【文档说明】2024届新高三摸底联考数学课件.pptx，共(49)页，4.678 MB，由小赞的店铺上传

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2024届新高三摸底联考数学试题2024届新高三摸底联考数学本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。2024届新高三摸底联考数学112

2334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.设全集𝑈=𝐑，𝐴={𝑥∈𝐑|𝑥2−5𝑥+6<0}，𝐵={𝑥∈𝐑|𝑥>1}，则𝐴∪𝐵=()A.2,+∞B.2,3C.1,3D.1,+∞[解析]由𝑥2−5𝑥+6<0，解得2<𝑥<3，由𝑥>1，解得𝑥>1，则𝐴∪𝐵=1,+∞

.故选D.√2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151516161717181819192020212122222.已知𝑧=3i−4i+𝑧，则𝑧的虚部为()A.52B.5C.52iD.5i[解析]3i−4=

32+42=5，设𝑧=𝑎+𝑏i，则𝑎+𝑏i=5i+𝑎−𝑏i，解得𝑏=52.故选A.√2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151516161717181819192020212122223.已知𝑂为△𝐴𝐵

𝐶的重心，𝐴𝐷=2𝐷𝐶，则𝐴𝑂=()A.13𝐴𝐵+13𝐴𝐷B.13𝐴𝐵+12𝐴𝐷C.12𝐴𝐵+12𝐴𝐷D.13𝐴𝐵+23𝐴𝐷[解析]取𝐵𝐶的中点𝑀，则𝐴𝑂=23𝐴𝑀=23×12�

�𝐵+𝐴𝐶=13𝐴𝐵+𝐴𝐶，又因为𝐴𝐶=32𝐴𝐷，则𝐴𝑂=13𝐴𝐵+13×32𝐴𝐷=13𝐴𝐵+12𝐴𝐷.故选B.√2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616

1717181819192020212122224.𝑥+1𝑥+18的展开式中的常数项为()A.588B.589C.798D.799[解析]展开式中常数项为1+C82𝑥2C611𝑥+C84𝑥4C421𝑥2=589.故选B.√2024届新高三摸底联考数学

11223344556677889910101111121213131414151516161717181819192020212122225.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵𝐸𝐹的边长均为2，动点𝑁在线段𝐴𝐵

上移动，𝑀，𝑂分别为线段𝐸𝐹，𝐴𝐶中点，且𝑀𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则当∠𝑀𝑁𝑂取最大值时，异面直线𝑀𝑁与𝐹𝐶所成角的余弦值为()A.24B.22C.32D.33[解析]因为𝑀𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑀𝑂⊥𝑂𝑁，当𝑂𝑁最小时，即

𝑁为𝐴𝐵中点时，∠𝑀𝑁𝑂取最大值，此时𝑀𝑁//𝐹𝐴，所以异面直线𝑀𝑁与𝐹𝐶所成的角为∠𝐴𝐹𝐶（或补角），𝐹𝐴=2，𝐶𝐴=22，取𝐴𝐷的中点𝐺，则𝐹𝐺=𝑀𝑂=3，𝐹𝐶=𝐹𝐺2+𝐶𝐺2=22，所以△𝐶𝐴𝐹是等腰三角

形，cos∠𝐴𝐹𝐶=12𝐴𝐹𝐹𝐶=122=24.故选A.√2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222

6.中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱是古代钱币最常见的一种,如图1.现有如图2所示某方孔钱中心方孔为正方形，𝑀,𝑁为正方形的顶点，𝑂为圆心，𝐴为圆A.83.3%B.88.9%C.92.3%D.96.3%上的点，且tan∠𝑀𝐴𝑂=15，𝑀

𝑁⊥𝑂𝐴，定义方孔钱金属面积比率=金属面积圆形面积×100%，则该方孔钱金属面积比率约为（方孔钱厚度不计，π≈3）()√2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151

616171718181919202021212222[解析]𝑂𝐴与𝑀𝑁交于点𝑃，𝑀𝑁=𝑎，则𝑃𝑀=𝑃𝑂=𝑎2，又因为tan∠𝑀𝐴𝑂=𝑃𝑀𝑃𝐴=15，所以𝑃𝐴=5𝑎2，𝑂𝐴=𝑃𝐴+𝑃𝑂=3𝑎，所以方孔钱金属面积比率=π𝑂𝐴2−𝑎2π

