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5.1.2导数的概念及其几何意义必备知识基础练1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则()A.f'(x0)>0B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在2.函

数f(x)=x2-sinx在[0,π]上的平均变化率为()A.1B.2C.πD.π23.已知f(x)=-23x2,若f'(a)=13,则a的值等于()A.-14B.14C.-49D.344.设函数y=f(x)的导函数为f'(x)

,若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=()A.4B.3C.2D.15.(多选题)曲线y=9𝑥在点P处的切线的倾斜角为3π4,则点P的坐标可能为()A.(3,3)B.(-3,-3)C.(9,1)D.(1,9)6.设函数f

(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=.7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)f'(b).(填“<”或“>”)8.曲线y

=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是.9.利用导数的定义求函数f(x)=√𝑥+2在x=2处的导数.10.已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的

取值范围;(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率.关键能力提升练11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)3Δ𝑥等于()A.f'(1)B.3f'(1

)C.13f'(1)D.以上都不对12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,Δx>0,则k1与k2的大小关系为

()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不能确定13.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x

)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化

率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率14.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中

之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是()15.曲线f(x)=2𝑥在x=-2处的导数为,在点(-2,-1)处的切线

方程为.16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=.17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为.18.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实

数a的值.学科素养创新练19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.参考答案5.1.2导数的概念及其几何意义1.A由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线

在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.2.C平均变化率为𝑓(π)-𝑓(0)π-0=π2π=π.故选C.3.A由导数的定义得f'(x)=limΔ𝑥→0-23(x+𝛥x)2-(-23x2)x+𝛥x-x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0-4

3𝑥Δ𝑥-23(Δ𝑥)2Δ𝑥=limΔ𝑥→0(-43𝑥-23Δ𝑥)=-43x,因此f'(a)=-43a=13,则a=-14.4.A∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,∴1-f(1)+2=0,解

得f(1)=3.又f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.5.AB由导数定义得y'=limΔ𝑥→09x+𝛥x-9x𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0-9𝑥(𝑥+Δ𝑥)=-9𝑥2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9𝑥02=tan3π4

=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).6.af'(x0)=limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑎Δ𝑥+𝑏(Δ𝑥)2Δ𝑥=limΔ𝑥→0(a+bΔx)=a.7.>f'(a)与f'(b)分别表示函数

图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).8.4x+y-2=0因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),所以斜率k=y'x=-1=limΔ𝑥→0(-1+𝛥x)2-2(-1+𝛥x)+3-(1+2+3)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(Δx-4)=-4,所以切线方程为y

-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.9.解∵Δy=√(2+Δ𝑥)+2−√2+2=√4+Δ𝑥-2,Δ𝑦Δ𝑥=√4+Δ𝑥-2Δ𝑥=(√4+Δ𝑥-2)(√4+Δ𝑥+2)Δ𝑥(√4+Δ𝑥+2)=1√4+

Δ𝑥+2,∴f'(2)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→01√4+Δ𝑥+2=14.10.解(1)由题意得,割线AB的斜率为Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(2+Δ𝑥)-𝑓(2)Δ𝑥=-(2+Δ𝑥)2+(2+Δ𝑥)-(-4+2)Δ�

�=-4Δ𝑥+Δ𝑥-(Δ𝑥)2Δ𝑥=-3-Δx,由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2

,f(2))处切线的斜率为k=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(-3-Δx)=-3.11.C根据导数的定义limΔ𝑥→0f(1+𝛥x)-f(1)𝛥x=f'(1).所以𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1

)3Δ𝑥=13limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=13f'(1),故选C.12.A因为函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的变化量为Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-𝑥02=Δx(2x0+Δx),所以k1=Δ𝑦1Δ�

�=2x0+Δx.函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的变化量Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=𝑥02-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),所以k2=Δ𝑦2Δ𝑥=2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,又Δx>0,所以k1>k2.故选A.13.AD∵f(x

)在[a,b]上的平均变化率是𝑓(𝑏)-𝑓(𝑎)𝑏-𝑎,g(x)在[a,b]上的平均变化率是𝑔(𝑏)-𝑔(𝑎)𝑏-𝑎,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴𝑓(𝑏)-𝑓(𝑎)𝑏-𝑎=𝑔(𝑏)-𝑔(𝑎)𝑏-𝑎,故A正确,B错误;易知函数f(

x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题

中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.14.ACD单位时间的供应量逐步提高时,

供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.15.-12x+2y+4=0f'(-2)=limΔ𝑥→0f(-2+𝛥x)-f(-2)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→02

-2+Δ𝑥+1Δ𝑥=limΔ𝑥→01-2+Δ𝑥=-12,∴切线方程为y+1=-12(x+2),即x+2y+4=0.16.-1∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)

=-2,又P(2,f(2))为切点,∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.17.4y'=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.因为点P的横坐

标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为-6+c2,根据题意有-6+c2=-5,解得c=4.18.解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=limΔ𝑥→0(x+𝛥x)3-2(𝑥+𝛥x)2+3-(x3-2x2+3)�

�x=3x2-4x.由导数的几何意义,得f'(x0)=3x02-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,∴切点坐标为-23,4927或(2,3).当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a,∴a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5,因此切点坐标为

-23,4927或(2,3),a的值为12127或-5.19.解(1)设切点为(x0,y0),∵y'𝑥=𝑥0=limΔ𝑥→0(x0+𝛥x)2-x02𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑥02+2𝑥0·Δ𝑥+(Δ𝑥)2-𝑥02Δ𝑥=2x0,∴y'x=1=2.∴曲线在点P(1

,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'𝑥=𝑥0=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①再由A(x0

,y0)在曲线y=x2上,得y0=𝑥02,②联立①②得x0=1或x0=5.从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.当切点为(5,25)

时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.