【文档说明】重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(16)页，989.877 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线310xy++=的倾斜角是（）A．6B．3C．23D．562．复数1i12iz+=+（i为虚数单位）的虚部为（）A．1i5−B．1i5C．15−D．153．在AB

C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若45C=，1b=，2c=，则角B为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，//

，则//mB．若⊥，m，则m⊥C．若m⊥，⊥，则//mD．若m⊥，//mn，则n⊥5．直线:3410lxy−+=与圆221:404Cxyxy+−−+=交于A、B两点，则AB=（）

A．2B．23C．6D．36．已知)(111,Pab与)(222,Pab是直线2ykx=+（k为常数）上两个不同的点，则关于111:20laxby+−=和222:20laxby+−=的交点情况是（）A．无论

k，1P，2P如何，总有唯一交点B．存在k，1P，2P使之有无穷多个交点C．无论k，1P，2P如何，总是无交点D．存在k，1P，2P使之无交点7．如图，在正三棱柱111ABCABC−中，13AAAB=，则直线1AC与1BC所成角的余弦值为（）A．35B．

32C．12D．588．已知点P为直线:220lxy+−=上的一个动点，过点P作圆22:3Oxy+=的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．33B．32C．3D．23二、多选题9．复数z的共轭复数记为z，则下列运算结果一定是实数的是（）A．zz+B．zz−C．z

zD．zz10．如果0AB，0BC，那么直线0AxByC++=经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．在菱形ABCD中，4AB=，3BAD=，E，F分别为CD，BC的中点，则（）A．22

AEABAD=+B．2EFABAD=−+C．AD在AB方向上的投影向量的模为2D．26AEAF=12．在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，下列说法正确的是（）A．平面1PAC⊥平面11ABDB．//DP平面11ABDC．异面直线DP与1AD所成角的取值范围是0

,3D．三棱锥11DAPB−的体积不变三、填空题13．若直线1:210lmxy++=与2:4630lxy+−=垂直，则实数m=______．14．已知圆224xy+=与圆)()(22125xy−+−=相交于A，B两点，则直线AB的方程为_____

_．15．已知复数1z，2z满足11z=，21z=，若1212izz+=+（i为虚数单位），则12zz−=______．16．已知圆锥的母线长为2，轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，则该圆锥的表面积的最大值为______．四、解答题17．设向量)(1,2a=，)(2,1b=，)(

1,1c=−．（1）若向量)(//abc−，求．（2）若向量)(ab+与向量c的夹角为4，求．18．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，)(2coscosbaCcA−=．（1）求角C的大小；（2）若2c=，求ABC

的面积的最大值．19．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC=，E、F分别是PC、AD中点．（1）求证：//DE平面PFB；（2）求PC与面PFB所成角的正弦

值．20．如图，现有两辆汽车同时从A地出发，沿各自路径匀速前往B地，汽车甲路线为AB→，汽车乙路线ACB→→，两车在B地汇合后共同前往下一个目的地．已知10AB=km，6AC=km，8BC=km，甲的行驶速度为5km/h，乙的行驶速度为10km/h．（1）求乙到达C地这一时刻

的甲、乙两车之间的距离；（2）已知两车车上都配有通话器，通话器的有效通话距离不超过3km，从乙到达C地这一时刻算起，甲乙无法通话的时间为多长？21．如图，已知在三棱柱111ABCABC−中，四边形11AACC为正方形，2ABA

C==，11AMAB⊥，M、N分别是1CC、BC的中点，点P是线段11AB上的动点．（1）证明：AMPN⊥；（2）若22BC=，若112APPB=，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．22．

已知圆心C在第一象限，半径为54的圆与y轴相切，且与x轴正半轴交于A，B两点（A在B左侧），1OAOB=（O为坐标原点）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy+=相交于P，Q两点．①证明：PAQBPBQA+为定值；②求2PB

PC+的最小值．参考答案：1．D先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线310xy++=的斜率为1333−=−，对应的倾斜角为56.故选：D【点睛】本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.2．C复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为(,)abiabR+的形式