𝑂𝐴2×100%=π3𝑎2−𝑎2π3𝑎2×100%=𝑎29π−19π𝑎2×100%≈96.3%.故选D.2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202

12122227.数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−14𝑎𝑛+2，且𝑎1=1，则数列{𝑎𝑛}的前2024项的和𝑆2024=()A.−2536B.−2538C.−17716D.−17718[解析]由题意知：𝑎1=1，𝑎2=2−14+2=16，𝑎3=2×16−14×1

6+2=−14,𝑎4=2×−14−14×−14+2=−32,𝑎5=2×−32−14×−32+2=1，⋯⋯，易知数列{𝑎𝑛}是周期为4的数列，𝑆2024=506×1+16−14−32=−17716.故选C.√2024届新高三摸底联考数学112

23344556677889910101111121213131414151516161717181819192020212122228.已知正数𝑎,𝑏,𝑐∈1,+∞，满足2𝑎−1𝑎−1=2+log2𝑎,3𝑏

−2𝑏−1=3+log3𝑏,4𝑐−3𝑐−1=4+log4𝑐，则下列不等式成立的是()A.𝑐<𝑏<𝑎B.𝑎<𝑏<𝑐C.𝑎<𝑐<𝑏D.𝑐<𝑎<𝑏[解析]∵2𝑎−1𝑎−1=2+log2𝑎⇒1𝑎−1=log2

𝑎，3𝑏−2𝑏−1=3+log3𝑏⇒1𝑏−1=log3𝑏，4𝑐−3𝑐−1=4+log4𝑐⇒1𝑐−1=log4𝑐，∴考虑𝑦=1𝑥−1和𝑦=log2𝑥，𝑦=log3𝑥，𝑦=log4𝑥的图象的交

点，根据图象可知：𝑎<𝑏<𝑐.故选B.√2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222二、选择题：本题

共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知𝛼，𝛽为两个不同的平面，𝑚，𝑛，𝑙为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是()A.若𝛼⊥𝛽，𝑙//𝛼，则𝑙//𝛽B.若𝑙⊥𝛽

，𝑙⊥𝛼，则𝛼//𝛽C.若𝑙⊥𝑚，𝑙⊥𝑛，且𝑙⊂𝛼，𝑚,𝑛⊂𝛽，则𝛼⊥𝛽D.若𝑙//𝑚，𝑙//𝑛，且𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝛼//𝛽√√√2024届新高三摸底

联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222[解析]当𝛼⊥𝛽,𝑙//𝛼时，𝑙//𝛽或𝑙⊂𝛽或𝑙与𝛽

相交，故A错误；B正确；若𝑙⊥𝑚，𝑙⊥𝑛，且𝑙⊂𝛼，𝑚,𝑛⊂𝛽，则𝛼与𝛽可能相交，可能平行，不一定垂直，故C错误；当𝛼∩𝛽=𝑙时，若𝑙//𝑚，𝑙//𝑛，且𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，此时

𝛼//𝛽不成立,故D错误.故选ACD.2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121222210.在某市高二年级举行的一次体育统考中，共有10

000名考生参加考试.为了解考生的成绩情况，随机抽取了𝑛名考生的成绩，其成绩均在区间[50,100]，按照[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为32，则

()A.𝑛=100B.考生成绩的中位数为71C.考生成绩的第70百分位数为75D.估计该市考生成绩的平均分为70.6（每组数据以区间的中点值为代表）√√2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151516161717181

81919202021212222[解析]对于A，由频率分布直方图可得𝑥=0.1−0.03+0.04+0.01+0.004=0.016，则𝑛=320.16=200，故A错误；对于B，考生成绩的中位数为70+[0.5−0.16−0.3×10]/0.4=71，故B正确；对于C，考生成绩的第7

0百分位数为70+10×0.70−0.460.86−0.46=76，故C错误；对于D，该市考生成绩的平均分为55×0.16+65×0.3+0.4×75+0.1×85+95×0.04=70.6，故D正确.故选BD.2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910

1011111212131314141515161617171818191920202121222211.已知𝑂为坐标原点，𝐹为抛物线𝐸:𝑦2=2𝑥的焦点，过点𝑃2,0的直线交𝐸于𝐴,𝐵两点，直线𝐴𝐹,

