【文档说明】山西省太原市2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(30)页，3.160 MB，由小赞的店铺上传

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太原市2023年高三年级模拟考试（一）数学试卷（考试时间：下午3：00—5：00）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分､第I卷1至4页，第II卷5至8页.2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名､考试编号填写在答题卡上.3.

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､写在本试卷上无效.4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡

一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|1Axx=，2|log1Bxx=，则AB=（）A.(1,2−B.()0,1C.(,1−D.(

,2−【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到|11Axx=−，02|Bxx=，再求并集即可.【详解】2|1|11Axxxx==−，2|log1|02Bxxxx==，所以|12A

Bxx=−.故选：A2.设复数z满足()()ii12i(izz+−=+为虚数单位)，则z=（）A.2iB.2iC.1i−−或1i+D.1i−+或1i−【答案】C【解析】【分析】由题可得22iz=，设izab=+，后利用

两复数相等条件可得答案.【详解】()()22ii12i112i2izzzz+−=++=+=.设izab=+，则22222102i2i11aabzababbab=−==−+===或11ab=−=−.故z=1i−−或

1i+.故选：C3.已知等比数列na的前2项和为2424,6aa−=，则8a=（）A.1B.12C.14D.18【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416aaaqaaaqq+=+=−=−=，解方程组得到12q=，116a=，再求8a即可

.【详解】因为246aa−=，所以1q，由题知：()()121224112416aaaqaaaqq+=+=−=−=，所以()141qq=−，解得12q=，所以111242aa+=，即116a=，所以78111628a==.故选：D4.()261(1)

xxx++−的展开式中2x的系数为（）A.9B.10C.24D.25【答案】B【解析】【分析】首先求出()61x−通项()161CrrrrTx+=−，再根据通项求解即可.【详解】()61x−的通项()()166C1CrrrrrrTxx+=−=−，令2r=，(

)2222361C15Txx=−=，令1r=，126C6Txx=−=−，令0r=，11T=，展开式中2x的系数为222215610xxxx−+=.所以()261(1)xxx++−的展开式中2x的系数为10.的故选：B5.在ABC中，π4A=，BDAC⊥，

D为垂足，若4ACBD=，则cosB=（）A.55−B.55C.255−D.255【答案】A【解析】【分析】作出图形，设1BD=，求出CBD的正弦值和余弦值，分析可知π4ABD=，再利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】如下图所示：不妨设1BD

=，在ABD△中，π4A=，BDAD⊥，则ABD△为等腰直角三角形，所以，π4ABD=且1AD=，又因为44ACBD==，则3CDACAD=−=，在RtBCD中，BDCD⊥，则2210BCBDCD=+=，所以，310sin10CDCBDBC==，10cos10B

DCBDBC==，因此，()π2210310coscoscossin4221010ABCCBDCBDCBD=+=−=−55=−.故选：A.6.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“

档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再

随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A.12B.23C.34D.56【答案】C【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进

行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244CC24=种可能．要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224CC12=种；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百

里选一个下珠，有1123CC6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选：C．7.已知函数()()2365,1221,1exxxxfxxx++−=+−，若函数()()()()222gxfxmfxm=−++恰有5个零点，则实数m的取值

范围为（）A.()1,2-B.()1,0−C.10,2D.1,22【答案】D【解析】【分析】根据零点的定义可得方程()2fx=和()fxm=共有5个解；结合导数分析函数()fx的性质，作函数

的图象，观察图象求m的取值范围.【详解】因为函数()()()()222gxfxmfxm=−++恰有5个零点，所以方程()()()2220fxmfxm−++=有5个根，所以()()20fxmfx−

−=有5个根，所以方程()2fx=和()fxm=共有5个根；当1x−时，()()21exxfx+=，()()22e21e2eexxxxxxfx−+−==，当10x−时，()0fx¢>，函数()fx在()1,0−上单调递增

；当0x时，()0fx，函数()fx在()0,+上单调递减；因为1x−，所以()0fx，()02f=，当1x−且1x→−时，()0fx→，x→+时，()0fx→，当1x−时，()()2233652122fx

xxx=++=+−，()112f−=，故函数()fx在(,1−−上的图象为对称轴为2x=−，顶点为()2,1−−的抛物线的一段，根据以上信息，作函数()fx的图象如下：观察图象可得函数()yfx=的图象

