【文档说明】山东省潍坊市2021届高三下学期4月二模考试考前模拟数学试题 PDF版含答案.pdf，共(18)页，1.187 MB，由小赞的店铺上传

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1潍坊市2021年高三二模考试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合，则A∩B＝（）A．∅B．[1，4）C．（1，4）D．（4，+∞）2．下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的

命题，其中假命题为（）A．|z|＝B．z2＝2iC．z的共轭复数为1+iD．z的虚部为﹣13．函数f（x）＝（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的图象大致是（）A．B．C．D．4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死

亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝ax，即f（5730）＝）．现有一古物，测得14C为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（）（参考数据：≈0.793

7，≈0.9998）A．1910B．3581C．9168D．171905．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（）项是常数项．2A．3B．4C．5D．66．已知双曲线C：的左焦点为F1，过F1的直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离

心率为（）A．B．C．2D．37．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针

方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（4，1）C．（2，﹣1）D．（0，﹣1）8．已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）+b

f（b）+cf（c）的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．[﹣4，0）D．[﹣3，0）二、选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分.9．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2019年1

2月～2020年12月）3根据散点图选择和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：R20.9230.973注：是样本数据中x的平均数，是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是（）A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系B．由

预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C．曲线与都经过点（，）D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如

图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在y轴上的截距为．则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数11.半正多面体（semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面

体，体现了数学的对称美·二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2,则4A.BF⊥平面EABB.该二十四等边体的体积为320C.该二十四等边体外接球的表面积为8πD.PN与平面EBFN所成角的正弦值为2212．已知抛物线

x2＝y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为（，0）B．若直线MN过点F，则x1x2＝﹣C．若＝，则|MN|的最小值为D．若|MF|+|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量与的夹角是，且||＝1，||＝4，若（3+λ）⊥，则实数λ＝。14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神

，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为．15．如图，在棱长为的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E、F、G分别是棱A′B′、B′C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截

正方体所得的截面多边形的面积等于．16．已知O为坐标原点，直线l与圆x2+y2﹣6y+5＝0A、B两点，|AB|＝2，点M为线段AB的中点．则点M的轨迹方程是，的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a

，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，，求AD的长度．518．已知{an}为等差数列，{bn}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5．（1）求{

an}和{bn}的通项公式；（2）记cn＝（2an﹣1）•bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．19.每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽

取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九

组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（I）求a的值；（II）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，

16]内的学生人数为X，求X的分布列；（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k＝0，1，2，…，20.当P20（k）

最大时，写出k的值.（只需写出结论）620.在如图所示的多面体中，AB//CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2.（I）求证：平面ABE//平面CDF；（II）设平面BEF∩平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B－l－C的

大小确定，并求此二面角的余弦值.条件①：AB⊥AD；条件②：AE⊥平面ABCD：条件③：平面AED⊥平面ABCD.21.已知函数f（x）＝xsinx.（I）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性，并说明理由；（II）求证：函数f（x）在（

2，）内有且只有一个极值点；（III）求函数g（x）＝+xfxln()1在区间（1，]上的最小值.22.已知椭圆M：+=abxy12222（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点.（I）求椭圆M的离心率；（II）设椭圆M的右

顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.7参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.1．答案：C解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{y|0＜y＜4}，∴A∩B＝（1，4）．故选：C．2．答案：C解：复数z＝＝＝﹣1﹣i，所以|z|＝正确；z2＝（﹣1﹣i）2＝1+2i+i2＝2i正确，z的共轭复数为：﹣1+i，所以C不正确；z的虚部为﹣1，

正确；故选：C．3．答案：B解：f（﹣x）＝＝＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴称，故排除A，∵f（π）＝＝1，f（）＝＞1，∴f（）＞f（π），故排除CD，故选：B．4．答案：A解：设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝

ax，由题意可知：f（5730）＝，即，∴，令f（x）＝0.7937，得：ax＝0.7937，∴x＝loga0.7937＝＝＝＝＝1910，∴该古物距今约1910年．8故选：A．5．答案：B解：由题设可得：2n＝512，解得：n＝9，∴的展开式的通项公式为Tr+1＝•x•（﹣2）rx﹣r

＝•（﹣2）r•x，r＝0，1，…，9，令＝0，解得：r＝3，∴T4为常数项，故选：B．6．答案：A解：双曲线C：的左焦点为F1，过F1的直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，所以渐近线的夹角

