【文档说明】湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(16)页，850.213 KB，由管理员店铺上传

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2022年下学期高一期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题

:N,eexpxx，则命题p的否定为（）A.N,e>exxxB.N,eexxxC.N,eexxxD.N,eexxx【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系即可得出结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为N,

eexxx．故选：D.2.若集合{1,4,7}A=−，{1,3,7,9}B=−，则AB=（）A.{1,7}−B.{1,3}−C.{1,3,7}−D.{1,3,4,7,9}−【答案】A【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{1,

4,7}A=−，{1,3,7,9}B=−，所以{1,7}AB=−，故选：A3.下列函数为增函数的是（）A.()31logfxx=B.()3fxx=C.()sinfxx=D.()23xfx=【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数()31logf

xx=与()23xfx=在定义域内为减函数，不符合题意；函数()sinfxx=在π3π22，上为减函数，不符合题意；根据幂函数的性质知()3fxx=为增函数.故选:B.4.若角是第一象限

角，则2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据题意得18018045,2kkkZ+，分k偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以3603

6090,kkkZ+，所以18018045,2kkkZ+，当k为偶数时，2是第一象限角，当k为奇数时，2是第三象限角.故选：C．5.函数()22111xfxx+=−+的部分图像大致为（）为A.B.C.D.【

答案】A【解析】【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.【详解】函数()22111xfxx+=−+的定义域为R，()()()2221211111xxfxfxxx−+−+−=−=−=+−+，因此()fx是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足；又()

1102f=，所以选项B不满足，选项A符合题意.故选：A6.设0.2.3203,0.3,log2abc===，则（）A.bacB.abcC.acbD.bca【答案】B【解析】【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解

.【详解】因为0.20200.30.3331,00.30.31,log2log10abc======，所以abc.故选：B7.从盛有1L纯酒精的容器中倒出2L3，然后用水填满；再倒出2L3，又用水填满；…；连续进行n次

，容器中的纯酒精少于0.01L，则n的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】利用指数的运算性质求解即可.【详解】由题意可得21110.0133100nn−==

，*Zn，因为45111111,3811003213100==，所以5n，故选：A8.已知π3sin54−=，则πsin210+=（）A.716−B.716C.18−D.

18【答案】C【解析】【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.详解】令π5t=−，所以3sin4t=，π5t=+，所以2ππ1sin(2)sin(2)cos212sin1028ttt+=+==−=−．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列等式正确的是（）A.1sin15cos154=B.222sin22.512−=C.3sin26cos34cos26sin342+=D.tan71tan2611tan71tan26−=+

【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.【详解】11sin15cos15sin3024==，A正确；【222sin22.51cos452−=−=−，B错误；()3sin26cos34cos26sin34sin2634sin6

02+=+==，C正确；()tan71tan26tan7126tan4511tan71tan26−=−==+，D正确；故选：ACD10.下列命题正确的是（）A.若0ab，0m，则abmmB.若1ab，则33abC.若0x且1x，则1ln2l

nxx+D.若正数a，b满足2ab+=，则112ab+【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项.【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误；当()0,1x时，1

ln0lnxx+，C错误；正数a，b满足2ab+=，则()11112222221121babaababababab+=++=+++=，当且仅当1ab==时，等号成立，D正确.故选：AD.11.已知是第三象限角，且2

tan211tan2a=−，则（）A.tan1=B.25sin5=−C.4sin25=D.π1tan43−=−【答案】BC【解析】【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切

的两角差公式判断D.【详解】由题意得22tan2tan21tan2==−，A错误；又是第三象限角，sin0，所以由22sincos1sintan2cos+===解得25sin5=−，

5cos5=−，B正确；4sin22sincos5==，C正确；πtan11tan41tan3−−==+，D错误；故选：BC12.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多

，如高斯函数yx=，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作x．如20222022=，1.71=，1.52−=−，记函数()fxxx=−，则（）A.()2.90.9f−=B.()fx的值域为)0,1C.()fx在0,5上有5个零点D.a

R，方程()fxxa+=有两个实根【答案】BD【解析】【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()()2.92.92.92.930.1f−=−−−=−−−=，选项A错误；当10x−时，

1x=−，()1fxxxx=−=+当01x时，0x=，()fxxxx=−=；当12x时，1x=，()1fxxxx=−=−……以此类推，可得()fxxx=−的图象如下图所示，由图可知，()fx的值域为)0,1，选项B正确；由图可知，()fx在0,

5上有6个零点，选项C错误；aR，函数()yfx=与yax=−的图象有两个交点，如下图所示，即方程()fxxa+=有两个根，选项D正确．故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.

