【文档说明】湖北省黄石市有色一中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(14)页，383.267 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度下学期高一期末试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数𝑧=2𝑖1−𝑖，则𝑧+3𝑧−的虚部为()A.−

2B.−2𝑖C.−4D.−4i2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指

标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.25C.35D.3104.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为𝑥，标准差为s，则()A.𝑥=3，𝑠>√3B.𝑥=3，𝑠<√3C.𝑥>3，𝑠<√3D.𝑥>3，𝑠

>√35.从集合{0,1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{2,4，6}中随机地取一个数b，则向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑏,𝑎)与𝑛⃗⃗=(1,−2)垂直的概率为()A.12B.13C.14D.166.在边长为2的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=60°，E是BC的中点，则𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3+√33B.92C.√3D.947.在△ABC中，cosC=23，AC=3，BC=4，则cosB=()A．19B．13C．12D．238.已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个顶点在球O的球面上，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，△𝐴𝐵𝐶是边长为4的正三角

形，E，F分别是PA，AB的中点，∠𝐶𝐸𝐹=90°，则球O的体积为()A.8√6𝜋B.4√6𝜋C.2√6𝜋D.√6𝜋二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某次数学考试的

一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是()A.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是16B.丙同学随机选择选项，能得分的概率是

15C.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是110D.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是1210.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(𝕜𝑚/ℎ)

分成六段：[60,65),[65，70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是()A.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65,70)内的概率为23B.B.若从样本中

车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1011C.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5D.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75𝑘𝑚/ℎ的概率为0.6511.已知𝛼，𝛽是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两

条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是()A.若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛼，则𝑚//𝑛B.若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽C.若𝛼⊥𝛽，𝑚//𝛽，则𝑚⊥𝛼D.若𝛼//𝛽，𝑚⊥𝛼，则𝑚⊥𝛽12.如图，在四棱锥𝑃

−ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90∘C.二面角𝑃−BC−𝐴的大小为45∘D.BD⊥平面PAC三、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量bkacba+=−==，，，，)11()13(，若ca⊥，则=k.14.已知𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为3√3，𝐴𝐵=2,∠𝐵=𝜋3，则sin𝐵sin𝐶=____．15.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成

的．已知螺帽的底面正六边形边长为√3cm，高为2cm，内孔直径为1𝑐𝑚，则此六角螺帽毛坯的体积是𝑐𝑚3．16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为4若

SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗是同一平面内的三个向量，其中𝑎⃗⃗=(−1,3)，𝑏⃗=

(−2,4)，𝑐⃗=(2,𝑚)．(1)若𝑎⃗⃗⊥(𝑏⃗+𝑐⃗)，求|𝑐⃗|；(2)若𝑘𝑎⃗⃗+𝑏⃗与2𝑎⃗⃗−𝑏⃗共线，求k的值．18.（12分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某省某科研机构帮助某贫困县的农村村民真正脱贫

，坚持扶贫同扶智相结合，积极引导该县农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该村村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植了这种名贵药材的农户中随机抽取了n户，统计了他们2019年因种植中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多增加11万元)，并分成以下几组：

[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11]，统计结果如下图所示：纯利润[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11]频数2030a4020已知样本中数据落在[9,11]这一组的频率为0．08．(1)求n和表中a的

值；(2)试估计该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均值和中位数及第80百分位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．19．（12分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2bac=，

点D在边AC上，sinsinBDABCaC=．（1）证明：BDb=；（2）若3ACDC=，求cosABC．20.（12分）如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠AC

D=45°，DC=2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．21.（12分）关注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康．某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分10

0分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：问卷得分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]专项心理等级有隐患一般良好优秀已知专项心理等级为一般的有680人．(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐

患的人数；(2)在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占23，中青年占13，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取2人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的

概率；(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于0.8，只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．(每组数据以区间的中点值为代表，心理健康

指数=问卷调查得分100)22.（12分）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点．（1）证明：OACD⊥；（2）若OCD△是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=且二面角EBCD−−的大小为60，求三棱锥ABCD−的体积．AEBODC202

0-2021学年度下学期高一期末试题答案和解析1.【答案】A解：复数𝑧=2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=𝑖−1，则𝑧+3𝑧−=−1+𝑖+3(−1−𝑖)=−4−2