，可得虚部．【详解】1i(1i)(12i)3i31i12i(12i)(12i)555z++−−====−++−所以复数的虚部为：15−．故选：C．3．A利用正弦定理可求B.【详解】由正弦定理可得sinsincbCB=即21s

in22B=，故1sin2B=，而cb，故CB，故B为锐角，故30B=，故选：A.4．D根据点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理动态考虑ABC中的各条件后可判断ABC的正误，根据线面垂直的性质可判断D的正误.【详解】对于A，若//

m，//，则//m或m，故A错；对于B，若⊥，m，则//m或m与相交或m，故B错误；对于C，若m⊥，⊥，则//m或m，故C错；对于D，由线面垂直的性质可得：若m⊥，//mn，则n⊥，故D正确.故选：D.5．B算出圆心到直线的距离

后可求弦AB的长.【详解】圆C的标准方程为：()221242xy−+−=，故12,2C，且圆的半径为2，圆心C到直线l的距离为132412125d−+==，故24123AB=−=，故选：B.6．A根据1,P2P在直线2ykx=+可得()21,2iibka

i=+=，从而可得12,ll有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为)(111,Pab与)(222,Pab是直线2ykx=+（k为常数）上两个不同的点，所以()21,2iibkai=+=即()()12

01,2iiakbi−+−==，故(),1k−既在直线1l上，也在直线2l上.因为)(111,Pab与)(222,Pab是两个不同的点，故1l、2l不重合，故无论k，1P，2P如何，总有唯一交点(),1k−.故选：A.7．D设111

,,,CCACCBBC的中点分别为,,,DEFG，连接,,,,DEEFDFEGFG，可证FDE或其补角为异面直线1AC与1BC所成的角，令2ABa=，则计算可得2DEDFa==，13EFa=，从而可求异面直线所成角的余弦值.

【详解】设111,,,CCACCBBC的中点分别为,,,DEFG，连接,,,,DEEFDFEGFG，故1//DEAC，1//DFBC，故FDE或其补角为异面直线1AC与1BC所成的角.令2ABa=，则在DECRt△中，,3ECaDCa==，故2232DEaaa=+=，同

理2DFa=.因为,GF为所在棱的中点，故11//,,FGCCFGCC=，而1CC⊥平面ABC，故FG⊥平面ABC，而EG平面ABC，故FGEG⊥，而,23EGaFGa==，故221213EFaaa=+=，故228

135cos2228aaFDEaa−==−.故异面直线1AC与1BC所成的角的余弦值为58.故选：D.8．C连接,,OAOBOP，求出minAP可求四边形PAOB面积的最小值.【详解】连接OP，则23APOP=

−，又min002222OP+−==，故min1AP=而四边形PAOB面积为12332PAOAPA=，当且仅当OPl⊥时等号成立.故选：C.9．AC设i,,zababR=+，求出z后逐项计算可得正确的选项.【详解】设i,,zababR=+，则izab

=−，故2zzaR+=，2izzb−=，不一定为实数，22zzab=+，为实数，2222i2iizabababzabab+−+==−+，该数不一定是实数，故选：AC.10．ACD把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为0AB，故0B，故直线的斜截式

方程为：ACyxBB=−−，因为0AB，0BC，故0,0ACBB−−，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，故选：ACD.11．ACD利用向量的线性运算可判断AB的正误，根据投影向量的定义计算后可判断C的正误，以

,ABAD为基底向量计算后可判断D的正误.【详解】对于A，12AEADDEADAB=+=+，故22AEABAD=+，故A正确.对于B，1122EFECCFABAD=+=−，故2EFABAD=−，故B错误.对于C，AD在AB方向上的投影向量的模为

144224ADABADADAB==，故C正确.对于D，2211+52224ADABAEAFADABADABADAD=++=+16+16514426242=+=，故D正确.故选：ACD.12．ABD建立空间直角坐标系，利用

空间向量法一一计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A，()11,1,1B，()10,0,1D，()0,1,0C，()11,0,1A，()0,0,0D，因为点P在线段1BC上运动，设(),1,1Ptt−，0

,1t，则(),1,1DPtt=−，所以()10,1,1AB=，()11,0,1AD=−，()11,1,1CA=−，所以()110111110ABCA=+−+=，()()110111110ADCA=−+−+=，所以11ABCA⊥，11ADCA⊥，因为11ABADA=，11,AB

AD平面11ABD，所以1AC⊥平面11ABD，因为1AC平面1PAC，所以平面1PAC⊥平面11ABD，故A正确；显然()11,1,1CA=−可以作为平面11ABD的法向量，因为()1111110CADPtt=−+−=，所以1CADP⊥，

