【文档说明】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，736.504 KB，由小赞的店铺上传

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长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标

系中，点(2,1,9)−关于x轴的对称点的坐标是（）A．(2,1,9)−B．(2,1,9)−−−C．(2,1,9)−D．(2,1,9)−2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有

一个白球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是白球3．已知函数(),()fxgx分别由下表给出：x123()fx211x123()gx321则((3))fg=（）A．0B．1C．2D．34．如图是某校举行的诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去

掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）7899446473A．84,4.84B．84,1.6C．85,1.6D．85,0.45．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，11AB的中点是P，过点1A作与截面1

PBC平行的截面，则该截面的面积为（）A．22B．23C．26D．46．在ABC中，若tantantantan1ABAB=++，则cosC的值是（）A．22−B．22C．12D．12−7．在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，且6PA=，则PC与平面A

BCD所成角的大小为（）A．30B．45C．60D．758．已知圆22(1)4xy++=的圆心为C，点P是直线:540lmxym−−+=上的点，若该圆上存在点Q使得30CPQ=，则实数m的取值范围为（）A．[1,1]−B．[2,2

]−C．3333,44−+D．120,5二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．已知ABC

中，角ABC、、所对的边分别是abc、、且6,4sin5sinaBC==以下四个命题中正确的有（）A．ABC的面积的最大值为40B．满足条件的ABC不可能是直角三角形C．当2AC=时，ABC的周长为15

D．当2AC=时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为710．下列叙述正确的是（）A．频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率mn就是事件的概率C．百分率是频率，但不是概率D．频率是

不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的不依赖于实验次数的理论值11．已知,abR，则（）A．任意,ab有2221()2abab++B．存在,ab使得2221()2abab++C．任意,ab有2212(1)abab+++−D．存在,ab使得221

2(1)abab+++−12．设等差数列na的前n项和是nS，已知12130,0SS，正确的选项有（）A．10,0adB．5S与6S均为nS的最大值C．670aa+D．70a三、填空题（本大题共4小题，每小题5

分，共20分．）13．已知数列na的前n项和为nS，通项公式(1)(1)nnan=−+，则99S=________．14．已知3123,cos(),sin()24135−=+=−，则sin2=___

___．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点,AB分别为x轴、y轴上一点，且||1AB=，若点P的坐标为(1,3)，则||APBPOP++的取值范围是________．16．已知函数11()fxxxxx=+−−，关于x的方程2()|()|0(,)fxafxbab++=

R恰有6个不同实数解，则a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数2()2cos3sin21fxxx=+−．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）求满足()1fx=且[,]x

−的x的集合．18．（12分）已知四棱锥PABCD−如图所示，//,,2,1,ABCDBCCDABBCCDPDPAB⊥====为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角PCBA−−的余弦值．19．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销

，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（1）求回归直线方程ˆˆybxa=+，其中ˆˆ20,baybx=−=−；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，

该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入−成本）20．（12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足24coscos24coscos2CCCC+=．（1）求角C的大小；（2）若122CACB−=，求ABC面积的最大值．21．（12分）设无穷等差数列na的前

n项和为nS，已知131,12aS==．（1）求24a与7S的值；（2）对任意的正整数n，不等式210nnSa−+恒成立，试求实数的取值范围．22．（12分）已知函数3(1)log(1)fxax+=+，且(2)1f=．（1）求()fx的解析式；（2）已知()fx的定义域为[2,)+．

（i）求()41xf+的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxffkkx+−+=有唯一实根，求实数k的取值范围．长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BCCCCBADACDADA

CACD4．C【解析】由题意得1(8484868487)855x=++++=．222222118(8485)(8485)(8685)(8485)(8785)(11114)1.6555s=−+−+−+−+

−=++++==．5．C【解析】在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，11AB的中点是P，过点1A作与截面1PBC平行的截面，则截面是一个对角线分别为正方体体对角线1AC和面对角线EF的菱形，如下图所

示：则1122,23,EFACEFAC==⊥，则截面面积11262SEFAC==，故选C．6．B【解析】由tantantantan1ABAB=++，可得tantan11tantanABAB+=−−，即tan()1AB+=−，又(0

,)AB+，所以34AB+=，则2,cos42CC==，故选B．7．A【解析】如图，连接,ACPA⊥平面ABCD，,PAACPCA⊥为PC与平面ABCD所成的角．底面ABCD是边长为3的正方形，6332,tan332PAACPCAAC====，30P

