【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第六章第一节　不等式的性质及一元二次不等式含答案【高考】.doc，共(9)页，573.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第一节不等式的性质及一元二次不等式授课提示：对应学生用书第103页[基础梳理]1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a．(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c．(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋

c．(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb

(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)a>b，ab>0⇒1a<1b.(2)a<0<b⇒1a<1b.(3)a>b>0，0<c<d⇒ac>bd.3．两个实数比较大小的依据(1)a－b>0⇔a>b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b

<0⇔a<b.4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像续表一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根-

2-ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅1．两个重要不等式若a＞b＞0，m＞0，则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞

b－ma－m(b－m＞0)．(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．2．一元二次不等式的解法技巧求不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，先求出对应方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0

)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集．3．分式不等式的转化f（x）g（x）＞0⇔f(x)·g(x)＞0；f（x）g（x）≥0⇔f（x）·g（x）≥0g（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔f（x）·g（x

）≤0g（x）≠0.[四基自测]1．(易错点：不等式性质)下列四个结论，正确的是()①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．(基础点：解不等式)不等式x(9－x

)<0的解集为()A．(0，9)B．(9，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．(基础点：三个二次间的关系)若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．答案：[1

3，＋∞)4．(基础点：解函数不等式)设f(x)＝x＋1x≤0x2x>0，则f(x)≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)-3-授课提示：对应学生用书第104页考点一比较大小及不等式性质挖掘1作差法(作商法)比较大小/自主练透[例1](1)已知a>0，且a≠1，m＝a

a2＋1，n＝aa＋1，则()A．m≥nB．m>nC．m<nD．m≤n[解析]由题易知m>0，n>0，两式作商，得mn＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0<a<1

时，a(a－1)<0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n.综上，对任意的a>0，a≠1，都有m>n.[答案]B(2)已知a>0，b>0，且a≠b，则()A．ab＋1>a＋bB．a3＋b3>a2b＋ab2C．2a3b>3a2bD．

aabb<abba[解析]选项A(作差法)，ab＋1－(a＋b)＝ab－a＋(1－b)＝a(b－1)＋(1－b)＝(a－1)(b－1)，显然当a，b中有一个等于1时，(a－1)(b－1)＝0，即ab＋1

＝a＋b；故选项A不正确．选项B(作差法)，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．因为a>0，b>0，a≠b，所以a＋b>0，(a－b)

2>0，故(a－b)2(a＋b)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2，故选项B正确．[答案]B[破题技法]作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的

代数式以及整式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商．(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小．(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小．(

4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大小关系．挖掘2利用不等式性质比较大小/自主练透[例2](1)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy>yzB．xz>

yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|[解析]因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.[答案]C(2)(2020·福建厦门一模)已知a＞b＞0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则()A

．x＜z＜yB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x[解析]法一：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，显然有1＋2e2＞1＋2e＞2＋e，即x＜z＜y.-4-法二：a＞b＞

0时，ea＞eb，∴aea＞aeb＞beb，∴b＋aea＞b＋aeb＞b＋beb，∴y＞z，∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)＞0，∴z＞x，∴x＜z＜y.故选A.[答案]A[破题技法]不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比较代数式转化的

过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法．适用于基本初等函数代数式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)明已知，明确已知的不等关系．(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程．(3)寻性质，确

定变化过程所使用的不等式的性质．(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系．挖掘3构造函数法比较大小/互动探究[例3](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a3－b3>0D．|a|>|b|[解析]法一：不妨设a＝－1，b＝－2，

则a＞b，可验证A，B，D错误，只有C正确．法二：由a＞b，得a－b＞0.但a－b＞1不一定成立，则ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立．因为y＝3x在R上是增函数，当a＞b时，3a＞3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C成

立．因为当a＝3，b＝－6时，a＞b，但|a|＜|b|，所以D不一定成立．故选C.[答案]C(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b＜ab＜0B．ab＜a＋

b＜0C．a＋b＜0＜abD．ab＜0＜a＋b[解析]∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵a＋bab＝1a＋1b＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3

＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜a＋bab＜1，∴ab＜a＋b＜0.故选B.[答案]B[破题技法]将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．考点二一元二次不等式的解法挖掘1解简单的一元二

次不等式/自主练透[例1]不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)[解析]－x2－3x＋4>0⇒(x＋4)(x－1)<0.-5-如图，作出函数y＝(x＋4)(x－1)的图像，∴当－4<x<1时，y<0

.[答案](－4，1)[破题技法]一元二次不等式的解集可依据一元二次方程的根及一元二次函数图像求得，当ax2＋bx＋c＝0有两根x1、x2时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是“两根之外”型，ax2＋bx＋c＜0(a

＞0)的解集是“两根之内”型．1．将本例的不等式改为“－x2－3x＋4≤0”，其解集为________．解析：由－x2－3x＋4≤0得x2＋3x－4≥0，即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4.答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞

)2．将本例的不等式变为“x2－3x＋4>0”，其解集为________．解析：令y＝x2－3x＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y>0恒成立．∴x∈R.答案：R挖掘2解含参数的不等式/互动探究[例2]解不等式x2－4ax－5a2>0(a≠0)

．[解析]由x2－4ax－5a2>0，知(x－5a)(x＋a)>0.由于a≠0，故分a>0与a<0讨论．当a<0时，x<5a或x>－a；当a>0时，x<－a或x>5a.综上，a<0时，解集为{x|x<5a或x>－a}；a>0时，解集为{x|x>5a

