【文档说明】山西省太原市2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(30)页，3.160 MB，由小赞的店铺上传

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太原市2023年高三年级模拟考试（一）数学试卷（考试时间：下午3：00—5：00）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分､第I卷1至4页，第II卷5至8页.2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名､考试编号填写在答题卡上.3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､写在本试卷上无效.4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题

共8小题，每小题分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|1Axx=，2|log1Bxx=，则AB=（）A.(1,2−B.()0,1C.(,1−D.(,2−【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到|11Axx=−

，02|Bxx=，再求并集即可.【详解】2|1|11Axxxx==−，2|log1|02Bxxxx==，所以|12ABxx=−.故选：A2.设复数z满足()()ii12i(izz+

−=+为虚数单位)，则z=（）A.2iB.2iC.1i−−或1i+D.1i−+或1i−【答案】C【解析】【分析】由题可得22iz=，设izab=+，后利用两复数相等条件可得答案.【详解】()()22ii12i112i2izzzz+−=++=+=.设izab=+，则222221

02i2i11aabzababbab=−==−+===或11ab=−=−.故z=1i−−或1i+.故选：C3.已知等比数列na的前2项和为2424,6aa−=，则8a=（）A.1B.12C.14D.18【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224

112416aaaqaaaqq+=+=−=−=，解方程组得到12q=，116a=，再求8a即可.【详解】因为246aa−=，所以1q，由题知：()()121224112416aaaqaaaqq+=+=−=−=，

所以()141qq=−，解得12q=，所以111242aa+=，即116a=，所以78111628a==.故选：D4.()261(1)xxx++−的展开式中2x的系数为（）A.9B.10C.24D.25【答案】B【解析】【分析】首先求出()61x−通项()161CrrrrTx+=

−，再根据通项求解即可.【详解】()61x−的通项()()166C1CrrrrrrTxx+=−=−，令2r=，()2222361C15Txx=−=，令1r=，126C6Txx=−=−，令0r=，11T=，展开式中2x的系数为222215610xxxx−+=.所以()261(1)xx

x++−的展开式中2x的系数为10.的故选：B5.在ABC中，π4A=，BDAC⊥，D为垂足，若4ACBD=，则cosB=（）A.55−B.55C.255−D.255【答案】A【解析】【分析】作出图形，设1BD=，求出CBD的正弦值和余弦值，分析可知π4ABD=，再利用两

角和的余弦公式可求得结果.【详解】如下图所示：不妨设1BD=，在ABD△中，π4A=，BDAD⊥，则ABD△为等腰直角三角形，所以，π4ABD=且1AD=，又因为44ACBD==，则3CDACAD=−=，在RtBCD中，BDCD⊥，则2210BCBDCD=+=，所以，3

10sin10CDCBDBC==，10cos10BDCBDBC==，因此，()π2210310coscoscossin4221010ABCCBDCBDCBD=+=−=−55

=−.故选：A.6.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一

档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A.12B.23C.34D.56【答案】C【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分

类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244CC24=种可能．要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224CC12=种；若上珠拨的是个

位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有1123CC6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选：C．7.已知函数()()2365,1221,1exxxxfxxx++

−=+−，若函数()()()()222gxfxmfxm=−++恰有5个零点，则实数m的取值范围为（）A.()1,2-B.()1,0−C.10,2D.1,22【答案】D【解析】【分析】根据零点的定义可得方程()2fx=和

()fxm=共有5个解；结合导数分析函数()fx的性质，作函数的图象，观察图象求m的取值范围.【详解】因为函数()()()()222gxfxmfxm=−++恰有5个零点，所以方程()()()2220fxmfxm−++

=有5个根，所以()()20fxmfx−−=有5个根，所以方程()2fx=和()fxm=共有5个根；当1x−时，()()21exxfx+=，()()22e21e2eexxxxxxfx−+−==，当10x−时，()0fx¢>，函数()fx在(

)1,0−上单调递增；当0x时，()0fx，函数()fx在()0,+上单调递减；因为1x−，所以()0fx，()02f=，当1x−且1x→−时，()0fx→，x→+时，()0fx→，当1x−时，()()2233652122fxxxx=++=+−，()112f−

