【文档说明】吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一下学期第三学程考试数学试题含答案.doc，共(9)页，1023.500 KB，由小赞的店铺上传

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数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设复数z满足(1)3izi−=+，则||z=（）A．2B．3C．5D．62

.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：/ms）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A．29B．29.5C．30D．363．已知,ab为两条不同直线，、为两个不同的平面，给出以

下四个命题：①若//ab，b，则//a；②若//a，b，则//ab；③若⊥，a，则a⊥；④若//，a，b，则//ab．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0

，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，7

30，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.75D．0.85．已知ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且23BPBC=，则ADAP=（）A．32B．1C．3

D．36．已知复数122(zii=−为虚数单位)在复平面内对应的点为1P，复数2z满足21zi−=，则下列结论不正确的是（）A．1P点的坐标为()2,2−B．122zi=+C．21zz−的最大值为131+D．21zz−的最小值为227．

已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为23，面积为3的扇形，则该圆锥的底面半径为（）A．4B．3C．1D．28．已知菱形ABCD，2ABBD==，将△ABD沿BD折起，使二面角ABDC−−的大小为60，则三棱锥ABCD−的体积为（）A．32B．22

3C．332D．229．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知90AC−=，2acb+=，则C=（）A．30°B．22.5°C．15°D．45°10．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直

于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（）A．+表高表距表高表目距的差B．−表高表距表高表目距的差C．表高表距表距表目距的

差+D．表高表距-表距表目距的差11.任何一个复数zabi=+（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：()cossinzri=+的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()

()()ncossincoissnnnzinrirnnN+==++，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）22zz=（2）当1r=，3=时，31z=（3）当1r=，3=时，1322zi=−（4）当1r=，4=时，若n为偶数，则复数

nz为纯虚数A．1B．2C．3D．4ABCB1C1D1D112.在四面体SABC−中，,2,2ABBCABBCSASC⊥====，二面角SACB−−的余弦值是33−，则该四面体外接球的表面积是（）A．6B．24C．86πD．6π第

Ⅱ卷（共70分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知空间向量()3,0,4a=，()3,2,1b=−，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是_________．14.如图，三棱锥ABCD−中，3,ABACBDCD====2ADBC==，点,MN分别是,ADBC的中点，

则异面直线,ANCM所成的角的余弦值是________．15.在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间10个零件，其尺寸的平均数和方差分别为12和4.5，抽取了乙车间30个零件，其平均数和方差分

别为16和3.5，则该工厂这种零件的方差估计值为________.（精确到0.1）16.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F分别是棱AB，11AB的中点，点P在四边形ABCD内（包括边界）运动，则下列说法中正确的是___________．①若P是线段BC的中点，

则平面1ABP⊥平面DEF②若P在线段AC上，则1DP与11AC所成角的取值范围为,32③若1//PD平面11ACE，则点P的轨迹的长度为2④若//PF平面11BCD，则线段PF长度的最小值为6三、解答题：本题共6小题,共50分.17.（本小题满分6分）如

图，为了测量河对岸A、B两点的距离，观察者找到一个点C，A1AD从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C．并测量得到以下数据，105DCA=o，30ADC=，90BCE=，60ACBCEB=

=o，2002DC=米，1003CE=米．求A、B两点的距离．18.（本小题满分8分）某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：)20,25，第二组：)25,30，第三组：)30,35，第四组：

)35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.（1）求x；（2）估计抽取的x人的年龄的第80百分位数；（3）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四､五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自

第五组的概率.19.（本小题满分8分）已知向量(1,2sin),(sin(),1),3abR==+.（1）若ba⊥，求tan的值；（2）若//ab，且[0,]2，求角.20.（本小题满分8分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地

资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为()qpq，且在考试中每人各题答题结果互不影

响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.（1）求p和q的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.21.（本小题满分10分）如图，//ADBC且2ADBC=，ADCD⊥，//EGAD且EGAD=，//CDFG且CD=2FG，DGABCD⊥平面，2DADC

DG===．（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证://MNCDE平面；（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．22.附加题（本小题满分10分）如图，在梯形A

BCD中，//ABDC，2ADDC==，4AB=，现将ADC沿AC翻折成直二面角PACB−−.（Ⅰ）证明：CBPA⊥；（Ⅱ）若异面直线PC与AB所成角的余弦值为14，求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值.数学试