与函数2y=的图象有2个交点，所以方程()2fx=有两个根，所以方程()fxm=有3个异于方程()2fx=的根，观察图象可得122m，所以m的取值范围为1,22..故选：D.8.已知()(),fxgx分别为定义在R上

的函数()fx和()gx的导函数，且()()1fxgx−=，()()21fxgx+−=，若()gx是奇函数，则下列结论不正确的是（）A.函数()fx的图象关于点()1,1对称B.函数()fx的图象关于直线1x=对称C.()00g=D.()31f−=【答案】C【解析

】【分析】由条件可得()()20gxgx+−=，由此证明()gx关于()1,0对称，再结合图象变换判断A，再证明函数()1fx+为偶函数由此判断B，由条件证明()gx为偶函数，由此证明()gx为周期函数，结合周期性求()3f−，举反例判断C.【详解】因为(

)()1fxgx−=，()()21fxgx+−=，所以()()20gxgx+−=，所以()()011gttg++−=，所以函数()1gx+为奇函数，所以函数()1gx+的图象关于点()0,0对称，所以()gx关于()1,0对称，又()()1fxgx=+，所以函

数()fx的图象关于点()1,1对称，A正确；因为函数()fx的图象关于点()1,1对称，所以()11fx+−的图象关于原点对称，所以()()1111fxfx+−=−−+，所以()()11fxfx+=−+，所以函数()1fx+为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数()fx的图象关于直线

1x=对称，B正确；因为()gx是奇函数，所以()()gxgx−=−，所以()()gxgx−−=−，即()()gxgx−=又()()20gxgx+−=，所以()()()()()422gxgxgxgxgx−+=−−−=+==−，所以函数(

)gx为周期函数，周期为4，所以()()()11313fgg=+=−+−，又()()20gxgx+−=，所以()()1210gg+−=，所以()10g=，故()31f−=，D正确；设()2πsinπ

2gxx=，则()πcos2gxx=，()()ππ2cos2cos22gxxx−=−=−，满足所给条件，但()01g=，所以C错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇

函数和偶函数的性质判断相关结论.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知函数()sincosfxxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB

.()fx的值域为1,2C.()fx的图象是轴对称图形D.()fx的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】【分析】对选项A，根据π2为()fx的周期，故A错误，对选项B，π0,2x时，(

)12fx，再结合周期即可判断B正确，对选项C，根据()fx为偶函数，即可判断C正确，对选项D，根据()fx的值域为1,2，即可判断D错误.【详解】对选项A，()πππsincoscossin222

fxxxxxfx+=+++=+=，所以π2为()fx的周期，故A错误.对选项B，当π0,2x时，()πsincos2sin4fxxxx=+=+，因为ππ3π444x+，所以2πsin124x+，即()12fx

.因为π2为()fx周期，所以()fx的值域为1,2，故B正确.对选项C，函数()sincosfxxx=+的定义域为R，()()()()sincossincosfxxxxxfx−=−+−=+=，所以()fx为偶函数，关于y轴对称，即()fx

的图象是轴对称图形，故C正确.对选项D，因为()fx的值域为1,2，所以()fx的图象不是中心对称图形，故D错误.故选：BC10.已知双曲线22:145xyC-=的左､右焦点分别为12,FF，过点2F的直线与双曲线C

的右支交于,AB两点，且1AFAB⊥，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为52yx=B.若P是双曲线C上的动点，则满足25PF=的点P共有两个C.1214AF=+的D.1ABF内切圆的半径为−142【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程判断A；

按点P在左支、右支确定25PF=的点P个数判断B；利用双曲线定义结合勾股定理计算判断C；利用双曲线定义结合直角三角形内切圆半径公式计算判断D作答.【详解】双曲线22:145xyC-=中，实半轴长2a=，

虚半轴长5b=，半焦距3c=，焦点12(3,0),(3,0)FF−，对于A，双曲线C的渐近线方程为52yx=，A正确；对于B，设点00(,)Pxy，则2200554yx=−，22220000093(3