“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知D为OA的中点，4OA=，3π4AOB=，则此扇面（扇环ABC

D）部分的面积是__________.【答案】9π2【解析】【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】()2213π9π42242ABCDAOBDOCSSS=−=−=扇环扇形扇形.故答案为：9π2.14.若函数()()cos2fxx=+的图象关于点π,04对

称，请写出一个的值：=______.【答案】π8（答案不唯一，符合ππ82k+，Zk即可）【解析】【分析】将2x+看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】由题意可知ππ2π42k+=+，Zk，解得ππ82k=+，Zk，故答案为：π8（答案不唯一，符合ππ82k+

，Zk即可）15.已知()sincos2sincosf+=，则πcos4f=__________.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.【详解】已知()sincos2sincosf+=，因为()2si

ncos12sincos+=+，所以令sincost=+，则()21ftt=−，则π211cos14222ff==−=−.故答案为：12−16.已知0a，函数2,0()π

sin,02π5axaxfxaxx−+−=+，已知()fx有且仅有5个零点，则a的取值范围为__________．【答案】191229,2,10510【解析】【分析】当2a时，()fx在(,0)−上无零点，所以()fx在[0,2π]

上有且仅有5个零点；当2a时，()fx在(,0)−上恰有一个零点，所以()fx在[0,2π]上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当0x时，()2fxaxa=−+−，令()0fx=，

得21xa=−，若210a−，即2a时，()fx在(,0)−上无零点，所以()fx在[0,2π]上有且仅有5个零点，当[0,2π]x时，πππ,2π555axa++，所以π5π2π6π5a+，即1229510a.若210a−，即2a时，()fx

在(,0)−上恰有一个零点，所以()fx在[0,2π]上有且仅有4个零点，所以π4π2π5π5a+，即191255a，又2a，所以1925a.综上所述：a的取值范围为191229,2,10510.故答案为：191229,2,105

10.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若角终边上一点P的坐标为()3,4mm，其中0m.（1）求tan的值；（2）若π0,2，求πsin3+的值.【

答案】（1）4tan3=（2）43310+【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.【小问1详解】因为角终边上一点P的坐标为()3,4mm，且0

m，所以由三角函数的定义可得44tan33mm==.【小问2详解】因为π0,2，所以()()22440,sin534mmmm==+，()()2233cos534mmm==+，所以πππ433sinsincoscos

sin33310+−=+=.18.设全集U=R，集合212200,{ln2ln3},{25}MxxxNxxPxaxa=−+==+∣∣∣.（1）求(),UMNMNð；（2）若PN，求a取值范围.【答案

】（1）{010}MNxx=∣，()910UMNxx=∣ð（2）)0,45,+【解析】【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合,MN，再由集合的运算求解即可；（2）讨论P=、P两种情况，根据包含关系求得a的取值范围

.【小问1详解】由212200Mxxx=−+∣，得210Mxx=∣，由{ln2ln3}Nxx=∣，得{09}Nxx=∣，所以{010}MNxx=∣.由{09}Nxx=∣得{0UNxx=∣ð或9}x，的所以()910UMNxx=

∣ð.【小问2详解】当P=时，25aa+，即5a，符合题意，当P时，255920aaaa++，解得04a，符合题意.综上，a的取值范围为)0,45,+.19.已知幂函数()()22

11mfxmx−=−在()0,+上单调递增.（1）求m的值；（2）若()20,22fxaxxx−，求a的取值范围.【答案】（1）2m=（2）)2,+【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；（2）不等式可转化为224axx−+对