=，故函数()fx在(,1−−上的图象为对称轴为2x=−，顶点为()2,1−−的抛物线的一段，根据以上信息，作函数()fx的图象如下：观察图象可得函数()yfx=的图象与函数2y=的图象有2个交点，所以方程()2fx=有两个

根，所以方程()fxm=有3个异于方程()2fx=的根，观察图象可得122m，所以m的取值范围为1,22..故选：D.8.已知()(),fxgx分别为定义在R上的函数()fx和()gx的导函数，

且()()1fxgx−=，()()21fxgx+−=，若()gx是奇函数，则下列结论不正确的是（）A.函数()fx的图象关于点()1,1对称B.函数()fx的图象关于直线1x=对称C.()00g=D.()31f−=【答案】C【解析】【分析】由条件可得

()()20gxgx+−=，由此证明()gx关于()1,0对称，再结合图象变换判断A，再证明函数()1fx+为偶函数由此判断B，由条件证明()gx为偶函数，由此证明()gx为周期函数，结合周期

性求()3f−，举反例判断C.【详解】因为()()1fxgx−=，()()21fxgx+−=，所以()()20gxgx+−=，所以()()011gttg++−=，所以函数()1gx+为奇函数，所以函数()

1gx+的图象关于点()0,0对称，所以()gx关于()1,0对称，又()()1fxgx=+，所以函数()fx的图象关于点()1,1对称，A正确；因为函数()fx的图象关于点()1,1对称，所以()11

fx+−的图象关于原点对称，所以()()1111fxfx+−=−−+，所以()()11fxfx+=−+，所以函数()1fx+为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数()fx的图象关于直线1x=对称，B正确；因为()gx是奇函数，所

以()()gxgx−=−，所以()()gxgx−−=−，即()()gxgx−=又()()20gxgx+−=，所以()()()()()422gxgxgxgxgx−+=−−−=+==−，所以函数()gx为周期函数，周期为4，所以()()()

11313fgg=+=−+−，又()()20gxgx+−=，所以()()1210gg+−=，所以()10g=，故()31f−=，D正确；设()2πsinπ2gxx=，则()πcos2gxx=，()()ππ2cos2cos22gxxx−=−=−，满足所给条件，但()01g

=，所以C错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知函数()sincosfxxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的值域为1,2C.()fx的图象是轴对称图形D.()fx的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】【

分析】对选项A，根据π2为()fx的周期，故A错误，对选项B，π0,2x时，()12fx，再结合周期即可判断B正确，对选项C，根据()fx为偶函数，即可判断C正确，对选项D，根据()fx的值域为1,2，即可判断D错误.【详解】对选项A，()πππsincoscoss

in222fxxxxxfx+=+++=+=，所以π2为()fx的周期，故A错误.对选项B，当π0,2x时，()πsincos2sin4fxxxx=+=+，因为ππ3π444x+，所以2πsin124x+，

即()12fx.因为π2为()fx周期，所以()fx的值域为1,2，故B正确.对选项C，函数()sincosfxxx=+的定义域为R，()()()()sincossincosfxxxxxfx−=−+−=+=，所以()fx为偶函数，关于y轴对称，即()fx的

图象是轴对称图形，故C正确.对选项D，因为()fx的值域为1,2，所以()fx的图象不是中心对称图形，故D错误.故选：BC10.已知双曲线22:145xyC-=的左､右焦点分别为12,FF，过点2F的直线与双曲线C的右支交

于,AB两点，且1AFAB⊥，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为52yx=B.若P是双曲线C上的动点，则满足25PF=的点P共有两个C.1214AF=+的D.1ABF内切圆的半径为−142【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程判断A；按点P在左支、右支确定25PF

=的点P个数判断B；利用双曲线定义结合勾股定理计算判断C；利用双曲线定义结合直角三角形内切圆半径公式计算判断D作答.【详解】双曲线22:145xyC-=中，实半轴长2a=，虚半轴长5b=，半焦距3c=，焦点12(3,0),(3,0)FF−，对