𝐵𝐹分别交𝐸于𝐶,𝐷，则()A.𝐸的准线方程为𝑥=−12B.∠𝐴𝑂𝐵=90∘C.𝐹𝐴+𝐹𝐵的最小值为4D.𝐴𝐶+2𝐵𝐷的最小值为3+3664√√√2024届新高三摸底联考数学1122

334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222[解析]对于A，由题意𝑝=1，所以𝐸的准线方程为𝑥=−12，故A正确；对于B，设𝐴𝑦122,𝑦1

，𝐵𝑦222,𝑦2，设直线𝐴𝐵:𝑥=𝑚𝑦+2，与抛物线联立可得𝑦2−2𝑚𝑦−4=0，𝛥>0⇒𝑚∈𝐑，𝑦1𝑦2=−4，𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=𝑦1𝑦24𝑦1𝑦2+4=0，所以∠𝐴𝑂𝐵=90∘，故B正确；对于C

，𝐹𝐴+𝐹𝐵=𝑦12+𝑦222+1≥𝑦1𝑦2+1=5>4，故C错误；对于D，设直线𝐴𝐶：𝑥=𝑡𝑦+12，与抛物线联立可得𝑦2−2𝑡𝑦−1=0，𝛥>0⇒𝑡∈𝐑，𝑦1𝑦

𝐶=−1，同理𝑦2𝑦𝐷=−1，𝐴𝐶=1+12𝑦12+1𝑦12，𝐵𝐷=1+12𝑦22+1𝑦22，由𝑦1𝑦2=−4，𝐴𝐶+2𝐵𝐷=3+916𝑦12+332𝑦12≥3+3664，当且仅当𝑦12=26

63时等号成立，故D正确.故选ABD.2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121222212.已知函数𝑓𝑥=𝑎e𝑥−𝑥2+

𝑥ln𝑥−𝑎𝑥，则()A.当𝑎=0时，𝑓𝑥单调递减B.当𝑎=1时，𝑓𝑥>0C.若𝑓𝑥有且仅有一个零点，则𝑎≤1D.若𝑓𝑥≥0，则𝑎≥1e−1√√√2024届新高三摸底联考数学1122

334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222[解析]当𝑎=0时，𝑓𝑥=𝑥ln𝑥−𝑥2，𝑓′𝑥=1+ln𝑥−2𝑥𝑥>0，设𝑔𝑥=1+ln𝑥−2𝑥，则𝑔′𝑥=1𝑥

−2=1−2𝑥𝑥，当𝑥∈0,12时，𝑔′𝑥>0，𝑓′𝑥单调递增，当𝑥∈12,+∞时，𝑔′𝑥<0，𝑓′𝑥单调递减，当𝑥=12时，𝑓′𝑥取得最大值，因为𝑓′12=1+ln12−2×12=−

ln2<0，所以𝑓′𝑥<0，𝑓𝑥单调递减，故A正确；当𝑎=1时，𝑓𝑥=e𝑥+𝑥ln𝑥−𝑥2−𝑥=𝑥e𝑥−ln𝑥−𝑥−ln𝑥−1，设𝑡=𝑚𝑥=𝑥−ln𝑥，则𝑚′𝑥=1−1𝑥=𝑥−1𝑥，当𝑥∈0,1时，𝑚′𝑥<0，𝑚𝑥单调递减，当

𝑥∈1,+∞时，𝑚′𝑥>0，𝑚𝑥单调递增，当𝑥=1时，𝑚𝑥取得最小值，𝑚1=1，所以𝑡=𝑚𝑥≥1.设ℎ𝑡=e𝑡−𝑡−1，ℎ′𝑡=e𝑡−1，因为𝑡≥1，所以ℎ′𝑡=e𝑡−1≥e−1>0，ℎ𝑡单调递增，所

以ℎ𝑡≥ℎ1=e−2>0，所以2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222𝑓𝑥=e𝑥+𝑥ln𝑥−𝑥2−𝑥=𝑥e𝑥−ln𝑥−𝑥−ln𝑥−1=�

�ℎ[𝑚𝑥]>0，故B正确；𝑓𝑥=𝑥𝑎e𝑥−ln𝑥−𝑥−ln𝑥−𝑎，若𝑓𝑥=0，则𝑎e𝑥−ln𝑥−𝑥−ln𝑥−𝑎=0.设𝑡=𝑚𝑥=𝑥−ln𝑥≥1，即𝑎=𝑡e𝑡−1，设𝐹𝑡=𝑡e𝑡−1，则𝐹′𝑡=1−𝑡e𝑡−1e𝑡−12

，因为𝑡≥1，所以1−𝑡e𝑡−1<0，𝐹′𝑡<0，𝐹𝑡单调递减，若𝑓𝑥有且仅有一个零点，则𝑡=1，此时𝑎=1e−1，故C错误；若𝑓𝑥≥0，则𝑎e𝑡−𝑡−𝑎≥0，即𝑎≥𝑡e𝑡−1=𝐹𝑡，因为𝐹𝑡单调递减，所以𝑎≥𝐹1=1e−1，故

D正确.故选ABD.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分.13.已知直线𝑙:4𝑥−3𝑦−4=0，请写出一个满足以下条件的圆𝑀的方程_______________________________________________________

_________________________________________________________________.①圆𝑀与𝑥轴相切；②圆𝑀与直线𝑙相切；③圆𝑀的半径为2.<m

>𝑥2+𝑦−22=4</m>或<m>𝑥−52+𝑦−22=4</m>或<m>𝑥−22+𝑦+22=4</m>或<m>𝑥+32+𝑦+22=4</m>（写出其中的一个即可）[解析]当圆心为𝑀𝑎,2时，圆𝑀与直线𝑙相切，即4𝑎−1042+32=2，解得�

�=0或𝑎=5.当圆心为𝑀𝑎,−2时，圆𝑀与直线𝑙相切，即4𝑎+242+32=2，解得𝑎=2或𝑎=−3.所以圆的方程为𝑥2+𝑦−22=4或𝑥−52+𝑦−22=4或𝑥−22+𝑦+22=4或𝑥+32+𝑦+22

=4.故答案为𝑥2+𝑦−22=4或𝑥−52+𝑦−22=4或𝑥−22+𝑦+22=4或𝑥+32+𝑦+22=4（写出其中的一个即可）.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718

18191920202121222214.已知函数𝑓𝑥=sin2𝑥+𝜑−π<𝜑<0，设方程𝑓𝑥=12最小的两个正根为𝑥1,𝑥2𝑥1<𝑥2，若𝑥2=4𝑥1，则𝜑=_____.<m>−π18

</m>[解析]令𝑓𝑥=sin2𝑥+𝜑=12，当𝑥>0时，2𝑥+𝜑>𝜑，所以2𝑥1+𝜑=π6,2𝑥2+𝜑=5π6，解得𝑥1=π12−𝜑2,𝑥2=5π12−𝜑2，又𝑥2=4𝑥1，所以

5π12−𝜑2=4π12−𝜑2，解得𝜑=−π18.故答案为−π18.2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121

222215.椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭<m>63</m>圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）.在平面直角坐标系�

�𝑂𝑦中,将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”𝐶:𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=3，则“斜椭圆”的离心率为___.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151

616171718181919202021212222[解析]“斜椭圆”的中心为坐标原点，所以长半轴的长度为曲线上的点到原点距离最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值，由基本不等式𝑥𝑦≤𝑥2+𝑦22，即−𝑥2+𝑦22≤𝑥𝑦≤𝑥2+

𝑦22，所以−𝑥2+𝑦22≤𝑥𝑦=𝑥2+𝑦2−3≤𝑥2+𝑦22，解得2≤𝑥2+𝑦2≤6，当𝑥=𝑦=±3时，𝑥2+𝑦2=6成立，𝑥=−𝑦=±1时，𝑥2+𝑦2=2成立.所以椭圆的长半轴长为6，短半轴长为2，所以椭圆的离

心率为1−26=63.故答案为63.2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121222216.正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，𝑀

为线段𝐵1𝐶的中点，𝐴𝑀⊥平面𝛼，𝐷1∈平面𝛼，若点𝑃为平面𝛼与侧面𝐷1𝐷𝐶𝐶1相交的线段上的一动点，𝑄为线段𝐵𝐷上一动点，则𝑃𝑄的最小值为__.<m>13</m>2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111