或x<－a}．[破题技法]对含参数的一元二次不等式，也要按此原理讨论方法解读适合题型“二次关系数形结合”化为“ax2＋bx＋c>0”(a>0)的形式，求方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合图像，写出解集“大于取两边，小于取中间”不含参

数的一元二次不等式讨论参数法①二次项中的系数含参数，讨论等于0，小于0，大于0；②方程根个数不定，讨论Δ与0的关系；③根的大小不定时，讨论两根大小含参数的不等式-6-此题变为：求解不等式ax2－2x＋1a≥0.解析：显然a≠0，∴不等式变为（ax－1）2a≥0，∴当a

＞0时，x∈R，当a＜0时，x＝1a.挖掘3已知不等式的解集求参数/互动探究[例3](1)(2020·河南濮阳模拟)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是()A．(1β，1α)B．(－∞，1β)∪(1α，＋∞)C．{

x|α＜x＜β}D．(－∞，α)∪(β，＋∞)[解析]不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a＜0，∴α＋β＝－ba，α·β＝ca.不等式cx2＋bx＋a＜0化为cax2＋bax＋1＞0，∴αβx2－(

α＋β)x＋1＞0，化为(αx－1)(βx－1)＞0，又0＜α＜β，∴1α＞1β＞0，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为xx＜1β或x＞1α，故选B.[答案]B(2)(2020·广东梅州模拟)关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中

恰有3个正整数，则实数m的取值范围为()A．(5，6]B．(5，6)C．(2，3]D．(2，3)[解析]关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0可化为(x－m)(x－2)＜0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{

x|2＜x＜m}，且5＜m≤6，即实数m的取值范围是(5，6]．故选A.[答案]A已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(12，3)，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为________．解析：由题意得x＝12，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴b＝－72a，c＝32a(

a＜0)，∴cx2＋bx＋a＜0，即为3x2－7x＋2＞0得x＞2或x＜13.答案：(－∞，13)∪(2，＋∞)考点三不等式恒成立问题挖掘1在R上恒成立问题/自主练透-7-[例1]不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意

的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．[解析]因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2

b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.[答案][－8，4][破题技法]不等式恒成立常见题型：(1)ax2＋bx＋c≥0(x∈R)恒成立，即a＞0，Δ≤

0，或a＝0，b＝0，c≥0.(2)ax2＋bx＋c≤0(x∈R)恒成立，即a＜0，Δ≤0，或a＝0，b＝0，c≤0.(2020·湖南湘潭联考)若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是()A．(－16，0)B．(－16，0]C．(－∞，0)

D．(－8，8)解析：∵不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，∴Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8，∴实数a的取值范围是(－8，8)．故选D.答案：D挖掘2在给定x的区间上恒成立问题/互动探究[例

2](1)(2020·郑州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12都成立，则a的最小值是________．[解析]法一：由于x>0，则由已知可得a≥－x－1x在x∈0，1

2上恒成立，而当x∈0，12时，－x－1xmax＝－52，∴a≥－52，故a的最小值为－52.法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－a2.①若－a2≥12，即a≤－1时，f(x)在0，12上单调递减，此时应有f

12≥0，从而－52≤a≤－1.②若－a2<0，即a>0时，f(x)在0，12上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0.③若0≤－a2<12，即－1<a≤0时，则应有f－a2＝a24－

a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1<a≤0.-8-综上，a的最小值为－52.[答案]－52(2)已知f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析]由mx2－mx－1＜－m＋5得m

(x2－x＋1)＜6.∵x2－x＋1＞0，∴m＜6x2－x＋1在[1，3]上恒成立．令y＝6x2－x＋1＝6（x－12）2＋34.∵t＝(x－12)2＋34在[1，3]上是增函数，∴y＝6x2－x＋1在[1，3]上是减函数．因此函数的最小值ymin＝67.∴m的取值范围是－∞，6

7.[答案]－∞，67[破题技法]1.不等式成立常见题型(1)x2＋mx＋n≤0(x∈[a，b])恒成立，即f（a）≤0，f（b）≤0.(2)－x2＋mx＋n≥0(x∈[a，b])恒成立，即f（

a）≥0，f（b）≥0.2．二次不等式在给定x的区间上恒成立有两种解法：(1)分离参数法：即如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等

价于a≤f(x)min.(2)讨论法：将问题整理为二次不等式问题，讨论轴与区间的关系，求参数范围．挖掘3给定参数范围恒成立求未知数范围/互动探究[例3](1)对于任意a∈[－1，1]，f(x)＝x2＋(a－

4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x的取值范围是________．[解析]令g(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知g(－1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3.[答案](－∞，1)∪(3，＋∞)(2)不等式ax2－2x－a＋

1＜0对满足|a|≤1的一切实数a都成立，则实数x的取值范围是________．[解析]由|a|≤1，得－1≤a≤1，不等式变形为(x2－1)a－(2x－1)＜0，不等式可以-9-看成关于a的一次函数，所以只需x2－1－（2x－1）＜0

，－（x2－1）－（2x－1）＜0，即x2－2x＜0，－x2－2x＋2＜0，解得3－1＜x＜2.[答案](3－1，2)[破题技法]给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作“主元”，即将参数看作“自变量”的构造函数，建立不等式．