【文档说明】专题01 三角形的三边内外角高线中线及角平分线压轴题九种模型全攻略（解析版）-《常考压轴题》2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）.docx，共(43)页，1.982 MB，由envi的店铺上传

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专题01三角形的三边、内外角、高线、中线及角平分线压轴题九种模型全攻略考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形内角和定理的证明考点四与平行线有关的三角的内角和问题考点五三角形的高线、中线、角平分线考点六与角平分线有关的三角的内角和问题考点七三角形折叠中的角度问题考点八三角形内角

和定理的应用考点九三角形外角的定义和性质考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都

含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（20

22·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）典型例题A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析

】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景

中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案

为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析

】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是

解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角

形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D

、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长

分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边

长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为

3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，143143x−+，即1117x．x为正整数，12x=，13，14，15，16，即

这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形内角和定理的证明例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠

C＝58°，那么∠DAB＝；∠EAC＝；∠BAC＝．(在空格上填写度数）（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．【答案】（1）45°；58°；77°（2）见解析【解析】【分析】（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出：45D

AB=，58EAC=．由图可知：180DABBACEAC++=，可求出：77BAC=．（2）过点A作//DEBC，通过平行线的性质，可得：BDAB=，CEAC=所以180BACBCBACDABEAC++=++=

．【详解】（1）解：//DEBC，45B=，58C=45BDAB==，=58CEAC=180BACDABEAC++=18077BACDABEAC=−−=，故答案是：45°，58°，77°；（2）证明：过点A作//DEBC//DEBCBDAB=，CEA

C=180BACDABEAC++=180BACBCBACDABEAC++=++=【点睛】本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．【

变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“

三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命

题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析【解析】【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即

可．【详解】解：已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．【点睛】本题考查三角

形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内

角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC,求证：180.ABC++=方法一证明：如图，过点A作.DEBC∥方法二证明：如图，过点C作.CDAB∥【答案】答案见解析【解析】【分析】选择

方法一，过点A作//DEBC，依据平行线的性质，即可得到BBAD=，CEAC=，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180．【详解】证明：过点A作//DEBC，则BBAD=，CEAC=．(两直线平行，内错角相等

）点D，A，E在同一条直线上，180DABBACC++=．（平角的定义）180BBACC++=．即三角形的内角和为180．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握

平行线的性质是解题的关键．考点四与平行线有关的三角的内角和问题例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若30E=，130EFC=，则A=______．【答

案】20【解析】【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE的度数，再利用三角形内角和定理求解．【详解】解：//ABCD，130ABEEFC==，在△ABE中，30E=，1801803013020AEABE=−−=−−=，20A

=．故答案为：20．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线AB，CD被直线BC，EG所截．若AB//CD，

176=，236=，则3的度数为（）A．30°B．36C．40D．45【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数．【详解】解：∵AB//CD，176=，∴∠CGE＝180°－∠1＝104°，∵∠2＋∠3＋∠CG

E＝180°，236=，∴∠3＝180°－∠2－∠CGE＝40°．故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）

如图所示，直线ab∥，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．【答案】34°##34度【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数

即可．【详解】：解：∵直线ab∥，∠1＝56°，∴∠ABM＝∠1＝56°，∵AM⊥b，垂足为点M，∴∠AMB＝90°，∴∠2＝180°−∠AMB−∠ABM＝180°−56°−90°＝34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性

质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．考点五三角形的高线、中线、角平分线例题1：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答

案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．例题2：（2021·广西·靖西市教学研究

室八年级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得ADCD=，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】解：BD是ABC的中线

，即点D是线段AC的中点，ADCD=，5AB=，ABD△的周长为12，12ABBDAD++=，即512BDAD++=，解得：7BDAD+=，7BDCD+=，则BCD△的周长是3710BCBDCD++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点

，掌握线段中点的定义是解题关键．例题3：（2022·全国·八年级）如图，在ABC中，90CAB=，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（）①AEGAGE=；②BHCH=；③2EAGEBC=

；④ACFBCFSS=A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∠CAB=90°，AD是高，可得∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，又因为BE是角平分线，可得∠ABE=∠DBE，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该