)64|2|542PFxyxxx=−+=−+=−=，解得02x=−或0143x=，当02x=−时，(2,0)P−，当0143x=时，0y有两个值，即符合条件的点P有3个，B错误；对于C，由双曲线定义知12||||4AFAF−=，而12||6FF=，且1AFAB⊥，则2221212||||

||36AFAFFF+==，即有222121212||||2(||||)(||||)214AFAFAFAFAFAF+=+−−=，因此1214AF=+，C正确；对于D，由双曲线定义知12||||4BFBF−=，因为1AFAB⊥，所以1ABF内切圆的半径r：111221|||||||||||||21

44142222AFABBFAFAFBFBFr+−++−−====−，D正确.故选：ACD11.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，E为侧面11BCCB的中心，F为棱11CD的中点，P为线段1BD上的动点（不含端点），Q为上底面1111DCBA内的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥

1PBEF−的体积为定值B.若//EP平面11ACD，则233EP=C.若FQDP⊥，则线段FQ的最大值为22D.当DQ与1DA的所成角为45时，点Q的轨迹为双曲线的一部分【答案】AC【解析】【分析】证明1//EFBD，由此证明EFP△的面积为定值，再证明1BE⊥平面E

FP，结合锥体体积公式判断A，建立空间直角坐标系由条件确定点P的坐标，再求EP，判断B；利用空间向量可判断CD.【详解】因为E为侧面11BCCB的中心，所以E为1BC的中点，又F为棱11CD的中点，所以1//EFBD，所以点P到直线EF

的距离等于点E到直线1BD的距离，所以点P到直线EF的距离等于点1C到直线1BD的距离的一半，设11114,42,43CDBCBD===，所以点1C到直线1BD的距离为44246343=，所以点P到直线EF的距离为263，所以EFP△的面积126232223EFPS==，又1

1BEBC⊥，111CDBE⊥，1111BCCDC=，111,BCCD平面EFP，所以1BE⊥平面EFP，所以三棱锥1PBEF−的体积1118222233PBEFBEFPVV−−===，A正确；如图以点D为原点，1,,

DADCDD为,,xyz的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,4,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,0DACDB，所以()()()1114,0,4,0,4,4,4,4,4DADCBD===−−，所以11111

60160,016160DABDDCBD=−++==−+=，所以向量()14,4,4BD=−−为平面11ACD的一个法向量，设()14,4,4BPBD==−−，01，所以()1124,4,242EPEBBPCBBP

=+=+=−−−+，因为//EP平面11ACD，所以1816168160EPBD=−++−+=，所以13=，所以242,,333EP=−−，所以222242263333EP=+−+−=，B错误；设(),,4Qxy，则()

,2,0FQxy=−，又()44,44,4DPDBBP=+=−−，因为FQDP⊥，所以()()()444420xy−+−−=，所以2xy+=，所以()222022FQxyy=+−+=−，又04,04xy，

所以02y，所以当0y=时，线段FQ取最大值，最大值为22；C正确；因为(),,4DQxy=，()14,0,4DA=，又DQ与1DA的所成角为45，所以12214162cos4521632DQDAxDQDAxy+===++，化

简可得28yx=，且04,04xy，所以点Q的轨迹为抛物线的一部分，D错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解集的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系.12.已知函数()()e,lnxfxxgxxx==，若直线yb=与曲线()yfx=和()yg

x=分别相交于点()()()()()()()()11223344,,,,,,,AxfxBxfxCxgxDxgx，且1234,xxxx，则下列结论正确的是（）A.1324xxxx=B.1234xxxx

=C.()1234lnxxxx=+D.()1234lnxxxx+=【答案】AD【解析】【分析】利用导数判断函数()exfxx=，()lngxxx=的单调性，求函数的最值，并画出对应的图像，能得到四个交点的位置，结合()(ln)gxfx=可得出四个交点横坐标之间的关系，即可判断.【详解】由

()exfxx=可得()()1exfxx=+，令()0fx=，解得=1x−，所以当(,1)x−−时，()0fx，()fx在(),1−−上单调递减；当(1,)−+x时，()0,fx()fx在()1,−+上