为90°，渐近线方程为x±y＝0，此时a＝b，所以e＝＝＝．故选：A．7．答案：D解：由题意可知＝（，﹣2），把点B绕点A顺时针方向旋转，即点B绕点A逆时针方向旋转，得到点P，设P（x，y），则＝（cos

+2sin，﹣2cos）＝（﹣1，﹣3），所以，解得x＝0，y＝﹣1，所以点P的坐标为（0，﹣1），故选：D．8．答案：B解：函数f（x）的图象如下图所示：9若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），且a＜b＜c

，则a+b＝﹣4，c∈（0，1），则af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣4）•c3，令g（c）＝（c﹣4）•c3，则g′（c）＝c3+（c﹣4）•3c2＝4c2•（c﹣3）＜0，故g（c）在（0，1）上单调递减，且g（0）＝

0，g（1）＝﹣3，故g（c）∈（﹣3，0），故af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（﹣3，0）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．答案：BD解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误；2021年3月，此时x＝16，代入，求得1.0509，故B正确；曲线经过点（，），曲线经过点（ln

，），故C错误；因为0.973＞0.923，所以模型回归曲线的拟合效果比模型的好，故D正确．故选：BD．10．答案：BC10解：由图知，f（x）的最小正周期，则ω＝2．由，得．由，得，则A＝2，所以．由于函数的最小正周期为＝π，故A不正确；显然，

f（x）的最大值为2，故B正确；当时，2x+∈[﹣，]，则f（x）单调递增，故C正确；．因为，则不是偶函数，故D不正确，故选：BC．11.答案：BCD12．答案：BCD解：抛物线x2＝y的焦点为F（0，），所以A

不正确；根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2＝﹣，所以B正确；若＝，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p＝，所以C正确；抛物线x2＝y的焦点为F（0，），准线方程为y＝，过点M、N、P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，则|MM′|＝|MF|，|NN′

|＝|NF|，|MM′|+|NN′|＝|MF|+|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP′|﹣＝＝，所以D正确；11故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：解：已知向量与的

夹角是，且||＝1，||＝4，则：＝2，已知：（3+λ）⊥，则：，即：，解得：，14．答案：90解：根据题意，将5名应届大学毕业生按2、2、1分组，则方法数为＝15种，再分配到该山区的3所乡村小学，共有A33＝6种，根据

分步计数原理，共有15×6＝90种，故答案为：90．15．解：分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN，则正六边形的边长MG＝＝，故截面多边形的面积等于S＝＝．16．答案：x2+（y﹣3）2＝3；[6﹣2，

6+2]．解：圆方程可化为x2+（y﹣3）2＝4，则圆心C（0，3），半径r＝2，设M（x，y），12则CM2＝r2﹣＝3，即x2+（y﹣3）2＝3，所以M点的轨迹方程为x2+（y﹣3）2＝3，因为M点在x2+（y﹣3）2＝3

上运动，所以||最大值3+，最小值3﹣，则＝2||∈[6﹣2，6+2]，故答案为：x2+（y﹣3）2＝3；[6﹣2，6+2]．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣t

anA）．∴2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．∴b＝c（cosA﹣sinA），由正弦定理可得：sinB＝sinC（cosA﹣sinA），∴sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，∴sinAcosC＝﹣sinCsinA≠0，∴tanC＝﹣1，解得C＝．（2）选择条件②

，cosB＝，∴sinB＝．∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，由正弦定理可得：a＝＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得AD＝．18．解：（1）设等差数列{

an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），由题设可得：，即，解得：，∴bn＝2n﹣1，an＝a3+（n﹣3）d＝3+n﹣3＝n；（2）由（1）可得：cn＝（2n﹣1）•2n，∴Sn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，又2Sn＝1×22+3×

23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减得：﹣Sn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1，整理得：Sn＝（2n﹣3）•2n+1+6．19.解：（Ⅰ）由频率分布直

方图可得：++++++++=a20.020.030.050.050.150.050.040.011)(13解得.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在(12,14，(14,16，(16,18三组内的学生人数分别为5000.1050=人，5000.0840=

人，5000.0210=人.若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14,16内的学生中抽取了40104504010=++人.现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3.()3631020101206CP

XC====，()124631060111202CCPXC====，()2146310363212010CCPXC====，()3431041312030CPXC====.所以X的分布列为X0123P1

