具有性质Ω.(2)证明：不存在A､B具有性质

Ω，且AB=，使15EAB=.(3)若存在A､B具有性质Ω，且AB=，使nPAB=，求n的最大值.【答案】(1)3P，4P中的元素个数分别为9，14，3P不具有性质．(2)证明见解析，(3)14【分析】（1）由已知条件能求

出集合3P，4P中的元素个数，并判断出3P不具有性质．（2）假设存在A，B具有性质，且AB=，使15EAB=．其中15{1E=，2，3，，15}，从而1AB，由此推导出与A具有性质矛盾．从而假设不成立，即不

存在A，B具有性质，且AB=，使15EAB=．（3）当15n…时，不存在A，B具有性质，且AB=，使nPAB=．14n=，根据1b=、4b=、9b=分类讨论，能求出n的最大值为14．(1)解：对于任意的*nN

，记集合{1nE=，2，3，，}n，,,nnnaPxxaEbEb==．当3n=时31,2,3E=，31231231,2,3,,,,,,222333P=；当4n=时41,2,3,4E=，412341234131,2,3,4,,,,,,,,,,2222223333

P=，集合3P，4P中的元素个数分别为9，14，集合A满足下列条件：①nAP；②1x，2xA，且12xx，不存在*kN，使212xxk+=，则称A具有性质，因为31P，33P，2132+=，*2N，不符合题意，

3P不具有性质．(2)证明：假设存在A，B具有性质，且AB=，使15EAB=．其中15{1E=，2，3，，15}．因为151E，所以1AB，不妨设1A．因为2132+=，所以3A，3B．同理6A，10B，15A．因为21154+=，这与A具有性质矛盾．所以假设不

成立，即不存在A，B具有性质，且AB=，使15EAB=．(3)解：因为当15n…时，15nEP，由（2）知，不存在A，B具有性质，且AB=，使nPAB=．若14n=，当1b=时，1414,1axxaEE

==，取1{1A=，2，4，6，9，11，13}，1{3B=，5，7，8，10，12，14}，则1A，1B具有性质，且11AB=，使1411EAB=．当4b=时，集合14,4axxaE=

中除整数外，其余的数组成集合为13513{,,,,}2222，令215911{,,,}2222A=，23713{,,}222B=，则2A，2B具有性质，且22AB=，使2213513{,,,,}2222AB=．当9b=时，集14,9axxaE=中除整数外，其

余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333，令31451013{,,,,}33333A=，32781114{,,,,}33333B=．则3A，3B具有性质，且33AB=，使3312457810111314{,,,,,,,,,}33

33333333AB=．集合1414,,,1,4,9aCxxaEbEbb==中的数均为无理数，它与14P中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123AAAAC=，123BBBB=，则

AB=，且14PAB=．综上，所求n的最大值为14．