说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；③∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该

说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∵∠CAB=90°，AD是高，∴∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠DBE，∴∠AEG=∠DGB，∵∠DGB=∠AGE，∴∠AEG=∠AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE

是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAG=∠DBA，∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考

查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是ABC的AC边上的高线B．线段CD是ABC的AB边上的高线

C．线段AD是ABC的BC边上的高线D．线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC

的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的

相关知识是解题的关键．2．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC中，BC边上的中线AD将ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为________．【答案】3cm或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BDCD=，然后求出ABD△与

ADC的周长差是AB与AC的差或AC与AB的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∵AD是BC边上的中线，∴BDCD=，∵中线AD将ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，∴()()5ABBDADACCDAD++−++=

或()()5ACCDADABBDAD++−++=，∴5ABAC−=或者5ACAB−=，∵AB与AC的和为11cm，∴11ABAC+=，∴83ABAC==或38ABAC==，故答案为：3cm或8cm．【点睛】本题

考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,ADBECF是ABC的三条中线，则2AB=______，BD=______，12AE=______．（2）如图（2）,,ADBEC

F是ABC的三条角平分线，则1=______，132=______，2ACB=______．【答案】AF或BFCDAC2ABC4【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E、F、D分别是AC、

AB、BC上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∵CF是AB边上的中线，∴AB＝2AF＝2BF；∵AD是B

C边上的中线，∴BD＝CD，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝12AC，（2）∵AD是BAC的角平分线，∴12=，∵BE是ABC的角平分线，∴132=ABC，∵CF是ACB的角平分线，∴2ACB=4．故答案为：AF或BF；CD；AC；2；A

BC；4【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．考点六与角平分线有关的三角的内角和问题例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，若

∠P=125°，则∠A=_____°【答案】70【解析】【分析】依据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，可得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可求得∠ABC+∠ACB=

110°，即可求得∠A的度数．【详解】解：BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，=180=180125=55PBCPCBP+−−，∠PBC+∠PCB

=12∠ABC+12∠ACB=55°，∠ABC+∠ACB=110°，()=180=180110=70ABCACBA−−+，故答案为：70．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此

题的关键．【变式训练】1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线．(1)若32B=∠，60C=°，求DAE的度数；(2)若18CB−=，求DAE的度数．【答案

】(1)14°(2)9°【解析】【分析】先求∠DAC=30°，再求∠BAC=180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC=1442BAC=，求得∠DAE=14°．(2)根据∠DAE=12BACDAC−=1

(180)(90)2BCC−−−−=11909022BCC−−−+=12()CB−，代入计算即可．(1)∵AD是高，AE是角平分线，32B=∠，60C=°，∴∠DAC=30°，∠BAC=180°-32°-60°=88°，∴∠EAC=1442BAC=，∴∠

DAE=∠EAC-∠DAC=44°-30°=14°．(2)∵∠DAE=12BACDAC−=1(180)(90)2BCC−−−−=11909022BCC−−−+=12()CB−，18CB−=，∴∠DAE=9°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角

的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形性质是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，ABC中，ADBC⊥于点D，E为AC上任意一点，连接BE交AD于点F．(1

)若4070ABDAFE==，，求证：BE平分ABC．(2)如图2，在（1）的条件下，若AFEAEF=，请直接写出图中所有直角三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．【解析】【分析】（1

）AD⊥BC，得∠ADB=90°，进而得∠DBF=20°，又由∠ABD=40°即可得∠DBF=12ABD，即可证明结论成立；（2）由AD⊥BC得△ABD、△ACD、△BDF是直角三角形，另由∠ABE+∠AEF=20°+70°=90°，可得∠BAE=90°得△ABE、△ABC是直角三角形．(1)

解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴在Rt△BDF中，∠DBF+∠BFD=90°，∴∠BFD+∠AFE=70°，∴∠DBF=20°，∵∠ABD=40°，∴∠DBF=12ABD，∴BE平分∠ABC