612310130（Ⅲ）4k=.20.解：（Ⅰ）因为四边形ACFE为矩形，所以//CFAE.又因为//ABCD，ABAEA=，AB平面ABE，AE平面ABE，CD平面CDF，CF平面CDF，所以平面//ABE平面CDF.0.10a=14（Ⅱ）选择①②，或①②

③因为⊥AE平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以⊥AEAB，⊥AEAD.又因为⊥ABAD，所以分别以AB，AD，AE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B(1,0,0)，E(0,0,1)，F(2,2,1).所以=−BE(1,0,1)，=BF(1,

2,1).设平面BEF的法向量为n=xyz(,,)，则nn==BFBE0,0,即++=−+=xyzxz20.0,令=x1，则=−y1，=z1.于是n=−(1,1,1).由（Ⅰ）可得：⊥AD平面CDF.取平面CDF的一个法向量为m=(0,1,0).所以mnmnmn===−

−13||||3cos,13.所以二面角−−BlC的余弦值为33.选择①③因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED平面=ABCDAD,⊥ABAD，AB平面ABCD,所以⊥AB平面AED.又因为AE平面AED所以⊥ABAE.在矩形ACFE中，⊥AEAC.ABCDEFxyz15因为AB平面AB

CD，AC平面ABCD，ABACA=，所以AE⊥平面ABCD.又因为AD平面，所以.分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.由（Ⅰ）可得：平面.取平面的一个法向量为.所以13cos,|

|||313−===−mnmnmn.所以二面角的余弦值为.21.解：（Ⅰ）由题意知，()sincosfxxxx=+.因为π(0)2x，，所以()0fx.所以在π(0)2，上单调递增．（Ⅱ）设，则()2cossinhxxxx=−．当

π(π)2x，时，()0hx．16所以=hxfx()()在，2)π(π内单调递减．又因为=f2()10π，=−f0π)π(，所以存在唯一，x2)π(π0，使得=fx()00．fx()与fx'()在区间2)π(,π上的情况如下：所以fx()在

，2)π(π内有且只有一个极值点．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，fx()在x(1,)0内单调递增，在x)π(,0内单调递减.又因为=f(1)sin10，=f)0π(，所以当x]π(1,时，+fx()11．又因为当x]π(1,时，xπ0lnln，所以=+xgxfxπlnln()()1

1，当且仅当=xπ时等号成立．所以gx()在]π(1,上的最小值为πln1．22.解：（Ⅰ）因为点−A(2,0)，B(0,1)都在椭圆M上，所以=a2，=b1.所以=−=cab322.所以椭圆M的离心率==aec23.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知椭圆M的方程为+=yx4122，C(2,

0).x，x2()π0x0，x)π(0fx()+0−fx()极大值17由题意知：直线AB的方程为22xy=−.设00(,)Pxy（00y，01y），(22,)QQQyy−，(,0)SSx.因为,,CPQ三点共线，所以有CPCQ.所以00(2)(24)QQxyyy−=−.

所以000422Qyyyx=−+.所以00000004244(,)2222yxyQyxyx+−−+−+.因为,,BSP三点共线，所以0011syxx−=−，即001sxxy=−.所以00(,0)1xSy−.所以直线QS的方程为000000000004242214122yxxyxyxxyyyyx+−

−−+−=+−−+，即2200000000044844(1)1xyxyyxxyyyy−−+−=+−−.又因为点P在椭圆上，所以220044xy=−.所以直线QS的方程为00022(1)21yxxyy−−=−+−.所以直线QS过定点(2,1).方法二：直线过定点(2,1)T，理由如下：设直线为1

1ykx=+（10k且112k），直线为2(2)ykx=−（20k且212k）.18所以直线BP与x轴的交点−kS(,0)11.因为直线AB的方程为=+yx211，所以直线CP与直线AB的交点−−+kkQkk2121(,)4242222.所以直线TS的斜率+=kkkTS2111，

直线TQ的斜率=+kkTQ24112.所以++−=−+=−+−+kkkkkkkkkkTSTQ212421()2411()1111211221.将=+ykx11代入方程+=xy4422得++=kxkx41801122)(.所以点P的横坐标为+=−kxkP418121，则+=−−ky

kP41411212.将点P的坐标代入直线CP的方程=−ykx(2)2，整理得+−++=kkkkkk12488021121222.所以+−++=kkkkk121224011212)()(.因为+k1201，所以−++=kkk

k122401212.所以−=kkTQTS0.所以直线QS过定点T(2,1).