【文档说明】云南省大理下关一中教育集团2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(15)页，957.865 KB，由小赞的店铺上传

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下关一中教育集团2020-2021学年高一年级下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合2340Axxx=−−，1Bx

x=，则RAB=ð（）A．B．(0,4C．(1,4D．()4,+2．下列结论不正确的是（）A．若ab，0c，则acbcB．若ab，则acbc−−C．若22acbc，则abD．若ab，0c，则

ccab3．已知复数z满足()1i22iz+=+，则复数z的虚部为（）A．2B．2−C．2iD．2i−4．一元二次方程2210axx++=（0a）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．0aB．0aC．1a−

D．1a5．已知5log2a=，7log2b=，112c−=，则a，b，c的大小关系为（）A．bacB．abcC．cbaD．cab6．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M，N，P分别是11CD，BC，11AD的中点，则下列命题正确的是（）A

．//MNAPB．1//MNBDC．//MN平面11BBDDD．//MN平面BDP7．函数()21coslog1fxxxx−=+的图象大致为（）A．B．C．D．8．函数()()13tancosxxfx=+的最小正周期为（）A．B．32C．2D．29．在ABC△中

，3AB=，2AC=，1324ADABAC=+，则直线AD通过ABC△的（）A．垂心B．外心C．重心D．内心10．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷

铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”掷铁饼者的肩宽约为8米，一只手臂长约为4米（两臂等长），“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）A．1516米B．15216米C．15316米D．15332米11．若向量a，b是

不共线的两个向量，23ab−与ab+共线，当0时，32−的最小值为（）A．4B．2C．322D．312．已知函数是R上偶函数，且对于xR都有()()()63fxfxf+=+成立，当1x，20,3x，且1

2xx时，都有()()12120fxfxxx−−．对于下列叙述；①()30f=；②直线6x=−是函数()yfx=的一条对称轴；③函数()yfx=在区间9,6−−上为增函数；④函数()yfx=在区间9,9−上有四个零点．其中正

确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②④D．①②④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13．已知是任意角，且满足cossin6k+=，则常数k的一个取值为___

___．14．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为______．15．在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角60=°，在塔底C处测得点A的俯角45=°，已知铁塔BC部分高32米，山高CD=______．16．已知定义在R上的函数()fx满足

()))221,0,11,1,0xxfxxx+=−−且()()2fxfx=+，函数()gx的表达式为()32xxxg+=+，则方程()()gxfx=在区间5,1−上的所有实数根之和为______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70

分。17．（本小题满分10分）向量()4,2a=，()1,2b=−（1）求向量ab+的模长；（2）若向量()3,1c=−，且()akbc+⊥，求实数k的值．18．（本小题满分12分）若向量()sin,cosmxx=，()6sincos,

7sin2cosnxxxx=+−，设函数()fxmn=（1）求()fx在R上的单调增区间；（2）在角A为锐角的ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，()6fA=且ABC△的面积为3，232bc+=+，求a的值

．19．（本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m，凤眼莲的覆盖面积y（单位：2m）与月份x（单位：月）的关系有两个函数

模型xyka=（0k，1a）与12ypxk=+（0p，0k）可供选择。（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010，

lg30.4711）．20．（本小题满分12分）已知ABC△内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①()cosc3os0bacAB+=−；②21sincos2A29BC++=−；③1cos2sinaAbB+=；并解答以下问题：（1）若选______（填

序号），求cosA的值；（2）在（1）的条件下，若2a=，求ABC△面积S的最大值．21．（本小题满分12分）如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl=．（1）求证：//lBC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．22．选做

题（本小题满分12分，考生在下列两个题中选做一个题，注意，下关一中学生必须选做第2题）．1．已知定义域为R的单调减函数()fx是奇函数，当0x时，()23xfxx=−．（1）求()0f的值；（2）求()fx的解析式；（3）若存在tR，使得不等式()()222

20fttftk−+−成立，求实数k的取值范围．2．已知集合A是满足下列条件的函数()fx全体：在定义域内存在实数0x，使得()()()0011fxfxf++=成立．（1）判断幂函数()1fxx−=

是否属于集合A？并说明理由；（2）设()2lgxgxab+=，(,1x−，ⅰ）当1b=时，若()gxA，求a的取值范围；ⅱ）若对任意的()0,2a，都有()gxA，求b的取值范围．下关一中教育集团202

0~2021学年高一年级下学期期中考试试题数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDBCACACDCAD【解析】1．234014Axxxxxx=−−=−或，∴(14

1,4RABxx==ð，故选C．2．由同乘法则知A，C对，由同加法则知B对，故选D．3．因为()1i22i22z+=+=，所以()()()221i222222i22i1i1i1i2z−−====−++−，所以复数z的虚部为2−，故选B．4．一元二次方程2210axx+