0x恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求224xx−+的最大值即可.【小问1详解】因为()()2211mfxmx−=−是幂函数，且在()0,+上单调递增，所以()211210mm−=−，解得2m=.【小

问2详解】由（1）得()3fxx=，所以0,22axxx−，即224axx−+对0x恒成立，由一元二次函数的图象和性质可得当()4122x=-=?时，224xx−+有最大值2，所以2a，即a的取值范围为)2,+.20.已知函数()()()22log4log2fxxx

=−−−．（1）求()fx的定义域;（2）求()fx的值域．【答案】（1）()4,+（2）(),0−【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.（2）运用对数运算性质将()fx化简为22log12x−−,根据(1)中定义域求得212x−−的范围,再根据2l

ogyx=的单调性即可求得()fx值域.【小问1详解】因为()()()22log4log2fxxx=−−−,所以4020xx−−,解得4x,所以()fx的定义域为()4,+．【小问2详解】因为(

)()()22log4log2fxxx=−−−2224222logloglog1222xxxxx−−−===−−−−,由(1)知()fx的定义域为()4,+,所以22x−,2012x−,20112x−−，因为2logyx=是增函数，所以()2log10fx=，故()

fx的值域为(),0−．21.已知函数2()2ln(1)2nfxxx=+−+.（1）证明：当1n=时，()fx(1,e)上有零点.的在（2）当2n=时，关于x的方程()fxm=在[1,2]上没有实数解，求m的取值范围.【答案】（1）证明

见解析（2）(,3)(62ln2,)−++【解析】【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，（2）根据函数的单调性求解()fx在[1,2]x上的值域，进而根据()min,mfx或()max,mfx即可求解.【小问1

详解】当1n=时，2()2ln2fxxx=−+，因为2(1)10,(e)4e0ff==−，所以(1)(e)0ff，因此()fx在(1,e)上有零点.【小问2详解】当2n=时，2()2ln2fxxx=++，由于2ln,yxyx==均为[1,2]x上的单调递增函数，故()f

x在[1,2]x上单调递增.又(1)3,(2)62ln2ff==+，故()fx在[1,2]x上的值域为3,62ln2+，且关于x的方程()fxm=在[1,2]上没有实数解，故()minmfx或()maxmfx

，即3m或62ln2m+所以m的取值范围为(,3)(62ln2,)−++.22.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图像如图所示.（1）求函数()yfx=的解析式；

（2）将()yfx=的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到()ygx=的图像，求函数()gx的单调递增区间；（3）在第（2）问的前提下，对于任意1ππ,33x−

，是否总存在实数2ππ,66x−，使得()()12fxgxm+=成立?若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()πsin23fxx=+（2）()ππ5ππ,242242kkk−++Z（3）存在，0m=【解析】【分析】（1

）由题知1A=，7ππ4123T=−，求出T从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；（3）假设存在实数

m的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由()()12fxgxm+=，得()()21gxmfx=−，再根据所给的角把()()21,gxmfx−范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【小问1详解】由图可知1A=，7πππ41234T=−=，则2ππT==，2=，所以()()

sin2fxx=+，77sin126ππ1f=+=−.所以7π2π(Z)π62kk+=−+，即5π2π(Z)3kk=−+又π2，所以当1k=时，π3=，所以()πsin23fxx=+.【小问2详解】将()yfx=

的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得：πsin43yx=+，再向右平移π6个单位长度得到：()πππsin4sin4633gxxx=−+=−，由πππ2π42π232kxk−+−+，kZ，

解得ππ5ππ242242kkx−++，kZ，所以函数()gx的单调递增区间为()ππ5ππ,242242kkk−++Z【小问3详解】由()()12fxgxm+=，得()()21gxmfx=−，由1ππ33x−，得1ππ2π33x−+，所以13sin2123x−

+，所以()131,2mfxmm−−+.又2ππ66x−，得2πππ433x−−，所以2π31sin432x−−.由题可知331,1,22mm−+−，得1

13322mm−−+，解得0m=，所以存在0m=，使得()()12fxgxm+=成立.