因为DP平面11ABD，所以//DP平面11ABD，故B正确；因为11//ABDC且11=ABDC，所以四边形11ABCD为平行四边形，所以11//ADBC，所以直线DP与1BC所成角即为异面直线DP与1AD所成角，显然当P在1BC的两端点时所成的角为3，当P在1B

C的中点时所成的角为2，故异面直线DP与1AD所成角的取值范围是,32，故C错误；因为11//ADBC，1AD平面11ABD，1BC平面11ABD，所以1//BC平面11ABD，所以1BC到平面11ABD距离即为P到平面11ABD的距离，故P到平面11ABD的距离

为一定值，设P到平面11ABD的距离为h，则11111113DAPBPDABDABVVSh−−==为定值，故D正确；故选：ABD13．3−由两直线垂直，可得两直线的斜率乘积为1−，列方程可求出m的值【

详解】解：由题可知，两直线的斜存在，因为直线1:210lmxy++=与2:4630lxy+−=垂直，所以4126m−−=−，解得3m=−，故答案为：3−14．220xy+−=由两个圆的方程相减后可得

直线AB的方程.【详解】因为圆224xy+=与圆)()(22125xy−+−=相交于A，B两点故AB的方程为：)()(()222212540xyxy−+−−−+−=，整理得到：220xy+−=.故答案为：220

xy+−=.15．1设1z，2z所对应的向量为()1,OZab=，()2,OZcd=，依题意可得()1212OZOZ+=，，再根据平面向量数量积的运算律得到12OZOZ，最后根据()21212OZOZOZOZ−=−计算可得；

【详解】解：设1z，2z所对应的向量为()1,OZab=，()2,OZcd=，(a，b，c，)dR因为11z=，21z=，1212izz+=+，221ab+=，221cd+=，()1212OZOZ+=，，所以()2

22221122212112+2=+2=3OZOZOZOZOZOZOZOZOZOZ−=++，所以211=2OZOZ所以()2221212121122=21zzOZOZOZOZOZOZOZOZ−=−=−−+=故答案为：116．()222+由题设条件可得轴截面的顶角锐角或直角

，设顶角为2，则0,4，则可计算表面积，从而可求表面积的最大值.【详解】因为轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，故圆锥的顶角为锐角或直角，设顶角为2，则0,4，故圆锥的底面半径为2sin，故圆锥的表面积为()224sin22sin4si

nsinS=+=+，因为0,4，故()max222S=+，故答案为：()222+.17．（1）1=；（2）2=−或12=−.（1）利用向量共线的坐标形式可求的值.（2）求出ab+的坐标，利用夹角公式可求的值.【详解】

（1）()12,2ab−=−−,因为)(//abc−，故()()()21121−−=−，解得1=.（2）由（1）可得()12,2ab+=++，因为ab+与向量c的夹角为4，故()()222122122−=+++，解得2=−或12=−.18．（1）

3；（2）3.（1）利用正弦定理化简边角关系后可求C的大小.（2）根据余弦定理和基本不等式可得4ab，从而可求面积的最大值.【详解】（1）因为)(2coscosbaCcA−=，故)(2sinsincossin

cosBACCA−=，整理得到2sincossinBCB=，因为B为三角形内角，故sin0B，故1cos2C=，而C为三角形内角，故3C=.（2）因为2c=，故2242cosababC=+−，故224abab+−=，所以2242a

babab+=+，故4ab，当且仅当2ab==等号成立，故ABC的面积的最大值为134322=.19．（1）见解析；（2）33.（1）取PB的中点为G，连接,EGFG，可证四边形DEGF为平行四边形，从而可证//DE平面PFB；（2）利用等积法

可求C到平面PFB的距离，从而可求PC与面PFB所成角的正弦值.【详解】（1）取PB的中点为G，连接,EGFG，因为,EG分别为所在棱的中点，故1//,2EGBCEGBC=，而12DFAD=，//,ADBCA

DBC=，故//,EGDFEGDF=，故四边形DEGF为平行四边形，所以//FGDE，而FG平面PBF，DE平面PBF，故//DE平面PFB.（2）设DCa=，连接CF，设C到平面PBF的距离为h.因为PD⊥底