𝑖．所以𝑧+3𝑧−的虚部为−2．2.【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若∥，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是∥的必要条件3.【答案】C解：记3只测量过某项指标的

兔子分别为A，B，C，没有测量过某项指标的兔子为D，E，则从这5只兔子中随机取出3只的所有情况为(𝐴,B，𝐶)，(𝐴,B，𝐷)，(𝐴,B，𝐸)，(𝐴,C，𝐷)，(𝐴,C，𝐸)，(𝐴,D，𝐸)，(𝐵,C，𝐷)，(

𝐵,C，𝐸)，(𝐵,D，𝐸)，(𝐶,D，𝐸)，共10种，恰有2只测量过该指标的所有情况有6种，∴所求概率为610=354.【答案】B解：∵某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为𝑥，标准差为s，方差为𝑠2，∴𝑥=7×3+38=3，𝑠2

=7×3+(3−3)28<3，∴𝑠<√3，5.【答案】C解：从集合{0,1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{2,4，6}中随机地取一个数b，基本事件总数𝑁=12．当向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑏,𝑎)与向量𝑛⃗⃗=(1,−2)垂直时，𝑏

=2𝑎，满足条件的基本事件有𝑚⃗⃗⃗=(2,1)(4,2)，(6,3)，共3个，则所求概率𝑃=312=14．6.【答案】D解：如图所示，边长为1的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=60°，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×1×

𝑐𝑜𝑠60°=12；又E为BC中点，∴𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=1+32×12+12×1=947.【答案】D【解析】在ABC中，2cos3C=，3

AC=，4BC=，根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC=+−，2224322433AB=+−，可得29AB=，即3AB=，即B=C2cos3B=所以8.【答案】A解：设∠𝑃𝐴𝐶=，𝑃𝐴=𝑃𝐵=�

�𝐶=2𝑥，𝐸𝐶=𝑦，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以𝐸𝐹=12𝑃𝐵=𝑥，𝐴𝐸=𝑥，在△𝑃𝐴𝐶中，cos𝜃=4𝑥2+16−4𝑥22×2𝑥×4=1𝑥，在△�

�𝐴𝐶中，cos𝜃=𝑥2+16−𝑦22×4𝑥，整理得𝑥2−𝑦2=−8，①因为△𝐴𝐵𝐶是边长为4的正三角形，所以𝐶𝐹=2√3，又∠𝐶𝐸𝐹=90°，则𝑥2+𝑦2=12，②，由①②得𝑥=√2，𝑦=2√2所以𝑃𝐴=𝑃𝐵=

𝑃𝐶=2√2，所以𝑃𝐴2+𝑃𝐵2=16=𝐴𝐵2，即𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，同理可得𝑃𝐴⊥𝑃𝐶，𝑃𝐵⊥𝑃𝐶，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则

外接球的直径为√8+8+8=2√6，所以球O的体积为()346863=9.【答案】ABD解A项，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的情况为CD只有1种情况，所以能得5分的概

率是16，正确；B项，丙同学随机选择选项，选一个选项，有A、B、C、D共4种情况；选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有4+6+4+1=15种情况，能得分有C、

D、CD共3种情况，所以能得分的概率是315=15，正确；C项，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有6+4+1=11种

情况，能得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是111，错误．D项，甲同学仅随机选一个选项，有A、B、C、D四种情况，能得3分的有C或D，有2种，所以能得3分的概率是24=12，正确；10.【答案】BCD解：𝐴..结合以上分析，由古典概型的概率公式得从样本中车速在[60,70)

的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65,70)内的概率为2866=1433，故A错误B.由图知，车速在[60,65)的车辆数为0.010×5×80=4，车速在[65,70)的车辆数为0.020×5×80=8

，则车速在[60,70)的车辆数为12，从中任意抽取2辆的所有可能情况有66种，至少有一辆车的车速在[65,70)内有两类情况：(1)车速在[60,65)内与车速在[65,70)内各一辆，其包含的情况有4×8=32种；(2)2辆车速都在[65,70)内，其包含的情况有28种，故