12121313141415151616171718181919202021212222[解析]如图所示，取𝐶𝐶1的中点𝑀1，𝐶𝐷的中点𝐾，𝐴1𝐵1的中点𝐻，𝐵𝐶的中点𝐺，连接

𝐷1𝐾，𝐵𝐾，𝐷1𝐻，𝐻𝐵，𝐴𝐺，𝑀𝐺,则∠𝑀1𝐷𝐶=∠𝐷𝐷1𝐾，所以∠𝐷𝐷1𝐾+∠𝐷1𝐷𝑀1=∠𝑀1𝐷𝐶+∠𝐷1𝐷𝑀1=90∘，所以𝐷1𝐾⊥𝐷𝑀1，同理可得𝐵𝐾⊥𝐴𝐺,又𝐴𝐷⊥𝐷1𝐾

，因为𝐴𝐷//𝑀𝑀1，所以𝐴,𝐷,𝑀1,𝑀四点共面.又因为𝐷1𝐾⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷∩𝐷𝑀1=𝐷，所以𝐷1𝐾⊥平面𝐴𝐷𝑀1𝑀，所以𝐷1𝐾⊥𝐴𝑀.因为𝐵𝐾⊥𝐴𝐺，𝐵𝐾

⊥𝑀𝐺，2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222𝐴𝐺∩𝑀𝐺=𝐺，所以𝐵𝐾⊥

平面𝐴𝑀𝐺，所以𝐵𝐾⊥𝐴𝑀，𝐷1𝐾∩𝐵𝐾=𝐾，所以𝐴𝑀⊥平面𝐷1𝐾𝐵𝐻，所以平面𝐷1𝐾𝐵𝐻即为𝛼，𝐷1𝐾为𝛼与平面𝐷1𝐷𝐶𝐶1的交线，在𝐷1�

�上取一点𝑃，过𝑃作𝑃𝑁⊥𝐶𝐷于𝑁，过𝑁作𝑁𝑄⊥𝐵𝐷于𝑄，设𝑃𝑁=𝑥,𝑥∈[0,1]，则𝐷𝑁=1−𝑥2，𝑁𝑄=1−𝑥22，𝑃𝑄2=𝑃𝑁2+𝑁𝑄2=𝑥2+1−𝑥28=98

𝑥−192+19≥19，当且仅当𝑥=19时等号成立，所以𝑃𝑄的最小值为13.故答案为13.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222四、解答题：本题共6小题，

共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某调研小组调查某中学男女生清晨跑操（晨跑）的情况，现随机对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：参加晨跑不参加晨跑合计男生32840女生103040合计42388

0附：𝜒2=𝑛𝑎𝑑−𝑏𝑐2𝑎+𝑏𝑐+𝑑𝑎+𝑐𝑏+𝑑，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.𝛼0.1000.0500.0100.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828

2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（1）分别求男生和女生中参加晨跑

的概率；解：由题意可得，男生中参加晨跑的概率为𝑃=3240=45，女生中参加晨跑的概率为𝑃=1040=14.（4分）2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181

919202021212222（2）依据小概率值𝛼=0.005的独立性检验，能否认为学生是否参加晨跑与性别有关.[答案]零假设为𝐻0:学生是否参加晨跑与性别无关.𝜒2=80×32×30−10×8242×38

×40×40=11×880399≈24.261>7.879，（8分）依据小概率值𝛼=0.005的独立性检验，推断𝐻0不成立，故可认为学生是否参加晨跑与性别有关.（10分）2024届新高三摸底联考数学112233445566778

899101011111212131314141515161617171818191920202121222218.（本小题满分12分）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=13𝑎𝑛+2𝑛+53，且𝑎2=133.（1

）证明：数列{𝑎𝑛−3𝑛+2}为等比数列，并求出数列{𝑎𝑛}的通项公式；证明：因为𝑎𝑛+1=13𝑎𝑛+2𝑛+53，所以𝑎𝑛+1−3𝑛+1+2𝑎𝑛−3𝑛+2=13𝑎𝑛+2𝑛+53−3𝑛−3+2𝑎𝑛−3𝑛+2