CA=．故选A．8．D【解析】如图所示，过点P作圆的切线PQ，要使圆上存在点Q使得30CPQ=，则30CPQ，此时4sinCQCPCPQ=，点P为直线l上的点，则圆心到直线l的距离小于等于4

，圆心到直线的距离2|64|41mdm−+=+，1205m，故选D．9．ACD【解析】A、以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得(3,0),(3,0)BC−，由4sin5sinBC=，可得45bc=，设(,)Amn，可得22224(3)5(3)mnmn−

+=++，平方可得()()222216692569mnmmnm+−+=+++，即有2282903mnm+++=，化为222414033mn++=，则A的轨迹为以41,03−

为圆心，半径为403的圆，可得ABC的面积的最大值为14064023=，故A正确；B、6,4sin5sinaBC==，即45bc=，设5,4btct==，由22361625tt+=，可得2t=，满足条件的ABC可能是直角三角形，故B错误；C、6,4sin5sin,2aBCAC===，可

得3BC=−，由正弦定理可得45bc=，可得54cb=，由sinsinbcBC=，可得()25544sin(3)sinsin4cos1cccCCCC==−−，由sin0C，可得254cos14C−=，解得3cos4C=，或34−（舍去），所以273737sin1cosC,si

n2sincos24448CACC=−====，由637784c=，可得4,5cb==，则15abc++=，故C正确；D、1137157sin542284ABCSbcA===．设ABC的内切圆半径为R，则15722744562SRabc===++++，11747222ABOSc

R===．故D正确，故选：ACD．10．AD【解析】由频率及概率的定义可知A是正确的．在B中，mn是事件A发生的频率，由于概率是与频率接近一个常数，所以概率不一定等于频率，故B是错误的．百分率通常指概率，所以C是不正确的．由概率的定义知D是正确的．故选AD．11．

AC【解析】22,2ababab+R、，当且仅当ab=时等号成立，()22222222122(),(),2abaabbababab+++=+++A选项正确，B选项错误；22,12,12abaabb++R、，22222aba

b+++，当且仅当1ab==时等号成立，222(1)abab++−，对于任意实数22,12(1),ababab+++−、C选项正确，D选项错误；故选A、C．12．ACD【解析】因为()()11267121212022aaaaS++==，所以670aa+，故C正确．又

因为()11371371313213022aaaSa+===，所以760,0aa，故D正确，所以等差数列前6项为正数，从第7项开2始为负数，则10,0ad，故A正确，6S为nS的最大值，故B错误；故ACD正确．故选：

ACD．三、填空题13．51−【解析】由(1)(1)nnan=−+得：991234979899Saaaaaaa=+++++++=23459899100(23)(45)(9899)1004910051−+−+−−+−=−++−+++−

+−=−=−．14．5665−【解析】由已知可得54sin(),cos()135−=+=−，则56sin2sin()65=−++=−．15．[5,7]【解析】设(,0),(0,)AxBy，则221xy+=，所以(

1,3),(1,3),(1,3)APxBPyOP=−=−=，所以(3,33)APBPOPxy++=−−，所以222||(3)(33)37663APBPOPxyxy++=−+−=−−，令cos,sinxy==，则222||(3)(33

)376cos63sin3712sin6APBPOPxy++=−+−=−−=−+．当sin16+=−时，||APBPOP++取得最大值37127+=；当sin16+=时，||APBPOP++取得最小值37125−=，故||APBPO

P++的取值范围是[5,7]．16．(4,2)−−【解析】由题意，易知函数()fx定义域为{0}xx，关于原点对称，又因为11()()fxxxfxxx−=−+−−−=−−，所以函数()fx为偶函数，只需研究(0,)+上根的情况，当1x时，2()fxx=；当01x

时，()2fxx=，作出函数()fx大致图象如下：结合图象可知，要使方程2()|()|0(,)fxafxbab++=R恰有6个不同实数解，令()(02)fxtt=，则只需使方程20(,)tatbab++=R恰有2

个不同实数解，其中一根为2，另一根在区间(0,2)内，所以42,022baa=−−−−，即a的取值范围是(4,2)−−．四、解答题17．【解析】（1）2()2cos3sin21cos23sin22sin26fxxx

xxx=+−=+=+，令222,262kxkk−+++Z，得,36kxkk−++Z，则函数()fx的单调递增区间为,,36kkk−++Z；5分（2）因为[,]x−，所以11132,666x+−