至少有一辆车的车速在[65,70)内包含的情况有60种，由古典概型的概率公式得，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为6066=1011，故B正确；C:在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值75+

802=77.5，故C正确；D:车速超过75𝑘𝑚/ℎ的频率为0.060×5+0.050×5+0.020×5=0.65，用频率估计概率，故D正确；11.【答案】AD解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行

，A正确；若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽或𝛼与𝛽相交，B错误；缺少条件𝑚⊥𝑛，𝛼∩𝛽=𝑛，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说m可能在平面𝛼内，C错误；因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直

于另一个，D正确．12.【答案】ABC解：如图所示，对于A选项．取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点O．∵侧面PAD为正三角形，∴𝑃𝑀⊥𝐴𝐷.又底面ABCD为菱形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形．∴𝐴𝐷⊥𝐵𝑀.又�

�𝑀∩𝐵𝑀=𝑀，PM、𝐵𝑀⊂平面𝑃𝑀𝐵.∴𝐴𝐷⊥平面PMB，因此A正确．对于B选项．由A可得：𝐴𝐷⊥平面PMB，𝑃𝐵⊂平面PMB，∴𝐴𝐷⊥𝑃𝐵，∴异面直线AD与PB所成的角为90°，正确．对于C选项．∵平面𝑃𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=�

�𝐶，𝐵𝐶//𝐴𝐷，∴𝐵𝐶⊥平面PBM，又PB，𝐵𝑀⊂平面PBM，∴𝐵𝐶⊥𝑃𝐵，𝐵𝐶⊥𝐵𝑀．∴∠𝑃𝐵𝑀是二面角𝑃−𝐵𝐶−𝐴的平面角，设𝐴𝐵=1，则𝐵𝑀=√32=𝑃𝑀，

在𝑅𝑡△𝑃𝐵𝑀中，tan∠𝑃𝐵𝑀=𝑃𝑀𝐵𝑀=1，∴∠𝑃𝐵𝑀=45°，因此C正确．对于D选项．由平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝑀，𝐵𝑀⊂平面ABCD，∴𝐵𝑀⊥平面PAD，𝑃𝐴⊂平

面PAD，则𝐵𝑀⊥𝑃𝐴，若𝐵𝐷⊥平面PAC，𝑃𝐴⊂平面PAC，则𝐵𝐷⊥𝑃𝐴，显然不可能，因此D错误．13.【答案】-514.【答案】√7解：𝐴𝐵=2=𝑐，𝑆▵𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin�

�=12×𝑎×2×√3⬚2=3√3⬚，解得𝑎=6，所以𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=36+4−2×6×2×12=28，∴𝑏=2√7⬚，∴sin𝐵sin𝐶=𝑏𝑐=2√7⬚2=√7⬚，15.【

答案】9√3−𝜋2解：六棱柱的体积为：6×12×√3×√3×𝑠𝑖𝑛60°×2=9√3，圆柱的体积为：𝜋×(0.5)2×2=𝜋2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(9√3−𝜋2)𝑐𝑚3，16.【答案】402π【解析】因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，

所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB△的面积为515，设母线长为,l所以22115515,8028ll==，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为π2cos,42rll==因此圆锥的

侧面积为22ππ402π.2rll==17.【答案】解：(1)因为𝑏⃗=(−2,4)，𝑐⃗=(2,𝑚)，∴𝑏⃗+𝑐⃗=(0,4+𝑚)，∵𝑎⃗⃗⊥(𝑏⃗+𝑐⃗)，𝑎⃗⃗=(−1,3)，∴𝑎⃗⃗·(𝑏⃗+𝑐

⃗)=3(4+𝑚)=0，∴𝑚=−4∴𝑐⃗=(2,−4)，∴|𝑐⃗|=2√5（5分）(2)由已知：𝑘𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(−𝑘−2,3𝑘+4)，2𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(0,2)，∴(−𝑘−2)×2−0×(3𝑘+4)=0

，∴𝑘=−2．（10分）18.【答案】解：(1)由题意知𝑛=200.08=250，∴𝑎=250−20−30−40−20=140．（4分）(2)计算可得样本中的数据落在每个区间的频率分别为，0.08，0.12，0.56，0.16，0.08，（6分）所以农户种植中药材所获纯利润的平均值为2×