；(2)解：∵AD⊥BC，∴△ABD、△ACD、△BDF是直角三角形，∵∠ABE=∠CBE=20°，∴∠AEF=∠AFE=70°，∴∠ABE+∠AEF=20°+70°=90°，∴.在△ABE中，∠BAE=90°，∴△ABC、△ABE是直角三角形，综上所述△ABC、△AB

E、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．【点睛】本题主要考查了直角三角形及角平分线与垂直，熟练掌握直角三角形的概念是解题的关键．考点七三角形折叠中的角度问题例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，65A

=，75B=，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外的点C处．若225=，则1的度数为（）A．115°B．100°C．105°D．95°【答案】C【解析】【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠C

DE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．【详解】解：在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°．由折叠，

可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝18022+＝102.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105

°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合

，则∠NCF的度数为（）.A．22°B．21°C．20°D．19°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠AC

B＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．（2022·江苏·南京市

第十三中学七年级期中）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A＇处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB=75°，则∠C=___°【答案】80°##80度

【解析】【分析】先由平行线性质得：A=∠CBE，再由折叠可得：∠A=∠A，∠ABD=∠DBE=∠CBE，BCE=∠C，则∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，由三角形内角和定理知180BCECEB

DBE++=，而75CEB=，可求得105CDBE+=，然后由∠A+∠C+∠ACB=180°，则∠C+4∠DBE=180°，即可求出∠C度数．【详解】解：∵A′D∥BC，∴A=∠CBE，由折叠可得：∠A=∠A，∠AB

D=∠DBE=∠CBE，BCE=∠C，∴∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，∵180BCECEBDBE++=，75CEB=，∴105BCEDBE+=，∴105CDBE+=，∵∠A

+∠C+∠ACB=180°，∴∠C+4∠DBE=180°，∴∠C=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出105CDBE+=和∠C+4∠DBE=180°是解题的关键．考点八三角形内角和定理的应用例题：（2022·河南南阳·二模）小明

把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边∥DEBC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45D=，再由平行线的性质得出45

BCF=，再由三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】CDE是直角三角形，∠E＝45°，45D=，∥DEBC，45BCFD==，180,30BBCFBFCB++==，105CFB=，故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性

质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线MNPQ∥，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．ABM的平

分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作ADPQ⊥交PQ于点D，作AFAB⊥交PQ于点F，AE平分DAF交PQ于点E，若45CAE=，52ACBDAE=，则ACD的度数是（）A．18B．27

C．30°D．45【答案】B【解析】【分析】设DAE=，则EAF=，52ACB=，先求得180BCECEA+=，即可得到AEBC∥，进而得出ACBCAE=，即可得到18DAE=，再依据RtACD△内角和即可得到∠A

CD的度数．【详解】设DAE=，则EAF=，52ACB=，∵,ADPQAFAB⊥⊥，∴90BAFADE==，∴90BAEBAFEAF=+=+，90CEAADEDAE=+=+，∴BAECEA=，∵

MNPQ∥，BC平分∠ABM，∴BCECBMCBA==，又∵360ABCBCECEABAE+++=，∴180BCECEA+=，∴AEBC∥，∴ACBCAE=，即5452=，∴18=，∴18DAE=，∴在RtA

CD△中，9090)451827(ACDCAD=−=−+=，故答案为：B．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于得出ACBCAE=．2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数

学试题）如图，在ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，70AGFABC==，12180+=(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若DEAC⊥，30=CDE，求A的度数．【答案】(1)BF∥DE，理由见

解析(2)50【解析】【分析】（1）先证FGCB∥，得出∠1=∠3，进而得出23180+=，最后证得DEBF；（2）由DEAC⊥，可知∠DEC=90°，进而∠C=60°，根据三角形内角和定理最后求得∠A的度数．(1)解：BFDE，理由如下：∵70AGFABC==

，∴FGCB∥，∴13=，又12180+=，∴23180+=，∴DEBF．(2)解：∵DEAC⊥，∴90CED=，30CDE=，60C=，∴180180706050AABCC=−−=

−−=．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．考点九三角形外角的定义和性质例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知7AOB=，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿

原路返回到点A，此时90783A=−=．当83A时，光线射到OB边上的点1A后，经OB反射到线段AO上的点2A，易知12=．若12AAAO⊥，光线又会沿21AAA→→原路返回到点A，此时A=______°．若光线从A点出发后，经若干次