于A，双曲线C的渐近线方程为52yx=，A正确；对于B，设点00(,)Pxy，则2200554yx=−，22220000093(3)64|2|542PFxyxxx=−+=−+=−=，解得02x=−或0143x=，当02x=−

时，(2,0)P−，当0143x=时，0y有两个值，即符合条件的点P有3个，B错误；对于C，由双曲线定义知12||||4AFAF−=，而12||6FF=，且1AFAB⊥，则2221212||||||36AFAFFF+==

，即有222121212||||2(||||)(||||)214AFAFAFAFAFAF+=+−−=，因此1214AF=+，C正确；对于D，由双曲线定义知12||||4BFBF−=，因为1AFAB⊥，所以1ABF内切圆的半径r：11122

1|||||||||||||2144142222AFABBFAFAFBFBFr+−++−−====−，D正确.故选：ACD11.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，E为侧面11BCCB的中心，F为棱11CD的中点，P为线段1BD上的动点（不含端点），Q为上底面1111DCBA内

的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥1PBEF−的体积为定值B.若//EP平面11ACD，则233EP=C.若FQDP⊥，则线段FQ的最大值为22D.当DQ与1DA的所成角为45时，点Q的轨迹为双曲线的一部

分【答案】AC【解析】【分析】证明1//EFBD，由此证明EFP△的面积为定值，再证明1BE⊥平面EFP，结合锥体体积公式判断A，建立空间直角坐标系由条件确定点P的坐标，再求EP，判断B；利用空间向量可判断C

D.【详解】因为E为侧面11BCCB的中心，所以E为1BC的中点，又F为棱11CD的中点，所以1//EFBD，所以点P到直线EF的距离等于点E到直线1BD的距离，所以点P到直线EF的距离等于点1C到直线1BD的距离的一半，设11114

,42,43CDBCBD===，所以点1C到直线1BD的距离为44246343=，所以点P到直线EF的距离为263，所以EFP△的面积126232223EFPS==，又11BEBC⊥，111CDBE⊥，1111BCCDC=，111,BCCD平面EFP

，所以1BE⊥平面EFP，所以三棱锥1PBEF−的体积1118222233PBEFBEFPVV−−===，A正确；如图以点D为原点，1,,DADCDD为,,xyz的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,4,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,0DACDB，所以

()()()1114,0,4,0,4,4,4,4,4DADCBD===−−，所以1111160160,016160DABDDCBD=−++==−+=，所以向量()14,4,4BD=−−为平面11ACD的一个法向量，设()14,4,4BPBD==

−−，01，所以()1124,4,242EPEBBPCBBP=+=+=−−−+，因为//EP平面11ACD，所以1816168160EPBD=−++−+=，所以13=，所以242,,333EP=

−−，所以222242263333EP=+−+−=，B错误；设(),,4Qxy，则(),2,0FQxy=−，又()44,44,4DPDBBP=+=−−，因为

FQDP⊥，所以()()()444420xy−+−−=，所以2xy+=，所以()222022FQxyy=+−+=−，又04,04xy，所以02y，所以当0y=时，线段FQ取最大值，最大值为22；C正确；因为(),,4DQxy=，()1

4,0,4DA=，又DQ与1DA的所成角为45，所以12214162cos4521632DQDAxDQDAxy+===++，化简可得28yx=，且04,04xy，所以点Q的轨迹为抛物线的一部分，D错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解集的关键在于建立空间直角坐标系，利用

向量方法研究空间中的线面位置关系.12.已知函数()()e,lnxfxxgxxx==，若直线yb=与曲线()yfx=和()ygx=分别相交于点()()()()()()()()11223344,,,,,,,AxfxBxfxCxgxDxgx，且1234,xxxx，

则下列结论正确的是（）A.1324xxxx=B.1234xxxx=C.()1234lnxxxx=+D.()1234lnxxxx+=【答案】AD【解析】【分析】利用导数判断函数()exfxx=，()lngxxx=的单调性，求函数的最值，并画出对应的图

