【文档说明】湖北省黄石市有色一中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(14)页，383.267 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度下学期高一期末试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数𝑧=2𝑖1−𝑖，则𝑧+3𝑧−的虚部为()A.−2B.−2𝑖C.−4D.−4i

2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.

25C.35D.3104.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为𝑥，标准差为s，则()A.𝑥=3，𝑠>√3B.𝑥=3，𝑠<√3C.𝑥>3，𝑠<√3D.�

�>3，𝑠>√35.从集合{0,1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{2,4，6}中随机地取一个数b，则向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑏,𝑎)与𝑛⃗⃗=(1,−2)垂直的概率为()A.12B.13C.14D.166.在边长为2的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=60°，E是BC的中点，则𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3+√33B.92C.√3D.947.在△ABC中，cosC=23，AC=3，BC=4，则cosB=()A．19B．13C．12D．238.已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵

𝐶的四个顶点在球O的球面上，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，△𝐴𝐵𝐶是边长为4的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠𝐶𝐸𝐹=90°，则球O的体积为()A.8√6𝜋B.4√6𝜋C.2√6𝜋D.√6𝜋二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某

选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是()A.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是16B.丙同学随机选择选项，能得分的概率是15C.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是110D.甲同学仅随机

选一个选项，能得3分的概率是1210.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(𝕜𝑚/ℎ)分成六段：[60,65),[65，70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，

得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是()A.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65,70)内的概率为23B.B.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1011C

.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5D.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75𝑘𝑚/ℎ的概率为0.6511.已知𝛼，𝛽是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是()A.若𝑚⊥�

�，𝑛⊥𝛼，则𝑚//𝑛B.若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽C.若𝛼⊥𝛽，𝑚//𝛽，则𝑚⊥𝛼D.若𝛼//𝛽，𝑚⊥𝛼，则𝑚⊥𝛽12.如图，在四棱锥𝑃−ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确

的是()A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90∘C.二面角𝑃−BC−𝐴的大小为45∘D.BD⊥平面PAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量bkacba+

=−==，，，，)11()13(，若ca⊥，则=k.14.已知𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为3√3，𝐴𝐵=2,∠𝐵=𝜋3，则sin𝐵sin𝐶=____．15.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为√3cm，高为

2cm，内孔直径为1𝑐𝑚，则此六角螺帽毛坯的体积是𝑐𝑚3．16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为4若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．四．解答题

：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗是同一平面内的三个向量，其中𝑎⃗⃗=(−1,3)，𝑏⃗=(−2,4)，𝑐⃗=(2,𝑚)．(1)若𝑎⃗⃗⊥(𝑏⃗+𝑐⃗)，求|𝑐⃗|；(2)若𝑘

𝑎⃗⃗+𝑏⃗与2𝑎⃗⃗−𝑏⃗共线，求k的值．18.（12分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某省某科研机构帮助某贫困县的农村村民真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，积极引导该县农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该村村民的经济收

入．2019年年底，该机构从该县种植了这种名贵药材的农户中随机抽取了n户，统计了他们2019年因种植中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多增加11万元)，并分成以下几组：[1,3)，

[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11]，统计结果如下图所示：纯利润[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11]频数2030a4020已知样本中数据落在[9,11]这一组的频率为0．08．(1)求n和表中a的值；(2)试估计

该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均值和中位数及第80百分位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．19．（12分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=．（1）证明：BDb=；（2）若3ACDC=，求cosABC

．20.（12分）如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．21.（12分）关

注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康．某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：问卷得分[40,60

)[60,80)[80,90)[90,100]专项心理等级有隐患一般良好优秀已知专项心理等级为一般的有680人．(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数；(2)在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占23，中青年占13，现从该等级市民中按年

龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取2人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于0.8，只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所

学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．(每组数据以区间的中点值为代表，心理健康指数=问卷调查得分100)22.（12分）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点．（1）证明：OAC

D⊥；（2）若OCD△是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=且二面角EBCD−−的大小为60，求三棱锥ABCD−的体积．AEBODC2020-2021学年度下学期高一期末试题答案和解析1.【答案

