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5.2.2同角三角函数的基本关系A级必备知识基础练1.化简√1-sin2160°的结果是()A.cos160°B.±|cos160°|C.±cos160°D.-cos160°2.已知cosα+sinα=-12,则sinαcosα的值为()A.-3

8B.±38C.-34D.±343.(2022北京东城高一期末)已知tanα=-1,则2sin2α-3cos2α=()A.-74B.-12C.12D.344.若tanα=2,则sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼+cos2α=()A.165B.-165C.85

D.-855.若α是第三象限角且cosα=-√33,则sinα=,tanα=.6.已知α为第二象限角,则cosα√1+tan2𝛼+sinα√1+1tan2𝛼=.7.已知θ为第四象限角,sinθ+3cosθ=1,则t

anθ=.8.已知tanα=23,求下列各式的值:(1)cos𝛼-sin𝛼cos𝛼+sin𝛼+cos𝛼+sin𝛼cos𝛼-sin𝛼;(2)1sin𝛼cos𝛼.B级关键能力提升练9.已知α是三角形的

一个内角,且sinα+cosα=23,那么这个三角形的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形10.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是()A.14B.12C.1D.3211.若cosα+2sinα=-√5,则tanα等于()A.12B.2C.-1

2D.-212.(多选题)化简cos𝛼√1-sin2𝛼+2sin𝛼√1-cos2𝛼的值可以为()A.-1B.1C.-3D.313.已知cos𝑥sin𝑥-1=12,则1+sin𝑥cos𝑥等于()A.12B.-12C.

2D.-214.已知cos(𝛼+π4)=13,0<α<π2,则sinα+π4=.15.设a>0,且a≠1,若loga(sinx-cosx)=0,则sin8x+cos8x=.C级学科素养创新练16.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sinα,cosα是关于x的方程8

x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.5.2.2同角三角函数的基本关系1.D√1-sin2160°=√cos2160°=|cos160°|=-cos160°.2.A由已知得(cosα+sinα)

2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=14,解得sinαcosα=-38.3.B因为tanα=-1,所以cosα≠0,则2sin2α-3cos2α=2sin2𝛼-3cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2tan2

𝛼-3tan2𝛼+1=2×1-31+1=-12.故选B.4.A∵tanα=2,∴cosα≠0,∴sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼+cos2α=sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼+cos

2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼+1tan𝛼-1+1tan2𝛼+1=165,故选A.5.-√63√2∵α是第三象限角且cosα=-√33,∴sinα=-√1-cos2𝛼=-√63,∴tanα=sin𝛼cos

𝛼=√2.6.0由题可知cosα≠0,所以原式=cosα√sin2𝛼+cos2𝛼cos2𝛼+sinα√sin2𝛼+cos2𝛼sin2𝛼=cosα1|cos𝛼|+sinα1|sin𝛼|,因为α是第二象限角,所以sinα>0,cos

α<0,所以cosα1|cos𝛼|+sinα1|sin𝛼|=-1+1=0.7.-43由题意知(sinθ+3cosθ)2=sin2θ+cos2θ,得6sinθcosθ=-8cos2θ.因为θ为第四象限角,所以cosθ≠0,所以tanθ=-43.8.解

由题可知cosθ≠0.(1)cos𝛼-sin𝛼cos𝛼+sin𝛼+cos𝛼+sin𝛼cos𝛼-sin𝛼=1-tan𝛼1+tan𝛼+1+tan𝛼1-tan𝛼=1-231+23+1+231-23=265.(2)1sin𝛼cos𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼sin

𝛼cos𝛼=tan2𝛼+1tan𝛼=136.9.B∵sinα+cosα=23,∴(sinα+cosα)2=49,即1+2sinαcosα=49,∴sinαcosα=-518<0.又α是三角形的一个内角,∴α∈(π2,π

).∴三角形为钝角三角形.10.C原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.11.B(方法1)由{cos𝛼+2sin𝛼=-√5,cos2𝛼+sin2𝛼=1联立消去cosα,得(-√5-2sinα)2+sin2α=1,化简得5sin2α+

4√5sinα+4=0,∴(√5sinα+2)2=0,∴sinα=-2√55,∴cosα=-√5-2sinα=-√55,∴tanα=sin𝛼cos𝛼=2.(方法2)由题可知cosα≠0.∵cosα+2sinα=-√5,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴cos

2𝛼+4sin𝛼cos𝛼+4sin2𝛼cos2𝛼+sin2𝛼=5,∴1+4tan𝛼+4tan2𝛼1+tan2𝛼=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.12.ABCD原式=cos𝛼|cos𝛼|+2sin𝛼|sin𝛼|

.当α为第一象限角时,上式值为3;当α为第二象限角时,上式值为1;当α为第三象限角时,上式值为-3;当α为第四象限角时,上式值为-1.13.B由题可知sinx≠1,cosx≠0.因为cos𝑥sin𝑥-1=12,所以1+sin𝑥cos𝑥=(1+sin𝑥)(1-sin𝑥)co

s𝑥(1-sin𝑥)=1-sin2𝑥cos𝑥(1-sin𝑥)=cos𝑥1-sin𝑥=-12.14.2√23∵sin2(𝛼+π4)+cos2(𝛼+π4)=1,∴sin2(𝛼+π4)=1-19=89.∵0

<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴sin(𝛼+π4)=2√23.15.1设a>0且a≠1.因为loga(sinx-cosx)=0,所以sinx-cosx=1,所以(sinx-cosx)2=sin2𝑥+cos2x-2sinxcosx=1,所以sinxcosx=0.由(s

in2𝑥+cos2𝑥)2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,则sin4x+cos4x=1,所以sin8x+cos8x=(sin4𝑥+cos4𝑥)2-2sin4xcos4x=(sin4𝑥+cos

4𝑥)2=1.16.解假设存在实数m满足条件,则由题设得Δ=36m2-32(2m+1)≥0.①∵α为第三象限角,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα=-34m<0,②sinαcosα=2𝑚+18>0.③又sin2α+cos2α=1,∴(sinα+

cosα)2-2sinαcosα=1.把②③代入上式得(-34𝑚)2-2×2𝑚+18=1,即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-109.∵m1=2不满足条件①,舍去;m2=-109不满足

条件②③,舍去.