面ABCD，CD平面ABCD，故PDCD⊥，同理,PDADPDBC⊥⊥，而PDDC=，故2PCa=.故22542aPFaa=+=，同理52BFa=.因为BCCD⊥，而PDDCD=，故BC⊥平面PCD，而PC平面PCD，故BCPC⊥，所以2223PB

aaa=+=，故222153632444PFBaaSaa=−=△，又2122FCBaSaa==△，因为PFCBCPFBVV−−=，故2211163234aaha=，故63ha=，设PC与面PFB所成角为

，则633sin32aa==.20．（1）3655；（2）25小时.（1）利用余弦定理可求乙到达C地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；（2）利用余弦定理计算甲乙之间的距离，再根据题设条件构建关于时间的不等式，从而可求甲

乙无法通话的时间长.【详解】（1）乙从A前往C所需时间为63105=小时，此时甲从A前往B的路程为3.在ABC中，由余弦定理可得10036643cos21065BAC+−==，故乙到达C地这一时刻的甲、乙两车之间的距离

为()336536926355km+−=.（2）设从乙到达C地这一时刻算起，t小时后乙在BC上的位置为P，甲在AB上的位置为Q，如图所示：则()()()()22281075281075cosPQttttABC=−+−−−−

，在ABC中，由余弦定理可得10064364cos21085ABC+−==，则()()()()2224810752810755PQtttt=−+−−−−，由题设令()()()()2248107528107595tttt−+−−−−，解得25

t或45t，但840105t=，故205t，故甲乙无法通话的时间为25小时.21．（1）证明见解析；（2）13467（1）取AC中点D，连接DN，1AD，证明1AMAD⊥，结合11AMAB⊥，推出AM⊥平面11ABND，然后证明AMPN⊥．（2

）以AB，AC，1AA为x，y，z建系，求出平面MNP的法向量平面ABC的法向量，利用空间向量法求出平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取AC中点D，连接DN，1AD，1AAAC=，ADCM=，1AACACM=，1AADACM，1AADCAM

=，又112AADADA+=，12CAMADA+=，1AMAD⊥，又11AMAB⊥，1111ADABA=，111,ADAB平面11ABND，AM⊥平面11ABND，又NP面11ABND，

AMPN⊥．（2）解：ABAC=，22BC=，222ABACBC+=，ABAC⊥，11AMAB⊥，11//ABAB，AMAB⊥，又AMACA=，,AMAC面11ACCAAB⊥面11ACCA，1AA面1

1ACCA，1ABAA⊥，以AB，AC，1AA为x，y，z建系，()1,1,0N，()0,2,1M，因为112APPB=，所以P为11AB上靠近1B的一个三等分点，所以4,0,23P，所以()1,1,1NM=−，4,2,13MP=−设面MNP的法向量()

,,nxyz=r，由04203nNMxyznMPxyz=−++==−+=，令9x=得7y=，2z=，所以()9,7,2n=又面ABC的法向量()0,0,1m=，设面PMN与面ABC所成角为，则2222134|c

os||cos,|||||67972nmnmnm====++所以平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1346722．（1）()225251416xy−+−=；（2）①52PAQBPBQA+=，证明见解析，

②52（1）首先()5,04Cbb，得到225216ABb=−，5142OAAB=−，5142OBAB=+，再根据1OAOB=即可得到答案.（2）①首先根据（1）得到1,02A，()2,0B，设()00,Pxy，再分

别计算PAQBPBQA+即可；②根据2PBPA=得到()222PBPCPAPCAC+=+，即可得到答案.【详解】（1）设()5,04Cbb，由题知：22252522416ABbb=−=−，5142OAAB

=−，5142OBAB=+，所以251512512541424216416OAOBABABb=−−=−−=，解得1b=，所以圆()22525:1416Cxy−+−=.（2）由（1）知：25

32142AB=−=，511422OAAB=−=，51242OBAB=+=.所以1,02A，()2,0B，设()00,Pxy，()()22220000022220000011512214254221xyxxxPAP

Bxxyxx−+−+−−====−−+−+−，同理2QBQA=，所以52PAQBPBQA+=.②因为2PBPA=，所以()()22515222210422PBPCPAPCAC+=+=−+−=.所以2PBPC+的最小值为52.