=13𝑎𝑛−3𝑛+2𝑎𝑛−3𝑛+2=13.（2分）当𝑛=1时，𝑎2=13𝑎1+2+53=133，所以𝑎1=2，𝑎1−3+2=1，故{𝑎𝑛−3𝑛+2}是首项为1，公比为13的等比

数列，所以𝑎𝑛−3𝑛+2=13𝑛−1，故{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=13𝑛−1+3𝑛−2.（5分）2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818

1919202021212222（2）求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.[答案]由（1）知𝑎𝑛=13𝑛−1+3𝑛−2,𝑇𝑛=130+1+131+4+⋯+13𝑛−1+3𝑛−2=[130+131+⋯+13𝑛−1]+1+4+⋯+

3𝑛−2=1×1−13𝑛1−13+1+3𝑛−2×𝑛2=−32×13𝑛+32𝑛2−12𝑛+32.（12分）2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121

222219.（本小题满分12分）如图，𝑂1,𝑂分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃,𝑄分别是其上、下底面圆周上的动点，已知𝑃,𝑄位于轴截面𝐴𝐵𝐶𝐷的异侧，且

∠𝐴𝑂𝑄=∠𝐷𝑂1𝑃=𝜃0<𝜃<π2.（1）当𝐴,𝑃,𝑂1,𝑄四点共面时，求𝜃；解：连接𝑂1𝐴，因为平面𝑂1𝑃𝐷//平面𝑂𝐴𝑄，且平面𝑂1𝑃𝐷∩平面𝐴𝑄𝑂1𝑃=𝑃𝑂1，平面𝑂𝐴𝑄∩平面

𝐴𝑄𝑂1𝑃=𝐴𝑄，所以𝑃𝑂1//𝐴𝑄，（2分）又𝐷𝑂1//𝐴𝑂，所以∠𝑃𝑂1𝐷=∠𝑄𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝑄=𝜃，所以𝜃=π3.（4分）2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161

6171718181919202021212222（2）当𝜃=π4时，求二面角𝐴−𝑃𝑂−𝑂1的正弦值.[答案]如图，作𝐴𝑄𝐵⌢的中点𝑀，分别以𝑂𝐴,𝑂𝑀,𝑂𝑂1为𝑥,𝑦,𝑧轴

，建立空间直角坐标系，易知𝐴1,0,0,𝑃22,−22,2,𝑂10,0,2，所以𝑂𝐴=1,0,0,𝑂𝑃=22,−22,2,𝑂𝑂1=0,0,2，（6分）设平面𝑃𝑂𝑂1的法向量为𝒎=𝑥1,𝑦1,𝑧

1，则൞𝒎⋅𝑂𝑂1→=2𝑧1=0𝒎⋅𝑂𝑃→=22𝑥1−22𝑦1+2𝑧1=0，2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222取𝑥1=1，则𝑦1=1，�

�1=0，所以𝒎=1,1,0，（8分）设平面𝑃𝑂𝐴的法向量为𝒏=𝑥2,𝑦2,𝑧2，则൞𝒏⋅𝑂𝐴→=𝑥2=0𝒏⋅𝑂𝑃→=22𝑥2−22𝑦2+2𝑧2=0，取𝑦2=22，则𝑧2=1，𝑥2=0，所以𝒏=0,22,1，（10分）设二面角𝐴−𝑃𝑂−𝑂

1为𝛼，则cos𝛼=𝒎⋅𝒏𝒎⋅𝒏=−221+1⋅8+1=23，（11分）所以sin𝛼=1−cos2𝛼=53，所以二面角𝐴−𝑃𝑂−𝑂1的正弦值为53.（12分）2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151

5161617171818191920202121222220.（本小题满分12分）“特种兵式旅游”，是年轻游客中兴起的一种新的旅游方式，即用尽可能少的时间、费用，游览尽可能多的景点.某景点示意图如下：𝐷为景点入口，𝐴、𝐵、𝐶为景点出口，且𝐴、

𝐵、𝐶均在圆𝑂上，阴影部分为草地，其中𝑃，𝑄分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶街道上的标志性建筑，且𝐷𝑃⊥𝐴𝐵，𝐷𝑄⊥𝐴𝐶.𝐷→𝑄→𝑃→𝐷为“特种兵”通道，已知𝐷𝐶=2𝐵𝐷

，𝐴𝐷=1，∠𝐵𝐴𝐶=120∘.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（1）若𝑆△𝐴𝐵𝐶=938，求𝐵𝐶；