】A解：复数𝑧=2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=𝑖−1，则𝑧+3𝑧−=−1+𝑖+3(−1−𝑖)=−4−2𝑖．所以𝑧+3𝑧−的虚部为−2．2.【答案】B【解析】由面面平行的

判定定理知：内两条相交直线都与平行是∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若∥，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是∥的必要条件3.【答案】C解：记3只测量过某项指标的兔子分别为A，B，C，没有测量过某项指标的兔子为D，E，则从这

5只兔子中随机取出3只的所有情况为(𝐴,B，𝐶)，(𝐴,B，𝐷)，(𝐴,B，𝐸)，(𝐴,C，𝐷)，(𝐴,C，𝐸)，(𝐴,D，𝐸)，(𝐵,C，𝐷)，(𝐵,C，𝐸)，(𝐵,D，𝐸)，(𝐶,D，𝐸)，共10种，恰有2只测量过该

指标的所有情况有6种，∴所求概率为610=354.【答案】B解：∵某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为𝑥，标准差为s，方差为𝑠2，∴𝑥=7×3+38=3，𝑠2=7×

3+(3−3)28<3，∴𝑠<√3，5.【答案】C解：从集合{0,1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{2,4，6}中随机地取一个数b，基本事件总数𝑁=12．当向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑏,𝑎)与向量𝑛⃗⃗=(1,−2)垂直时，𝑏=2𝑎，满足条件的基本事

件有𝑚⃗⃗⃗=(2,1)(4,2)，(6,3)，共3个，则所求概率𝑃=312=14．6.【答案】D解：如图所示，边长为1的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=60°，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×1×𝑐𝑜𝑠60°=12；又E为BC中点，∴𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗2+32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=1+32×12+12×1=947.【答案】D【解析】在ABC中，2cos3C=，3AC=，4BC=，根据余弦定理：2222cosABA

CBCACBCC=+−，2224322433AB=+−，可得29AB=，即3AB=，即B=C2cos3B=所以8.【答案】A解：设∠𝑃𝐴𝐶=，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2𝑥，𝐸𝐶=𝑦，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以𝐸𝐹=12𝑃𝐵=𝑥，

𝐴𝐸=𝑥，在△𝑃𝐴𝐶中，cos𝜃=4𝑥2+16−4𝑥22×2𝑥×4=1𝑥，在△𝐸𝐴𝐶中，cos𝜃=𝑥2+16−𝑦22×4𝑥，整理得𝑥2−𝑦2=−8，①因为△𝐴𝐵𝐶是

边长为4的正三角形，所以𝐶𝐹=2√3，又∠𝐶𝐸𝐹=90°，则𝑥2+𝑦2=12，②，由①②得𝑥=√2，𝑦=2√2所以𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2√2，所以𝑃𝐴2+𝑃𝐵2=16=𝐴𝐵2，即𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，同理可得𝑃𝐴⊥𝑃𝐶，𝑃𝐵⊥𝑃𝐶，则PA

、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√8+8+8=2√6，所以球O的体积为()346863=9.【答案】ABD解A项，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的情况为CD只有1种情况，所以能得5分的概率是16，正确；B

项，丙同学随机选择选项，选一个选项，有A、B、C、D共4种情况；选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有4+6+4+1=15种情况，能得分有C、D、CD共3种情况，所

以能得分的概率是315=15，正确；C项，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共

有6+4+1=11种情况，能得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是111，错误．D项，甲同学仅随机选一个选项，有A、B、C、D四种情况，能得3分的有C或D，有2种，所以能得3分的概率是24=12，正确

；10.【答案】BCD解：𝐴..结合以上分析，由古典概型的概率公式得从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65,70)内的概率为2866=1433，故A错误B.由图知，车速在[60

,65)的车辆数为0.010×5×80=4，车速在[65,70)的车辆数为0.020×5×80=8，则车速在[60,70)的车辆数为12，从中任意抽取2辆的所有可能情况有66种，至少有一辆车的车速在[65,70

)内有两类情况：(1)车速在[60,65)内与车速在[65,70)内各一辆，其包含的情况有4×8=32种；(2)2辆车速都在[65,70)内，其包含的情况有28种，故至少有一辆车的车速在[65,70)内包含的