像，能得到四个交点的位置，结合()(ln)gxfx=可得出四个交点横坐标之间的关系，即可判断.【详解】由()exfxx=可得()()1exfxx=+，令()0fx=，解得=1x−，所以当(,1)x−−时，()0fx，()fx在(),1−−

上单调递减；当(1,)−+x时，()0,fx()fx在()1,−+上单调递增，所以当=1x−时，()fx取最小值，()()min11efxf=−=−，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，()00f=

，当x→−时，与一次函数相比，指数函数exy−=呈爆炸性增长，从而()0exxfx−−=−→，当x→+时，()fx→+，根据以上信息，画出函数()exfxx=的大致图象如下，由()ln,0gxxxx=可得()ln1gxx=+，令()0gx=

，解得1ex=，所以当10,ex时，()0gx，()gx在10,e上单调递减；当1,ex+时，()0,gx()gx在1,e+单调递增，所以当1ex=时，函数()gx取最小值，()min11eegxg==−，当

1x时，()0gx，当01x时，()0gx，()10g=，当0x→时，()0gx→，当x→+时，()gx→+，根据以上信息，画出函数()ln,0gxxxx=的大致图象如下，所以若存在直线yb=，其与两条曲线()yfx=和()ygx=共有四

个不同的交点，则10eb−，由图可得1x，2x是直线yb=与()yfx=的两个交点，3x，4x是直线yb=与()ygx=的两个交点，则()()()()121122333444eelnlnxxfxxbfxx

bgxxxbgxxxb========，因为()exfxx=，()lngxxx=，所以()()lnlngxfxxx==，则()()()()3344ln,lngxfxbgxfxb====，所以()()()()1234lnlnfxfx

fxfx===，1234101exxxx−()fx在(),1−−上单调递减；()fx在()1,−+上单调递增，所以1324ln,lnxxxx==，所以1333lnxxxx=，2444lnxxxx=，1234l

nlnxxxx+=+所以1324xxxx=，()1234lnxxxx+=，故选：AD.【点睛】关键点点睛：第二问中，利用导数研究单调性和最值，根据所得函数性质判断10eybb=−与曲线()ygx=、()yfx=共有四个不同交点，并结合()()lngxfx=进而判断根的关系第

II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()3,1,2,3abab==+=，则a与b的夹角为__________.【答案】30【解析】【分析】首先根据题意得到7ab+

=，从而得到32ab=，再根据cos,ababab=求解即可.【详解】因为()2,3ab+=，所以2237ab+=+=，所以()22223127abababab+=++=++=，即32ab=.所以332co

s,23ababab===，因为0,180ab，所以a与b的夹角为30.故答案为：3014.已知0x，0y，12+=yx，则xy的最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】由已知条件可得12xy

=−，求出02y，可得出()12xyyy=−，利用基本不等式可求得xy的最小值.【详解】由12+=yx可得12yx=−，则12xy=−，由0102yxy=−可得02y，所以，()2111222xy

yyyy==−+−，当且仅当2yy=−时，即当1y=时，等号成立，故xy的最小值为1.故答案为：1.15.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过点F的直线交C于,AB两个不同点，若3,6OA

OBAFBF=−=，则直线AB的斜率为__________.【答案】2【解析】【分析】设直线AB的方程为2pxmy=+，联立方程组，利用设而不求法结合条件关系列方程求m即可.【详解】抛物线22ypx=的焦点F的坐标为,02p，若直线AB的斜率为0，则直

线AB与抛物线只有一个交点，不满足要求，所以可设直线AB的方程为2pxmy=+，联立222ypxpxmy==+，消x可得，2220ympyp−−=，方程2220ympyp−−=的判别式222440mpp=+，设()()1122,,,AxyBxy，则21

2122,yympyyp+==−，21212222ppxxmymympp+=+++=+，2221212224yypxxpp==，因为3OAOB=−，所以12123xxyy+=−，所以2234pp−=−，所以2p

=，6AFBF=，所以()()12116xx++=，所以121216xxxx+++=，又21242xxm+=+，121=xx，所以22m=，所以直线AB的斜率为2，故答案为：2.16.已知函数