．因为()1fx=，所以1sin262x+=，由11132,666x+−，可知：1175132,,,,666666x+=−−．所以2,,0,,33x−−．10分18．【解析】（1）证

明：取AB的中点E，连接,PEDE．2,1,ABBCCDPDPAB====为等边三角形，,3,,//PEABPEBECDEBCD⊥==，四边形BCDE是平行四边形，2,//,DECBDECBABED==⊥，,,PEEDEPEED=

平面,PEDAB⊥平面PED，PD平面,PEDABPD⊥，222,DEPDPEPDPE=+⊥，,,ABPEEABPE=平面,PABPD⊥平面PAB；5分（2）由（1）知AB⊥平面PED，又A

B平面,ABCD平面PED⊥平面ABCD，过P作POED⊥于O，平面PED⊥平面ABCD，平面PED平面,ABCDEDPO=平面PED，则PO⊥平面ABCD，过O作OHCB⊥于H，连接PH，PO⊥平面,ABCDBC平面ABCD，则POBC⊥，,,POOHOPOOH=平面POH，故BC⊥平

面POH，又PH平面POH，故BCPH⊥，则PHO为二面角PCBA−−的平面角．在RtPED中，POEDPEPD=，可得32PO=，在RtPHO中，2271,2OHPHOHPO==+=，故27cos7OHPHOPH==，二面角PCBA−−的余弦值为

277．12分19．【解析】（1）由于11(88.28.48.68.89)8.5,(908483807568)8066xy=+++++==+++++=．所以ˆˆ80208.5250aybx=−=+=，从而回归直线方程为20250yx=−+．5分（2）设工厂获得

的利润为L元，依题意得(20250)4(20250)Lxxx=−+−−+2203301000xx=−+−220(8.25)361.25x=−−+当且仅当8.25x=时，L取得最大值．故当单价定位8.25元时，工厂可获得最大利润．12分20．【解析】（1）由24c

oscos24coscos2CCCC+=；得24cos2cos12cos(1cos)CCCC+−=+；解得1cos2C=，由0C，所以3C=．5分（2）取BC中点D，则12||2CACBDA−==．在ADC中，2222cosADACCDACCDC=+−，即2222

4222422aababababb=+−−=，所以8ab，当且仅当4,2ab==时取等号，此时13sin24ABCSabCab==，故ABC面积的最大值为23．12分21．【解析】（1）因数

列na是等差数列，所以32312Sa==，所以24a=，又11a=，所以公差3d=，所以21313(1)32,(132)22nnnnannSnn−=+−=−=+−=，所以224737770,702aS−===．5分（2）根据题意，对任意的正

整数n，不等式210nnSa−+恒成立，当1n=时，11210Sa−+，得0，而0=时，得21,4naa=，显然不是恒成立，故0，所以0，当2n时，321nan=−，所以1330nan−=−，所以当2n

，不等式210nnSa−+恒成立等价于当263322,3(1)5111nnSnnnnann−==−++−−−恒成立，记2()3(1),21fnnnn=−+−，且*nN，则当2n时，222332(1)()33(1)01(1)nnf

nfnnnnnnn−−+−=+−−+=−−，即(1)()fnfn+，所以2()3(1),21fnnnn=−+−且*nN，单调递增，min()(2)5fnf==，所以310，得310，所以所求的实数的取值范围为3,10+

．12分22．【解析】（1）令1(0)txt=+，则3()logftat=，所以3()logfxax=，因为3(2)log21fa==，所以231log3log2a==，所以3232()loglog3loglogfxaxxx===．4分（2）

（i）因为()fx的定义域为[2,)+，所以412x+，解得0x，所以()41xf+的定义域为[0,)+．6分（ii）因为0,22,xxkk+所以221xk+在[0,)+恒成立，因为221x

y=+在[0,)+单调递减，所以221xy=+的最大值为1，所以1k．又因为()()412xxffkkx+−+=，所以()()22log41log2xxkkx+−+=，化简得()2(1)2210xxkk−+−=，令2(1)xtt=，则2(1)10ktkt−+−=在[1,)+有唯

一实数根，令2()(1)1,[1,)gtktktt=−+−+，当1k=时，令()0gt=，则1t=，所以21x=，得0x=符合题意，所以1k=；当1k时，2440kk=+−，所以只需(1)220gk=−，解得1k，因为1k，所以此时无解；综上，1k=．

12分