题答案一．选择题题号123456789101112答案CBABDDCACABA二．填空题13.34,0,55−−14.7815.6.816.①②③④三．解答题17.（满分6分）由题意可知，在ACD中，45DAC

=o，由正弦定理得sinsinACDCADCDAC=，所以sin200sinDCADCACDAC==米，在RtBCE中，10033300BC==米，在ABC中，由余弦定理得2222212cos6020030022003

00700002ABACBCACBC===+−+−o，所以，1007AB=米.18.（满分8分）（1）由频率分布直方图可知，第一组的概率为0.0150.05=所以60.05x=，解得120x=.（2）设第80百分位数为a，则()800.0150.07

50.065350.04100a+++−=，解得37.5a=，故第80百分位数的估计值为为37.5.（3）由频率分布直方图可知第四､五组的抽取比例为2:1，抽取6人，则第四组抽取4人，记1,2,3,4第五组抽取2人，记,AB，随机抽取两人，()()()()()()()()1,2,1,3,

1,4,1,,1,,2,3,2,4,2,ABA,()()()()()()()2,,3,4,3,,3,,4,,4,,,BABABAB，共15种，至少1人来自第五组()()()1,,1,,2,ABA()()()()()()2,,3,,3,,4,,4,,,BA

BABAB，共9种，所以至少1人来自第五组的概率为93155p==.19.（满分8分）（1）因为ab⊥，所以0ab=，所以2sinsin03++=，即53sincos022+=，因为cos0，所以3tan5=−.（2）//ab，得

2sinsin13+=，即22sincos2sincossin133+=，即()131cos2sin2122−+=，整理得1sin262−=，又因为0,2，所以52,666

−−，所以266−=或5266−=，即6=或2.20.（本小题满分8分）解：（1）设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则()PAp=，()PBq=.设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人中恰有一人答对第

一题}，则CAB=，DABAB=+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，AB与AB相互互斥，所以()()()()PCPABPAPB==，()()PDPABAB=+()()()()()()()()()()()()11PABPAB

PAPBPAPBPAPBPAPB=+=+=−+−.由题意可得()()1,2511,12pqpqqp=−+−=即1,217.12pqpq=+=解得3,42,3pq==或2,33.4pq==由于pq，所以34p=，23q=.（2）设=iA

{甲同学答对了i道题}，iB={乙同学答对了i道题}，0i=，1，2.由题意得，()11331344448PA=+=，()23394416PA==，()12112433339PB=+=，()2

224339PB==.设E={甲乙二人共答对3道题}，则1221EABAB=+.由于iA和iB相互独立，12AB与21AB相互互斥，所()()()()()()()12211221349458916912PEPABPABPAPBPAPB

=+=+=+=.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512.21（满分8分）（1）依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则0000DCDE==，，nn即20220yxz，，=+=不妨令z=–1，可得n0=（

1，0，–1）．又MN=（1，32−，1），可得00MNn=，因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得()12BPh=−−，，．易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法

向量，故225BPDCcosBPDCBPDCh==+，由题意，可得225h+=sin60°=32，解得h=33∈［0，2］．所以线段DP的长为33．22.（满分10分）（Ⅰ）取AB的中点E，连结CE.∵4AB=，2CD=，∴//AEDC，AEDC=，∴四边形ADCE是平

行四边形，∴2CEAD==，∴CEAEEB==，∴90ACB=，即CBCA⊥.又平面PAC⊥平面ACB，且两平面的交线为AC，∴CB⊥平面PAC，又PA平面PAC，∴CBPA⊥.（Ⅱ）取AC的中点O，

连结OE，则//OECB.∴OEAC⊥，且OPAC⊥，∴OC，OE，OP两两互相垂直.以O为原点，OC，OE，OP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设(0)OCaa=，则(),0,0Ca，()20,0,4Pa−，(),0,0Aa−，()2,24,0Baa−

，∴()2,0,4PCaa=−−，()22,24,0ABaa=−.由异面直线PC与AB所成角的余弦值为14，得22124244PCABaaPCAB===，解得1a=.易得平面PAC的一个法向量为()10,1,0n=，设平面PAB的一个法向量为()2,,nxyz=，又()2,23,0AB

=，()1,0,3AP=，由2200nABnAP==，得223030xyxz+=+=，取3x=−，得1y=，1z=，故()23,1,1n=−，12121215cos,55nnnnnn===，∴平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为55