情况有60种，由古典概型的概率公式得，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为6066=1011，故B正确；C:在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值75+802=77.5，故C正确；D:车速超过75𝑘𝑚/ℎ的频率为0.060×5+0.050

×5+0.020×5=0.65，用频率估计概率，故D正确；11.【答案】AD解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，A正确；若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽或𝛼与𝛽相交，B错误；缺少条件𝑚⊥𝑛，𝛼∩�

�=𝑛，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说m可能在平面𝛼内，C错误；因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直于另一个，D正确．12.【答案】ABC解：如图所示，对于A选项．取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点O．∵侧面PAD为正三

角形，∴𝑃𝑀⊥𝐴𝐷.又底面ABCD为菱形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形．∴𝐴𝐷⊥𝐵𝑀.又𝑃𝑀∩𝐵𝑀=𝑀，PM、𝐵𝑀⊂平面𝑃𝑀𝐵.∴𝐴𝐷⊥平面PMB，因此A正确．对于B选项．由A可得：𝐴𝐷⊥平面PMB，𝑃𝐵⊂平面P

MB，∴𝐴𝐷⊥𝑃𝐵，∴异面直线AD与PB所成的角为90°，正确．对于C选项．∵平面𝑃𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶，𝐵𝐶//𝐴𝐷，∴𝐵𝐶⊥平面PBM，又PB，𝐵𝑀⊂平面PBM，∴𝐵�

�⊥𝑃𝐵，𝐵𝐶⊥𝐵𝑀．∴∠𝑃𝐵𝑀是二面角𝑃−𝐵𝐶−𝐴的平面角，设𝐴𝐵=1，则𝐵𝑀=√32=𝑃𝑀，在𝑅𝑡△𝑃𝐵𝑀中，tan∠𝑃𝐵𝑀=𝑃𝑀𝐵𝑀=1，∴∠𝑃𝐵𝑀=45°，因此C

正确．对于D选项．由平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝑀，𝐵𝑀⊂平面ABCD，∴𝐵𝑀⊥平面PAD，𝑃𝐴⊂平面PAD，则𝐵𝑀⊥𝑃𝐴，若𝐵𝐷⊥平面PAC，𝑃𝐴⊂平面PAC，则𝐵𝐷⊥𝑃𝐴，显然不可

能，因此D错误．13.【答案】-514.【答案】√7解：𝐴𝐵=2=𝑐，𝑆▵𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12×𝑎×2×√3⬚2=3√3⬚，解得𝑎=6，所以𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=36+4−2×6×2×1

2=28，∴𝑏=2√7⬚，∴sin𝐵sin𝐶=𝑏𝑐=2√7⬚2=√7⬚，15.【答案】9√3−𝜋2解：六棱柱的体积为：6×12×√3×√3×𝑠𝑖𝑛60°×2=9√3，圆柱的体积为：𝜋×(0.5)2

×2=𝜋2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(9√3−𝜋2)𝑐𝑚3，16.【答案】402π【解析】因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB△的面积为515，设母线长为,l所以22115515,8028ll==，因为SA与圆锥底面所成角为

45°，所以底面半径为π2cos,42rll==因此圆锥的侧面积为22ππ402π.2rll==17.【答案】解：(1)因为𝑏⃗=(−2,4)，𝑐⃗=(2,𝑚)，∴𝑏⃗+𝑐⃗=(0,4+𝑚)，∵𝑎⃗⃗⊥(𝑏⃗+𝑐⃗)，𝑎⃗⃗=(−1,3)，

∴𝑎⃗⃗·(𝑏⃗+𝑐⃗)=3(4+𝑚)=0，∴𝑚=−4∴𝑐⃗=(2,−4)，∴|𝑐⃗|=2√5（5分）(2)由已知：𝑘𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(−𝑘−2,3𝑘+4)，2𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(0,2)，∴(−𝑘−2)×2−0×(3𝑘+4)=

0，∴𝑘=−2．（10分）18.【答案】解：(1)由题意知𝑛=200.08=250，∴𝑎=250−20−30−40−20=140．（4分）(2)计算可得样本中的数据落在每个区间的频率分别为，0.08，0.12，0.56，0.16，0.08