()11eesinπxxfxax−−+=−+有唯一的零点，则实数a的最大值为__________.【答案】2π【解析】【分析】问题等价于函数()sinπxax=与函数11()eexxgx−−=−图象有唯一交点，画出

图象后可知(1)(1)g，从而可解.【详解】因为11()eesinπxxfxax−−+=−+有唯一零点，所以函数()sinπxax=与函数11()eexxgx−−=−的图象有唯一交点，因为(1)(1)0g==，所以函数()sinπxax=与

函数11()eexxgx−−=−的图象的唯一交点为(1,0)，又因为11()eexxgx−−=−−，且1e0x−，1e0x−，所以11e0()exxgx−−=−−在R上恒成立,所以11()eexxgx−−=−在R上为单调递减函数,因为求a的最大值，所以不妨令0a，因为()sinπxa

x=是最小正周期为2，最大值为a的正弦型函数，可得()x和()gx的图象大致如图，要使()x和()gx只有唯一交点,则(1)(1)g，即πcosπ2a−，解得2πa，所以a的最大值为2π.故答案为：2π【点睛】关键点睛：

画出()x和()gx的图象后，要使()x和()gx只有唯一交点,则(1)(1)g，从而可求解.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na中，11a=，nS为

na的前n项和，且nS也是等差数列.的（1）求na；（2）设()*1nnnnSbnaa+=N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()*21nann=−N（2）242nnnTn+=+【解析】【分析】（1）设na的公差为d，由已知可得出2132SSS=+，

可得出关于d的方程，解出d的值，利用等差数列的通项公式可得出数列na的通项公式；（2）求出nS，求得1111482121nbnn=+−−+，利用分组求和法结合裂项相消法可求得nT.【小问1详

解】解：设na的公差为d，因为nS为等差数列，则2132SSS=+，即22133dd+=++，整理可得4233dd+=+，可得()220d−=，解得2d=，所以，()()1112121naandnn=+−=+−=−.【小问2详解】解：

由（1）得()()1212122nnnaannSn++−===，则()()()()()22141111111212142121482121nnnnnSnbaannnnnn+−+====+−−+−+−+，1211111111114833521214821nnnnT

bbbnnn=+++=+−+−++−=+−−++()2442142nnnnnn+=+=++.18.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，点D在BC上，2,2BDCDAD==.（1）从下面条件①、②中选择一个条件

作为已知，求A；（2）在（1）的条件下，求ABC面积的最大值.条件①：2223sinsinsinsinsinsin3BCABCA+=+；条件②：222coscossinsinsinABCBC−+=.注：若条件①和条件②分别解答，则

按第一个解㯚计分.【答案】（1）条件选择见解析，60A=（2）332【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理化简可得tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选②：利用同角三角函数的基本关系、正弦定理以及余弦定理可

求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）由已知得出2BDDC=，利用平面向量的线性运算可得出1233ADABAC=+，利用平面向量数量积的运算性值结合基本不等式可求得bc的最大值，再结合三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【小问1详解】解：选择条

件①：2223sinsinsinsinsinsin3BCABCA+=+，由题意可得22223sinsinsinsinsinsin3BCAABC+−=，由正弦定理得22223sin3bcabcA+−=，由余弦定理2222cosbcabcA+−=可得3si

ncos3AA=，因0180A，则3sincos03AA=，tan3A=，故60A=；选择条件②：222coscossinsinsinABCBC−+=，由题意可得2221sin1sinsinsinsinABCBC−−++=

，即222sinsinsinsinsinBCABC+−=，由正弦定理得222bcabc+−=，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，为0180,60AA=.【小问2详解】解：由（1）得60,2ABDCD==，则2BDDC=，即()2ADABAC

AD−=−，1233ADABAC=+，22221214433999ADABACABACABAC=+=++2222144142cos4999999cbbcAcbbc=++=++=，22223642242426,6cbbccbbcbcbcbcbc=++

+=+=，1333sin242ABCSbcAbc==，当且仅当3,23bc==时，ABC的面积取最大值332.19.如图，四棱锥PABCD−中，，ABCDABAD⊥∥，且24260，，ABADCDPAPAB