反射能沿原路返回到点A，则锐角A的最小值=______°．【答案】766【解析】【分析】根据入射角等于反射角得出1290783==−=，再由1是1AAO的外角即可得A度数；如图，当MNOA⊥时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角

和外角性质求出5、9的度数，从而得出与A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．【详解】解：12AAAO⊥，7AOB=，1290783==−=，176AAOB=−=，如图：当MNOA⊥时，光线沿原路返回

，4390783==−=，654837769027AOB==−=−==−，8767679037AOB==−=−=−，98697629047AOB=−=−==−，由以上规律可知，9027An=

−，当6n=时，A取得最小值，最小度数为6，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与A具有相同位置的角的度数变化规律

是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．【答案】145°【解析】【分析】连接AC并延长，延长线上一点为E．由三角形外角的性质可得：DCEDDAC=+，B

CEEBAC=+．所以可得：145DABBDDACBACBDDCEBCEBCD++=+++=+==【详解】解：连接AC并延长，延长线上一点为EDCE是ACD△的外角DCEDDAC=+同理可得：BCEBBAC=

+145DABBDDACBACBDDCEBCEBCD++=+++=+==故答案为145．【点睛】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解

决本题的关键．2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝°；(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外

部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为；(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为；(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是°．【答案】(1)95(2)∠BPD+∠D=∠B(3)∠BQD+∠

QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360【解析】【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DB

P+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；（4）连接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∠CAD+∠ADC+∠C=

180°，即可求解；(1)解：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∠B＝55°，∴∠B=∠BED=55°，∵∠D＝40°，∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．故答案为：95．(2)∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵∠BPD+∠D=∠BOD，∴∠BPD+∠D=∠B．故答案为：∠BPD+∠D=∠B．

(3)连接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．故答案为：∠BQD+∠

QBP+∠PDQ=∠BPD．(4)如图，连接AD，∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，∵∠CAD

+∠ADC+∠C=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．故答案为：360．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．一、选择题1．

（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题

意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·

辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在△ABC中，2ABC==，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状无法确定【答案】A【解析】【分析】利用∠A，∠B，∠C的关系和三角形

内角和定理，求出具体的度数，即可求解．【详解】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+2∠C+∠C=180°，∴∠C=36°，∴∠A=∠B=2∠C=72°，∴△ABC为锐角三角形，课后训练故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A，∠B

，∠C的关系求出具体度数．3．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠DCB=40°，则∠A的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得90AB+=，再根据两直线平行，

内错角相等可得BÐ的度数，进而求A即可．【详解】BCAE⊥，90ACB=，90AB+=，,40CDABDCB=∥，40BDCB==，9050AB=−=，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握知识点且灵活运用是解题关键．4．

（2022·全国·八年级课时练习）如图，将ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A处，若44B=，则ADB的度数是（）A．108°B．104°C．96°D．92°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性

质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∥DEBC，∴∠ADE＝∠B＝44°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣

44°＝92°．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF是ABE△的

边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∵BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABDBCDABCSSS====△△，∵A

E是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABEADEABDSSS====，又∵BF是ABE△的边AE上的中线，则CF是ACE的边AE上的中线，∴118422BEFABFABESSS====，182CEFACFADECEDACE

SSSSS=====，则4812BEFCEFSSS=+=+=阴影，故选：B．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．6．（2022·山西实验中学七年级期中）两束与地面平行的

光线AB，CD经镜面a，b反射之后交于点G，镜面a，b与地面的夹角分别为∠1，∠2，已知∠1=25°，∠2=40°（由光的反射性质可知入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），则两条反射光线的夹角（∠DGH）的度数为（）

A．20B．25C．30°D．35【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质及光的反射性质、三角形内角和求解即可．【详解】解：如图，∵AB∥CD∥地面，∠1=25°，∠2=40°，∴∠ABP=∠1=25°

，∠CDO=∠2=40°，∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，∴∠FBM=∠ABP=25°，∠EDN=∠CDO=40°，∴∠ABF=180°-25°-25°=130°，∠CDE=180°-40