单调递增，所以当=1x−时，()fx取最小值，()()min11efxf=−=−，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，()00f=，当x→−时，与一次函数相比，指数函数exy−=呈爆炸性增长，从而()0exxfx−−=−→，当x→+时，()fx→+，根据以上信息，画出函数()

exfxx=的大致图象如下，由()ln,0gxxxx=可得()ln1gxx=+，令()0gx=，解得1ex=，所以当10,ex时，()0gx，()gx在10,e上单调递减；当1,ex+时，()

0,gx()gx在1,e+单调递增，所以当1ex=时，函数()gx取最小值，()min11eegxg==−，当1x时，()0gx，当01x时，()0gx，()10g=，当

0x→时，()0gx→，当x→+时，()gx→+，根据以上信息，画出函数()ln,0gxxxx=的大致图象如下，所以若存在直线yb=，其与两条曲线()yfx=和()ygx=共有四个不同的交点，则10eb−，由图可得1x，2x是直线yb=与()yfx=的两

个交点，3x，4x是直线yb=与()ygx=的两个交点，则()()()()121122333444eelnlnxxfxxbfxxbgxxxbgxxxb========，因为()exfxx=，()lngx

xx=，所以()()lnlngxfxxx==，则()()()()3344ln,lngxfxbgxfxb====，所以()()()()1234lnlnfxfxfxfx===，1234101exxxx−()fx在(),

1−−上单调递减；()fx在()1,−+上单调递增，所以1324ln,lnxxxx==，所以1333lnxxxx=，2444lnxxxx=，1234lnlnxxxx+=+所以1324xxxx=，()1234lnxxxx+=，故选：AD.【点睛】关键点点睛：第二问中，利用导数

研究单调性和最值，根据所得函数性质判断10eybb=−与曲线()ygx=、()yfx=共有四个不同交点，并结合()()lngxfx=进而判断根的关系第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()3,

1,2,3abab==+=，则a与b的夹角为__________.【答案】30【解析】【分析】首先根据题意得到7ab+=，从而得到32ab=，再根据cos,ababab=求解即可.【详解】因为()2,3ab+=，所以2237ab+=+=，所以()22223127abababab

+=++=++=，即32ab=.所以332cos,23ababab===，因为0,180ab，所以a与b的夹角为30.故答案为：3014.已知0x，0y，12+=yx，则xy的最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】由已知条件可得12xy=−，求出

02y，可得出()12xyyy=−，利用基本不等式可求得xy的最小值.【详解】由12+=yx可得12yx=−，则12xy=−，由0102yxy=−可得02y，所以，()2111222xyyyy

y==−+−，当且仅当2yy=−时，即当1y=时，等号成立，故xy的最小值为1.故答案为：1.15.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过点F的直线交C于,AB两个不同点，若3,6OAOBAFBF=−=，则直线AB的斜率为__________.【答案】2【解析】【分

析】设直线AB的方程为2pxmy=+，联立方程组，利用设而不求法结合条件关系列方程求m即可.【详解】抛物线22ypx=的焦点F的坐标为,02p，若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一个交点，不满足要求，所以可设直线AB的方程为2pxmy=+，联立222ypxpxmy

==+，消x可得，2220ympyp−−=，方程2220ympyp−−=的判别式222440mpp=+，设()()1122,,,AxyBxy，则212122,yympyyp+==−，21212222ppxxmymympp+=+++=+，222

1212224yypxxpp==，因为3OAOB=−，所以12123xxyy+=−，所以2234pp−=−，所以2p=，6AFBF=，所以()()12116xx++=，所以121216xxxx+++=

，又21242xxm+=+，121=xx，所以22m=，所以直线AB的斜率为2，故答案为：2.16.已知函数()11eesinπxxfxax−−+=−+有唯一的零点，则实数a的最大值为__________.【答案】2π【解析】【分析】

问题等价于函数()sinπxax=与函数11()eexxgx−−=−图象有唯一交点，画出图象后可知(1)(1)g，从而可解.【详解】因为11()eesinπxxfxax−−+=−+有唯一零点，所以函数(