，（6分）所以农户种植中药材所获纯利润的平均值为2×0.08+4×0.12+6×0.56+8×0.16+10×0.08=6.08(万元)．（8分）∵前2组的频率为0.2<0.5，前3组的频率为0.76>0.5，∴样本的中位数在第三组，

设样本的中位数=5+0.5−0.08−0.120．56×2=8514(万元)．（10分）第80百分位数=7+0.8−0.08−0.12−0.560．16×2=7.5(万元)．（12分）19.【答案】（1）在ABC中，sin

sinACABABCC=①，sinsinBDABCaC=，sinsinBDaCABC=②，联立①②得ABACBDa=，即acbBD=，2bac=，BDb=．（3分）（2）因为3ACDC=，ABC中，222cos2abcCab+−=③，2223cos23babCba+−

=④BCD中，，③=④，()22222233babcab+−=+−，整理得222222333babcab+−=+−，（7分）22211203abc−+=，2bac=，22611

30aacc−+=，即3ca=或32ac=，（8分）若3ca=时，223cbac==，则222cos2acbABCac+−=22229323cccc+−=227923cc=76=（舍），（10分）

若32ac=，2232bacc==，则222cos2acbABCac+−=222293423cccc+−=22743cc=712=.（12分）20【答案】（Ⅰ）如图，过点D作DOAC⊥，交直线AC于点O，连结OB．由45ACD=，DOAC⊥得2C

DCO=，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以DOBC⊥.由45ACB=，1222BCCDCO==得BOBC⊥.所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．由三棱台ABCDEF−得BCEF∥，所以EF

DB⊥.（6分）（Ⅱ）过点O作OHBD⊥，交直线BD于点H，连结CH.由三棱台ABCDEF−得DFCO∥，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO得OHBC⊥，故OH⊥平面BCD，所以OCH为直线CO与平面DB

C所成角.设22CD=.由2,2DOOCBOBC====，得26,33BDOH==，所以3sin3OHOCHOC==，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33.（12分）21.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，0.020+0.014+0.004+0.002+0.025=0.

065，由10×(0.065+𝑎)=1，解得𝑎=0.035，（2分）设总共调查了x个人，则专项心理等级为一般的为10×(0.014+0.020)𝑥=680，解得𝑥=2000，（3分）专项心理等级为有隐患的人数为10×(0

.004+0.002)×2000=120，（4分）(2)依题意，老年人抽4人，中青年抽2人，（5分）设中青年人记为A，B，老年人记为a，b，c，d，从6人中再随机抽2人，可能有(𝐴,𝐵)，(𝐴,𝑎)，(𝐴,𝑏)，(𝐴,𝑐)，(𝐴,𝑑)，(𝐵,𝑎)，(𝐵,�

�)，(𝐵,𝑐)，(𝐵,𝑑)，(𝑎,𝑏)，(𝑎,𝑐)(𝑎,𝑑)，(𝑏,𝑐)，(𝑏,𝑑)，(𝑐,𝑑)共15种，（7分）至少有一位老年人被抽到的情况有共14种，概率为𝑃=1415，(8分)(3)由频率

分布直方图可得：45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7，（10分）估计市民心理健康问卷的平均得分为80.7，所以市民心理健康指数为80.7100=0.807>0.8，（11分

）所以只需发放心理指导材料，不需要举办大讲堂活动．（12分）22.【答案】（1）ABAD=，O为BD中点，AOBD⊥，AO面ABD，面ABD⊥面BCD且面ABD面BCDBD=，AO⊥面BCD，AOCD⊥．（4分）(2)过点E作EN//AO交BD于

N.过点N作NM//CD交BC干点M，连接ME.因为EN//AO且由(1)知AOBCD⊥面所以..,,32,234263423432331Sin2142BCDENBCDENBCBCDOBODOCBCCDNMCDMNBCB

CMNEBCMEEMNEBCDMNENDEAEENAOENDNAODOMNBNMNCDCDDBCDMNENOASBDCDBDC⊥⊥==⊥⊥⊥⊥−−=============面在中，面为所求的二面角的平面角EMN=6032232123

2343ABCDV−===获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com