【文档说明】5.1 导数的概念及其意义（精练）（解析版）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx，共(10)页，524.988 KB，由管理员店铺上传

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5.1导数的概念及其意义（精练）【题组一平均变化率】1．（2021·全国高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（）A．物体5s内共走过42mB．物体每5s运动42mC．

物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42m/sD．物体以t＝5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42m【答案】D【解析】由导数的物理意义知，s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5s时的瞬时速度．故选：D.2．（2021·全国）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所

示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为123,,vvv，则三者的大小关系为（）A．123vvvB．321vvvC．213vvvD．231vvv【答案】B【解析】设直线',,OAABBC的斜率分别为',

,ABBCOAkkk，则()()'10110OAststvktt−==−，()()21221ABststvktt−==−，()()32332BCststvktt−==−，由题中图象知'BCABOAkkk

，即321vvv.故选:B3．（2021·全国）函数f(x)=2x2+5在x=1附近的平均变化率________在x=3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”)．【答案】小于【解析】函数f(x)在x=3附近的平均变化率：k1=yx=(3)(3)fxfx+−=222(

3)5235xx++−−=2Δx+12，函数f(x)在x=1附近的平均变化率：k2=yx=(1)(1)fxfx+−=222(1)5215xx++−−=2Δx+4，显然k1-k2=2Δx+12-(2Δx+4)=8>0，即k

2<k1，所以填“小于”.故答案为：小于4．（2021·全国高一课时练习）函数2yx=在区间[1,2]上的平均变化率为___________.【答案】3【解析】函数2yx=在区间[1,2]上的平均变化率为2221321−=−，故答案为：35．（2021·全国高二课时练

习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：（1）前3s内球的平均速度为________m/s；（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.【答案】812【解析】第一

空：由题设知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，即平均速度为v＝ht＝243＝8(m/s).第二空：由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，即平均速度为v＝ht＝12(m/s).故答案为：8；12.

6．（2021·全国高二课时练习）一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.（1）求此物体的初速度；（2）求t＝0到t＝1的平均速度．【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）由于v23Stttt−==＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，

即为初速度．（2）ΔS＝S（1）－S(0)＝3×1－12－0＝2，Δt＝1－0＝1，∴221Svt===.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.【题组二瞬时速度】1．（2021·全国高二课时练习）函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之

间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则（）A．k1<k2B．k1>k2C．k1＝k2D．不确定【答案】D【解析】解：由题得k1＝2200()xxxx+−＝2x0＋Δx，k2＝2200()xxxx−−＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，因为Δx的

正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定.故选：D2．（2021·全国高二课时练习）已知函数()221yfxx==+在0xx=处的瞬时变化率为8−，则()0fx=______．【答案】9【解析】由题知，()()220000021218limlim4xxxx

xyxxx→→++−+−===，得02x=−，∴()()()2022219fxf=−=−+=．故答案为：93．（2021·全国高二课时练习）若一个物体的运动规律如下（位移s的单位：m，时间t的单位：s）()

()2231,02233,2tstttt+=+−，则此物体在1t=和3t=时的瞬时速度分别为______．【答案】6m/s和0m/s【解析】∵物体在1t=附近的平均速度为()()()22

1131131163stststttt+−++−−===+，∴当t无限趋近于0时，st无限趋近于6，∴物体在1t=时的瞬时速度为6m/s．∵物体在3t=附近的平均速度为()()22233323333stttt++−−−−

==，∴当t无限趋近于0时，st无限趋近于0，∴物体在3t=时的瞬时速度为0m/s．故答案为：6m/s和0m/s.4．（2021·全国高二课时练习）（1）以初速度v0（v0>0）垂直上抛的物体，t秒时的高度为201()2stvtgt=

−，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________.（2）某物体的运动方程为s=2t3，则物体在第t=1时的瞬时速度是__________.【答案】00vgt−6【解析】（1）因为22200000000111()()222svttgttvtg

tvtgttgt=+−+−−=−−，所以0012svgtgtt=−−，所以000limtsvgtt→=−，即t0时刻的瞬时速度为00vgt−.（2）因为当1t=时，3

32(1)21st=+−322[1()33()]2ttt=+++−3222()66()2ttt=+++−322()66()ttt=++所以3222()66()2()66sttttttt++==++，所以0lim6tst→=，则物体在第

1t=时的瞬时速度是6.故答案为：（1）00vgt−，（2）65．（2021·全国高二课时练习）已知函数f(x)＝221x+.（1）求函数f(x)在区间[00,xxx+]上的平均变化率；（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时

变化率．【答案】（1）4x0＋2Δx；（2）8.02；（3）8.【解析】（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－220x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴()002242xxxyxxxx+==+（2）由（

1）可知：yx=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，yx＝4×2＋2×0.01＝8.02.（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴yx＝2Δx＋8，当Δx→

0时，yx→8.【题组三某处的导数】1．（2021·重庆市万州清泉中学）已知函数()yfx=在0xx=处的导数为1，则()()000lim3xfxxfxx→+−=（）A．0B．13C．1D．2【答案】B【解析】因为函

数()yfx=在0xx=处的导数为1，则()()()()()0000000111limlim3333xxfxxfxfxxfxfxxx→→+−+−===.故选：B.2．（2021·四川省绵阳江油中学高二期中（理））设()fx在0x可导，则000(