)sinπxax=与函数11()eexxgx−−=−的图象有唯一交点，因为(1)(1)0g==，所以函数()sinπxax=与函数11()eexxgx−−=−的图象的唯一交点为(1,0)，又因为11()eexxgx−−=−−，且1e0x−，1e0x−

，所以11e0()exxgx−−=−−在R上恒成立,所以11()eexxgx−−=−在R上为单调递减函数,因为求a的最大值，所以不妨令0a，因为()sinπxax=是最小正周期为2，最大值为a的正弦型函数，可得()x和()gx的图象大

致如图，要使()x和()gx只有唯一交点,则(1)(1)g，即πcosπ2a−，解得2πa，所以a的最大值为2π.故答案为：2π【点睛】关键点睛：画出()x和()gx的图象后，要使()x和()gx只有唯一交点,则(1)(1)g，从而可求解.四､解答题：本大题共6小题，共7

0分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na中，11a=，nS为na的前n项和，且nS也是等差数列.的（1）求na；（2）设()*1nnnnSbnaa+=N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()*21nann=

−N（2）242nnnTn+=+【解析】【分析】（1）设na的公差为d，由已知可得出2132SSS=+，可得出关于d的方程，解出d的值，利用等差数列的通项公式可得出数列na的通项公式；（2）求出nS，求得11114

82121nbnn=+−−+，利用分组求和法结合裂项相消法可求得nT.【小问1详解】解：设na的公差为d，因为nS为等差数列，则2132SSS=+，即22133dd+=++，整理可得4233dd+=+，可得()220d−=，解得

2d=，所以，()()1112121naandnn=+−=+−=−.【小问2详解】解：由（1）得()()1212122nnnaannSn++−===，则()()()()()22141111111212142121482121nnnnnSnbaannnnnn+−+====+−−+−

+−+，1211111111114833521214821nnnnTbbbnnn=+++=+−+−++−=+−−++()2442142nnnnnn+=+=++.18.在ABC中，,,

abc分别为内角,,ABC的对边，点D在BC上，2,2BDCDAD==.（1）从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求A；（2）在（1）的条件下，求ABC面积的最大值.条件①：2223sinsinsinsinsinsin3BCAB

CA+=+；条件②：222coscossinsinsinABCBC−+=.注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解㯚计分.【答案】（1）条件选择见解析，60A=（2）332【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理化简可得tanA的

值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选②：利用同角三角函数的基本关系、正弦定理以及余弦定理可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）由已知得出2BDDC=，利用平面向量的线性运算可得出1233AD

ABAC=+，利用平面向量数量积的运算性值结合基本不等式可求得bc的最大值，再结合三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【小问1详解】解：选择条件①：2223sinsinsinsinsinsin3BCABCA+=+，由题意可得22223sinsinsinsi

nsinsin3BCAABC+−=，由正弦定理得22223sin3bcabcA+−=，由余弦定理2222cosbcabcA+−=可得3sincos3AA=，因0180A，则3sincos03AA=

，tan3A=，故60A=；选择条件②：222coscossinsinsinABCBC−+=，由题意可得2221sin1sinsinsinsinABCBC−−++=，即222sinsinsinsinsinBCABC+−=，由正弦定理得222bcabc+−=，由余弦定理得2221co

s22bcaAbc+−==，为0180,60AA=.【小问2详解】解：由（1）得60,2ABDCD==，则2BDDC=，即()2ADABACAD−=−，1233ADABAC=+，22221214433999ADABACABACABAC=+=++2222144142

cos4999999cbbcAcbbc=++=++=，22223642242426,6cbbccbbcbcbcbcbc=+++=+=，1333sin242ABCSbcAbc==，当且仅当3,23bc==时，ABC的面积取最大值332

.19.如图，四棱锥PABCD−中，，ABCDABAD⊥∥，且24260，，ABADCDPAPAB=====，直线PA与平面ABCD的所成角为30，，EF分别是BC和PD的中点.（1）证明：EF平面PAB；（2）求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）

33【解析】【分析】（1）取AD的中点G，连接EGFG，，通过证明平面GEF平面PAB，可得EF平面PAB；（2）点A为原点，,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，