+=（0a）有一个正根和一个负根的充要条件是1210xxa=，即0a，而0a的一个充分不必要条件是1a−，故选C．5．5ln2log2ln5a==，7ln2log2ln7b==，∵0ln2ln5ln7，∴01ba，12112c−=

=，则bac，故选A．6．如图1，A：MN和AP是异面直线，故选项不正确；B：MN和1BD是异面直线，故选项不正确；C：记ACBDO=，∵在正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别是11CD，BC的中点，∴1////ONDMCD，112ONDMC

D==，∴1MNOD为平行四边形，∴1//MNOD，∵MN平面1BDD，1OD平面1BDD，∴//MN平面1BDD，故选C．7．()21coslog1fxxxx−=+为奇函数，排除C，D，易知2111coslog0223f=，

故选A．8．由已知，()()1313tancoscos3sin2cossin2sin226xxxxxxxfx=+=+=+=+，∴最小正周期为221T==，故选C．9．133242ABAC==，又1324ADABAC=+，AD在BAC的平分线上，故选D．10．掷铁

饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，即如图2中的AB及弦AB，取AB的中点C，连接OC．由题设可得AB的弧长为5828+=，而1516OA=，故52815316AOB==，故AB的长度为1515315322sin1638216BC===，故选C．11

．因为23ab−与ab+共线，由平面向量共线定理可知23=−，所以32=−，所以3222−=+，因为0，所以222224+=，当且仅当22=，即1=时，等号成立，故选A．12．根据题意，对于①，在()()()63fxfxf+=+中

，令3x=−可得，()()()333fff=−+，即()30f−=，又由函数()yfx=是R上偶函数，则()()330ff=−=，则①正确；对于②，由①可得，()30f=，又由()()()63fxfxf+=+，则

有()()6fxfx+=，即()fx是以6为周期的函数，又由函数()yfx=是R上的偶函数，即()fx的一条对称轴为y轴，即0x=，则直线6x=−也是函数()yfx=的一条对称轴，②正确；对于③，由当12,0,3xx，都有()()12120fxfxxx−−，可得()fx在

0,3上为单调递增函数，又由函数()yfx=是R上的偶函数，则()fx在3,0−上为递减函数，又由()fx是以6为周期的函数，则函数()yfx=在区间9,6−−上为递减函数，③错误；对于④，由①可得，()()330ff=−=，又由()fx是以6为周期的函数，则()()

930ff−=−=，()()930ff==，即函数()yfx=在区间9,9−上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④，故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。题号1314151

6答案3k=−（答案不唯一，需满足123kn=−，nZ，比如9k=）3()1631+7−【解析】14．几何体是一个高为1，底面半径为1的圆锥，221111333Vrh===．15．设CDx

=，则由三角形相似比得3232tan3032xx=+°，求得()1631x=+．16．法一：由题意，当1x=时，()()110ff=−=，()413g=；当01x时，2312xxx++=+，即()()2101xxx+−=+，解得152x−+=；当10x−时，()1fx，()1g

x，无解；当21x−−时，()2fx，()2gx，无解；当32x−−时，()0fx，()0gx，无解；当43x−−时，()()()24411fxfxx=+=++，()1gx，无解；当54x−−时，()()()24141fxfxx=+

=−+，()1gx，则()23142xxx+−+=+，解得752x−−=；则7515422−−−++=−；当3x=−时，()()0gxfx==，可得所有根之和为7−．法二：函数()fx满足()))221,0,11,1,0

xxfxxx+=−−则()fx关于点()0,1对称，又因为()()2fxfx=+，故()fx关于点()2,1−对称，()32xxxg+=+也关于点()2,1−对称，如图3，()32xxxg+=+过点()3,0−和30,2

，144xx+=−，234xx+=−，由于点()1,2−不在()fx上，所有根之和为7−．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）()3,4ab+=，5ab+=．（Ⅱ）()3,1c=−，且()()()()()0341

220akbcakbckk+⊥+=−+−+=，∴2k=．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()()sin6sincoscos7sin2cosmnxxxxxxfx==++−，226sin2cos8s

incosxxxx=−+4sin24cos22xx=−+42sin224x=−+，令222242kxk−+−+（kZ），得388kxk−++（kZ），∴()fx在R上的单调递增

区间为3,88kk−++（kZ）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()42sin2264AAf=−+=，∴2sin242A−=，因为02A，所有32444A−−，从而244

A−=，∴4A=，又∵12sin324ABCSbcAbc===△，∴62bc=，又232bc+=+，∴2222cosabcbcA=+−()22222bcbcbc=+−−()22232122262102=+−−=，∴10a=．19．（本小题满分12分）解