解：设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶=938,∴𝑏𝑐=92,（1分）∵𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+13𝐵𝐶=𝐴𝐵+13𝐴𝐶−𝐴𝐵=23𝐴𝐵+13𝐴𝐶，∴𝐴

𝐷2=4𝑐2+𝑏2−2𝑏𝑐9=1，∵𝑏𝑐=92，∴4𝑐2+𝑏2−2𝑏𝑐=9=2𝑏𝑐，整理得2𝑐−𝑏2=0，∴𝑏=2𝑐=3，（4分）∵由余弦定理可得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos∠𝐵𝐴𝐶，∴𝑎=3

72，即𝐵𝐶=372.（6分）2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（2）记𝐿=𝐷𝑄+𝑄𝑃+𝑃𝐷为“特种兵通道”

的总长，求𝐿的最大值.[答案]∵𝐷𝑃⊥𝐴𝐵，𝐷𝑄⊥𝐴𝐶，∴𝐴,𝑃,𝐷,𝑄四点共圆，四边形𝐴𝑃𝐷𝑄和三角形𝐴𝑃𝑄的外接圆重合，且外接圆直径为𝐴𝐷,（7分）∴𝐴𝐷=𝑃𝑄sin∠𝐵𝐴𝐶，解得𝑃𝑄=32，（9分）设∠𝑃

𝐴𝐷=𝛼0<𝛼<2π3，则∠𝑄𝐴𝐷=2π3−𝛼，∴𝐿=𝐷𝑄+𝑄𝑃+𝑃𝐷=sin𝛼+sin2π3−𝛼+32，整理得𝐿=3sin𝛼+π6+32≤332，当且仅当𝛼=π3等号成立，（11分）∴“特种兵通道”的总

长的最大值为332.（12分）2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191920202121222221.（本小题满分12分）已知函数𝑓𝑥=−ln𝑥+𝑎+1�

�，函数𝑔𝑥=𝑥𝑥+32−3𝑥+12e𝑥.2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（1）求𝑔𝑥的单调区间；解：由题意，𝑔′�

�=𝑥+32+2𝑥𝑥+3−3(𝑥+1)𝑥+3e𝑥=3𝑥+1𝑥+31−e𝑥，（2分）令𝑔′𝑥=0，可得𝑥=−1，−3，0，当𝑥∈−∞,−3和−1,0时，𝑔′𝑥>0，所以𝑔𝑥单调递增，当𝑥∈−3,−1和0,+

∞时，𝑔′𝑥<0，所以𝑔𝑥单调递减.所以𝑔𝑥的单调递增区间为−∞,−3，−1,0，单调递减区间为−3,−1，0,+∞.（4分）2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718

181919202021212222（2）若∀𝑥1∈[1,e]，∃𝑥2∈[−3,0]，使得𝑓𝑥1≤𝑔𝑥2成立，求𝑎的取值范围.[答案]依题意可知，𝑓𝑥的最大值小于或等于𝑔𝑥的最大值，因为𝑔𝑥在−3,−1单调递减，在−1,0单调递增，𝑔−3=−12e

−3，𝑔0=−3，所以𝑔𝑥的最大值为𝑔−3=−12e−3.（5分）𝑓′𝑥=ln𝑥+𝑎𝑥2，当𝑥∈0,e−𝑎时，𝑓′𝑥<0，所以𝑓𝑥单调递减，当𝑥∈e−𝑎,+∞时，𝑓′𝑥>0，所以𝑓𝑥单

调递增.（6分）（ⅰ）若e−𝑎≤1,即𝑎≥0，则𝑓𝑥在[1,e]单调递增，𝑓𝑥的最大值为𝑓e=−𝑎+2e，所以−𝑎+2e≤−12e−3，可得𝑎≥0；（8分）2024届新高三摸底联考数学112233445

5667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（ⅱ）若e−𝑎≥e,即𝑎≤−1，则𝑓𝑥在[1,e]单调递减，𝑓𝑥的最大值为𝑓1=−𝑎−1，因为−𝑎−1≥0>−12e−3，所以−𝑎−1≤−12e−3不