=====，直线PA与平面ABCD的所成角为30，，EF分别是BC和PD的中点.（1）证明：EF平面PAB；（2）求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AD的中点G，连接EGFG，，通过证明平面GEF平

面PAB，可得EF平面PAB；（2）点A为原点，,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PAPAB==，直线PA与平面ABCD的所成角为30，可得P坐标，后利用向量法可得平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.【小问1详解】取AD的中点G，连接,EGFG，F

是PD的中点，GFAP∥，AP平面,PABFG平面PAB，GF平面PAB，同理可得GE平面PAB，，GEGFGGE=平面，GEFGF平面GEF，平面GEF平面PAB，EF平面GEF，//EF平面PAB；【小问2详解】以点A为原点，,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0ABDC，()()400040,,，,,ABAD==.设(),,Pxyz，因2PA=，直线PA与平面ABCD的所成角为30，则2sin301z==.又因60,PAB=则点P的横坐标2cos601x==

.又2PA=，则22112y++=，结合题图可知2y=，则()1,2,1P，()121,,AP=.设()111,,mxyz=r是平面PAB的一个法向量，则11114020mABxmAPxyz===++=，令11y=，则()12

0,1,2，zm=−=−.设()222,,nxyz=r是平面PAD的一个法向量，则22224020nADynAPxyz===++=令11x=，则()111,0,1，zn=−=−.又因两平面夹角范围为π0,2，设平面PAB与平面PAD夹角为

，23cos=cos,332mnmnmn===，平面PAB与平面PAD夹角余弦值为33.20.某制药公司研发一种新药､需要研究某种药物成份的含量x（单位：mg）与药效指标值y（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验､统计得到一组数据()(),1,2,,20iixyi=L

，其中,iixy分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值.且2020202020111211260,1200,260,81000,4400iiiiiiiiiiixyxyxy==========

.（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）据临床经验，当药效指标值y在[45,75]内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已

知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合

格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,.nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−【答案】（1）ˆ1030yx=+；（2

）1.5,4.5；（3）（i）0.006，（ii）2732.的【解析】【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.（2）利用（1）中经验回归方程，求出x的取值范围作答.（3）（i）利用全概率公式求出不合格品的概率；（ii）利用条

件概率公式求出不合格的新药是设备A生产的概率，再利用二项分布的概率求解作答.【小问1详解】因为20201160,1200iiiixy====，则202011113,602020iiiixxyy======，于是201202221

20440020360ˆ1026020320iiiiixyxybxx==−−===−−，60ˆ30ˆ103aybx=−=−=，所以y关于x的线性经验回归方程为ˆ1030yx=+.【小问2详解】由（1）得ˆ1030yx=+，当

]45[,75y时，45103075x+，解得1.54.5x，所以该新药中此药物成份含量x的取值范围为1.5,4.5.【小问3详解】（i）设D=“随机抽取一件新药，是设备A生产的”，则D=“随机抽取一件新药，是设备B生产的”，E=“随机抽取一件新药为不合格品”，依题意，

()()()21,,|0.009,(|)0.00633PDPDPEDPED====，所以()()()()()21||0.0090.0060.00833PEPDPEDPDPED=+=+=；（ii）设C=“

抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”，则()()()()()()()|20.0093|30.0084PDEPDPEDPCPDEPEPE=====，设X表示三件不合格新药来自设备A生产的件数，则3(3,)4XB，所求事件的概率为()()()2233333

1327223C()C()44432PXPXPX==+==+=.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点为A，上顶点为B，其离心率12e=，直线AB与圆22127xy+=相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()2,

3M的直线与椭圆C相交于P、Q两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与AB、AQ相交于点D和N，证明：D是PN中点.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出直线AB的方程，根据直线与圆的位置关系可得出()

2222712abab=+，由椭圆的离心率可得出2243ab=，可求得2a、2b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设()()()()11221314,,,,,,,PxyQxyDxyNxy，求出直线AB的方程，可得出13312xy=−，设直线PQ的()23yk

x=−+，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，计算出14320yyy+−=，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由题意可得直线AB的方程为1xyab+=，即0bxayab+−=，直线AB与圆22127xy+=相切，22237abab=+，()2222712abab=+