°-40°=100°，∵AB∥CD，∴∠CHB+∠ABF=180°，∴∠CHB=50°，∴∠FHD=∠CHB=50°，∴∠DGH=180°-∠FHD-∠CDE=180°-50°-100°=30°；故选：C．【点睛】此题考查了三角

形内角和定理，平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．二、填空题7．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；【答案】

60°##60度【解析】【分析】直接利用三角形外角性质求解即可．【详解】解：1307060AABEC=−=−=，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如

图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这

是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC的三条边长分别为3cm，xcm，4cm，则x的取值

范围______．【答案】17x##71x【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x－＜＜＋，∴17x＜＜.故答案为：17x＜＜.【点睛】本题

主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.10．（2022·江苏泰州·二模）已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝23°，则∠2＝_________°．【

答案】127【解析】【分析】先根据对顶角和三角板的角度结合三角形外角的性质求出∠BCD的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：由题意得，∠CAB=∠1=23°，∠ABC=30°，∴∠BCD=∠BAC+∠AB

C=53°，∵ab∥，∴∠2=180°-∠BCD=127°，故答案为：127．【点睛】本题主要考查了对顶角，三角形外角的性质，平行线的性质，三角板中角度的计算，准确求出∠BCD的度数是解题的关键．11．（2

022·重庆南开中学七年级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的

纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．【答案】15【解析】【分析】根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A′GE=30°，再利用折叠的性质即可求解．【详解】解：

∵AD∥BC，∠BFE=60°，∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠A′EF=∠AEF=120°，∠A′=∠A=90°，∴∠A′EG=∠A′EF-∠FED=60°，∴∠A′GE=90°-∠

A′EG=30°，∴∠DGD′=∠A′GE=30°，由折叠的性质得：∠DGH=∠HGD′=12∠DGD′=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（2

022·全国·八年级课时练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A的位置，且点A与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知90C=，60B=，若ADE的一边与BC平行，且ADEm=，则m=______．【答案】45或30【

解析】【分析】分类讨论①当//ADBC时、②当//AEBC时和③当//DEBC时，根据平行线的性质，折叠的性质结合题意即可求解．【详解】解：分类讨论，①如图，当//ADBC时，∵//ADBC，∴90ADAC==．∴由翻折可知

1452ADEADEADA===，∴m=45；②如图，当//AEBC时，∵//AEBC，∴60AEFB==．∵9030AB=−=，∴由折叠可知30A=，∴90AFEDFE

==，∴9060ADAA=−=，∴1302ADEADA==，∴m=30；③当//DEBC时，点A与点C在直线AB的同侧，不符合题意．综上可知m的值为45或30．故答案为：45或30．【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．利用分类讨论的思想是解题

关键．三、解答题13．（2022·全国·八年级）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析

】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵

AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和

三角形的中线．14．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ABCD∥，130BCD=，BE平分ABC交AD于点E，交CD的延长线于点F．(1)求ABE的大小；(2)若48AD

C=，求DEF的大小．【答案】(1)25°(2)23°【解析】【分析】（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出（2）先由平行线的性质求

出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．(1)解：∵ABCD∥，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，∵BE平分ABC∴∠AB

E=12∠ABC=1502=25°；(2)解：∵ABCD∥，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，又由（1）知：∠ABE=25°，∴∠AEB=180°-∠BA

D-∠ABE=180°-132°-25°=23°，∴∠DEF=∠AEB=23°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝

180°(1)证明：AD∥EF．(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．【答案】(1)见解析(2)70°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线

的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出∠DAB=∠F=90°，再求出答案即可．(1)证明：∵∠1=∠BDE，∴AC∥DE，∴∠2=∠ADE，∵∠2+∠3=180°，∴∠3+∠ADE=180°，∴A

D∥EF；(2)解∶∵∠1=∠BDE，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=12∠BDE=20°，∴∠2=∠ADE=20°，∵FE⊥AF，∴∠F=90°，由（1）得，AD∥EF，∴∠BAD=∠F=90°，∴∠BAC=∠BAD-∠2=9