4)()limxfxxfxx→+−等于（）A．04()fx−B．0()fxC．01()4fxD．04()fx【答案】D【解析】0000000(4)()(4)()lim4lim4()4xxfxxfxfxxfx

fxxx→→+−+−==，故选：D．3．（2021·合肥市第六中学高二期中（文））已知Δ0(1)(1)lim3xffxx→−+=，则()fx在1x=处的导数(1)f=（）A．1−B．1C．3−D．3【答案】C【解析】Δ0Δ0(

1)(1)(1)(1)limlim3xxffxfxfxx→→−++−=−=，Δ0(1)(1)(1)lim3xfxffx→+−==−．故选：C4．（2021·陕西阎良·高二期末（理））设函数()fx的导函数

为()fx，若()02fx=−，则()000lm2i1kfxkfxk→−−等于（）A．-2B．-1C．2D．1【答案】D【解析】根据题意，()000lm2i1kfxkfxk→−−

()00011lim()2212kfxkfxk→−−=−−()1020000112)12()2(limkfxkfxxkx−→−−−−−=01()2fx=−，又由0()2fx=−，则()000121limkfxkfxk→−−=.故选：D.5

．（2021·厦门海沧实验中学高二期中）已知()03fx=，则000(2)()limxfxxfxx→−−=_______.【答案】6−【解析】根据题意，0()3fx=，则000000(2)()(2)()lim2lim62xxfxxfxfxxfxxx→→−−−−=−=−−．故答

案为：6−6．（2021·重庆市两江中学校高二月考）如图所示，函数()yfx=的图象在点P处的切线方程为25yx=−+，则()()22ff+=_____．【答案】1−【解析】函数()yfx=的图象在点(

)()22f,处的切线方程是25yx=−+，()22f=−，()2451f=−+=，()()22211ff+=−+=−．故答案为：1−．7．（2021·全国高二课前预习）设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.【

答案】2【解析】f′(1)＝0limx→＝0limx→＝2.答案28．（2021·全国高二课时练习）已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．（1）f(x)的图象在x＝1

处的切线斜率大于0；（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．【答案】（2）（3）【解析】f′（1）＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处

的切线斜率小于0；又f（1）＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故答案为：（2）（3）9．（2021·全国）已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且()12(2)gf=，则m＝________．【答案】4−【

解析】()21fxx=−，g′(x)＝m.因为()12(2)gf=，所以m＝－4.故答案为：4−.10．（2021·全国高二课时练习）若02)(=fx，则00Δ0()(Δ)lim2Δxfxfxxx→−+=________.【答案】1−【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δ

xfxfxxx→−+00Δ0(Δ)()1lim2Δxfxxfxx→+−=−'01()2fx=−1=−.故答案为1−.11．（2021·全国高二课时练习）已知()23fxx=+.（1）求f（x）在x=1处的导数；（2）求f（x）在x=a处的导数.【答案】（1）2；（2）2a.【解析】（

1）因为()()()()221313112xfxfyxxxx++−++−===+，所以()()()()00111limlim22xxfxffxx→→+−==+=；（2）因为()()()()22332axafaxfayaxxxx++−++

−===+，所以()()()()00limlim22xxfaxfafaaxax→→+−==+=.12．（2021·全国高二课时练习）已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：（1）0limx→00()()2fxfxxx−−；（2

）000lm()i()xfxxfxxx→−−+【答案】（1）2k；（2）2k.【解析】（1）由题意，()0000000limlim()()()()11222xxfxfxxfxxfxfxxx→→−−−−==−，因为()0fxk=，所以000()()22

limxfxfxxkx→−−=.（2）由题意，()0000000limlim()()()()222xxfxxfxxfxxfxxfxxx→→−−−−==++，因为()0fxk=，所以000()(l)2imxfxxfxxkx→−−=+.【题组四导数的几

何意义及应用】1．（2021·全国高二课前预习）函数f(x)的图象如图所示，则（）A．f′(1)>f′(2)>f′(3)B．f′(2)>f′(1)>f′(3)C．f′(3)>f′(2)>f′(1)D．f′(3)>f′(1)>f′(2)【答案】C【解析】由函数的

图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).2．（2021·全国高二课前预习）曲线y＝1x在点(1，1)处切线的斜率为（）A．1B．－1C．12D．－12【答案】B【解析

】k＝0limx→＝0limx→＝－1.3．（2021·全国）若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.【答案】1【解析】k＝()()()22000000

44limlimxxfxxfxxxxxx→→+−+−=()0000lim48881xxxxx→=+===.故答案为：1.4．（2021·全国高二课时练习）设()yfx=为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim22xffxx

→−−=−，则曲线()yfx=在点(1,(1))f处切线的斜率是________.【答案】-4【解析】由0(1)(1)lim22xffxx→−−=−，根据导数的定义，可得()1122f=−，所以()14

f=−，即曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线的斜率为4−.故答案为：4−.5．（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．若()0fx不存在，则曲线()yfx=在点()()00,xfx处也可能有切线B．若曲线()yfx=

在点()()00,xfx处有切线，则()0fx必存在C．若()0fx不存在，则曲线()yfx=在点()()00,xfx处的切线斜率不存在D．若曲线()yfx=在点()()00,xfx处没有切线，则()0fx有可能存在【答案】AC【解析】

()0kfx=，()0fx不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为0xx=，故AC正确.故选：AC.6．（2021·全国）在曲线y＝f(x)＝21x上求一点P，使得曲线在该点

处的切线的倾斜角为135°.【答案】1233(2,2)−【解析】设切点坐标为P(x0，y0)，()3002tan1351fxx−=−==−，即3021x−−=−，∴1302x=.代入曲线方程得2302y−=，∴点P的坐标为1233(2,2)−.