：（Ⅰ）函数xyka=（0k，1a）与12ypxk=+（0p，0k）在()0,+上都是递增函数，随着x的增加，函数xyka=（0k，1a）的值增加的越来越快，而函数12ypxk=+的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型xyka=（0k，1a）

符合要求．根据题意可知当2x=时，24y=；当3x=时，36y=，∴2324,36,kaka==解得32,33,2ka==故该函数模型的解析式为32332xy=，112x，x

N．（Ⅱ）当0x=时，323y=，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m3，由3233210323x，得3102x，∴32lg101log105.93lg3lg2lg2x==−，∵xN，∴6x

，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若选①，因为()3coscos0bcAaB−+=，由正弦定理有()sin3sincossincos0BCAAB−+=，即sincoscossin3sin

cosBABACA+=，所以sin3sincosCCA=，在ABC△中，sin0C，所以1cos3A=．若选②，∵21sincos229BCA++=−，∴()1cos1cos229BCA−++=−，

∵在ABC△中，ABC++=，∴1cos1cos229AA++=−，∴21cos12cos129AA++−=−，∴236cos9cos70AA+−=，∴1cos3A=或7cos12A=−（舍），∴1cos3A=．若选③，因为1cos2sinaAbB+=，由正弦定理有sin1co

ssin2sinAABB+=，因为在ABC△中，sin0B，所以2sin1cosAA=+，又22sincos1AA+=，A为锐角，解得1cos3A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1cos3A=，由22sincos1AA+=，A为锐角，得22sin3A=

，∴由余弦定理可知，222123bcabc+−=，∵2a=，∴2233122bcbc+−=，∴22212336bcbcbc+=+，∴3b，当且仅当3bc==时等号成立，∴ABC△面积1sin22SbcA=，所以ABC△面积S的最大值为2．21．

（本小题满分12分）法一：（Ⅰ）证明：因为//BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以//BC平面PAD，又因为平面PAD平面PBCl=，所以//BCl．（Ⅱ）解：平行．如图4，取PD的中点E，连接AE，可以证得//NEAM，且NEAM=，可知四边形AMNE为平行四边形，∴/

/MNAE．又MN平面PAD，AE平面PAD，所以//MN平面PAD．法二：（Ⅰ）证明：由于//ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴//AD平面PBC．又因为平面PBC平面PADl=，所以//lAD，故//lBC．（Ⅱ）解：平行．如图5，设Q是CD的中点，

连接NQ，MQ，则//MQAD，//NQPD，而MQNQQ=，所以平面//MNQ平面PAD，而MN平面MNQ，所以//MN平面PAD．22．（选做题，本小题共12分，请从以下两题中任选一题作答，下关一中考生须选22题第2题作答）1．（本小

题满分12分）解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数()fx是奇函数，所以()00f=．（Ⅱ）因为当0x时，0x−，所以()23xxfx−−=−−，又因为函数()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，所以()23xxxf−=+，综上，()2,03

0,0,2,0.3xxxxxxfxx−=−=+（Ⅲ）由()()22220fttftk−+−，得()()2222fttftk−−−，因为()fx是奇函数，所以()()2222fttfkt−−，又()fx在R上是减函数，所以2222ttk

t−−，即2320ttk−−对任意tR恒成立，令2320ttk−−=，则4120k=+，由，解得13k−，故实数k的取值范围为1,3−−．2．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()fxA，理由如下：令()()()11fxfxf++=，则

1111xx+=+，即210xx−−=，解得1152x−=，2152x+=，均满足定义域0xx，当()1fxx−=时，()fxA．（Ⅱ）（ⅰ）当1b=时，()()lg2xagx=+，∵()gxA，∴1,11,x

x+∴0x，由题知()()()11gxgxg++=在(,0−上有解，∴()()()1lg2lg2lg2xxaaa++++=+，∴()()2222xxaaa++=+（2a−），令2xt=，则(0,1t，

∴222320tataa++−−=，即()()2210tata+−++=，∴112at=−，21ta=−−，从而，原问题等价于0112a−或011a−−，∴02a或21a−−，又20xa+

在(,0−上恒成立，∴0a，∴02a．（ⅱ）由（ⅰ）知：对任意()0,2a，()()()11gxgxg++=在(,0−上有解，∴1222lglglgxxaaabbb+++++=，即()()()2222xxaaab++=+（0b），令2x

t=，则(0,1t，则()222320tataab++−+=在(0,1t上有解，令()()22232tatftaab=++−+，304at=−对，则()()00,10,ff即()()2220,3220aabaaab−+

++−+由()0,2a，可得22,232,2abaaaba++++令()22,4ua=+，则44,1,buubu+−+∴1,1bb∴1b=．