0°-20°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，在ABC中，AD平分BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且AFGG=．(

1)GE与AD平行吗？为什么？(2)如果BBFEx==，请用含x的代数式表示ACB的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)1803x−【解析】【分析】（1）1（）首先根据角平分线的性质可得2BACDAC=，再根据三角形外角的性质可得BACGAFG=+，因为AFGG=，可

知2BACG=，从而得到DACG=，即可判定//ADGE；（2）根据1（）中结论//ADGE可知BADBFEx==，所以22BACBADx==，再根据三角形内角和定理可求C．(1)解：GE与

AD平行，理由如下：AD平分BAC，2BACDAC=，BACGAFG=+，AFGG=，2BACG=，DACG=，//ADGE．(2)解：//ADGE．BADBFEx==，22BACBADx==，18

018021803CBBACxxx=−−=−−=−．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．17．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期中）综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，

点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)求∠ABN、∠CBD的度数；(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写

出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．【答案】(1)∠ABN=120°，∠CBD=60°(2)∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化，见解析；(3)30°【解析】【分析】（1

）利用平行线的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义解决问题即可．（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．（3）通过条件证明∠ABC=∠DBN可得结论．(1)解：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A

=60°，∴∠ABN=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠PBD，（角平分线的定义），∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBD=

∠CBP+∠DBP=60°．(2)解：∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．理由是：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN（两直线平行内错角相等），∵BD

平分∠PBN（已知），∴∠PBN=2∠DBN（角平分线的定义），∴∠APB=∠PBN=2∠DBN=2∠ADB（等量代换），即∠APB=2∠ADB．(3)解：结论：∠ABC=30°．理由：∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+

∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，∴∠ABC+∠DBN=60°，∴∠ABC=30°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（2022·河北·承德市民族中学七年级期末）（1）已知ABC中，BC，ADBC⊥于D，AE平分BAC，70B=，40C=，求DAE的度数．（2）在图2中，Bx=，Cy=，其他条件不变，若把“ADBC⊥于D改

为F是AE上一点，FDBC⊥于D”，试用x、y表示DFE=________；（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示DFE=________；（4）在图4中，分

别作出BAE和EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示P=________．【答案】（1）15°；（2）1122xy−；（3）1122xy−；（4）3144xy−【解析】【分析】（1）先利用垂直

定义求出∠ADB，再利用三角形内角和定理求出∠BAC，利用角平分线定义求出∠BAE后即可完成求解；（2）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表示出∠AEB，再利用直角三角形两个锐角互余即可求解；（3）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表

示出∠AEB，接着利用对顶角相等表示∠DEF，再利用直角三角形两个锐角互余即可求解；（4）分别表示出∠BDP和∠PME，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）∵ADBC⊥于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵70B=

，40C=，∴∠BAD=20°，∠BAC=180°-70°-40°=70°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=35°，∴352015DAEBAEBAD=−=−=°°°，∴DAE的度数为15°；（2）∵Bx=，Cy=，∴∠BAC=180°-x-y，∵AE平分

∠BAC，∴()1118022EACBACxy==−−∠∠，∴()11802AEBEACCxy=+=−+∠∠∠，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴119022DFEAEBxy=−=−（3）∵Bx=，Cy=，∴∠BAC=180°-x-y，∵AE

平分∠BAC，∴()1118022EACBACxy==−−∠∠，∴()11802AEBEACCxy=+=−+∠∠∠，∴∠DEF=()11802xy−+，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴119022DFEDEFxy=−=−（4）∵Bx=，

Cy=，∴∠BAC=180°-x-y，∵AE平分∠BAC，∴()1118022BAEEACBACxy==−−∠=∠∠，∴()11802AEBEACCxy=+=−+∠∠∠，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∵BAE和EDF的角平分线交于点P，∴45BDP=，()111802

4MAEBAExy==−−∠∠，∴PMEMAEAEB=+∠∠∠()()1118018042xyxy=−−+−+3113544xy=−+，∴3118044PPMEBDPxy=−−=−∠∠∠．【

点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直定义、直角三角形两个锐角互余、三角形内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念与性质．