PAPAB==，直线PA与平面ABCD的所成角为30，可得P坐标，后利用向量法可得平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.【小问1详解】取AD的中点G，连接,EGFG，F是PD的中点，GFAP∥，AP平面,PABFG平面PAB，GF平面PAB，同理可得G

E平面PAB，，GEGFGGE=平面，GEFGF平面GEF，平面GEF平面PAB，EF平面GEF，//EF平面PAB；【小问2详解】以点A为原点，,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可得()()()()0

,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0ABDC，()()400040,,，,,ABAD==.设(),,Pxyz，因2PA=，直线PA与平面ABCD的所成角为30，则2sin301z==.又因60,PAB=则点P的横坐标2cos601x==.又2PA=，

则22112y++=，结合题图可知2y=，则()1,2,1P，()121,,AP=.设()111,,mxyz=r是平面PAB的一个法向量，则11114020mABxmAPxyz===++=，令11y=，则()120,1,2，zm=−=−.设()222,,nxy

z=r是平面PAD的一个法向量，则22224020nADynAPxyz===++=令11x=，则()111,0,1，zn=−=−.又因两平面夹角范围为π0,2，设平面PAB与平面PAD夹角为

，23cos=cos,332mnmnmn===，平面PAB与平面PAD夹角余弦值为33.20.某制药公司研发一种新药､需要研究某种药物成份的含量x（单位：mg）与药效指标值y（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20

次试验､统计得到一组数据()(),1,2,,20iixyi=L，其中,iixy分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值.且2020202020111211260,1200,260,81000,4400iiiiiiiiiiixyxyxy==========.（1）已知该组数

据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）据临床经验，当药效指标值y在[45,75]内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产

效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合

格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,.nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−【答案】（1）ˆ1030yx=+；（2

）1.5,4.5；（3）（i）0.006，（ii）2732.的【解析】【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.（2）利用（1）中经验回归方程，求出x的取值范围作答.（3）（i）利

用全概率公式求出不合格品的概率；（ii）利用条件概率公式求出不合格的新药是设备A生产的概率，再利用二项分布的概率求解作答.【小问1详解】因为20201160,1200iiiixy====，则202011113,602020iiiixxyy======，

于是20120222120440020360ˆ1026020320iiiiixyxybxx==−−===−−，60ˆ30ˆ103aybx=−=−=，所以y关于x的线性经验回归方程为ˆ1030yx=+.【

小问2详解】由（1）得ˆ1030yx=+，当]45[,75y时，45103075x+，解得1.54.5x，所以该新药中此药物成份含量x的取值范围为1.5,4.5.【小问3详解】（i）设D=“随机抽取一件新药，是设备A生产的”，

则D=“随机抽取一件新药，是设备B生产的”，E=“随机抽取一件新药为不合格品”，依题意，()()()21,,|0.009,(|)0.00633PDPDPEDPED====，所以()()()()()21|

|0.0090.0060.00833PEPDPEDPDPED=+=+=；（ii）设C=“抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”，则()()()()()()()|20.0093|30.0084PDEPDPEDPCPDEPEPE=====，设X表

示三件不合格新药来自设备A生产的件数，则3(3,)4XB，所求事件的概率为()()()22333331327223C()C()44432PXPXPX==+==+=.21.已知椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的右顶点为A，上顶点为B，其离心率12e=，直线AB与圆22127xy+=相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()2,3M的直线与椭圆C相交于P、Q两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与AB、AQ相交于点D和N，证明：D是PN中点.【答案】（1）22143xy+=（

2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出直线AB的方程，根据直线与圆的位置关系可得出()2222712abab=+，由椭圆的离心率可得出2243ab=，可求得2a、2b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设()()()()11221314,,,,,,

,PxyQxyDxyNxy，求出直线AB的方程，可得出13312xy=−，设直线PQ的()23ykx=−+，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，计算出14320yyy+−=，即可证得结

论成立.【小问1详解】解：由题意可得直线AB的方程为1xyab+=，即0bxayab+−=，直线AB与圆22127xy+=相切，22237abab=+，()2222712abab=+，12cea==，则12ca=，

