【文档说明】2023届高考数学模拟试题分类汇编：立体几何 Word版无答案.docx，共(12)页，975.214 KB，由小赞的店铺上传

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2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）立体几何一．基本原理1.直线的方向向量：点),,(),,,(222111zyxBzyxA，那么直线AB的方向向量可为),,(121212zzyyxxAB−−−=→2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平

面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合|0PaAP=.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求

出该平面的一个法向量．3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为,,nxyz=（）；（ii）找出

（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111)(,,aabc=，222)(,,babc=；（iii）根据法向量的定义建立关于zyx,,的方程00nanb==；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量

．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线12,ll的方向

向量分别是,ab，则要证明12//ll，只需证明//ab，即()akbk=R．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明//l，只需证明au⊥，即0au=．②根据线面平行的判定

定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相

应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量,uv，则要证明//，只需证明//uv．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线12,ll的方

向向量分别为,ab，则要证明12ll⊥，只需证明ab⊥，即0ab=．（2）线面垂直①设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l⊥，只需证明//au．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为

证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则||cos||||ACBDACBD=．注：两异面直线所

成的角的范围为00]0,90（．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角如图，设直线l的方向向量为→e，平面的法向量为→n，直线与平面所成的角为

，→e与→n的角为，则有|||||||cos|sin→→→→==nene．（易错点）（3）求二面角如图，若PA⊥于,APB⊥于B，平面PAB交l于E，则AEB为二面角l−−的平面角，180AEBAPB+=.若12,nn分别为面,的法向量，121212co,snnn

nnn=，则二面角的平面角12,AEBnn=或12,nn−，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量1n与2n的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于12,nn的夹角12,nn的大小．②当法向量12,nn的方向同时指向二面

角的内侧或外侧时，二面角的大小等于12,nn的夹角的补角12,nn−的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量

的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离|||||||||||||cos||→→→→→→→→→===nnAPnAPnAPAPAPQAPd，是平面的法向

量，如下图所示.2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为u，Al，Pl，设APa=，则点P到直线l的距离()22daa

u=−.知识点6：一些重要的空间垂直模型1.等腰梯形：如图1，我们可以证得DBAD⊥，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.na||ABndn=,AaBn,||ABndn=,ABn图1图22.内角为120的菱形，如图2，120=BAD，E

为CD中点，则CDAE⊥.3.内角为120的平行四边形，如图3，120=ABC，ABAC2=，则BCAB⊥.图3图44.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），FE,为中点，则BEAF⊥.5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有BHBE:

.图56.“筝形翻折模型”结论：如图，DCDBACAB==,，设O为BC中点，则BCDOBCAO⊥⊥,，故⊥BC面AOD，则ADBC⊥.7.面面垂直找交线，找到交线引垂线.二．试题演练例1.（2023届武汉9月调研）如图，在图1的等腰直角三角形ABC

中，3ABCB==，边,ABAC上的点,EF满足23AEAFABAC==，将三角形AEF沿EF翻折至三角形PEF处，得到图2中的四棱锥PEFCB−，且二面角PEFB−−的大小为60.（1）证明：平面PBC⊥平面EFCB；（2）

求直线BE与平面PFC所成角的正弦值.例2（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2,ACABBC=⊥，E，F分别为11,BBCA的中点，且EF⊥平面11AACC．（1）求AB的长；（2）若12

AA=，求二面角1CAEA−−的余弦值．例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）三棱柱111ABCABC-中，111123,4,27,60AAABCACBBAA=====．（1）证明：CA

CB=；（2）若4CA=，求二面角111ACBC−−的余弦值．例4.（2023届佛山一模）如图，ACD和BCD△都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD．（1）证明：//EB平面ACD；（2）若点E到平面ABC的距离为5，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值．例5（202

3届深圳一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PDAB⊥，且PDPB=，底面ABCD是边长为2的菱形，3BAD=．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PAPC⊥，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．例6.（广州市2023届高三一模）如图，已知四棱锥PABC

D−的底面ABCD是菱形，平面PBC⊥平面ABCD，30,ACDE=为AD的中点，点F在PA上，3APAF=.（1）证明：PC//平面BEF；（2）若PDCPDB=，且PD与平面ABCD所成的角为45，求平面AEF与平面BEF夹角的余弦值.例7（2023届武汉二

调）如图，四棱台1111ABCDABCD−的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱1CC上点E满足1113CECC=.（1）证明：直线1//AB平面1ADE；（2）若1CC⊥平面ABCD，且13CC=，求直线1BB与平面1ADE所成角的正弦值.例8（

2023届南通二调）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将ACD折至APD△的位置，使得PBAB⊥.（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若4,2ADPBBD===，求二面角BPAD−−的正弦值.例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题

）如图，在三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB是菱形，ABAC⊥，平面11AABB⊥平面ABC.（1）证明：11ABBC⊥；（2）已知1π3ABB=，2ABAC==，平面111ABC与平面1ABC的交线为l.在l上是否存在点P，使直线1AB与平面ABP所成角的正弦值为14?若存在，求

线段1BP的长度；若不存在，试说明理由.例11（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，ABCD∥，ABAD⊥，侧面PAD⊥底面ABCD，12DPDADCAB

===．（1）证明：平面PBC⊥平面PAB；（2）若ADAP=，求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值．例12（温州市2023届高三一模）如图，线段1AA是圆柱1OO的母线，ABC是圆柱下底面O的内接正三角形，13AAAB==．（1）劣弧BC上是否存在点D，使得1OD∥平面1AA

B？若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由．（2）求平面1CBO和平面1BAA夹角的余弦值．例13（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F平面EDC），四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，

BFFE=，且平面FEB⊥平面EDB．（1）设M为棱EB的中点，证明：ACFM，，，四点共面；（2）若22EDAB==，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值．