，12cea==，则12ca=，222234baca=−=，则2243ab=，由()22222271243ababab=+=可得224,3,ab==，椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】证明：由题意可设()()()()11221314,,

,,,,,PxyQxyDxyNxy，由（1）得()()2,0,0,3AB，则直线AB的方程为131,31223xxyy+==−，直线AQ的方程为()()12242222,22xyyyxyxx−=−=−−

，若直线PQx⊥轴，此时直线PQ与椭圆C相切，不合乎题意，设直线PQ的方程为()23ykx=−+，由()2223143ykxxy=−++=得()()()222348321630kxkkxkk++−+−=，()(

)()22226432644330kkkkk=−−+−，可得0k，()()2121222823163,3434kkkkxxxxkk−−+==++，()()1214311222322xyyyyyxx−+−=+−−−(

)()()()1221122223222xyxyxxx−+−+−−=−，()()()()12211222322xyxyxx−+−+−−()()()122112122322xyxyyyxx=+−++−−()()()()()1221121223232322xkxxkxyyxx=−++−+−++

−−()()()()()()12211212232322323322xkxxkxkxkxxx=−++−+−−++−++−−()()()121223438kxxkxxk=+−

+++()()()()()22211623384323834034kkkkkkkkk=+−−+−++=+，1432,yyyD+=是PN中点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设

交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy

+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()()211ln2fxxaxaxx=+−+.（1）若()fx恰有三个不同的极值点()123123,,xxxxxx，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：①1231xxx=；②()12331xxxa++

−.【答案】（1）()2,+；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()fx，然后令()()hxfx=，然后根据2a，2a分别讨论，即可得到结果；（2）①由题意可得21x

=，根据()1ffxx=−证131xx=即可；②由题可知，只需证1334xxa+−，且3331lnaxxx=−，然后构造函数令()11ln4ln3,1uxxxxxxxx=++−−，即可得证；【小问1详解】由题意得()1ln,0,fxxax

xx=−−令()1ln,0,xahxxxx=−−()21xaxhxx−+=，①当2a时，()222121(1)0,xaxxxxhxxxx−+−+−==()fx在()0,+上递增，当01x时，()()()10,fx

ffx=在()0,1上递减，当1x时，()()()10,fxffx=在()1,+上递增，()fx\只有一个极值点1x=，此时不符合题意；②当2a时，令()210xaxhxx−+==，即210xax−+=，则242aam−−=和242

aan+−=是方程()0hx=的两个实数解，且01mn，所以()()0,,xmn+时，()0hx，(),xmn时，()0hx，()fx在()0,m和(),n+上递增，在(),mn上递减，且()10f=，()()()()22222210,eee2112

2220aaafmffaaaaa−−==−+−+++=−，()()()211e,,0,axmfxfx−=在()0,m上存在唯一零点1x，()()222222()(1)0,eee

21221220,aaafnffaaaaa−==−−++−−=，()()()233,e,0,axnfxfx=在(),n+上存在唯一零点3x，()fx\在()10,x和()31,

x上递减，在()1,1x和()3,x+上递增，记21x=，123,,xxx是()fx的三个不同的极值点，且12301xxx=，综上，实数a的取值范围为()2,+；【小问2详解】由（1）得当2a时，()fx有三个不

同的极值点123,,xxx，且12301xxx=，①要证1231xxx=，只需证131xx=，()1111lnlnfxaxaxfxxxxx=−−=−−−=−，()31133331110,01,,1ff

xxxxxxx=−===.②要证()12331xxxa++−，只需证1334xxa+−，()333333311ln0,lnfxxaxaxxxx=−−==−，只需证33333311ln4ln30xxx

xxx++−−，令()11ln4ln3,1uxxxxxxxx=++−−，则()()22211ln1xxuxxxx−−=−+，令()()21ln,11xvxxxx−=−+，则()22(1)0(1)

xvxxx+−=，()()()()()()10,10,10vxvuxuuxu===，33333311ln4ln30xxxxxx++−−，即()12331xxxa++−.【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数

法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从()fx中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范

围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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