222234baca=−=，则2243ab=，由()22222271243ababab=+=可得224,3,ab==，椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】证明：由题意可设()()()()11221314,,,,,,,PxyQxyDxyNxy，由（1）得()()2

,0,0,3AB，则直线AB的方程为131,31223xxyy+==−，直线AQ的方程为()()12242222,22xyyyxyxx−=−=−−，若直线PQx⊥轴，此时直线PQ与椭圆C相切，不合乎题意，设直线PQ的方程为()23ykx=−+，由()2

223143ykxxy=−++=得()()()222348321630kxkkxkk++−+−=，()()()22226432644330kkkkk=−−+−，可得0k，()()2121222823163,34

34kkkkxxxxkk−−+==++，()()1214311222322xyyyyyxx−+−=+−−−()()()()1221122223222xyxyxxx−+−+−−=−，()()()()1221

1222322xyxyxx−+−+−−()()()122112122322xyxyyyxx=+−++−−()()()()()1221121223232322xkxxkxyyxx=−++−+−++−−()()()()()()12211212

232322323322xkxxkxkxkxxx=−++−+−−++−++−−()()()121223438kxxkxxk=+−+++()()()()()222116233843238

34034kkkkkkkkk=+−−+−++=+，1432,yyyD+=是PN中点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与

圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()

()211ln2fxxaxaxx=+−+.（1）若()fx恰有三个不同的极值点()123123,,xxxxxx，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：①1231xxx=；②()12331xxxa++−.【答案】（1）()2,+；（2）①证明见解析；②证明

见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()fx，然后令()()hxfx=，然后根据2a，2a分别讨论，即可得到结果；（2）①由题意可得21x=，根据()1ffxx=−证131xx=即可；②由题可知，只需证1334xxa+−，且3331lnaxxx=−，然后构造

函数令()11ln4ln3,1uxxxxxxxx=++−−，即可得证；【小问1详解】由题意得()1ln,0,fxxaxxx=−−令()1ln,0,xahxxxx=−−()21xaxhxx−+=，①当2a

时，()222121(1)0,xaxxxxhxxxx−+−+−==()fx在()0,+上递增，当01x时，()()()10,fxffx=在()0,1上递减，当1x时，()()()10,fxffx=在()1,+上递增，()fx\只有

一个极值点1x=，此时不符合题意；②当2a时，令()210xaxhxx−+==，即210xax−+=，则242aam−−=和242aan+−=是方程()0hx=的两个实数解，且01mn，所以()()0,,xmn+时，()0hx，(),xmn时，()0hx，()fx

在()0,m和(),n+上递增，在(),mn上递减，且()10f=，()()()()22222210,eee21122220aaafmffaaaaa−−==−+−+++=−，()()()211e,,0,axmfxfx−=在()0,m上存在唯一零点1x，()(

)222222()(1)0,eee21221220,aaafnffaaaaa−==−−++−−=，()()()233,e,0,axnfxfx=在(),n+上存在唯一零点3x，()fx\在()10,x和()31,x

上递减，在()1,1x和()3,x+上递增，记21x=，123,,xxx是()fx的三个不同的极值点，且12301xxx=，综上，实数a的取值范围为()2,+；【小问2详解】由（1）得当2a时，()fx有三个不同的极值点123,,xxx，且

12301xxx=，①要证1231xxx=，只需证131xx=，()1111lnlnfxaxaxfxxxxx=−−=−−−=−，()31133331110,01,,1ffxx

xxxxx=−===.②要证()12331xxxa++−，只需证1334xxa+−，()333333311ln0,lnfxxaxaxxxx=−−==−，只需证33333311l

n4ln30xxxxxx++−−，令()11ln4ln3,1uxxxxxxxx=++−−，则()()22211ln1xxuxxxx−−=−+，令()()21ln,11

xvxxxx−=−+，则()22(1)0(1)xvxxx+−=，()()()()()()10,10,10vxvuxuuxu===，33333311ln4ln30xxxxxx++−−，即()12331xxxa++−.

【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从()fx中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构

造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研

究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com