成立，故𝑎无解；（10分）（ⅲ）若1<𝑒−𝑎<e,即−1<𝑎<0，则𝑓𝑥在1,e−𝑎单调递减，在e−𝑎,e单调递增，𝑓𝑥的最大值为𝑓1或𝑓e，所以只需−𝑎+2e≤−12e−3，且−�

�−1≤−12e−3，解得12−2e2e2≤𝑎<0.综上所述，𝑎的取值范围是𝑎≥12−2e2e2.（12分）2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151

5161617171818191920202121222222.（本小题满分12分）已知𝐴,𝐵分别为双曲线𝐶：𝑥24−𝑦2=1的左、右顶点，点𝑃是直线𝑥=1上的动点，延长𝐴𝑃，𝑃𝐵分别与𝐶交于点𝑀,𝑁.2024届新高三摸底联

考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718181919202021212222（1）若点𝑃的纵坐标为32，求𝑀的坐标；解：由题意可知𝑃1,32，

此时直线𝐴𝑀：𝑦=36(𝑥+2)，联立൞𝑦=36𝑥+2𝑥24−𝑦2=1⇒𝑥𝑀=4，所以𝑀4,3.（3分）2024届新高三摸底联考数学1122334455667788991010111112121313141415151616171718

181919202021212222（2）若𝐷在直线𝑀𝑁上且满足𝑀𝑁⋅𝐵𝐷=0，求𝐷的轨迹方程.[答案]设𝑃1,𝑦0，𝑀𝑥1,𝑦1，𝑁𝑥2,𝑦2，若直线𝑀𝑁平行于𝑥轴，不符合题意；当直线𝑀𝑁与𝑥轴不平行时，设直线𝑀𝑁：𝑥

=𝑡𝑦+𝑚，代入曲线𝐶中，得𝑡2−4𝑦2+2𝑡𝑚𝑦+𝑚2−4=0，因为直线𝑀𝑁与𝐶有两交点，所以𝑡≠±2，且𝛥=16𝑡2+𝑚2−4>0，即𝑡2+𝑚2−4>0，所以𝑦1+𝑦2=−2𝑡𝑚𝑡2−4，𝑦1𝑦2=𝑚2−4𝑡

2−4，（4分）则2𝑡𝑦1𝑦2=−𝑚2−4𝑚𝑦1+𝑦2，由𝑃，𝐴，𝑀三点共线得𝑘𝑃𝐴=𝑘𝑀𝐴，即𝑦03=𝑦1𝑥1+2，2024届新高三摸底联考数学112233445566778899101011111212131314141515161617171818191

9202021212222同理，由𝑃，𝐵，𝑁三点共线得−𝑦0=𝑦2𝑥2−2，（6分）消去𝑦0，得𝑦2𝑥1+2+3𝑦1𝑥2−2=0，（7分）即4𝑡𝑦1𝑦2+3𝑚−2𝑦1+𝑚+2𝑦2=0，得[−2𝑚2−4𝑦1+𝑦2]/m+3

𝑚−2𝑦1+𝑚+2𝑦2=0，得𝑚−2𝑚−4𝑦1−𝑚+2𝑚−4𝑦2=0，即对任意𝑦1，𝑦2，都有𝑚−4[(m−2)𝑦1−(m+2)𝑦2]=0成立，故𝑚=4或𝑚−2𝑦1−𝑚+2𝑦2=0，（9分）若𝑚−2𝑦1−𝑚+2𝑦2=0

，𝑦1𝑦2=𝑚2−4𝑡2−4，又𝑦1+𝑦2=−2𝑡𝑚𝑡2−4可得：𝑦1=−𝑚+2𝑡𝑡2−4,𝑦2=−𝑚−2𝑡𝑡2−4,2024届新高三摸底联考数学11223344556677889910101111121213131414151516161

71718181919202021212222所以𝑦1𝑦2=𝑚2−4𝑡2𝑡2−42=𝑚2−4𝑡2−4，即𝑡2=𝑡2−4，矛盾，故𝑚−2𝑦1−𝑚+2𝑦2≠0，所以𝑚=4.（11分）所以直线𝑀𝑁：𝑥=𝑡𝑦+4恒过点

𝐻4,0，则点𝐷的轨迹是以𝐻𝐵为直径的圆，其方程为𝑥−32+𝑦2=1𝑥≠2.（12分）