0.08+4×0.12+6×0.56+8×0.16+10×0.08=6.08(万元)．（8分）∵前2组的频率为0.2<0.5，前3组的频率为0.76>0.5，∴样本的中位数在第三组，设样本的中位数=5+0.5−0.08−0.120．56×2=8514(万元)．

（10分）第80百分位数=7+0.8−0.08−0.12−0.560．16×2=7.5(万元)．（12分）19.【答案】（1）在ABC中，sinsinACABABCC=①，sinsinBDABCaC=，sinsi

nBDaCABC=②，联立①②得ABACBDa=，即acbBD=，2bac=，BDb=．（3分）（2）因为3ACDC=，ABC中，222cos2abcCab+−=③，2223cos23babCb

a+−=④BCD中，，③=④，()22222233babcab+−=+−，整理得222222333babcab+−=+−，（7分）22211203abc−+=，2bac=，22

61130aacc−+=，即3ca=或32ac=，（8分）若3ca=时，223cbac==，则222cos2acbABCac+−=22229323cccc+−=227923cc=76=（舍），（10分）若32ac=，2232bacc==，则222cos2acbABCac+−=

222293423cccc+−=22743cc=712=.（12分）20【答案】（Ⅰ）如图，过点D作DOAC⊥，交直线AC于点O，连结OB．由45ACD=，DOAC⊥得2CDCO=，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以DOBC⊥.由45

ACB=，1222BCCDCO==得BOBC⊥.所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．由三棱台ABCDEF−得BCEF∥，所以EFDB⊥.（6分）（Ⅱ）过点O作OHBD⊥，交直线BD于点H，连结CH.由三棱台ABCDEF−得DFCO∥，所以直线DF与平面DBC所成角

等于直线CO与平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO得OHBC⊥，故OH⊥平面BCD，所以OCH为直线CO与平面DBC所成角.设22CD=.由2,2DOOCBOBC====，得26,33BDOH==，所以3sin3OHOCHOC=

=，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33.（12分）21.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，0.020+0.014+0.004+0.002+0.025=0.065，由10×(0.065+𝑎)=1，解得𝑎=0.035，（2分）设总共调查了x个人，则专项心

理等级为一般的为10×(0.014+0.020)𝑥=680，解得𝑥=2000，（3分）专项心理等级为有隐患的人数为10×(0.004+0.002)×2000=120，（4分）(2)依题意，老年人抽4人，中青年抽2人，（5分）设中青年人记为A

，B，老年人记为a，b，c，d，从6人中再随机抽2人，可能有(𝐴,𝐵)，(𝐴,𝑎)，(𝐴,𝑏)，(𝐴,𝑐)，(𝐴,𝑑)，(𝐵,𝑎)，(𝐵,𝑏)，(𝐵,𝑐)，(𝐵,𝑑)，(𝑎,�

�)，(𝑎,𝑐)(𝑎,𝑑)，(𝑏,𝑐)，(𝑏,𝑑)，(𝑐,𝑑)共15种，（7分）至少有一位老年人被抽到的情况有共14种，概率为𝑃=1415，(8分)(3)由频率分布直方图可得：45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80

.7，（10分）估计市民心理健康问卷的平均得分为80.7，所以市民心理健康指数为80.7100=0.807>0.8，（11分）所以只需发放心理指导材料，不需要举办大讲堂活动．（12分）22.【答案】（1）ABAD=，O为BD中点，AOBD⊥，AO面AB

D，面ABD⊥面BCD且面ABD面BCDBD=，AO⊥面BCD，AOCD⊥．（4分）(2)过点E作EN//AO交BD于N.过点N作NM//CD交BC干点M，连接ME.因为EN//AO且由(1)知AOBCD⊥面所以..,,32,234263423432331Sin2142BCD

ENBCDENBCBCDOBODOCBCCDNMCDMNBCBCMNEBCMEEMNEBCDMNENDEAEENAOENDNAODOMNBNMNCDCDDBCDMNENOASBDCDBDC⊥⊥==⊥⊥⊥⊥−−

=============面在中，面为所求的二面角的平面角EMN=60322321232343ABCDV−===获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com